Как найти максимальную амплитуду смещения

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями. Например, в случае механических гармонических колебаний:. В этих формулах ω – частота колебания, xm – амплитуда колебания, φ0 и φ0’ – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ0’ = φ0 +π/2 полностью совпадают.
Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0  смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=хm, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0=0.
Выражение, стоящее под знаком cos или sin, наз. фазой колебания: . Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.
Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.
Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени
Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на π/2.
Величина  — максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).
Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: ,  а для случая нулевой начальной фазы  (см. график).
Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:  — вторая производная от координаты по времени. Тогда: . Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на π/2 и колебания смещения на π (говорят, что колебания происходят в противофазе).
Величина  — максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: , а для случая нулевой начальной фазы:  (см. график).
Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).
Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:    и    .
Можно записать:  — т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.
Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний в виде: , где T – период колебания. Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Например, если надо найти смещение через 1/8 периода, получим: . Аналогично для скорости и ускорения.

Источник: https://www.eduspb.com/node/1780

Амплитуда колебаний — определение, характеристика и формулы

Амплитуда колебаний – это максимальное значение отклонения от нулевой точки. В физике данный процесс анализируется в разных разделах. 

Он изучается при механических, звуковых и электромагнитных колебаниях. В перечисленных случаях амплитуда измеряется по-разному и по своим законам.

Амплитуда колебаний

Амплитудой колебания называют максимальную отдаленную точку нахождения тела от положения равновесия. В физике она обозначается буквой А и измеряется в метрах. 

За амплитудой можно наблюдать на простом примере пружинного маятника.

 

• В идеальном случае, когда игнорируется сопротивление воздушного пространства и трение пружинного устройства, устройство будет колебаться бесконечно. Описание движения выполняется с помощью функций cos и sin:
• x(t) = A * cos(ωt + φ0) или x(t) = A * sin(ωt + φ0),
• где 

• величина А – это амплитуда свободных движений груза на пружине;
• (ωt + φ0) – это фаза свободных колебаний, где ω — это циклическая частота, а φ0 – это начальная фаза, когда t = 0. 

В физике указанную формулу называют уравнением гармонических колебаний. Данное уравнение полностью раскрывает процесс, где маятник движется с определенной амплитудой, периодом и частотой. 

Период колебаний

1. Результаты лабораторных опытов показывают, что циклический период движения груза на пружине напрямую зависит от массы маятника и жесткости пружины, но не зависит от амплитуды движения.
2. В физике период обозначают буквой Т и описывают формулами:

Исходя из формул, период колебаний – это механические движения, повторяющиеся через определенный промежуток времени. Простыми словами периодом называют одно полное движение груза.

Частота колебаний

Под частотой колебаний следует понимать количество повторений движения маятника или прохождения волны. В разных разделах физики частота обозначается буквами ν, f или F. 

• Данная величина описывается выражением:
• v = n/t – количество колебаний за промежуток времени,
• где 

• n – это единица колебаний;
• t – отрезок времени.

В Международной системе измерений частоту измеряют в Гц (Герцах). Она относится к точным измеряемым составляющим колебательного процесса. 

Например, наукой установлена частота вращения Солнца вокруг центра Вселенной. Она равна -1035 Гц при одинаковой скорости.

Циклическая частота

В физике циклическая и круговая частота имеют одинаковое значение. Данная величина еще называется угловой частотой. 

1. Обозначают ее буквой омега. Она равна числу собственных колебательных движений тела за 2π секунд времени:
2. ω = 2π/T = 2πν.

Данная величина нашла свое применение в радиотехнике и, исходя из математического расчета, имеет скалярную характеристику. Ее измерения проводят в радианах на секунду. С ее помощью значительно упрощаются расчеты процессов в радиотехнике. 

• Например, резонансное значение угловой частоты колебательного контура рассчитывают по формуле:
• WLC = 1/LC.
• Тогда как обычная циклическая резонансная частота выражается:
• VLC = 1/2π*√ LC.

В электрике под угловой частотой следует понимать число полных трансформаций ЭДС или число оборотов радиуса – вектора. Здесь ее обозначают буквой f.

Для определения на графике составляющих колебательного механического процесса или, например, колебания температуры, нужно разобраться в терминах этого процесса. 

К ним относят:

• расстояние испытываемого объекта от исходной точки – называют смещением и обозначают х;
• наибольшее отклонение – амплитуда смещения А;
• фаза колебания – определяет состояние колебательной системы в любой момент времени;
• начальная фаза колебательного процесса – когда t = 0, то φ = φ0.

Из графика видно, что значение синуса и косинуса может меняться от -1 до +1. Значит, смещение х может быть равно –А и +А. Движение от –А до +А называют полным колебанием.

Построенный график четко показывает период и частоту колебаний. Стоить отметить, что фаза не воздействует на форму кривой, а только влияет на ее положение в заданный промежуток времени.

Источник: https://nauka.club/fizika/amplituda-kolebaniy.html

Гармонические колебания

Определение 1

Техника и окружающий мир являются примерами того, что существуют такие процессы, которые повторяются через определенные промежутки времени, то есть периодически. Их называют колебательными.

Такие движения относят к явлениям с разной физической природой с подчинением общим закономерностям. Запись колебания тока в электрической цепи и математического маятника производится одним и тем же уравнением. Различная природа колебательных движений позволяет рассматривать их с единой точки зрения, исходя из общности закономерностей.

Определение 2

Механические колебания – это периодические или непериодические изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение и так далее).

Когда в заданной среде атомы располагаются очень близко или молекулы испытывают силовое воздействие, наблюдается возбуждение механических колебаний. Это говорит о том, что процесс будет иметь конечную скорость, зависящую от свойств среды, которая распространяется от точки к точке. Так возникают механические волны. Явный пример – звуковые волны в воздухе.

Волновые процессы и колебания разной природы имеют много общего, а их распространение может быть описано аналогичными математическими уравнениями. Это подтверждает единство материального мира.

Гармонические колебания. Определение

В механике предусмотрено движение поступательно, вращательно и с наличием колебаний.

Определение 3

Механические колебания – это движения тел, которые повторяются точно или приблизительно за определенные одинаковые временные промежутки.

Функция x=f(t) объясняет закон движения тела с наличием колебаний. При графическом изображении дается представление о протекании колебательного процесса во времени. Рисунок 2.1.1 наглядно показывает принцип простых колебательных систем груза на пружине или математического маятника.

Рисунок 2.1.1. Механические колебательные системы.

Механические колебания подразделяют на свободные и вынужденные.

Определение 4

Действия внутренних сил системы после выведения из равновесия порождают свободные колебания. Примером могут служить колебания груза на пружине или маятника. Если их действие происходит под воздействием внешних сил, тогда их называют вынужденными.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются уравнением x=xmcos (ωt+φ0), где x– смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, ω– циклическая или круговая частота, t – время.

Величина, располагаемая под знаком косинуса, получила название фазы гармонического процесса: φ=ωt+φ0. Если t=0, φ=φ0, тогда φ0 рассматривается в качестве начальной фазы.

Период колебаний Т – это минимальный промежуток времени, через который происходят повторения движения тела. Величина, обратная периоду колебаний, называют частотой колебаний f=1T.

Частота гармонических колебаний показывает их количество, совершаемое за единицу времени, измеряемая в герцах (Г). Связь с циклической частотой ω и периодом T выражается с помощью формулы:

ω=2πf=2πT.

Рисунок 2.1.2 показывает гармонические колебания тел с разными положениями тел. Данный эксперимент наблюдается в специальных условиях при наличии периодических вспышек освещения, называемого стробоскопическим. Для изображения векторов скорости тела в разные моменты времени используют стрелки.

Рисунок 2.1.2. Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ0=0. Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T12.

На графике 2.1.3. показаны изменения, происходящие во время гармонического процесса, при изменении амплитуды колебаний xm, или периода Т (частоты f), или начальной фазы φ0.

Рисунок 2.1.3. Во всех трех случаях для синих кривых φ0=0: a – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой (x’m>xm); b – красная кривая отличается от синей только значением периода (T’=T2); с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы  φ0’=-π2 рад.

Гармонический закон

Если колебания совершаются вдоль прямой Ох, тогда направление вектора скорости аналогично. Определение скорости движения тела υ=υx определяют из выражения υ=∆x∆t; ∆t→0.

Отношение ∆x∆t при ∆t→0 математика трактует как вычисление производной функции x(t) за определенное время t. Обозначение принимает вид dx (t)dt, x'(t) или x˙.

Гармонический закон движения записывается в качестве x=xmcos (ωt+φ0). После вычисления производной формула приобретает вид:

υ=x˙(t)=-ωxmsin (ωt+φ0)=ωxmcos ωt+φ0+π2.

Слагаемое +π2 считают изменением начальной фазы. Достижение максимального значения скорости по модулю υ=ωxmпроизводится при прохождении тела через положение равновесия, то есть x=0. Аналогично определяют ускорение a=ax. Тогда a=∆υ∆t, ∆t→0. Отсюда следует, что a равняется производной функции υ(t) за время t или второй производной функции x(t). Подставив выражения, получим

a=υ˙(t)=x¨(t)=-ω2xmcos (ωt+φ0)=-ω2x(t).

Наличие отрицательного знака указывает на то, что ускорение a(t) имеет противоположный смещению x(t) знак. Исходя из второго закона Ньютона, сила, которая заставляет совершать колебательные движения, направляется в сторону положения равновесия x=0.

На рисунке 2.1.4 изображены графики, где имеются зависимости скорости, ускорения, совершающие гармонические колебания.

Рисунок 2.1.4. Графики координаты x (t), скорости υ (t) и ускорения a (t) тела, совершающего гармонические колебания.

Рисунок 2.1.5. Модель гармонических колебаний.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/fizika/mehanicheskie-kolebanija/garmonicheskie-kolebanija/

Механические колебания

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

Гармонические колебания

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

• Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:
• (1)
• Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

1. (2)
2. (3)
3. Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).
4. В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):
5. .

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

.

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

.

График колебаний представлен на рис. 3.

Уравнение гармонических колебаний

• Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:
• . (4)
• Теперь дифференцируем полученное равенство (4):
• . (5)
• Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :
• . (6)
• Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:
• . (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением.

Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

. (8)

Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

1. Тогда соотношение (8) принимает вид:
2. или
3. .
4. Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором
5. .
6. Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:
7. . (9)
8. Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:
9. . (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

Математический маятник

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

• Запишем для маятника второй закон Ньютона:
• ,
• и спроектируем его на ось :
• .

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:

.

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

1. .
2. Итак, при любом положении маятника имеем:
3. . (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

• ,
• или
• .
• Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором
• .
• Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:
• . (12)
• Отсюда период колебаний математического маятника:
• . (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

Свободные и вынужденные колебания

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

1. Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).
2. Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:
3. .

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний.

Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими.

Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний.

Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе.

При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .

Источник: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/fizika/mexanicheskie-kolebaniya/

§12. Гармоническое колебательное движение и волны

Решебник Волькенштейн В.С. (1985) — Задача 12. 16

Уравнение колебаний материальной точки массой m = 10 г имеет вид x = 5sin(π/5·t+π/4) см. Найти максимальную силу Fmax, действующую на точку, и полную энергию W колеблющейся точки.

Решебник Волькенштейн В.С. (1985) — Задача 12. 15

Уравнение колебания материальной точки массой m = 16 г имеет вид х = 0,1sin(π/8 · t+π/4). Построить график зависимости от времени t (в пределах одного периода) силы F, действующей на точку. Найти максимальную силу Fmax.

Решебник Волькенштейн В.С. (1985) — Задача 12. 14

Начальная фаза гармонического колебания φ = 0 . При смещении точки от положения равновесия х1 = 2,4 см скорость точки v1 = 3 см/с, а при смещении x2 = 2,8 см ее скорость v2 = 2 см/с. Найти амплитуду А и период Т этого колебания.

Решебник Волькенштейн В.С. (1985) — Задача 12. 13

Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки amах = 49,3 см/с2, период колебаний T = 2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени х0 = 25 мм.

Решебник Волькенштейн В.С. (1985) — Задача 12. 12

Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний Т = 2 с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза φ = 0.Найти скорость v точки в момент времени, когда смешение точки от положения равновесия х = 25 мм.

Решебник Волькенштейн В.С. (1985) — Задача 12. 11

Уравнение движения точки дано в виде x = sinπ/6·t. Найти моменты времени t, в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.

Решебник Волькенштейн В.С. (1985) — Задача 12. 10

Уравнение движения точки дано в виде х = 2sin(π/2·t+π/4).Найти период колебаний T, максимальную скорость vmах и максимальное ускорение amаx точки.

Решебник Волькенштейн В.С. (1985) — Задача 12. 9

Амплитуда гармонического колебания A = 5 см, период T = 4 с. Найти максимальную скорость vmax колеблющейся точки и ее максимальное ускорение amах.

Решебник Волькенштейн В.С. (1985) — Задача 12. 8

Через какое время от начала движения точка, совершающая колебательное движение по уравнению х = 7sinπ/2·t, проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?

Решебник Волькенштейн В.С. (1985) — Задача 12. 7

Начальная фаза гармонического колебания φ = 0. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

Источник: https://zzapomni.com/paragrafy/ss12-garmonicheskoe-kolebatelnoe-dvizhenie-i-volny?page=5

смещение положения равновесия точки

смещение положения равновесия точки

Задача 40713

Написать уравнение синусоидального гармонического колебания, если амплитуда скорости 63 см/с, период колебаний 1 с, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени равно нулю. Найти амплитуду ускорения, частоту колебаний.

Задача 40738

Написать уравнение гармонического колебания, совершаемого по закону косинуса, если амплитуда ускорения 50 см/с2, частота колебаний 50 Гц, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм. Найти амплитуду скорости.

Задача 40739

Написать уравнение гармонического колебания, совершаемого по закону косинуса, если амплитуда ускорения 50 м/с2, частота колебаний 50 Гц, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 0,25 мм. Найти амплитуду скорости.

Задача 26216

Написать уравнение гармонических колебаний с амплитудой 50мм, периодом 4с и начальной фазой П/4. Найти смещение точки от положения равновесия при t = 0 и t = 1,5 с.

Задача 26560

Уравнение незатухающих колебаний дано в виде: У = 4 ·10–2cos6πt, м. Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 75 см от источника колебаний через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 340 м/с.

Задача 11103

Напишите уравнение гармонического колебания, если амплитуда скорости vm = 63 см/с, период колебаний Т = 1 с, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени равно нулю. Найдите амплитуду ускорения и частоту колебаний. Постройте график зависимости смещения от времени.

Задача 12666

На каком ближайшем расстоянии от источника колебаний с периодом 45 мс через время, равное половине периода после включения источника смещение точки от положения равновесия равно половине амплитуды? Скорость распространения колебаний равна 158 м/с. Считать, что в момент включения источника все точки находятся в положении равновесия.

Задача 14576

Уравнение незатухающих колебаний х = 4sin(600πt) см. Найти смещение x от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, для момента времени t = 0,01с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний v = 300 м/с.

Задача 14932

Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси Y. Амплитуда волны А = 0,05 м. Считая, что в начальный момент времени смещение точки Р, находящейся в источнике, максимально, определить смещение от положения равновесия точки М, находящейся на расстоянии у = λ/2 от источника колебаний в момент времени t = T/6.

Задача 15330

Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент времени Т/6 равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

Задача 17372

Начальная фаза гармонического колебания ψ = 0. При смещении точки от положения равновесия х1 = 2,4 см скорость точки v1 = 3 см/с, а при смещении х2 = 2,8 см ее скорость v2 = 2 см/с. Найти амплитуду А и период Т этого колебания.

Задача 19324

На каком расстоянии от источника колебаний, совершаемых по закону синуса, в момент времени t = T/2 смещение точки от положения равновесия равно половине амплитуды? Скорость распространения колебаний 340 м/с. Период колебаний 10–3 с.

Задача 19326

Источник плоских волн совершает колебания по закону x = A cos ωt. Через четверть периода после начала колебаний смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника, равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

Задача 19327

Источник плоских волн совершает колебания по закону x = A cos ωt. Какова амплитуда колебаний, если смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника на расстоянии λ/12 для момента времени T/4, равно 0,025 м?

Задача 20380

Определить начальную фазу колебаний, которые происходят по закону косинуса, если максимальная скорость равна 16 см/с, период колебаний 1,4 с, а смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени составляет 2,84 см.

Источник: http://reshenie-zadach.com.ua/fizika/1/smeshhenie_polozheniya_ravnovesiya_tochki.php

Амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых колебаний

• Синфазные колебания усиливают друг друга!
• Интересно, что энергия суммарного колебательного движения, пропорциональная квадрату амплитуды, не равна сумме энергий каждого колебания по отдельности, ибо

• 2 Пусть j01 — j02 = (2k -1)p, где k = 0, 1, 2,… В этом случае говорят, что колебания происходят в противофазе. Векторная диаграмма выглядит следующим образом

• Если А1 > А2, то результирующее колебание происходит синфазно с первым колебанием. Но амплитуда результирующего колебания уменьшилась:

В этом случае говорят, что колебания ослабляют друг друга. Очевидно, что при А1 = А2 результирующая амплитуда вообще будет равной нулю. Это означает, что тело не будет двигаться вообще. Колебания погасили друг друга.

3 Во всех остальных случаях, когда колебания не будут синфазными или противофазными, мы будем видеть колебания с амплитудой, большей , но меньшей, чем .

Полученные результаты имеют бесчисленное множество применений. Забегая вперед, скажем, что если, например, в определенном месте пространства происходят звуковые колебания под действием двух источников, то результирующая громкость звука может оказаться меньше, чем громкость, создаваемая каждым источником в отдельности.

Если звуки, создаваемые каждым источником в отдельности, имеют одинаковую интенсивность, то при подходящих условиях эти звуки гасят друг друга, и можно сказать, что «звук + звук = молчание».

Возможны также условия, когда два пучка света, падающие на экран, дают не большую, а меньшую освещенность, чем каждый пучок в отдельности; возможен даже случай, когда «свет + свет = темнота». Но об этом позже…

§ 2 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим сначала случай, когда материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, имеющих одну частоту. Проблема заключается в определении траектории точки, которую мы будем в этом случае наблюдать.

Пусть одно колебание происходит по оси ОХ, другое – по OY .

Понятно, что точка описывает плоскую траекторию и уравнения и можно рассматривать как уравнение этой траектории в параметрической форме. Нетрудно видеть, что это — уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сторонами . Ориентация главных осей эллипса зависит от сдвига фаз . На рисунке показаны частные случаи таких эллипсов:

1. Нетрудно показать, то при сдвиге фаз эллипс вырождается в прямую на рисунке б:
2. Мы будем видеть колебательное движение точки вдоль прямой, проходящей через начало координат, с амплитудой .
3. При получаем траекторию на рисунке в:
4. Траекторией будет эллипс, у которого главные оси совпадают с осями координат так, как показано на рисунке г , если
5. Покажем это
6. Разделив обе части каждого уравнения на А и В соответственно, получаем
7. Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим почленно:

Сдвиг по фазе определит в этом случае направление движения точки. Оно будет происходить по часовой стрелке, если , и против часовой стрелки, если .

• Если амплитуды колебаний по осям ОХ и OY будут равны А = В, то эллипс преобразуется в окружность радиуса А = В:
• Важно заметить, что любое равномерное движение по окружности радиуса А с угловой скоростью может быть разложено на два взаимно перпендикулярных гармонических колебания с частотой .
• Движение по эллипсу тоже может быть разложено на два взаимно перпендикулярных колебания.

Более сложной получается траектория точки, совершающей колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, если частоты колебаний не равны. В частности, если частоты относятся как целые числа, траектория оказывается замкнутой линией. Такая траектория называются фигурой Лиссажу. Ниже приведены примеры фигур Лиссажу для некоторых значений и .

1. §3 Сложение колебаний с близкими частотами, происходящими вдоль одной прямой
2. Рассмотрим случай сложения двух колебаний одного направления и одинаковой амплитуды, частоты которых и очень мало отличаются друг от друга (

Источник: https://megaobuchalka.ru/5/47822.html

Амплитуда максимальна, если

или

(13)

Итак,
при L
— x
равном нулю или целому числу полуволн,
амплитуда результирующей волны равна
нулю, при L
— x
равном нечетному числу
— амплитуда максимальна. Такая волна
является стоячей волной. Точки с
максимальной амплитудой смещения —
пучности смещения , точки с амплитудой
равной нулю — узлы смещения.

Стоячая
волна, есть волна со стационарным
распределением амплитуды по длине
трубы. В случае плоской бегущей волны,
разные слои колеблются с одинаковой
амплитудой, но в различных фазах. В
тоячей волне все слои в пределах между
соседними узлами колеблются в одинаковой
фазе, но с разными амплитудами. Чтобы
изобразить распределение амплитуд
смещений стоячей волны вдоль трубы,
удобнее откладывать амплитуды смещений,
соответствующие каждому слою, в
перпендикулярном к трубе направлении
(смещения происходят вдоль трубы).

Построенная
таким образом картина для некоторого
момента времени изображена на рис.4.

Рис.4

Таким
образом, если интерферируют только две
волны, то стоячая волна возникает при
любых
.

Дифференцируя
уравнение (10) один и второй раз по времени,
можно получить уравнения стоячих волн,
колебательной скорости и колебательного
ускорения, фазы которых будут отличаться
от фазы волн смещений. Однако, такое
дифференцирование не меняет синуса,
характеризующего пространственное
распределение амплитуд. Поэтому пучности
и узлы смещений будут совпадать с
пучностями и узлами колебательной
скорости и колебательного ускорения.

Дифференцируя
уравнение (10) по х и подставляя результат
в уравнение для акустического давления

,

получим уравнение
стоячей волны

(14)

Распределение
амплитуд акустического давления по
длине трубы теперь определяет косинус.
Поэтому пучности давления будут совпадать
с узлами смещений, а узлы давления — с
пучностями смещений (рис.5).

Координаты
лучностей давления: (L
— x) = n.
Координаты узлов давления: (L
— x) = (2 n + 1).

Рис.5

Отметим,
что в слое газа у отражателя возникает
пучность давления,
а значит и пучность силы, действующей
на отражатель.

В стоячей волне
рассмотренного типа перенос энергии
волной 1 от излучателя (см. рис.2)
компенсируется переносом энергии волной
2 от отражателя. Поэтому, в отличие от
бегущей волны, перенос энергии стоячей
волной вдоль трубы равен нулю. Происходит
переход только кинетической энергии,
которая максимальна, когда все слои
одновременно проходят равновесные
положения, в потенциальную и обратно.
Последняя имеет наибольшее значение,
когда слои достигают своих максимальных
смещений от равновесных положений.

Напомним, что
рассмотренный случай стоячих волн имеет
место при учете только первой и второй
волн.

Реальные
стоячие волны возникают при наложении
излучаемой волны и волн, отразившихся
от отражателя и излучателя (см. рис.2).
Введем дополнительно в рассмотрение
волну 3. Коэффициент отражения примем
равным единице, изменение фазы при
отражении равным .

(15)

Если
волна 3 будет синфазна волне 1 (отличие
фаз равна 2n),
то волна 4 окажется синфазной волне 2.
Интерференция волн 3 и 4 приведет к точно
такой же стоячей волне вдоль трубы, как
и наложение волн 1 и 2. Это справедливо
и для волн 5 и 6, 7 и 8 и т.д.

Найдем условие,
при котором стоячие волны, образованные
из волн 3 и 4, 5 и 6 и т.д. усилят стоячую
волну, полученную при интерференции
первой и второй волн.

или

(16)

Таким
образом, если не предпринять специальных
мер по устранению отражений от излучателя,
то стоячие волны возникают при дискретных
значениях L,
а именно при L,
кратных
.

Частоты,
соответствующие этим значениям L,
носят название собственных (резонансных)
частот колебаний воздушного столба

.
(17)

Амплитуда
в пучностях такой волны теоретически
с течением времени стремится к
бесконечности. Реально она всегда
конечна. Это обусловлено переходом
энергии волны в энергию хаотического
теплового движения, а также излучением
поверхностью трубы и поршнями звука в
окружающее пространство.

Экспериментально
в данной работе измеряются резонансные
частоты, для которых на длине воздушного
столба в трубе укладывается 1, 2, 3, 4, 5 и
т.д. полудлин волн звука.

;

;……...

Скорость звука
находится по формуле:

.
(18)

Для
вычислений необходимо знать L
и n.
Длину резонансной трубы измеряют
линейкой. Порядок резонанса n
определяют, увеличивая плавно частоту
от нуля и считая резонансы по максимумам
сигнала на приемном преобразователе
(отражателе).

В
лабораторной установке излучателем
звука является телефон, на который
подается переменное электрическое
напряжение от генератора. Отражатель,
он же приемник звуковых волн, также
телефон. Смещение мембраны телефона
пропорционально силе (давлению). Поэтому
телефон является датчиком акустического
давления (а не смещения, колебательной
скорости или колебательного ускорения).

При
возникновении стоячей волны (резонанса)
мембрана телефона-датчика (отражателя)
оказывается в пучности давления и
сигнал, полученный от него максисмален.

Блок-схема установки
приведена на рис.6, где 1 — генератор
переменного электрического напряжения
ГЗ-1; 2 — излучатель звука; 3 — труба; 4 —
отражатель (приемник звука); 5 — визуальный
регистр сигнала на приемнике звука.

Рис.6