Как найти максимальную площадь прямоугольного треугольника

I have been learning calculus from a tutor and I have been trying to solve a problem that he gave me. The problem is to find the maximum area of a right triangle with a constant perimeter $P$. To start solving this problem I wrote down the different equations for the area and perimeter of a right triangle.

$A=frac{a*b}{2}$ for area and $P= a+b+h$ for the perimeter.

I decided to first find a side length by substituting $sqrt{a^2+b^2}$ for $h$ and then solving for $a$ in the perimeter equation. Here are the steps I took… $$P=a+b+sqrt {a^2+b^2}$$

$$(P-a-b)^2=(sqrt{a^2+b^2})^2$$

$$P^2+2ab-2aP-2bP=0$$

$$2a(b-P)=2bP-P^2$$

$$a=(frac{1}2)(frac{2bP-P^2}{b-P})$$

Now that I have the equation for $a$, I’m uncertain about how to proceed. I know that I could also solve for side length $b$ and put the two side length equations in for $a$ and $b$ in the area equation and get …

$$A=frac{(frac{1}{2})(frac{2aP-P^2}{a-P})(frac{1}{2})(frac{2bP-P^2}{b-P})}{2}$$

or I could just substitute b in the equation and get…

$$A=frac{a*(frac{1}{2})(frac{2bP-P^2}{b-P})}{2}$$

I also know that once I have an equation for area I need to find its derivative and set it equal to zero and then solve for $P$. What I’m unsure about is which area equation I need and how to find its derivative. My tutor told me that I need to use both the chain rule and product rule in order to find the derivative. I can use both the chain rule and the product rule separately but I’m not sure how to use both on either equation.

Спрятать решение

Спрятать критерии

1. шаг — записываем формулу площади (объема) (S=a*b).
2. шаг — выражаем одну сторону фигуры через другую. Например в задаче «Проволока длинной 76 см согнута в прямоугольник , найдите длину сторон, при которых площадь прямоугольника наибольшая» была указана связь между сторонами прямоугольника — известный периметр, что позволило выразить одну сторону через другую и периметр (b  = frac{P}{2}-a)), аналогично и в задаче Периметр основания прямоугольного параллелепипеда  .
3. шаг — подставляем подученную формулу в формулу порщади (объема)(например для прямоугольника (S=a*b = a*(frac{P}{2}-a) = a*frac{P}{2}-a^2).
4. шаг — находим первую производную и приравниваем ее к нулю (S’= (a*frac{P}{2}-a^2)` = frac{P}{2}-2*a = 0)
5. шаг — решаем полученное уравнение и находим корни уравнения (т.е. значения неизвестного при котором значение функции (производной) равно 0). Это и будет ответ, т.е. длина стороны при которой площадь будет наибольшей (аналогично и с объемом) (frac{P}{2}-2*a = 0 => a = frac{P}{4}).
6. шаг — желательно проверить истинность полученного решения — подставить найденное значение в функцию (площади или объема) и рассчитать ее, а для сравнения взять соседнее значение стороны (больше или меньше) и так же подставить. Если площадь получится меньше, значит задача решена верно, если нет, то нужно искать ошибку.

P.S. вопросы и пожелания пишите в личку.