Как найти максимальную кинетическую энергию электрона

Условие задачи:

Найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цезия фиолетовым светом с длиной волны 410 нм.

Задача №11.2.13 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(lambda = 410) нм, (E_к-?)

Решение задачи:

Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта энергия поглощенного кванта (hnu) идет на совершение работы выхода (A_{вых}) и на сообщение кинетической энергии вылетевшему электрону (E_к). Поэтому:

[hnu = {A_{вых}} + {E_к};;;;(1)]

Работа выхода электрона (A_{вых}) из цезия – это табличная величина, равная 2 эВ.

В этой формуле (h) – это постоянная Планка, равная 6,62·10^-34 Дж·с.

Частоту колебаний (nu) можно выразить через скорость света (c), которая равна 3·10⁸ м/с, и длину волны (lambda) по следующей формуле:

[nu = frac{c}{lambda};;;;(2)]

Подставим выражение (2) в формулу (1), тогда:

[frac{{hc}}{lambda } = {A_{вых}} + {E_к}]

Откуда искомая максимальная кинетическая энергия электронов (E_к) равна (приведем под общий знаменатель):

[{E_к} = frac{{hc}}{lambda } – {A_{вых}}]

[{E_к} = frac{{hc – {A_{вых}}lambda }}{lambda }]

Посчитаем численный ответ (напоминаем, что 1 эВ = 1,6·10^-19 Дж):

[{E_к} = frac{{6,62 cdot {{10}^{ – 34}} cdot 3 cdot {{10}^8} – 2 cdot 1,6 cdot {{10}^{ – 19}} cdot 410 cdot {{10}^{ – 9}}}}{{410 cdot {{10}^{ – 9}}}} = 1,64 cdot {10^{ – 19}};Дж = 1,03;эВ]

Ответ: 1,03 эВ.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

11.2.12 Определить максимальную кинетическую энергию электронов, вылетающих из калия
11.2.14 Максимальная кинетическая энергия электронов, вырываемых с поверхности цезия
11.2.15 Какой частоты свет следует направить на поверхность калия, чтобы максимальная скорость

Физик-теоретик Альберт Эйнштейн был удостоен Нобелевской премии за раскрытие тайны кинетической энергии фотоэлектронов. Его объяснение перевернуло физику с ног на голову. Он обнаружил, что энергия, переносимая светом, не зависит от его интенсивности или яркости — по крайней мере, не так, как понимали физики того времени. Созданное им уравнение простое. Вы можете продублировать работу Эйнштейна всего за несколько шагов.

Определите длину волны падающего света. Фотоэлектроны выбрасываются из материала, когда свет падает на поверхность. Различные длины волн приводят к разной максимальной кинетической энергии.

Например, вы можете выбрать длину волны 415 нанометров (нанометр равен одной миллиардной части метра).

Рассчитайте частоту света. Частота волны равна ее скорости, деленной на длину волны. Для света скорость составляет 300 миллионов метров в секунду, или 3 x 10 ^ 8 метров в секунду.

Для примера задачи скорость, деленная на длину волны, составляет 3 x 10 ^ 8/415 x 10 ^ -9 = 7, 23 x 10 ^ 14 Гц.



••• Комсток / Комсток / Getty Images

Рассчитайте энергию света. Большой прорыв Эйнштейна заключался в том, что свет пришел в виде крошечных энергетических пакетов; энергия этих пакетов была пропорциональна частоте. Константа пропорциональности — это число, называемое постоянной Планка, которая составляет 4, 136 x 10 ^ -15 эВ-секунд. Таким образом, энергия светового пакета равна постоянной Планка х частоте.

Энергия световых квантов для примера задачи составляет (4, 136 х 10 ^ -15) х (7, 23 х 10 ^ 14) = 2, 99 эВ.

Посмотрите на работу функции материала. Работа выхода — это количество энергии, необходимое для отрыва электрона от поверхности материала.

Например, выберите натрий, у которого рабочая функция составляет 2, 75 эВ.

Рассчитайте избыточную энергию, переносимую светом. Эта величина является максимально возможной кинетической энергией фотоэлектрона. Уравнение, которое определил Эйнштейн, говорит (максимальная кинетическая энергия электрона) = (энергия падающего пакета энергии света) минус (работа выхода).

Например, максимальная кинетическая энергия электрона составляет: 2, 99 эВ — 2, 75 эВ = 0, 24 эВ.

подсказки

• Работа выхода для большинства материалов достаточно велика, чтобы свет, необходимый для генерации фотоэлектронов, находился в ультрафиолетовой области электромагнитного спектра.

Фотоэффект: кинетическая энергия электронов

В этой статье мы вычислим как работу выхода, так и кинетическую энергию электронов, определим их скорость и импульс.

Задача 1.

Максимальная кинетическая энергия электронов, вылетающих из рубидия при его освещении ультрафиолетовыми лучами с длиной волны м‚ Дж. Определить работу выхода электронов из рубидия и красную границу фотоэффекта.

Определим работу выхода:

В электронвольтах это

Красная граница фотоэффекта:

Ответ: Дж, или 2,14 эВ, нм.

Задача 2.

Серебряную пластинку освещают светом с частотой Гц.  Гц. Найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов.

Работа выхода электронов из серебра равна .

Тогда

Ответ: Дж, или 4 эВ.

Задача 3.

Вольфрамовую пластину освещают светом с длиной волны . Найти максимальный импульс вылетающих из пластины электронов.

Тогда скорость электронов равна

А импульс тогда равен (работа выхода для вольфрама )

Ответ: кг м/с.

Задача 4.

Пластину освещают монохроматическим излучением с длиной волны . Известно, что наибольшее значение импульса, передаваемого пластине одним фотоэлектроном, равно кгм/с. Определить работу выхода электрона из вещества пластины.

Импульс равен , поэтому

Ответ: Дж, или 3,6 эВ.

Задача 5.

Какой скоростью обладают электроны, вырванные с поверхности натрия, при облучении его светом, частота которого Гц? Определить наибольшую длину волны излучения, вызывающего фотоэффект.

Наибольшая длина волны – это красная граница фотоэффекта. Работа выхода для натрия равна . Поэтому

Теперь определим скорость электронов:

Тогда скорость электронов равна

Ответ: нм, м/с.

Задача 6.

Максимальная скорость фотоэлектронов, вырванных с поверхности меди при фотоэффекте м /с. Определить частоту света, вызывающего фотоэффект.

Работа выхода для меди равна .

Ответ: Гц.

Задача 7.

На металлическую пластину, красная граница фотоэффекта для которой мкм, падает фотон с длиной волны мкм. Во сколько раз скорость фотона больше скорости фотоэлектрона?

Скорость фотоэлектрона равна

Скорость фотона – скорость света. Найдем отношение скоростей:

Ответ: в 642 раза.

2018-07-08   

Воспользовавшись формулой $dn = frac{ sqrt{2} m^{3/2} }{ pi^{2} h^{3} } sqrt{E}dE$, найти при $T = 0$:

а) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация равна $n$;

б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если известна их максимальная кинетическая энергия $T_{max}$.

Решение:

(a) Из формулы

$dn = frac{ sqrt{2} m^{3/2} }{ pi^{2} hbar^{3} } sqrt{E} dE$

максимальное значение $E_{max}$ из $E$ определяется в терминах $n$ на

$n = frac{ sqrt{2} m^{3/2} }{ pi^{2} hbar^{3} } int_{0}^{E_{max}} sqrt{E} dE = frac{ sqrt{2} m^{3/2} }{ pi^{2} hbar^{3} } frac{2}{3}E_{max}^{3/2}$

или $E_{max}^{3/2} = left ( frac{ hbar^{2} }{ 2m} right )^{3/2} (3 pi^{2} n )$

$E_{max} = frac{ hbar^{2} }{2m} (3 pi^{2} n )^{2/3}$

(б) Среднее значение кинетической энергии $langle E rangle$ является

$langle E rangle = frac{ int_{0}^{E_{max} } Edn}{ int_{0}^{E_{max} } dn } = frac{ int_{0}^{E_{max} } E^{3/2} dE}{ int_{0}^{E_{max} } sqrt{E} dE } = frac{ frac{2}{5} E_{max}^{5/2} }{ frac{2}{3} E_{max}^{3/2} } = frac{3}{5} E_{max}$

Начало теории электромагнитной природы света заложил Максвелл, который заметил сходство в скоростях распространения электромагнитных и световых волн. Но согласно электродинамической теории Максвелла любое тело, излучающее электромагнитные волны, должно в итоге остынуть до абсолютного нуля. В действительности этого не происходит. Противоречия между теорией и опытными наблюдениями были разрешены в начале XX века, вскоре после того, как был открыт фотоэффект.

Что такое фотоэффект

Фотоэффект — испускание электронов из вещества под действием падающего на него света.

Явление фотоэффекта было открыто в 1887 году Генрихом Герцем. Фотоэффект также был подробно изучен русским физиком Александром Столетовым в период с 1888 до 1890 годы. Этому явлению он посвятил 6 научных работ.

Для наблюдения фотоэффекта нужно провести опыт. Для этого понадобится электрометр и подсоединенная к нему пластинка из цинка (см. рисунок ниже). Если дать пластинке положительный заряд, то при ее освещении электрической дугой скорость разрядки электрометра не изменится. Но если цинковую пластинку зарядить отрицательно, то свет от дуги заставить электрометр разрядиться очень быстро.

Наблюдаемое во время этого эксперимента явление имеет простое объяснение. Свет вырывает электроны с поверхности цинковой пластинки. Если она имеет отрицательный заряд, электроны отталкиваются от нее, что приводит к полному разряжению электрометра. Причем при повышении интенсивности освещения скорость разрядки увеличивается, ровно, как и наоборот: при уменьшении интенсивности освещения электрометр разряжается медленно. Если же зарядить пластинку положительно, то электроны, которые вырываются светом, притягиваются к ней. Поэтому они оседают на ней, не изменяя заряд электрометра.

Если между световым пучком и отрицательно заряженной пластиной поставить лист стекла, пластинка перестанет терять электроны независимо от интенсивности излучения. Это связано с тем, что стекло задерживает ультрафиолетовое излучение. Отсюда можно сделать следующий вывод:

Явление фотоэффекта может вызвать только ультрафиолетовый участок спектра.

Волновая теория света не может объяснить, почему электроны могут вырываться только под действием ультрафиолета. Ведь даже при большой амплитуде и силе волн электроны остаются на месте, когда, казалось бы, они должны непременно быть вырванными.

Законы фотоэффекта

Чтобы получить более полное представление о фотоэффекте, выясним, от чего зависит количество электронов, вырванных светом с поверхности вещества, а также, от чего зависит их скорость, или кинетическая энергия. Выяснить все это нам помогут эксперименты.

Первый закон фотоэффекта

Возьмем стеклянный баллон и выкачаем из него воздух (смотрите рисунок выше). Затем поместим в него два электрода. На электроды подадим напряжение и будем регулировать его с помощью потенциометра и измерять при помощи вольтметра.

В верхней части нашего баллона есть небольшое кварцевое окошко, которое пропускает весь свет, в том числе ультрафиолетовый. Через него падает свет на один из электродов (в нашем случае на левый электрод, к которому присоединен отрицательный полюс батареи). Мы увидим, что под действием света этот электрод начнет испускать электроны, которые при движении в электрическом поле будут создавать электрический ток. Вырванные электроны будут направляться ко второму электроду. Но если напряжение небольшое, второго электрода достигнут не все электроны. Если интенсивность излучения сохранить, но увеличить между электродами разность потенциалов, то сила тока будет увеличиваться. Но как только она достигнет некоторого максимального значения, рост силы тока при дальнейшем увеличении напряжения прекратится. Максимальное значение силы тока будем называть током насыщения.

Ток насыщения — максимальное значение силы тока, также называемое предельным значением силы фототока.

Ток насыщения обозначается как Iн. Единица измерения — А (Кл/с). Численно величина равна отношению суммарному заряду вырванных электронов в единицу времени:

Iн=qt

Если же мы начнем изменять интенсивность излучения, то сможем заметить, что фототок насыщения также начинается меняться. Если интенсивность излучения ослабить, максимальное значение силы тока уменьшится. Если интенсивность светового потока увеличить, ток насыщения примет большее значение. Отсюда можно сделать вывод, который называют первым законом фотоэффекта.

Первый закон фотоэффекта:

Число электронов, вырываемых светом с поверхности металла за 1 с, прямо пропорционально поглощаемой за это время энергии световой волны. Иными словами, фототок насыщения прямо пропорционален падающему световому потоку Ф.

Второй закон фотоэффекта

Теперь произведем измерения кинетической энергии, то есть, скорости вырывания электронов. Взгляните на график, представленный ниже. Видно, что сила фототока выше нуля даже при нулевом напряжении. Это говорит о том, что даже при нулевой разности потенциалов часть электронов достигает второго электрода.

Если мы поменяем полярность батареи, то будем наблюдать уменьшение силы тока. Если подать на электроды некоторое значение напряжения, равное Uз, сила тока станет равно нулю. Это значит, что электрическое поле тормозит вырванные электроны, останавливает их, а затем возвращает на тот же электрод.

Напряжение, равное Uз, называют задерживающим напряжением. Оно зависит зависит от максимальной кинетической энергии электронов, которые вырываются под действием света. Измеряя задерживающее напряжение и применяя теорему о кинетической, можно найти максимальное значение кинетической энергии электронов. Оно будет равно:

mv22=eUз

Опыт показывает, что при изменении интенсивности света (плотности потока излучения) задерживающее напряжение не меняется. Значит, не меняется кинетическая энергия электронов. С точки зрения волновой теории света этот факт непонятен. Ведь чем больше интенсивность света, тем большие силы действуют на электроны со стороны электромагнитного поля световой волны и тем большая энергия, казалось бы, должна передаваться электронам. Но экспериментальным путем мы обнаруживаем, что кинетическая энергия вырываемых светом электронов зависит только от частоты света. Отсюда мы можем сделать вывод, являющийся вторым законом фотоэффекта.

Второй закон фотоэффекта:

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно растет с частотой света и не зависит от его интенсивности.

Причем, если частота света меньше определенной для данного вещества минимальной частоты ν_min, фотоэффект наблюдаться не будет.

Теория фотоэффекта

Все попытки объяснить явление фотоэффекта электродинамической теорией Максвелла, согласно которой свет — это электромагнитная волна, непрерывно распределенная в пространстве, оказались тщетными. Нельзя было понять, почему энергия фотоэлектронов определяется только частотой света и почему свет способен вырывать электроны лишь при достаточно малой длине волны.

В попытках объяснить это явление физик Макс Планк предложил, что атомы испускают электромагнитную энергию отдельными порциями — квантами, или фотонами. И энергия каждой порции прямо пропорциональна частоте излучения:

E=hν

h — коэффициент пропорциональности, который получил название постоянной Планка. Она равна 6,63∙10^–34 Дж∙с.

Пример №1. Определите энергию фотона, соответствующую длине волны λ = 5∙10^–7 м.

Энергия фотона равна:

E=hν

Выразим частоту фотона через скорость света:

ν=cλ

Следовательно:

Идею Планка продолжил развивать Эйнштейн, которому удалось дать объяснение фотоэффекту в 1905 году. В экспериментальных законах фотоэффекта Эйнштейн увидел убедительное доказательство того, что свет имеет прерывистую структуру и поглощается отдельными порциями. Причем энергия Е каждой порции излучения, по его расчетам, полностью соответствовала гипотезе Планка.

Из того, что свет излучается порциями, еще не вытекает вывода о прерывистости структуры самого света. Ведь и воду продают в бутылках, но отсюда не следует, что вода состоит из неделимых частиц. Лишь фотоэффект позволил доказать прерывистую структуру света: излученная порция световой энергии Е = hν сохраняет свою индивидуальность и в дальнейшем. Поглотиться может только вся порция целиком.

Кинетическую энергию фотоэлектрона можно найти, используя закон сохранения энергии. Энергия порции света hν идет на совершение работы выхода А и на сообщение электрону кинетической энергии. Отсюда:

hν=A+mv22

Работа выхода — минимальная энергия, которую надо сообщить электрону, чтобы он покинул металл.

Полученное выражение объясняет основные факты, касающиеся фотоэффекта. Интенсивность света, по Эйнштейну, пропорциональна числу квантов (порций) энергии hν в пучке света и поэтому определяет количество вырванных электронов. Скорость же электронов согласно зависит только от частоты света и работы выхода, которая определяется типом металла и состоянием его поверхности. От интенсивности освещения кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит.

Для каждого вещества фотоэффект наблюдается лишь при освещении его светом с минимальной частотой волны ν_min. Это объясняется тем, что для вырывания электрона без сообщения ему скорости нужно выполнять как минимум работу выхода. Поэтому энергия кванта должна быть больше этой работы:

hν>A

Предельную частоту ν_min называют красной границей фотоэффекта. При этой частоте фотоэффект уже наблюдается.

Красная граница фотоэффекта равна:

νmin=Ah

Минимальной частоте, при которой возможен фотоэффект для данного вещества, соответствует максимальная длина волны, которая также носит название красной границы фотоэффекта. Это такая длина волны, при которой фотоэффект еще наблюдается. Обозначается она как λ_mах или λ_кр.

Максимальная длина волны, при которой еще наблюдается фотоэффект, равна:

λmax=hcA

Работа выхода А определяется родом вещества. Поэтому и предельная частота v_min фотоэффекта (красная граница) для разных веществ различна. Отсюда вытекает еще один закон фотоэффекта.

Третий закон фотоэффекта:

Для каждого вещества существует максимальная длина волны, при которой фотоэффект еще наблюдается. При больших длинах волн фотоэффекта нет.

Вспомните опыт, который мы описали в самом начале. Когда между цинковой пластинкой и световым пучком мы поставили зеркало, фотоэффект был прекращен. Это связано с тем, что красная граница для цинка определяется величиной λ_mах = 3,7 ∙ 10^-7 м. Эта длина волны соответствует ультрафиолетовому излучению, которое не пропускало стекло.

Пример №2. Чему равна красная граница фотоэффекта ν_min, если работа выхода электрона из металла равна A = 3,3∙10^–19 Дж?

Применим формулу для вычисления красной границы фотоэффекта:

Алиса Никитина | Просмотров: 5.5k