Как найти максимальное значение угла

Тангенс

Тангенс – одна из тригонометрических функций. Как и для всех других функций, значение тангенса определяется для конкретного угла или числа (в этом случае используют числовую окружность.

Аргумент и значение тангенса

Аргументом тангенса может быть:
— как число или выражение с Пи: (1,3), (frac<π><4>), (π), (-frac<π><3>) и т.п.
— так и угол в градусах: (45^°), (360^°),(-800^°), (1^° ) и т.п.

Для обоих случаев тангенс вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).

Тангенс острого угла

Тангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

1) Пусть дан угол и нужно определить тагенс этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить тангенс.

Вычисление тангенса числа или любого угла

Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших (360°) тангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:

Пример. Вычислите (tg:0).
Решение: Чтобы найти тангенс нуля нужно найти сначала синус и косинус (0). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга :

Точка (0) на числовой окружности совпадает с (1) на оси косинусов, значит (cos:0=1). Если из точки (0) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси синусов, то мы попадем в точку (0), значит (sin:⁡0=0). Получается: (tg:0=) (frac) (=) (frac<0><1>) (=0).

Пример. Вычислите (tg:(-765^circ)).
Решение: (tg: (-765^circ)=) (frac)
Что бы вычислить синус и косинус (-765^°). Отложим (-765^°) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на (720^°) , а потом еще на (45^°).

Однако можно определять тангенс и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:

Прямая проходящая через начало отсчета на числовой окружности и параллельная оси ординат (синусов) называется осью тангенсов. Направление оси тангенсов и оси синусов совпадает.

Ось тангенсов – это фактически копия оси синусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси синусов.

Чтобы определить тангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу тангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси тангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси тангенсов.

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется (1).

Пример. Вычислите (tg: 45°) и (tg: (-240°)).
Решение:
Для угла (45°) ((∠KOA)) тангенс будет равен (1), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку (A), пересекает ось тангесов. А для угла (-240°) ((∠KOB)) тангенс равен (-sqrt<3>) (приблизительно (-1,73)).

Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.

В отличие от синуса и косинуса значение тангенса не ограничено и лежит в пределах от (-∞) до (+∞), то есть может быть любым.

При этом тангенс не определен для:
1) всех точек (A) (значение в Пи: …(-) (frac<7π><2>) ,(-) (frac<3π><2>) , (frac<π><2>) , (frac<5π><2>) , (frac<9π><2>) …; и значение в градусах: …(-630°),(-270°),(90°),(450°),(810°)…)
2) всех точек (B) (значение в Пи: …(-) (frac<9π><2>) ,(-) (frac<5π><2>) ,(-) (frac<π><2>) , (frac<3π><2>) , (frac<7π><2>) …; и значение в градусах: …(-810°),(-450°),(-90°),(270°)…) .

Так происходит потому, что прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось тангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках тангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений тангенс может быть найден).

Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с тангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ .

Знаки по четвертям

С помощью оси тангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак тангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.

Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение тангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение тангенса будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— котангенсом того же угла: формулой (ctg⁡:x=) (frac<1>)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что

Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит,

Ответ:

Пример 4.

Вычислить

Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что

Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что

Ответ:

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

Какой максимальный градус угла может быть? В тригонометрии есть углы любой величины, для которых существуют значения функций- синусы, тангенсы и прочие. Для этого существует окружность с подвижным радиус- вектором, который можно крутить против часовой, сколь угодно раз и находить значения функций, не забывая о знаках + или -. То есть , какой угол задашь, такой и будет, 2 пи*н, где н- любое число. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим fatal­ex [111K] 4 года назад  Не соглашусь, с ответившей выше, Юлия панно­чка [71.4K]: глядя на ваш тэг к этому вопросу «угол треугольника» становится понятно, что скорее всего имеется ввиду, таки, каков максимальный размер угла треугольника ( только почему это не написано в самом вопросе или дополнении к нему? ), а значит размер угла меньше 180°, ведь из школьной программы большинству из нас известно, что сумма углов треугольника равна 180°, а в треугольнике углов три. В общем, если, к примеру, два других угла треугольника будут равны всему 1°, то на третий угол останется 178° Впрочем, 1° это ведь не предел и два угла треугольника могут буть равны и половине градуса, и даже четверти или одной восьмой градуса, а значит третий угол может быть и 179°, и даже чуть больше, так что назвать размер самого большого угла, приближающегося к 180°, практически не возможно, так же, как и начертить треугольник с такими предельными углами, слишком уж он ( этот треугольник ) будет похож на прямую [поль­зоват­ель забло­киров­ан] [111K] 4 года назад  Максимальный градус угла? вы имеете ввиду угол геометрический? Насколько я помню геометрию — угол он и и в Африке — угол — даже в Кот Д Ивуар(к котам никакого отношения не имеет) — угол есть угол. А максимальная развертка угла есть 360 градусов — ну, хотелось бы больше, да некуда. Евген­ий трохо­в [56.6K] 4 года назад  Конечно,в тригонометрии какой- нибудь угол @=2πп,то есть можно получить любое значение такого угла,при п стремящиеся к бесконечности.Но это ,скорее, не реальный угол,а некая функция.В плоскости же максимальный реальный угол равен 2π=360°.Но существуют и другого рода углы,являющиеся реальными.Это — телесные углы. Телесный угол-часть пространства,которая является объединением всех лучей,выходящих из данной точки( вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность по границе данной поверхности.И его значение можно определить как отношение площади той части сферы,которая вырезается этим телесным углом к квадрату радиуса сферы. То есть W=S/R^2.Полный телесный угол,охватывающий всё пространство равен 4π стерадиан,что больше чем 2π.. Если брать только треугольник, сумма углов которого равна 180 градусам, то максимальный размер одного угла ограничен величиной 180 градусов минус малая бесконечность, если так можно выразиться. То есть, если предположить, что остальные два угла стремятся к нулю, совсем малой величине 0 целых, одна миллионная, миллиардная и ещё меньше градусов, то градус третьего угла будет максимально приближен к 180, но не дойдет до этой величины. Но это, конечно, самая простая геометрия. Знаете ответ?

0

Уравнение эллипса с центром в точке поворота $$ frac{(x-alpha)^2}{a^2}+frac{(y-beta)^2}{b^2}=1 $$ Уравнение эллипса с после поворота $$ frac{(x-beta)^2}{b^2}+frac{(pm y-alpha)^2}{a^2}=1 $$ Сложили оба уравнения $$ left(frac{1}{a^2} +frac{1}{b^2}right) ;x^2 + left(frac{1}{a^2} +frac{1}{b^2}right) ;y^2 + Ax+By=C $$ и получили, что если система имеет решение, то все точки расположены на окружности Интересно, что это верно для любых двух эллипсов с ортогональными осями, пересекающихся в 4-х точках. И вообще для любой пары конических сечений с перпендикурярными осями, пересекающихся в 4-х точках, эти 4 точки лежат на одной окружности. @all_exist т.е., если все точки лежат на окружности, то четырехугольник является описанным, а из этого следует, что сумма противолежащих углов равна 180 градусов. Значит, угол ADC = 180 — ABC? Тогда как трактовать условие на «максимальное значение угла»? @Michael_Scof…, это известный прикол такого рода задач… искомое значение единственно… оно же максимальное (и минимальное)…