Как найти максимальную площадь трапеции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

	Максимальная площадь трапеции 31.10.2016, 21:19
20/02/16 2	Доброго времени суток. Задача: найти максимальную площадь трапеции с двумя углами по 60 градусов, вписанной в единичную окружность. Вроде бы естественно предположить, что решение состоит в нахождении условного экстремума, следовательно, в применении метода Лагранжа. Но здесь я не знаю как формализовать условие. И еще возникает следующий вопрос: можно ли решить эту задачу элементарными методами (на уровне школьной геометрии, например)?

DeBill

Re: Максимальная площадь трапеции

31.10.2016, 22:09

Заслуженный участник

10/01/16
2315

sond

Есть такая формула для площади чет-ка — через диагонали, и угол промеж них…
А диагонали то видны из вершин под углом в 60, так что…

redicka	Re: Максимальная площадь трапеции 01.11.2016, 01:01
10/09/14 165	sond , можно решить по-школьному-найти наибольшее значение функции на промежутке.

ewert

Re: Максимальная площадь трапеции

01.11.2016, 02:05

Заслуженный участник

11/05/08
32162

Можно ещё проще: найти максимальную из возможных площадей при условии, что эта площадь известна.

Dmitriy40

Re: Максимальная площадь трапеции

01.11.2016, 02:21

Заслуженный участник

20/08/14
10236
Россия, Москва

А нужно ли решать алгебраически если задача несложно решается аналитически школьной тригонометрией?

(Подсказка)

Выбрав за переменную величину угол $alpha$ , под которым боковая сторона трапеции видна из центра описанной окружности, после дополнительных построений (радиусов и перпендикуляров) и математических преобразований придём к формуле , что сразу даёт величину максимума площади при и величину площади трапеции.

RikkiTan1	Re: Максимальная площадь трапеции 01.11.2016, 17:45
21/09/13 135 Уфа	Какой ответ у этой задачи? У меня получилось . Но тут к формуле что означает ?

sond	Re: Максимальная площадь трапеции 01.11.2016, 18:10
20/02/16 2	Удалось получить следующее: Используем то, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $frac{d}{sin{frac{pi}{3}}} = 2R$ Тогда $S_{ABCD}=frac{1}{2}d^2sin(pi-alpha)=frac{3}{2}R^2sin{alpha}=frac{3}{2}sin{alpha}$ Максимум, действительно, достигается при $alpha=frac{pi}{2}$ , и, соответственно, максимальная площадь получается равной $frac{3}{2}$ . Остался лишь вопрос, как именно следует понимать одну из подсказок, приведенную выше. Конкретно, что $S sim R^2sin{alpha}$ .

Dmitriy40

Re: Максимальная площадь трапеции

01.11.2016, 19:21

Заслуженный участник

20/08/14
10236
Россия, Москва

RikkiTan1

, sond

Значком « $sim$ » я обозначил прямую пропорциональность (с некоторым определённым, но не указанным явно коэффициентом, чтобы не давать сразу полный ответ). Мой ответ тоже разумеется $S_{max}=1.5$ .

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Источник

В кругоиду произвольной степени х, сидящей на некотором отрезке d = const, можно вписать бесчисленной множество правильных трапеций (одна из сторон параллельна основанию), среди которых одна имеет наибольшую площадь. На этом отрезке можно построить бесчиленное множество кругоид. Какова будет степень х кругоиды, имеющей наибольшую площадь вписанной правильной трапеции, в сравнении со всеми трапециями максимальной площади, вписанными в другие кругоиды, построенные на том же отрезке d? $$18.06.2015$$ Итак, площадь трапеции в зависимости от показателя степени х изменяется таким образом:$$1)$$ при х, стремящемся к нулю, площадь трапеции S стремится к нулю; $%2)$% при х = 2 $%S = 3d^{2}(3^{1/2}/16)$% (falcao) или $%S = 2d^{2}2^{1/2}/9$% (nikolaykruzhilin1936); $%3)$% при х, стремящемся к бесконечности, $%S = 2d^{2}$%(falcao) или $%S = d^{2}3^{1/2}/4$% (nikolaykruzhilin1936)

Источник

If we have already known the perimeter of a trapezoid, what is its maximum area?

First, the equation I used to calculate the area of a trapezoid is:
$$A = frac{x+y}{2} times h$$

For my question, I suppose that the perimeter is $C$ and I have the relationship between the perimeter and bases and legs:
$$
C = x + y + a + b
$$
In this equation, $x$ and $y$ are the lengths of the bases and $a$ and $b$ are the lengths of the legs. Then we have these relationships:

$$h = a times sin{alpha} = b times sinbeta$$
$$y + atimes cosalpha + b times cosbeta = x$$
$$$$
wherein $alpha$ is the angle between base $x$ and leg $a$ and $beta$ is the angle between base $y$ and leg $b$. $h$ is the length of the height. Then I do not know how to continue my work.

Further thinking: If the sum of lengths of one base and two legs are fixed, that is:

$$C = x + a + b$$

what is the maximum area of the trapezoid? Anticipating your reply.

Источник

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор

Сообщение

Заголовок сообщения: Максимальная площадь вписанной трапеции

Добавлено: 20 мар 2020, 17:02

Начинающий

Зарегистрирован:
11 фев 2020, 01:11
Сообщений: 35
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
6 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

В окружности радиусом [math]R[/math] вписана трапеция с большим основанием [math]2R[/math] и острым углом [math]alpha[/math]. Найти при каком значении угла [math]alpha[/math] площадь трапеции будет максимальна.

В общем задача не из трудных, интереснее будет графическое доказательство максимума площади.

Вернуться к началу

KOPMOPAH

Заголовок сообщения: Re: Максимальная площадь вписанной трапеции

Добавлено: 20 мар 2020, 18:59

Нетрудно получить, что площадь трапеции

[math]S=frac{2R+2R(sin^2alpha-cos^2alpha)}2.Rsin 2alpha[/math]

С учетом дифференцирования результат представляем как

[math]S=R^2left(sin2alpha -frac{sin4alpha}2right)[/math]

Дальше [math]S'(alpha)=2cos 2alpha-2cos 4alpha=…=sin 3alpha sin alpha^*[/math]

Поскольку [math]alpha > 0 Rightarrow sin alpha ne 0[/math]. Тогда [math]sin 3alpha=0[/math], откуда [math]3alpha=180^circ Rightarrow alpha=60^circ[/math].

Вернуться к началу

За это сообщение пользователю KOPMOPAH «Спасибо» сказали:
3axap, Andy

KOPMOPAH	Заголовок сообщения: Re: Максимальная площадь вписанной трапеции Добавлено: 20 мар 2020, 19:09
	Andy писал(а): …Вам известно это доказательство? Меня со школьной скамьи учили, что графические построения сами по себе не являются доказательствами. Тем интереснее будет посмотреть, что Вы имели в виду. К великому сожалению мне неизвестно такое доказательство, поэтому я публиковал задачу. Полностью согласен с тем, чему Вас учили в школе насчет построений и доказательств. Тем не менее дополнительные построения часто дают побольше информации и намного понятнее, чем много «букаф».
Вернуться к началу

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Максимальная площадь вписанного прямоугольника в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики	vulpes	13	651	18 май 2018, 11:42
Максимальная площадь параллелограмма, вписанного в эллипс в форуме Геометрия	pens	1	183	17 ноя 2020, 21:45
Площадь трапеции в форуме Геометрия	Lord_Adwond	41	1155	01 июл 2017, 20:57
Площадь трапеции в форуме Геометрия	Eppywppq	1	244	11 ноя 2018, 13:02
Площадь трапеции в форуме Геометрия	A_5	22	1281	16 июн 2017, 22:39
Площадь трапеции в форуме Геометрия	_DiMoN4iK_	6	137	06 ноя 2019, 10:53
Найти площадь трапеции в форуме Геометрия	oduv	3	1172	18 янв 2014, 18:13
Найти площадь трапеции в форуме Геометрия	ceos	6	643	25 май 2014, 21:27
Площадь криволинейной трапеции в форуме Интегральное исчисление	Cinnabar	3	276	03 июл 2019, 16:18
Найти площадь криволинейной трапеции в форуме Интегральное исчисление	Mr_Math_Men	1	222	05 июн 2014, 16:48

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8

Источник

Рассмотрим трапецию ABCD.

Основания трапеции не могут иметь одинаковую длину, так как в противном случае это будет параллелограмм. Значит, одно из оснований BC и две боковые стороны AB и CD равны по а. Заметим, что рассматриваемая трапеция равнобедренная.

Проведем высоты BH и CK. Тогда, HK=а.

Обозначим AH=KD=х.

Высоту трапеции найдем по теореме Пифагора:

$BH=sqrt{a^2-x^2}$

Запишем выражение для площади трапеции:

$S=dfrac{BC+AD}{2}cdot BH$

$S=dfrac{BC+(AH+HK+KD)}{2}cdot BH$

$S=dfrac{a+(x+a+x)}{2}cdot sqrt{a^2-x^2}$

$S=dfrac{2a+2x}{2}cdot sqrt{a^2-x^2}$

$S= (a+x)cdotsqrt{a^2-x^2}$

Исследуем на экстремумы функцию S. Найдем производную:

$S'= (a+x)'cdotsqrt{a^2-x^2}+(a+x)cdot(sqrt{a^2-x^2})'$

$S'=1cdotsqrt{a^2-x^2}+(a+x)cdotdfrac{1}{2sqrt{a^2-x^2}} cdot(a^2-x^2)'$

$S'=sqrt{a^2-x^2}+(a+x)cdotdfrac{-2x}{2sqrt{a^2-x^2}}$

$S'=dfrac{2(a^2-x^2)-2x(a+x)}{2sqrt{a^2-x^2}}$

$S'=dfrac{2a^2-2x^2-2ax-2x^2}{2sqrt{a^2-x^2}}$

$S'=dfrac{-4x^2-2ax+2a^2}{2sqrt{a^2-x^2}}$

Найдем нули производной:

$dfrac{-4x^2-2ax+2a^2}{2sqrt{a^2-x^2}}=0$

$x=dfrac{-a-3a}{2cdot2}=-a$

$x=dfrac{-a+3a}{2cdot2}=dfrac{a}{2}$

При переходе через точку x=-a производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума.

При переходе через точку $x=dfrac{a}{2}$ производная меняет знак с плюса на минус, значит это точка максимума.

Таким образом, наибольшую площадь трапеция имеет при $x=dfrac{a}{2}$ . Эта площадь равна:

$Sleft(dfrac{a}{2}right)= left(a+dfrac{a}{2}right)cdotsqrt{a^2-left(dfrac{a}{2}right)^2}= dfrac{3a}{2}cdotsqrt{a^2-dfrac{a^2}{4}}=dfrac{3a}{2}cdotsqrt{dfrac{3a^2}{4}}=dfrac{3sqrt{3} }{4}a^2$

Ответ: $dfrac{3sqrt{3} }{4}a^2$

Приложения:

Источник