Как найти максимальную мощность на реостате

Спрятать решение

Спрятать критерии

2020-04-04   

Источник тока с ЭДС $mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ замыкают на реостат. При каком сопротивлении реостата на нем будет выделяться максимальная мощность? Чему она равна?

Решение:

Мощность, выделяющаяся на реостате, выражается формулой

$P = I^{2}R = frac{ mathcal{E}^{2}}{(R + r)^{2} }R$.

Это выражение стремится к нулю как при $R rightarrow 0$, так и при $R rightarrow infty$. Значит, оно должно быть максимально при некотором $R$. Кто научился хорошо дифференцировать, может попробовать найти максимум этого выражения с помощью производной. Мы поступим иначе. Преобразуем выражение для мощности, разделив на $R$ числитель и знаменатель:

$P = frac{ mathcal{E}^{2}}{R + 2r + frac{r^{2} }{R}}$.

Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом следует, что минимум выражения $R + frac{r^{2}}{R}$, а значит максимум мощности, достигается при равенстве слагаемых, т.е. при

$R = r$.

Максимальная мощность при этом будет равна

$P_{max} = frac{ mathcal{E}^{2} }{4r}$.

Если бы мы не додумались до указанного преобразования, то могли бы пойти другим знакомым путем. Будем считать исследуемое выражение для $P(R)$ уравнением для $R$ при заданной $P$, тогда при $P = P_{max}$ это уравнение должно иметь одно решение, т.е. дискриминант должен обратиться в ноль. Проделайте вычисления самостоятельно и убедитесь, что получается правильный ответ. Мы же обозначим еще один подход к этой задаче.

Мощность во внешней цепи можно выразить не как функцию $R$, а как функцию силы тока $I$:

$P = mathcal{E} I — I^{2}r$

(мощность, переданная во внешнюю цепь, есть полная мощность источника минус тепловая мощность на внутреннем сопротивлении источника). Эта формула имеет даже более общий характер, чем формула $P(R)$, она применима при любой нагрузке внешней цепи. Зависимость $P(I)$ есть квадратичная функция с корнями $I_{1} = 0$ и $I_{2} = frac{ mathcal{E}}{r}$, имеющая при $I = frac{ mathcal{E}}{2r}$ максимальное значение $P_{max} = frac{ mathcal{E}^{2} }{4r}$.

Экстремальные задачи по физике практически отсутствуют в задачниках и мало извечтны большинству учащихся. Решение таких задач с физическим содержанием способствует углублению межпредметных связей физики и математики. Эти задачи физически интересны, их можно решать как с применением производной, так и методами элементарной математики. В данной работе показано применение разных способов решения для одной из таких задач, а именно для решения задачи из части С ЕГЭ (С4 демо,2010 г)

Скачать:

Вложение	Размер
ekstremalnaya_zadacha_chasti_s_ege.doc	389 КБ

Предварительный просмотр:

ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ЧАСТИ С ЕГЭ

Оркина Виктория Евгеньевна

Научный руководитель: Газизуллина А.Ф., учитель физики и информатики

МБОУ СОШ с. Райманово Туймазинского района

Экстремальные задачи по физике практически отсутствуют в задачниках и мало известны большинству учащихся. Решение таких задач с физическим содержанием способствует углублению межпредметных связей физики и математики. Эти задачи физически интересны, их можно решать как с применением производной, так и методами элементарной математики. В моей работе я показал применение этих способов решения для одной из таких задач, а именно для решения задачи из части С ЕГЭ (С4 Демо 2010г).

Цель работы: исследовать зависимость мощности тока в резисторе от сопротивления резистора.

1. математический расчёт

(рассмотрение математических приемов элементарного решения экстремальных задач );

2. построение графиков;

3. анализ полученных данных.

Задачи: рассмотреть способы решения задачи и выбрать наиболее простое решение сложных заданий части С.

Задача
Какую наибольшую полезную мощность тока Рмах может обеспечить источник с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r?

P= I*U = I*(ε – I*r) = ε *I – r*I² = ε²/4r – r*(I – ε/2r) ²

Значит, максимум мощности Рмах = ε²/4r при

Сравнивая с законом Ома ,

видим, что этот максимум достигается при R = r.

Рассмотрим равенство P = ε *I – r*I² как квадратное уравнение относительно I:

ε *I – r*I² + P = 0, откуда I1,2= ε±

Следовательно, Р≤ ε²/4r, т.е. Рмах = ε²/4r

При решении с помощью производной за независимую переменную проще выбрать ток I, а не внешнее сопротивление R.

По закону Ома для полной цепи, ток,

мощность, выделяемая во внешней цепи:

Дифференцируем P по R:

Найдем критические точки из условия

Имеем две критические точки R = — r и R = r. Но, так как R>0, то

R = -r не имеет смысла. Производная мощности меняет знак с

«+» на «-» в точке R = r, следовательно, R = r – точка минимума.

Таким образом, мощность максимальна, если R = r, т.е.

внутреннее сопротивление источника тока равно внешнему сопротивлению. Это означает, что применительно к задаче максимум мощности наблюдается при R = r.

Формула для мощности тока в резисторе:

Закон Ома для полной цепи:

Объединив две формулы, получим:

Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. ЭДС источника ε = 6 В, его внутреннее сопротивление r = 2 Ом. Сопротивление реостата можно изменять в пределах от 1 Ом до 5 Ом. Чему равна максимальная мощность тока, выделяемая на реостате?

ε = 6 В, r = 2 Ом, R = [1; 5] Ом

Согласно проведенному мной исследованию зависимости мощности тока в резисторе от сопротивления, мощность тока, выделяемая на реостате, максимальна при R= r=2 Ом.

Мощность определим по формуле:

Подставим числовые значения

Из графиков и таблицы следует, что при равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений мощность тока во внешней части цепи достигает максимальной величины. Эта зависимость проявляется как в первом, так и во втором опытах. (Приложение1) График зависимости мощности от сопротивления приведен в приложении 2. Действительно максимум мощности достигается при R=2 Ом.

В случае, когда проводник неподвижен и химических превращений в нем не происходит, то работа тока целиком расходуется на нагревание проводника. Количество теплоты, выделяющееся в проводнике за конечный промежуток времени при прохождении постоянного тока I, рассчитывается по формуле

. (2.7)

Формула (2.7) выражает закон Джоуля-Ленца для участка цепи постоянного тока: количество теплоты, выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи, равно произведению квадрата силы тока на время его прохождения и электрическое сопротивление этого участка цепи.

Так как IR = U, то формулу (2.7) можно переписать в виде

. (2.8)

Если сила тока изменяется со временем, то количество теплоты, выделяющееся за время t, вычисляется по формуле

. (2.9)

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме (для данной точки проводника с током) имеет вид

, (2.10)

где ω − плотность тепловой мощности; σ − удельная электропроводность; Е− напряженность электрического поля в данной точке проводника; Е * − напряженность поля сторонних сил.

Примеры решения задач

Задача 1. За время τ = 20 с при равномерно возраставшей силе тока от нуля до I_o в проводнике сопротивлением R = 5 Ом выделилось количество теплоты Q = 4 кДж. Найти I_o.

Io – ?	Решение: Так как ток равномерно возрастает, то зависимость силы тока от времени имеет вид . (1)
τ = 20 с R = 5 Ом Q = 4 кДж

По закону Джоуля-Ленца за время dt в проводнике выделится количество тепла

.

Полное количество тепла за время от 0 до τ

.

; .

Задача 2. При включении электромотора в сеть с напряжением U = 220 В он потребляет ток I = 5 А. Определить мощность, потребляемую мотором, и его КПД, если сопротивление обмотки мотора R = 6 Ом.

Pп – ? η – ?	Решение: Полная мощность, потребляемая мотором: , Р0 = 1100 Вт.
U = 220 В I = 5 А R = 6 Ом

Мощность, выделяющаяся в виде тепла:

.

Полезная мощность (механическая)

.

;

.

Задача 3. Источник тока с ЭДС замкнут на реостат. При силе тока I₁ = 0,2 А и I₂ = 2,4 А на реостате выделяется одинаковая мощность. Найти:

1) при какой силе тока на реостате выделяется максимальная мощность?

2) чему равна сила тока короткого замыкания?

где R₁ и R₂ – сопротивления реостата в каждом случае. По условию P₁ = P₂, поэтому

. (1)

По закону Ома для полной цепи

, (2)

. (3)

; ,

подставив их в (1), получаем:

.

Отсюда находим отношение :

;

.

Максимальная мощность выделяется при условии R = r, при этом ток

. (4)

Ток короткого замыкания

. (5)

; .

Задача 4. При изменении внешнего сопротивления с R₁ = 6 Ом до R₂ = 21 Ом. КПД схемы увеличился вдвое. Чему равно внутреннее сопротивление источника тока r ?

r − ?	Решение: При сопротивлении R1 КПД источника тока , а при сопротивлении R2
R1 = 6 Ом R2 = 21 Ом η2 = 2η1

.

Так как по условию задачи η₂=2η₁, то

.

Отсюда выражаем r:

;

.

Ответ: r = 14 Ом.

Задача 5. Две батареи с ЭДС ε₁ = 20 В и ε₂ = 30 В и внутренними сопротивлениями r₁ = 4 Ом и r₂ = 60 Ом соединены параллельно и подключены к нагрузке R = 100 Ом. Найти: 1) мощность, которая выделяется в нагрузке; 2) параметры ε и r генератора, которым можно заменить батареи без изменения тока в нагрузке; 3) КПД этого генератора.

P – ? ε, r – ? η – ?	Решение: Рис. 52
ε1 = 20 В ε2 = 30 В r1 = 4 Ом r2 = 60 Ом R = 100 Ом

Используя правила Кирхгофа, найдем токи I₁, I₂, I в узле A:

. (1)

Для контура a с обходом против часовой стрелки

. (2)

Для контура b с обходом против часовой стрелки

. (3)

Решим систему линейных уравнений (1) – (3) относительно I₁, I₂, I.

. (4)

. (5)

Умножая уравнение (2) на R, а уравнение (5) – на r₁, и складывая их, получаем:

. (6)

Подставляя (6) в выражение (2), находим I₁:

.

. (7)

Подставляя выражения (6) и (7) в (4), находим I:

. (8)

В нагрузке выделяется мощность:

;

.

Находим параметры генератора. Если данные в задаче батареи заменить на одну с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r, то через сопротивление R потек бы ток

. (9)

Преобразуем выражение (8), поделив числитель и знаменатель дроби на (r₁+r₂), получим

. (10)

Для того чтобы эти выражения были одинаковыми, необходимо выполнение условий:

;

;

.

КПД этого генератора в данной схеме

;

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9405 — | 7312 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Установите соответствие между графиками зависимости физических величин от сопротивления реостата и величинами, которые эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите выбранные цифры под соответствующими буквами.

Объект авторского права ООО «Легион»

Вместе с этой задачей также решают:

В идеальном колебательном контуре увеличили индуктивность катушки. Как при этом изменятся собственная частота колебаний в контуре и амплитуда колебаний силы тока в нём?

Установите соответствие между единицами измерения и физическими величинами.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите выбранн…

Пучок света переходит из воздуха в стекло. Частота световой волны ν, скорость света в воздухе c, показатель преломления стекла относительно воздуха n. Чему равны длина волны и скор…

На каком графике правильно изображена зависимость