Как найти максимальное значение квадратного трехчлена - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Давай повторим определения, которые ты уже знаешь и которые мы будем использовать на нашем уроке.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx + c, где x – независимая переменная, a, b, c – любые действительные числа, причем a ≠ 0.

Если есть квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, где a, b, c – любые действительные числа, причем a ≠ 0. То выражение b² — 4ac, называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Формула корней квадратного уравнения.

Теперь выбери соответствия между картинками и определениями, которые мы только что повторили.

Прежде чем мы начнем основную часть урока, перечислю для тебя определения, с которыми мы познакомимся сегодня:

1. Квадратичная функция;

2. Наибольшее и наименьшее значения;

3. Наибольшее и наименьшее значение, принадлежащие некоторому отрезку.

Источник

§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Описание метода выделения полного квадрата

Выражения вида 2×2+3x+5, `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида ax2+bx+c, где a,b,ca, b, c – произвольные числа, причём a≠0.

Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-4x+5. Запишем его в таком виде: x2-2·2·x+5.Прибавим к этому выражению 22 и вычтем 22, получаем: x2-2·2·x+22-22+5. Заметим, что x2-2·2·x+22=(x-2)2, поэтому

x2-4x+5=(x-2)2-4+5=(x-2)2+1.

Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9×2+3x+1.

Заметим, что 9×2=(3x)2, `3x=2*1/2*3x`. Тогда

`9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`.

Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4×2-12x+5.

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:

2×2-2·2x·3+32-32+5=2x-32-4=(2x-3)2-22.

Теперь применяем формулу a2-b2=(a-b)(a+b), получаем:

(2x-3-2)(2x-3+2)=(2x-5)(2x-1).

Разложите на множители квадратный трёхчлен -9×2+12x+5.

-9×2+12x+5=-9×2-12x+5. Теперь замечаем, что 9×2=3×2, -12x=-2·3x·2.

Прибавляем к выражению 9×2-12x слагаемое 22, получаем:

-3×2-2·3x·2+22-22+5=-3x-22-4+5=-3x-22+4+5==-3x-22+9=32-3x-22.

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

-9×2+12x+5=3-3x-23+(3x-2)=(5-3x)(3x+1).

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3×2-14x-5.

Мы не можем представить выражение 3×2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3)^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1)`.

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x2-x+3. Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена -16×2+8x+6.

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: -16×2+8x+6=-4×2-2·4x·1+1-1+6=-4x-12-1+6==-4x-12+7.

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7, а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7. Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `{x^2+2x-15}/{x^2-6x+9}` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x2-6x+9=x-32. Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

x2+2x-15=x2+2·x·1+1-1-15=x+12-16=x+12-42==(x+1+4)(x+1-4)=(x+5)(x-3).

Данную дробь привели к виду `{(x+5)(x-3)}/(x-3)^2` после сокращения на (x-3) получаем `(x+5)/(x-3)`.

Разложите многочлен x4-13×2+36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

`x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=`

`=(x^2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

`=(x^2-13/2)^2-(5/2)^2=(x^2-13/2-5/2)(x^2-13/2+5/2)=`

`=(x^2-9)(x^2-4)=(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)`.

Разложите на множители многочлен 4×2+4xy-3y2.

Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:

(2x)2+2·2x·y+y2-y2-3y2=(2x+y)2-2y2==(2x+y+2y)(2x+y-2y)=(2x+3y)(2x-y).

Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `{8x^2+10x-3}/{2x^2-x-6}`.

`8x^2+10x-3=8(x^2+10/8 x-3/8)=8(x^2+2*5/8 x+(5/8)^2-(5/8)^2-3/8)=`

`=8((x+5/8)^2-25/64-24/64)=8((x+5/8)^2-(7/8)^2)=`

`=8(x+5/8+7/8)(x+5/8-7/8)=8(x+12/8)(x-2/8)=`

`=8(x+3/2)(x-1/4)=(2x+3)(4x-1)`.

Преобразуем знаменатель дроби:

`2x^2-x-6=2(x^2-x/2-6/2)=2(x^2-2*1/4 x+(1/4)^2-(1/4)^2-6/2)=`

`=2((x-1/4)^2-(7/4)^2)=2(x-1/4-7/4)(x-1/4+7/4)=`

`=2(x-2)(x+3/2)=(x-2)(2x+3)`.

Имеем: `{(2x+3)(4x-1)}/{(x-2)(2x+3)}={4x-1}/{x-2}`.

Источник

забыли пароль?

Помощь сайту

Вопросы »

Алгебра 7-9 классы + ГИА » найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трехчлена

найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трехчлена

создана: 29.09.2019 в 20:35
…………………………………………

ola-la :

1) -x²+4x+2=

2) -3x²+6x+2=

3) x² — 2x + 4 =

4) 2x² + 8x — 1 =

( +1666 )

25.01.2016 08:01

Комментировать

Верное решение
(баллы:+1)

Графиками данных уравнений являются параболы.

Наибольшее или наименьшее значение соответствует вершине параболы.

Значение х для вершины находится по формуле х0=-b/(2a).

Затем подставляете найденное х0 в выражение

и находите наибольшее или наименьшее значение.

( +20 )

25.01.2016 22:12

Комментировать

1 способ:

метод выделения полного квадрата:

-x²+4x+2= -(x²-4x-2)= -((x²-2*2*x+2²)-2²-2)= -((x²-2*2*x+2²)-2²-2)=-((x-2)²-6)=

=6-(x-2)²— это выражение будет принимать наибольшее значение, когда (x-2)=2 т.е. x=2

2 способ:

у нас: а=-1, b=4, с=2

х=-b/(2a)=-4/(2*(-1))=2

т.к. а=-1, то ветви параболы направлены вниз, и наше значение будет наибольшим

остальные решаются аналогично…

( +958 )

28.01.2016 20:05

Комментировать

Еlla задание не дорешала. Надо еще вычислить значение многочлена при найденном х. Как правильно указал Centurio, надо подставить найденный х в выражение.

Смотри мой комментарий ниже.

( +958 )

28.01.2016 20:01

Комментировать

Верное решение
(баллы:+1)

Но найти надо не х, при котором значение многочлена наибольшее (или наименьшее), а само это значение.

Обозначим у(х) = -x²+4x+2

х_max=-b/(2a)= -4/(-2)=2, y_max = y(2) = -2²+4*2+2= 6

Ответ: 6.

( +20 )

29.01.2016 18:42

Комментировать

Да, извините, не внимательно прочитала задание, я не дорешала( Спасибо!

( +117 )

17.10.2019 10:40

Комментировать

Верное решение
(баллы:+1)

2) у=-3x²+6x+2 х0=-6/(-3*2)=1 y(1)=-3+6+2=5 — наибольшее

3) у=x² — 2x + 4 х0=-(-2)/2 =1 у(1)=1-2+4=3 — наименьшее

4) у=2x² + 8x — 1 х0=-8/(2*2)=-2 у(2)=2*4+8*2 -1 =8+16-1= 23 — наименьшее

Хочу написать ответ

Источник

Загрузить PDF

Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: $f(x)=ax^{2}+bx+c$ или через координаты вершины параболы: $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.

1

Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция — это функция, уравнение которой включает переменную $x^{2}$ . Уравнение может включать или не включать переменную . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.^[1]
2
3
4

Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.
5

Реклама

1

Запишите квадратичную функцию через координаты вершины параболы. Такое уравнение имеет следующий вид:^[3]
2
3

Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента . В приведенных выше примерах:
4

Реклама

1
Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.^[5]
- Например: $f(x)=2x^{2}-4x+1$ .
2

Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна $f^{{prime }}(x)=2ax+b$ .^[6]
3

Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере:^[7]
4

Найдите «x». С помощью математических операций изолируйте «x», чтобы найти значение этой переменной, когда производная равна нулю. Так вы вычислите координату «x» вершины параболы, в которой находится ее максимум или минимум.^[8]
5
6

Запишите ответ. Вы вычислили максимум или минимум функции. В нашем примере $f(x)=2x^{2}-4x+1$ координаты вершины равны . Коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх. Следовательно, минимальное значение функции – это координата «у» вершины, которая равна .^[10]

Реклама