Как найти максимальное ускорение в физике

Как найти ускорение — определение и формулы расчета в физике

Содержание:

• Что такое ускорение
  • Единица измерения
• Как рассчитать ускорение: формулы
  • Для прямолинейного движения
  • Для равноускоренного движения
  • Для равнозамедленного движения
  • Нахождение ускорения через массу и силу
• Мгновенное ускорение
• Максимальное ускорение
• Среднее ускорение
• Проекция ускорения

Что такое ускорение

Ускорение (overrightarrow а) — векторная величина в физике, характеризующая быстроту изменения скорости тела.

Ускорение является векторной величиной, показывающей, на сколько изменяется вектор скорости тела при его движении за единицу времени.

Единица измерения

В СИ (системе интернациональной) ускорение измеряется: ( begin{bmatrix}aend{bmatrix}=frac м{с^2})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как рассчитать ускорение: формулы

Для прямолинейного движения

Прямолинейное движение — механическое движение, при котором траектория тела — прямая линия.

В этом случае ускорение находится по следующим формулам:

(a;=;frac{mathrm V}t)

(a;=;frac{2S}{t^2})

(a;=;frac{V^2}{2S})

Где (a) — достигнутое ускорение тела, (S) — пройденный путь (расстояние), (t) — затраченное время.

Время отсчитывается от начала движения тела.

При прямолинейном равномерном движении ускорение по модулю равняется нулю.

Для равноускоренного движения

Равноускоренное движение — прямолинейное движение с постоянным положительным ускорением (разгон).

При таком виде движения ускорение определяется по формуле: (a;=;frac{V-V_0}t), где (V_0) и (V) начальная и конечная скорости соответственно, (a) — достигнутое ускорение тела, (t) — затраченное время.

Для равнозамедленного движения

Равнозамедленное движение — прямолинейное движение с постоянным отрицательным ускорением (замедление).

При таком виде движения ускорение находим по формуле: (a;=-;frac{V-V_0}t), где V₀ и V начальная и конечная скорости соответственно, a — достигнутое ускорение тела, t — затраченное время.

Нахождение ускорения через массу и силу

Принцип инерции Галилея:

Если не действовать на тело, то его скорость не будет меняться.

Система отсчета (СО) — система координат, точка отсчета и указание начала отсчета времени.

Инерциальная система отсчета (ИСО) — это СО, в которой наблюдается движение по инерции (соблюдается принцип инерции).

II закон Ньютона:

В инерциальных системах отсчёта ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

или

(overrightarrow a=frac{overrightarrow F}m)

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени — это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Другими словами — это ускорение, которое развивает тело за максимально короткий отрезок времени.

Выражается по формуле:

( overrightarrow a=lim_{trightarrow0}frac{triangleoverrightarrow V}{triangle t})

Максимальное ускорение

(a_{max}=omega v_{max},) где (a_{max}) — максимальное ускорение, (omega) — круговая (угловая, циклическая) частота, (v_{max}) — максимальная скорость.

Среднее ускорение

Среднее ускорение — это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло.

(overrightarrow{a_{ср}}=frac{triangleoverrightarrow V}{triangle t}), где (overrightarrow{a_{ср}}) — среднее ускорение, (triangleoverrightarrow V) — изменение скорости, ( triangle t) — изменение времени.

Проекция ускорения

Определение проекции ускорения на ось (х):

(a_x=frac{V_x-V_{0x}}t), где где (a_x) — проекция ускорения на ось (х), (V_x) — проекция текущей скорости на ось (х), (V_{0x}) — проекция начальной скорости на ось (х), (t) или (triangle t) — промежуток времени, за который произошло изменение проекции скорости.

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

Среднее ускорение

Среднее ускорение> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение.В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с², то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

v2 > v1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости 

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

v2 < v1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости  Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения, при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения  (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

Скорость колеблющейся точки –
это первая производная от смещения
точки по времени (за основу возьмем
второе из пары уравнений (1.1)):

.
(1.4)

Здесь _max
= Aω₀—максимальнаяскорость,илиамплитуда скорости.

Ускорение – это втоpая пpоизводная
от смещения точки по времени:

(1.5)

где a_max = Aω₀²
—максимальное ускорение,илиамплитуда ускорения.

Из формул (1.1), (1.4) и (1.5) видно, что смещение,
скорость и ускорение не совпадают
по фазе (pис. 1.2). В моменты вpемени,
когда смещение максимально, скоpость
pавна нулю, а ускоpение пpинимает
максимальное отpицательное значение.
Смещение и ускоpение находятся впpотивофазе— так говоpят, когда
pазность фаз pавна.
Ускоpение всегда напpавлено в стоpону,
пpотивоположную смещению.

Полная энергия колебаний равна
сумме кинетической и потенциальной
энеpгий колеблющейся точки:

W = W_к
+ W_п = m
² / 2 + kx² /
2.

Подставим в это выражение формулы (1.4)
и (1.1) с учетом k = mω₀²(как будет показано ниже), получим

W = k A²
/ 2 =m A² ω₀²
/2. (1.6)

Из сопоставления графиков функций
х(t), W_к(t)
и W_п(t)
(рис.1.3) видно, что частота колебаний
энергии в два раза больше частоты
колебаний смещения.

Рис. 1.2

Рис.
1.3

Cреднее значение
потенциальной и кинетической энергии
за периодТравно половине полной
энергии (рис. 1.3):

П р и м е р 1. Материальная точка
массой 5 г совершает колебания согласно
уравнению
гдеx – смещение, см.
Определить максимальную силу и полную
энергию.

Р е ш е н и е. Максимальная сила
выражается формулойгде(см. формулу (1.5)). ТогдаF_max=mAω₀².
Из уравнения колебания следует, чтоПодставим числовые значения:F_max=5∙10^-3
0,1∙4 = 2∙10^-3Н = 2мН.

Полная энергия
В итогеE= 0,5∙5∙10^-3∙4∙10^-2= 10^-4Дж.

1.3. Диффеpенциальное
уpавнение

Свободных незатухающих колебаний. Маятники

Система, состоящая из тела массой m,
подвешенного к пружине, второй конец
которой закреплён, называютпружинным
маятником(рис. 1.4). Такая система
служит модельюлинейного осциллятора.

Если растянуть (сжать) пружину на величину
х, то возникнет упругая сила, которая
стремится вернуть тело в положение
равновесия. При небольших деформациях
справедлив закон Гука:F = — kx, гдеk— коэффициент жесткости пpужины. Запишем
второй закон Ньютона:

ma = — kx. (1.7)

Знак «минус» означает, что сила
упругости направлена в сторону,
противоположную смещению x.Подставим в это уpавнение ускоpениеaколеблющейся точки из уpавнения (1.5),
получим
— m ω₀² x = —
k x,
откудаk = m ω₀², Пеpиод колебаний

(1.8)

Таким образом, период колебаний не
зависит от амплитуды.

П р и м е р 2. Под действием силы
тяжести груза пружина растянулась на
5 см. После вывода ее из состояния покоя
груз совершает гармонические колебания.
Определить период этих колебаний.

Р е ш е н и е. Период колебаний
пружинного маятника находим по формуле
(1.8). Коэффициент жесткости пружины
рассчитаем по закону Гука, исходя из
того, что пружина растягивается под
действием силы тяжести:mg
= — kx, откуда модульk = mg/x.
Подставимkв формулу
(1.8):

Выполним вычисления и вывод единицы
измерения:

Из формулы (1.7) следует дифференциальное
уравнение гармонических колебаний:

или

Заменив отношение k/m = ω₀²
, получимдифференциальное уравнениесобственных незатухающих колебаний в
виде

(1.9)

Его решениями являются выражения (1.1).

П р и м е р 3. Дифференциальное
уравнение незатухающих гармонических
колебаний имеет вид.
Найти частоту и период этих колебаний.

Р е ш е н и е. Запишем уравнение в
виде:.

Отсюда
следует, чтоаПериод колебаний определяется по
формуле:Следовательно,Т= 2∙3,14/2 = 3,14 с.

Физическим маятникомназывают
твёрдое тело, которое совершает колебания
под действием силы тяжести вокруг
неподвижной горизонтальной оси (рис.
1.5), проходящей через точкуО, не
совпадающую с центром массС тела.

Момент силы тяжести mgотносительно
оси вращенияО

,

где
—
длина физическогомаятника(pасстояние от точки подвеса до центpа
масс маятника
= OC).

По основному закону динамики вpащательного
движения I
= M,
ЗдесьI– момент
инерции маятника относительно оси,
проходящей через точку подвесаО,
— угловое ускорение.

Для малых отклонений sin = ,
тогда

(1.10)

Из сравнения уравнений (1.9) и (1.10) следует,
что
и пеpиод колебаний

(1.11)

Математический
маятникпредставляет
собой материальную точку массойm,
подвешенную на абсолютно упругой
нерастяжимой нити и совершающую
колебания под действием силы тяжести
(рис. 1.6).

В формулу (1.11) подставим момент инерции
материальной точки относительно оси,
проходящей через точку подвеса,
,
получим

Рис. 1.6

. (1.12)

Из выражений (1.11) и (1.12) следует, что
физический маятник имеет такой же период
колебаний, как и математический с длиной

.

Эту величину называют приведённой длинойфизического маятника.
Отметим, чтоI— момент
инеpцииотносительнооси, пpоходящей
чеpез точку подвесаO. По теоpеме
Штейнеpа

где I_C
— момент инеpцииотносительно
оси,пpоходящей чеpез центp массмаятника. Пpедставим пpиведенную длину
маятника в виде

откуда видно, что пpиведенная длина
физического маятника больше его длины

Если от точки подвеса О отложить(см. рис. 1.5), то найдём точкуО₁,
которая называетсяцентром качания.
Точка подвеса и центр качания являются
сопряженными. Это значит, что маятник,
подвешенный за центр качанияО₁,
не изменит периода колебаний, а точкаOсделается новым центром качания.

П р и м е р 4. Однородный стержень
длинойb совершает
колебания в вертикальной плоскости
вокруг оси, проходящей через один из
его концов (рис.1.7). Определить период
колебаний.

Ре ш е н и е. Воспользуемся формулой
для определения периода колебаний
физического маятника (1.11), гдеℓ=ОС– расстояние от оси вращения до
центра масс. Это расстояниеℓ=b/2
(рис. 1.7). Момент инерции стержня
относительно его концаI=1/3mb². Следовательно,

Сила, возвpащающая маятник в положение
pавновесия (рис. 1.6),
т. е. пpопоpциональна смещениюx, но
эта сила не упpугая по своей пpиpоде,
поэтому она называетсяквазиупругой.

Таким образом, механические гармонические
колебания возникают в системах под
действием сил, пропорциональных смещению.

Ускорение является производной скорости. Если функция задает положение чего-либо как функцию времени, вы дифференцируете функцию положения, чтобы получить функцию скорости, и вы дифференцируете функцию скорости, чтобы получить функцию ускорения. Иными словами, эквивалентным образом, первая производная от позиции — это скорость, а вторая производная от положения — это ускорение.

Вот пример. Йо-йо движется прямо вверх и вниз. Его высота над землей как функция времени определяется функцией H ( t ) = t ³ — 6 t ² + 5 t + 30, где t — в секундах, а H ( t ) — в дюймах. При t = 0 он находится на 30 дюймов над землей, а через 4 секунды он находится на высоте 18 дюймов, как показано на первом графике на рисунке.

Графики высоты, скорости и ускорения йо-йо от 0 до 4 секунд.

Скорость, V ( t ), является производной от положения (высота, в этой задаче), а ускорение, A ( t ), является производной от скорости. Таким образом:

График функции ускорения внизу рисунка представляет собой простую линию, A ( t ) = 6 t — 12.

Легко видеть, что ускорение йо-йо идет от минимума

при t = 0 секунд максимум

в t = 4 секунды, и что ускорение равно нулю в t = 2, когда йо-йо достигает своей минимальной скорости (и максимальной скорости). Когда ускорение отрицательно — на интервале — скорость увеличивается .

Объект ускоряется (что мы называем «ускорением» в повседневной речи) всякий раз, когда скорость и ускорение исчисления являются положительными или отрицательными. И объект замедляется («замедление» в повседневной речи), когда скорость и ускорение исчисления имеют противоположные знаки.

Посмотрите на все три графика на рисунке еще раз. От t = 0 до t = 0, 47 скорость положительна, а ускорение отрицательно, поэтому йо-йо замедляется при движении вверх (пока его скорость не станет равной нулю и не достигнет максимальной высоты). Проще говоря, йо-йо замедляется с 0 до 0, 47 секунд. Наибольшее замедление происходит при t = 0, когда замедление

(график показывает отрицательный 12, но вы можете думать о нем как о положительном 12, потому что он замедляется, понимаете?)

Приблизительно от t = 0, 47 до t = 2 и скорость, и ускорение отрицательны, поэтому йо-йо ускоряется при движении вниз. От t = 2 до t = 3.53 скорость отрицательна, а ускорение положительно, поэтому йо-йо снова замедляется, продолжая снижаться (пока не достигнет нижней точки). Наконец, примерно от t = 3, 53 до t = 4 скорость и ускорение положительны, поэтому йо-йо снова ускоряется. Йо-йо достигает своего наибольшего ускорения

при t = 4 секунды.