Как найти максимальную прибыль по функции прибыли - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Любая коммерческая организация работает ради получения прибыли. Считается, что чем она выше, тем лучше для бизнеса. Но все не так однозначно. Чтобы оценить, насколько эффективно функционирует предприятие, нужно разбираться в видах прибыли, которые в комплексе помогают составить целостную картину о финансовых делах и управлении компании.

Что такое прибыль

Понять, что такое прибыль, проще всего на примере. Представим, что пекарня продает хлебобулочных изделий на 10000 р. в день. За месяц продается товара на сумму 300000 р. Однако за этот период бизнес тратит около 210000 р. на закупку сырья, транспорт, амортизацию оборудования, оплату труда сотрудников, аренду помещения, оплачивает налоги и коммунальные услуги. Если из общей суммы вычесть все затраты, это и будет прибыль компании. В нашем случае 90000 р.

Прибыль – это разница между суммарным заработком компании и всеми расходами.

Если бизнес работает в разных сферах, оптимально рассчитывать прибыль по каждому виду деятельности. Это дает понимание об их рентабельности и эффективности компании в целом.

Чем прибыль отличается от выручки

Собственники малого и среднего бизнеса не всегда понимают разницу между выручкой и прибылью, считая эти слова синонимами. Однако термины существенно отличаются.

Выручка – это сумма, которую предприятие получило персонально от клиентов за проданные товары или оказанные услуги.

Если вернуться к описанному выше примеру с пекарней, то сумма в 10000 р. и 300000 р. – это и есть выручка компании за день и месяц соответственно. То есть это заработок до вычета всех платежей.

Есть нюанс. Выручкой считаются средства, полученные за выполненные обязательства. То есть, если клиент оплатил товар/услугу, которую еще не получил, бизнес не может записать деньги как выручку, хоть они и лежат на его счету в банке. Выручкой эта сумма сможет стать только после того, как клиент получит то, за что заплатил, и отразит это в первичной бухгалтерской документации.

Выручка – сумма, полученная от продаж.
Прибыль – сумма, оставшаяся после вычета издержек.

Виды прибыли

Существует много видов прибыли в зависимости от того, какие расходы вычитаются из общей суммы, а также ряда других признаков. Подобное разделение необходимо для проведения глубокого анализа и получения детальных сведений о финансовом состоянии бизнеса.

Все виды прибыли можно разделить на несколько больших категорий. Читайте далее о каждой из них.

В зависимости от условий формирования

При расчете прибыли из выручки вычитают расходы по различным статьям, что позволяет получить целый ряд видов дохода.

Валовая прибыль

Рассчитывается отдельно для каждого продукта и показывает, насколько целесообразно его производить. Включает сумму налоговых отчислений. Рассчитывается как:

Валовый доход = Выручка от реализации – Себестоимость

Простыми словами, валовая прибыль помогает понять, какие линейки продукции/услуги стоит развивать, а от каких направлений деятельности лучше отказаться.

Операционная (прибыль от продаж)

Показывает сумму за вычетом операционных расходов (в т. ч. текущих затрат и амортизации), отражает успешность бизнеса в разрезе основной деятельности.

Операционная прибыль = Выручка – Затраты по основной деятельности

Затраты по основной деятельности = Постоянные + Прямые + Переменные (Косвенные)

Рассчитывают операционный доход и в другом порядке:

Операционная прибыль = Маржинальный доход – Постоянные расходы

Чистая

Это реальные деньги, которые получает бизнес, и главный показатель финансовой успешности проекта. Для вычисления используется следующая формула:

Чистая прибыль = Общая выручка – (Затраты по основной деятельности + Прочие доходы + Прочие расходы + Налог на прибыль + Проценты по кредитам + Амортизационные расходы)

Чистый доход можно направить на развитие компании или использовать на другие нужды бизнеса.

Маржинальная

Это прибыль, которая обеспечивает достижение компанией точки безубыточности и отражает рентабельности бизнеса.

Маржинальная прибыль = Выручка компании – Переменные затраты

Рассчитывать маржинальный доход необходимо ежемесячно, чтобы отслеживать динамику показателей и вовремя вносить изменения в бизнес-процессы.

Нераспределенная

Этот вид прибыли не тратится, а остается на счету компании в течение всего периода ее существования.

Нераспределенная прибыль = Чистая прибыль – Дивиденды

Сумма нераспределенного дохода может уменьшаться вследствие увеличения уставного капитала, отчислений части средств в резервный фонд и других факторов.

Балансовая

Отражает выгодность сделок за определенный период, а также позволяет получить картину финансового состояния бизнеса путем сравнения нескольких периодов. Рассчитывается как:

Балансовая прибыль = Доход от основной деятельности + Прибыль от реализации имущества компании + Прибыль от прочих операций

Балансовый доход – основа налогообложения.

Бухгалтерская или доналоговая

Этот вид дохода нужен для оценки финансовых дел предприятия на конкретном этапе. Бухгалтерская прибыль рассчитывается исключительно по данным, отраженным в периодической отчетности.

Бухгалтерский доход = Доходы по балансу – Подтвержденные расходы

Налогооблагаемая

Сюда относятся все доходы организации, которые облагаются налогом на прибыль. Рассчитывают налогооблагаемый доход только компании с общей системой налогообложения.

Налогооблагаемая прибыль = Балансовая прибыль – Льготная прибыль

Льготным доходом считаются деньги, которые фирма перечисляет на личные карты и счета в рамках благотворительности, в помощь ликвидации последствий чрезвычайных ситуаций (стихийных бедствий) и т. д.

Экономическая

В отличие от бухгалтеров, экономисты учитывают не только явные расходы, но и альтернативные. С учетом этого расчет экономического дохода – это способ лучше оценить работу управляющего аппарата, а также выстроить бизнес-процессы с учетом интересов акционеров.

Экономическая прибыль = Чистая прибыль – Неявные затраты

Неявные затраты – это незапланированные расходы, неполученная прибыль, расходы на связь, освещение и т. д.

EBITDA

Доход до вычета налогов, процентов и амортизации. Рассчитан на сторонних лиц, которые интересуются бизнесом с точки зрения инвесторов, кредиторов.

EBITDA = Доналоговая прибыль + Проценты по кредитам + Амортизационные отчисления

По конечному результату

Прибыль делится на 3 вида в зависимости от достигнутого результата:

предусмотренная/нормативная/запланированная;
максимальная или минимально допустимая;
упущенная/недополученная/отрицательная.

Рассмотрим каждый вид подробнее.

Предусмотренная или нормативная (запланированная)

Полностью покрывает потребности компании, обеспечивает реализацию плана по развитию, предусматривает выполнение взятых на себя обязательств в полном объеме.

Расчет этого вида дохода происходит следующим образом:

Прибыль = (Объем выпуска * Цена единицы продукта без НДС и акциза) – (Объем выпуска * Себестоимость единицы)

Максимальная или минимально допустимая

Максимальной считается прибыль при таком объеме выпускаемой продукции, когда максимальный доход равен максимальным расходам. Производство расширяют до тех пор, пока эти значения не сравняются.

Минимально допустимый доход – самая низкая прибыль, которая требуется для продолжения работы бизнеса и предотвращения банкротства.

Упущенная (недополученная) или отрицательная (убыточная)

Упущенной или недополученной прибылью считается сумма, которую компания должна была получить по итогу несостоявшейся сделки. Рассчитывается она приблизительно на основании бухгалтерских показателей расходов и доходов за прошлые периоды.

Отрицательной считается прибыль, при которой сумма издержек предприятия превышает ее совокупный доход. При таком условии фирма работает бесплатно, себе в убыток и движется в сторону банкротства.

В зависимости от источников получения

Современные компании используют все доступные возможности для приумножения прибыли. Классифицировать ее можно в зависимости от источников формирования.

Доходы от финансовой деятельности. Это результат выгодного вложения капитала в краткосрочном периоде, например, прибыль, полученная вследствие колебания курса валют.
Доходы от операционной деятельности. Компания тратит средства на закупку сырья, оплату труда персонала, несет другие расходы, необходимые для работы бизнеса. А также получает доход от сбыта произведенных товаров/услуг, который и является прибылью от операционной деятельности.
Доходы от инвестиционной деятельности. Средства, полученные благодаря инвестициям в производство, которые повлекли рост продаж и увеличение прибыли. Также сюда относится результат долгосрочных финансовых вложений: дивиденды, проценты по выданным займам, депозиты.

По периодичности поступления

Бизнес может получать доходы в разные периоды и в разных объемах, поэтому прибыль бывает:

нормированная – регулярно получаемый доход при работе компании в нормальном режиме;
сезонная – прибыль, которую фирма получает ежегодно только в определенное время;
чрезмерная – сверхприбыль бизнеса;
предельная (добавочная) – такую прибыль компании получают при дополнительной реализации продукции.

Разница между чистой и нераспределенной прибылью

Часто под чистым и нераспределенным доходом понимают одно и то же. Эти определения действительно близки по смыслу. Оба вида прибыли определяются по сумме дохода компании минус налог на прибыль. Для предприятий с упрощенной системой налогообложения из дохода организации вычитают налог УСН.

Разница между нераспределенной и чистой прибылью в периоде учета. Так, чистый доход рассчитывается за отчетный год, а нераспределенный – за год и весь предыдущий период существования компании.

Отличия бухгалтерской и экономической прибыли

С помощью этих показателей руководство может оценить, насколько эффективно функционирует компания и ее управленческий аппарат. Они же помогают потенциальным инвесторам увидеть перспективы вложения средств, чтобы в будущем сделать доходы выше.

Бухгалтерская и экономическая прибыли уже были рассмотрены выше, теперь разберем, в чем принципиальная разница между ними.

Экономическая прибыль меньше бухгалтерской

Экономический доход отражает фактическое положение дел в компании, поскольку, в отличие от бухгалтерской прибыли, представляет собой доход, из которого исключены все виды издержек, в т. ч. альтернативные.

Относительно нормального дохода экономическая прибыль бывает двух видов:

положительная – деятельность компании можно считать успешной, а инвестиции в такой бизнес имеют все шансы на окупаемость;
отрицательная – предприятие работает себе в убыток, а вложенные в него средства не дают инвестору ожидаемого результата.

Что касается бухгалтерской прибыли, то она предполагает вычет из валового дохода только явных расходов, т. е. тех, которые отражены в бухгалтерских документах.

Экономическая прибыль всегда меньше или равна бухгалтерской, а разницу между этими показателями составляет сумма неявных издержек.

Какие издержки могут быть неявными

Неявные издержки, которые еще называют альтернативными, – это абстрактные значения неполученной в процессе работы прибыли, непроизведенные расходы, которые пришлось понести для достижения производственных целей и т. д. Говоря проще, это потенциальная выгода, которая могла бы положительно повлиять на окупаемость инвестированных средств, но была упущена.

Каждая коммерческая организация в процессе работы несет неявные расходы, которые отрицательно влияют на показатель экономической прибыли. Совпадения с бухгалтерским доходом могут быть лишь теоретические. По факту при анализе 99,9% предприятий наблюдается отличие между этими показателями.

Что такое нормальная прибыль

При оценке компании с точки зрения инвестиционной привлекательности используют показатель нормальной прибыли. Он отражает размер дохода, получаемый инвесторами от текущей работы предприятия, при котором они не стремятся изъять вложенный капитал и прекратить финансирование данного бизнеса.

Нормальную прибыль рассчитывают наряду с экономической и бухгалтерской и используют в комплексном анализе финансового состояния фирмы. При этом могут быть обнаружены следующие отклонения:

положительный доход – превышает нормальную прибыль, это говорит о хорошей работе бизнеса, его инвестиционной привлекательности, а инвесторы получают доход выше среднерыночного;
отрицательный доход – не дотягивает до показателя нормальной прибыли, в этом случае компания не способна окупить вложенные в нее инвестиции, а инвесторы не получают ожидаемый доход.

О чем говорит различие

Расчет величины неявных расходов – основная задача, предшествующая принятию управленческих решений. В зависимости от того, насколько бухгалтерская прибыль отличается от экономической, можно оценить показатели дохода за заданные периоды. Что показывает значение неявных расходов:

эффективность или неэффективность работы компании в конкретных направлениях деятельности;
эффективность управленческого аппарата и решений, которые он принимает;
динамику развития бизнеса.

Именно размер неявных расходов позволяет оценить эффективность дополнительных вложений в бизнес.

Что такое финансовые результаты

Если компания функционирует, вкладывает деньги в производство, выпускает товары или оказывает услуги, у нее должны быть финансовые результаты. Они позволяют оценивать эффективность ведения предпринимательской деятельности в целом или развития определенных направлений.

Финансовые результаты – это:

прибыль – положительная разница между доходами и расходами;
убыток – когда расходы превышают доходы.

Определять финансовые результаты можно как за бухгалтерские периоды (например, за месяц, квартал, полугодие, год), так и по каждой операции или конкретному направлению деятельности.

Формула прибыли и как вести расчеты

Ведение предпринимательской деятельности предполагает регулярный подсчет прибыли. Для этого используется простая формула:

Прибыль = Валовая прибыль – Расходы

Формулу валовой прибыли рассматривали в данной теме выше, на этот показатель влияет размер общей выручки предприятия и себестоимость проданного товара или оказанных услуг.

Чтобы избежать путаницы в понятиях, разберемся с терминами.

Выручка

Это составляющая дохода организации, которая отражает только ту сумму, которая была получена напрямую от продаж.

Простыми словами, выручка – это «грязная прибыль». Она включает налоги, пошлины, акцизы, стоимость труда работников, коммунальных услуг, транспорта, аренду помещения, амортизацию – все те статьи расходов, которые впоследствии будет вычтены для расчета чистой прибыли.

Расходы

Предпринимателю всегда нужно внимательно просчитывать расходы, поскольку от размера этой суммы зависит рентабельность бизнеса. Различают:

операционные расходы – деньги, которые необходимо потратить на поддержание работы предприятия, выпуск и реализацию продукции/услуг: закупка сырья, материалов, инструментов, спецодежды, топлива, оплата услуг подрядчиков, з/п сотрудников, амортизация, налоги, отчисления в соц. фонды, аренда, транспорт, обучение персонала, командировочные, реклама, рабочие онлайн сервисы и ПО;
дополнительные расходы – деньги, которые могут внепланово потребоваться, но к производственной деятельности прямо не относятся: лизинг, проценты по кредитам, штрафы, благотворительность, корпоративные мероприятия, форс-мажоры, использование патентов.

Не путайте расходы с затратами

Говоря о расходах или затратах, часто подразумевают одно и то же, но между этими понятиями есть разница, о которой стоит знать.

Затраты – это стоимость потребленных ресурсов. Компания затрачивает средства на покупку сырья, оплату электроэнергии, топлива, труда рабочих и т. д. Несмотря на то, что деньги со счета предприятия списались, это не говорит об уменьшении его экономических выгод. А значит, расход признавать рано.

Затраты становятся расходами, когда права на активы, на которые были потрачены средства, переходят к покупателю в результате продажи товара или услуги.

Пока активы остаются в бизнесе, пусть и в другой форме (материалы, трудовые ресурсы и т. д.), они считаются затратами и не должны вычитаться из доходов.

Доходы

Доходом считаются средства, благодаря которым капитал компании возрастает. К нему не относятся лишь вклады учредителей.

Любые полученные активы являются доходом. Это могут быть не только финансовые, но и материальные, трудовые и другие ресурсы. Доходы появляются и при уменьшении суммы обязательств компании перед партнерами.

Доходы слабо коррелируют со временем поступления денег в компанию. Финансовые средства могут зачисляться на счет организации в момент получения дохода, раньше него или позже. При планировании платежей нужно учитывать этот момент, чтобы не потрать то, что еще не получено.

Пример расчета прибыли и рентабельности предприятия

Понять, как рассчитать прибыль предприятия, лучше всего на примере.

Предположим, что ООО «Альфа» получило заказ на выпуск 5000 единиц продукции сверх основного объема, который составляет 30000 единиц. Реализуется товар по цене 20 рублей за единицу. Нужно определить минимальную стоимость заказанного товара, чтобы прирост прибыли составил 15000 рублей.

Показатели	Текущий	Прогноз
Количество продукции	30 000	35 000
Реализация	600 000	669 700
Прямые материалы	80 000	94 500
Прямой труд	120 000	144 000
Непостоянные накладные затраты (30% от прямого труда)	36 000	43 200
Постоянные накладные затраты	60 000	65 000
Всего (расходы)	296 000	346 700
Расходы реализации и администрирования (всего):	65 000	69 000
Переменные (в т. 0,4 руб. за 1 ед.)	45 000	49 000
Постоянные	20 000	20 000
Чистая прибыль	239 000	254 000

Предполагается, что договор на дополнительное производство товара уже был заключен, соответственно, затраты практически не изменятся. Из изменений:

заказчик оплатит транспорт;
потребуется обработка продукции, что увеличит прямые затраты на 25%;
дополнительные 5000 р. будут потрачены на использование спец. оснастки.

Чтобы рассчитать плановые показатели, понадобятся предварительные расчеты.

Показатели	Удельные затраты (на ед.)
Прямые материалы (80 000/30 000)	2,7
Прямой труд (120 000/30 000)	4,0
Непостоянные расходы реализации и администрирования (60 000/50 000)	1,2

Спрогнозируем показатели прибыли и расходов:

Прямые материалы = 2,7 × 35 000 = 94 500.

Прямой труд = 120 000 + (5 000 × (4,0 × 1,2)) = 144 000.

Переменные накладные расходы = 144 000 × 0,3 = 43 200.

Постоянные накладные расходы = 60 000 + 5 000 = 65 000.

Переменные торговые расходы = 45 000 + (5 000 × (1,2 – 0,4)) = 49 000.

Чистая прибыль = (239 000 + 15 000) = 254 000.

Цена за единицу дополнительно произведенного товара = (669 700 – 600 000) : 5 000 = 13,94 р.

Как видно из расчета, минимальная цена единицы дозаказанного товара при заданных условиях составляет 13,94 р., что на 6,06 р. меньше текущей.

Функции и роль полученной прибыли

Прибыль отражает экономический результат работы компании, это ее главная функция, но есть и дополнительные:

оценочная – позволяет оценить хозяйственную деятельность организации, уровень ее развития;
стимулирующая – выступает стимулом для улучшения результатов ведения бизнеса;
воспроизводительная – показывает, насколько прибыль превышает расходы;
контрольная – помогает отслеживать и вовремя корректировать показатели компании;
фискальная – служит основной для отчисления средств в гос. бюджет.

Роль прибыли в том, чтобы в денежном эквиваленте отразить результат работы предприятия, показать качество продукции, ее востребованность на рынке и успешность у потребителей.

Динамика прибыли

Прибыль необходимо оценивать не только в одном конкретном периоде, но также и в динамике, это помогает анализировать показатели и планировать работу компании в будущем.

Отслеживают значения в первую очередь по следующим показателям:

выручка;
валовая прибыль;
прибыль от продаж;
чистая прибыль.

Если дела в компании идут хорошо, наибольший рост наблюдается по показателю чистой прибыли, за ним следует прибыль от продаж, затем валовая. Меньше всего меняется выручка. Изменения в этой цепочке приводят к снижению чистой прибыли.

Планирование прибыли

Любой бизнес начинается с планирования. Финансовые показатели прогнозируют по результатам анализа рынка, с учетом результатов работы действующих организаций из нужной сферы. На этом этапе необходимо добиться идеальных показателей по всем статьям финансирования и обязательных выплат, стабильного притока чистой прибыли в компанию.

Работа по планированию строится на трех ключевых факторах, которые определяют прибыльность бизнеса: объем продаж, наценка, сумма затрат на выпуск продукта.

Для понимания свободы действий в отношении объемов продаж и цены необходимо изучить рыночный спрос, аудиторию потенциальных потребителей, предельно снизить производственные издержки.

На основании результатов анализа можно выяснить, стоит ли продолжать вкладывать деньги в данный бизнес в том виде, который есть, или необходимо ставить вопрос о его реорганизации, пока убытки не перешагнули критическую черту.

Анализ показателей прибыли предприятия

В ходе анализа можно узнать финансовое состояние компании, поэтому его проводят перед принятием управленческих решений.

Рассчитывая различные показатели прибыли, удается оценить рентабельность предприятия и целесообразность вложения в него средств. Анализ проводится несколькими методами.

Горизонтальный или по времени. Прибыль рассматривают в разрезе конкретного периода, затем эти периоды сравнивают по годам. Например, январь-март 2020 года и январь-март 2021 года.
Вертикальный (структурный). Предполагает разбивку выручки на составляющие и анализ каждой из них. Например, постоянные расходы, себестоимость, налоги, платежи по кредитам и т. д.
Конкурентный. Показатели компании сравниваются с аналогичными данными конкурентных организаций. Чаще анализируют операционную прибыль. Ориентироваться можно на статистику Росстата или конкретные цифры, которые может подсказать финансовый консультант.

Норма предельной прибыли

Норма предельной прибыли – это доход, в который включены все виды расходов. С помощью нее можно определить, издержки какого типа стоит сократить, чтобы компания стала работать эффективнее. Показатель рассчитывается по формуле:

НПП = Выручка – Переменные издержки / Выручка * 100%

Норма предельной прибыли не всегда прямо коррелирует с чистой прибылью, поскольку на нее также влияют постоянные и переменные расходы.

Если известна НПП по каждой категории продуктов, можно повысить общую прибыль компании. Для этого нужно:

продвигать товары/услуги с высоким числом НПП;
сокращать расходы на выпуск продукции с низкой НПП;
удерживать значение НПП на среднем уровне для товаров, которые только начали производить.

Чтобы управлять прибылью предприятия грамотно и эффективно, в рамках политики компании нужно:

учитывать точку окупаемости;
контролировать рентабельность продуктов;
отслеживать прибыльность по ключевым клиентам;
избегать продаж по слишком низким ценам.

Рассмотрим эти методы детальнее.

Точки окупаемости и безубыточности

Точка окупаемости – это значение прибыли, по достижении которого инвестированные в компанию средства окупаются. Чтобы ее рассчитать, требуется информация о размере вложений в бизнес, а также суммы прибыли и расходов за конкретный период.

Точка безубыточности показывает момент, при котором бизнес уже не работает в убыток, но еще и не получает прибыль, т. е. расходы равны выручке от продажи товаров или услуг. Для расчета необходимы сведенья о сумме выручки, основных издержек, постоянных и переменных расходов.

Рентабельность продукта

Рентабельность рассчитывают для каждого вида продукта, будь то услуга или товар. Однако вычисления не могут быть точными, поскольку производственные и трудовые ресурсы участвуют в выпуске разных продуктов, а не одного. При расчете ориентируются на «распределенные» или фактические расходы (примерные).

Рентабельность по ключевым клиентам

На крупных клиентов приходятся продажи около 5% всей выпускаемой продукции. Такие заказчики, как правило, более требовательны, и работа с ними предполагает дополнительные расходы. Важно регулярно рассчитывать НПП по каждому постоянному или оптовому клиенту.

К чему приводят слишком низкие цены

Когда продажи падают, некоторые бизнесмены пытаются привлечь клиентов путем снижения цен, не предполагая, что это приведет к резкому падению рентабельности вместо ожидаемого роста прибыли.

В некоторых случаях снижение цен может принести положительный результат, но необходимо грамотно к этому подойти:

снижать цены на короткий период (акции, скидки);
снижать цены для новых сегментов целевой аудитории, потребителей из других регионов и стран;
продавать товары/услуги с низкой себестоимостью.

В противном случае слишком низкие цены приведут к тому, что бизнес станет нерентабельным.

Ошибки при расчете прибыли

Правильный расчет чистой прибыли – основа эффективной работы предприятия. Однако некоторые бизнесмены испытывают трудности с подсчетами, которые связаны с рядом особенностей. Их необходимо знать и учитывать в процессе вычислений. Рассмотрим распространенные ошибки, которые мешают правильно рассчитывать прибыль компании.

Приравнивать прибыль к сумме выручки

Выше мы уже описывали разницу между прибылью и выручкой и знаем, что это абсолютно разные понятия, которые нельзя сопоставлять. Чистая прибыль никогда не будет равна сумме денег в кассе или на расчетном счету, ведь бизнес несет массу расходов, которые вычитают из этой суммы.

Неверно трактовать понятие «расходы»

Некоторые считают расходами любые отчисления денег со счета компании, но это неправильно.

Расходы можно признать только в том случае, если активы компании переходят в собственность другой организации. Чаще всего это происходит в момент продажи, а расходом является себестоимость.

Не отслеживать соотношение расходов и выручки

Необходимо учитывать расходы только на то количество продукции, которая была продана в заданный период. Например, было выпущено 1,5 млн гаек, из них за январь продано 1,2 млн единиц. Значит, в расходы за январь можно записать себестоимость 1,2 млн гаек.

Не расписывать издержки по статьям

Расходы одной общей суммой дают понимание о том, сколько компания тратит, но не позволяют провести анализ издержек. Когда прибыль падает, важно понимать, на что уходят средства: то ли сотрудники пьют много кофе, то ли подорожала закупка сырья. Выяснить это позволяет разбивка расходов на статьи или категории и их анализ.

Переменные и постоянные расходы

Эти категории могут использовать предприятия, деятельность которых строится в одном направлении.

Постоянные расходы есть всегда и не зависят от суммы выручки. Это зарплата сотрудников, аренда помещения и т. д. – то, на что бизнес тратит деньги даже при отсутствии выручки.

Сумма переменных расходов определяются суммой выручки. Главный вид переменных расходов – себестоимость. Чем больше продаж, тем они больше.

Прямые и косвенные расходы

Разделение на эти категории подходит бизнесу, который работает в нескольких направлениях.

Прямые расходы относятся непосредственно к конкретному направлению деятельности. Например, в каждом магазине сети будут свои прямые расходы на закупку товара.

Косвенные расходы распространяются на деятельность компании в целом и не могут быть отнесены к одному из направлений. Сюда можно отнести издержки на маркетинг, рекламу, развитие корпоративного сайта.

Считать прибыль с НДС

НДС платит не компания, а потребители товаров. Предприятие выступает лишь посредником, который перечисляет полученные от покупателей деньги государству. Соответственно, эти деньги не принадлежат бизнесу и не должны учитываться при подсчете прибыли и издержек.

Заключение

Прибыль – ключевой показатель эффективности работы компании. Его разновидности позволяют проводить детальный финансовый анализ для составления целостной картины положения дел в организации. Несмотря на простоту расчета, множество нюансов создают сложности при вычислении прибыли, однако многих ошибок можно избежать, если подойти к вопросу грамотно и основательно.

Олег Вершинин

Специалист по продукту

Все статьи автора

Нашли ошибку в тексте? Выделите нужный фрагмент и нажмите
ctrl
+
enter

Источник

Даны функция спроса на продукцию монополиста

Q = 26 — 0,5 × P

и функция общих затрат

ТС = 120 — 8 × Q + Q².

Найти максимальную прибыль и соответствующую цену.

Решение:

Запишем обратную функцию спроса:

P = 52 — 2 × Q.

Общий доход найдём по формуле:

TR = Р × Q = (52 — 2 × Q) × Q = 52 × Q — 2 × Q².

Найдём предельный доход как производную от функции общего дохода:

MR = TR’ = (52 × Q — 2 × Q²)’ = 52 — 4 × Q.

Определим функцию предельных затрат, взяв производную от функции общих затрат:

MC = TC’ = (120 — 8 × Q + Q²)’ = — 8 + 2 × Q.

Условие максимизации прибыли на рынке несовершенной конкуренции имеет вид:

MC = MR

— 8 + 2 × Q = 52 — 4 × Q

Q = 10 — оптимальный объём производства, при котором прибыль максимальна.

Цена на продукцию монополии будет соответственно равна

P = 52 — 2 × 10 = 32.

Прибыль вычислим по формуле:

П = TR — TC = P × Q — 120 + 8 × Q — Q²= 32 × 10 — 120 + 8 × 10 — 10² = 180.

Источник

Максимальная прибыль.

В
наиболее общем виде прибыль π — разность
между выручкой предприятия от реализации
продукции R и полными затратами
С: π = R — С.

Поскольку цена
определяется не тем, сколько хочет
получить производитель, а тем, сколько
готов заплатить потребитель, полная
выручка, полученная от реализации товара
в количества Q по цене — Р, исчисляется
по формуле R=QР(Q), где Р= Р(Q) соответствующая
функция спроса.

Полные затраты
С разделяют на постоянные С_f,
которые не зависят от объема производства
Q,
и переменные С_v
— затраты на производство единицы
продукции, то есть:

С = С_f
, + С_v
Q.

Задача об
определении максимальной прибыли
заключается в определении такого объема
производства Q_mах,
при котором достигается максимальная
прибыль, то есть нужно при заданных
значениях С _f
, С_v
и заданной функции спроса P = P(Q) найти
максимум
функции:

π (Q) = QР(Q)-( С _f
+ С_v
Q ).

На
рис. 3 приведен график зависимости
прибыли для квадратичной функции P(Q) =
10Q – Q²
при

С_f=70,
С_v
=0.7.

В данном примере
максимум
прибыли равен 83,43 при Q = 6,6. Из
рисунка видно, что
производство прибыльно только при Q₁
< Q < Q₂;,
где Q₁
и Q₂
— точки пересечения графика прибыли
оси х,
поскольку при таких значениях Q полная
выручка превышает затраты.

Для аналитического
определения границ интервала, в котором
производство рентабельно (прибыль
больше нуля) необходимо решить уравнение
относительно
Q.

QР(Q)-(С_f+С_vQ)>0
.

Для аналитического
определения объема производства Q, при
котором достигается максимальная
прибыль необходимо решить
уравнение.Относи
тельно Q.

Задание:

Найдите графически
и численно максимальную прибыль и
границы прибыльного производства для
заданной функции выручки предприятия
и функции затрат. Выполните вычисления
для функции выручки предприятия R
= АQ -Q²
и для функции затрат С
= С _f
+ С_v
Q.

Решение:

R
= АQ -Q^{2 ;}

С = С_f
+ C_vQ.

Находим функцию
прибыли и определяем её максимальное
значение:

π
(Q) = R-C;

;

9,5=2Q;

Q=4,75-
точка max;

Максимальная
прибыль равна 58,68.

Рис.3.
График полной прибыли.

Максимум прибыли
равен 58,68 при Q=4,75.
Из рисунка видно, что производство
прибыльно только при
;
при
и
—
точки пересечения графика прибыли оси
х, поскольку при таких значениях Q
полная выручка превышает затраты.

>0;

D=90,25-36=54,25;

Производство
рентабельно на интервале (1,05;8,45).

Средние и
предельные показатели.

Переменные
в экономическом анализе называются
показателями.
В
экономике широко используются средние
значения: средняя производительность,
средняя прибыль, средние затраты и др.
Однако с помощью средних показателей
нельзя определить, какое влияние на
результат деятельности (прибыль, объем
производства и др.) осуществляет изменение
одного из показателей. В этом случае
целесообразно анализировать изменения
переменных, то есть применять методы
дифференциального исчисления.

Предельная
выручка определяется как производная
полной выручки R=R(Q) по количеству товара
Q, то есть она равняется скорости изменения
выручки при изменении объема продаж.

Средняя выручка
— это выручка на единицу продаж:

Если R(Q) = PQ, где
P — цена единицы товара, то

то есть средняя
выручка равняется цене единицы продукции.

Аналогично
определяются предельные и средние
показатели для других экономических
показателей.

Средние и
предельные
затраты:

где C(Q) функция
затрат.

Средняя и
предельная производительность:

где
Q(L) — производственная функция, которая
описывает зависимость объема выработанной
продукции Q от количества затраченной
работы L.

Средняя и
предельная склонность к потреблению:

где S(Y) — функция
потребления, которая описывает зависимость
объёма потребление S от национального
дохода Y .

Средняя и
предельная склонность к сбережению:

где Z(Y) — функция
сбережений, которая описывает зависимость
объемов капиталовложений Z от национального
дохода Y . Заметим, что для простейшей
двухсекторной модели Y = S + Z ,поэтому

S'(Y) + Z'(Y) = 1, S_ср+ Z_ср= 1.

Задание:

Вычислите средние
и предельные значения для заданной
производственной функции

Решение:

Исходная
производственная функция:

Среднее значение
(отношение функции к объёму производства):

Предельное значение
(производная функции):

Рис.4. График
производственной функции

Рис.5. Графики
функций среднего и предельного значений.

Эластичность
экономических функций.

Эластичность —
это безразмерная величина, которая
показывает возможность функции
реагировать на изменение аргумента.
Эластичностью функции в точке называется
предел отношения относительного
приращения функции к относительному
приращению аргумента при относительном
приращении аргумента стремящемся к
нулю, то есть

Эластичность
можно определить через производную и
средние величины:

или как логарифмическую
производную:

так как

Для функции,
заданной на конечном множестве значений
x_iрассматривают
конечную (процентную) эластичность:

Эластичность
спроса по цене определяется равенствами:

где D = D(Р) — функция
спроса, Q — количество товара, приобретенного
потребителями по цене Р.

Напомним, что
функция спроса D = D(Р) —
убывающая
функция, поэтому эластичность

отрицательна (точнее, неположительная),
обычно анализируется величина ||.

Свойства
эластичности:

эластичность –
безразмерная величина, то есть
=
эластичность
взаимообратных функций – взаимообратные
величины.
эластичность
произведения двух функций равна сумме
эластичностей этих функций, то есть
Экономический
смысл эластичности: это процентное
изменение экономического показателя
при изменении аргумента на один процент.

Эластичность
от некоторых функций следующая:

эластичность от
степенной функции постоянна и равна
эластичность от
показательной функции пропорциональна
аргументу, то есть
эластичность от
линейной функции:

В зависимости
от значений ||.
различают товары эластичного и
неэластичного спроса. Если ||>
1, то есть относительное повышение цены
на 1% приводит к относительному падению
спроса более чем на 1%, и наоборот, падение
цены на 1% приводит к увеличению спроса
более чем на 1%, то говорят о товаре
эластичного спроса. В противоположном
случае, если ||
≤ 1, товар называют товаром неэластичного
спроса.

Существует связь
между предельной прибылью и эластичностью
спроса по цене.

Как уже отмечалось
выше, суммарная выручка R(Q) исчисляется
по формуле:

R(Q) = QP(Q),

где P(Q) — функция
спроса. Тогда предельную выручку R'(Q)
можно выразить через

.

Равенство

справедливо для любой функции спроса.Отсюда
вытекает, что при реализации товаров
неэластичногоспроса (||
≤ 1), предельная выручка отрицательна
и суммарная выручка падает; если же
спрос на товар эластичный (||>
1), то предельная выручка положительна
и, следовательно, суммарная выручка
возрастает. Справедливо утверждение:
для товаров эластичного спроса суммарная
выручка — возрастающая функция.

Эластичность
предложения по цене определяется
равенствами:

где
S = S(P) — функция предложения, Q — количество
товара, предложенного для продажи по
цене Р . Функция предложения S = S(P)
возрастающая, эластичность

неотрицательная, и анализируется
величина
_.

Задание:

Найдите для
заданной функции спроса P(Q)= -aQ²+
bQ
+c эластичность

спроса по цене и соответствующую
предельную выручку. Постройте графики
эластичности Е_D
и предельной выручки. Найдите значения
Q и соответствующую цену, при которой
|

| =1. Сформулируйте выводы.

Решение:

Функция спроса:

Вычисляем
эластичность спроса по цене, функцию
суммарной выручки и предельную выручку:

;

= -0,1Q³+Q²+0,5Q

– уравнение
наклонной асимметрии.

Рис.6. Графики
эластичности спроса по цене и предельной
выручки.

Рис.7. График
суммарной выручки и предельной выручки.

Оба показателя
имеют максимумы при разных значениях
Q;
максимум R
достигается,
когда R_р
обращается в
ноль.

Приравниваем
функцию эластичности к единице.

=1;

+Q;

=0;

=-0,5;

=-5.

Не имеет решений,
если внутри модуля положительный знак.
Рассмотрим случай, когда под знаком
модуля отрицательное выражение. Для
этого меняем знак числителя на
противоположный.

+Q;

=0;

D=2,93+0,6=3,53

Q₁=5,99

Q₂=
-0,278<0

Q=5,99
–точка, в которой спрос на товар теряет
эластичность.

Модель
межотраслевого баланса.

(модель
Леонтьева В.В.)

Любое
национальное хозяйство развивается в
сложной системе межотраслевых
взаимосвязей, понять которые во всей
их совокупности путем простого
суммирования невозможно. Например,
спрос на автомобили оказывает влияние
не только на автомобильную промышленность,
но и косвенным путем на металлургию и
области, которые вырабатывают шины,
бортовую электронику, а через них на
производство микросхем. Изменения в
одной области неизбежно сказывается
во всем народном хозяйстве.

Для
анализа межотраслевых связей выдающийся
экономист Леонтьев В.В. разработал
специальный метод балансового
анализа
– “анализ
затраты-выпуск”
(Input-output analysis или I/O analysis), который
позволяет исследовать процессы, связанные
с межотраслевыми взаимодействиями.
Цель
балансового анализа
— определить,
сколько продукции должна
выработать каждая отрасль для того,
чтобы удовлетворить все потребности
национального
хозяйства системы
в его продукции.

Пусть
весь производственный сектор национальной
экономике разделен на n

“чистых отраслей ” (секторов).
Словосочетание “чистая область”
означает, что продукция каждой области
является однородной.

Чистая
область является экономической
абстракцией, не обязательно существующей
в виде каких-то организационных форм,
то есть это модель. Например, под отраслью
“электроэнергетика” можно понимать
совокупность всех электростанций
независимо от их принадлежности. Подобная
идеализация разрешает провести тщательный
анализ сформированной технологической
структуры общественного производства
и распределения.

Предположим,
что каждая отрасль выпускает продукцию
только одного вида и разные отрасли
вырабатывают разную продукцию. В процессе
производства своего вида продукции
каждая отрасль потребляет продукцию
других отраслей.

Пусть
в какой-либо момент времени Т₀
составлен балансовый отчет по национальной
экономике по итоговым данным за
фиксированный период времени, например,
за прошедший год, по следующей форме.

Таблица
1

Отрасли покупатели (сектора Отрасли спро- родавцы са)  (сектора предложений) 	Отрасли производства	Конечный спрос (потребление инвестиции, экспорт(+), импорт(-) )	Объем выпуска
1	2	….	j	…..	n
Отрасли производства	1	₁₁	₁₂	….	_1j	….	_1n	y₁	q₁
2	₂₁	₂₂	….	_2j	….	_2n	y₂	q₂
….	….	….	….	….	….	….	….	….
i	_i1	_i2	….	_ij	….	_in	y_i	q_i
….	….	….	….	….	….	….	….	….
n	_n1	_n2	….	_nj	….	_nn	y_n	q_n
Добавленная стоимость (прибыль занятых по найму,  предпринимательская прибыль, амортизационные отчисления, побочные налоги и прочее)	g₁	g₂	….	g_j	….	g_n	—	D
Объем затрат 	q₁	q₂	….	q_j	….	q_n	D	V

Строки приведенной
таблицы показывают распределение
выпуска (output) каждого вида продукции.
Величина _ij
показывает объем продукции отрасли i,
которую закупили у нее отрасли j
( i,
j = 1,2,…) в
качестве промежуточных продуктов.
Конечный спрос y_i
показывает объем продукции i-й
отрасли, который был потреблен на
инвестиции, экспорт, для создания
запасов. Число q_i
равняется общему объему продукции
(валовому выпуску) i-й
отрасли за
отчетный период.

Столбцы
таблицы показывают структуру затрат
(input),
или структуру используемых ресурсов,
необходимых для каждой отрасли. Для
столбцов устанавливается следующий
баланс:

затраты отрасли
= промежуточные затраты + добавленная
стоимость

что в математической
записи выглядит как

(2)

Промежуточные
затраты являются исходными материалами,
закупленными i
– й отраслью у отраслей (секторов)
1,2,…,n. Добавленная стоимость является
факторными затратами отрасли, то есть
вновь приобретенной стоимостью, которая
распадается на заработную плату,
предпринимательская прибыль,
амортизационные отчисления.

Для национальной
экономики, исходя, из закона сохранения
должны выполняться отношения:

Выпуск отрасли =
затраты отрасли,

Общая сумма
конечного спроса = общая сумма добавленной
стоимости.

Математически
это записывается следующим образом:

(3)

(4)

Уравнения
(3) и (4) называются балансовыми уравнениями.
Единицами измерения всех указанных
величин могут быть или натуральными
(тонны, штуки) или стоимостными, в
зависимости от чего различают натуральный
и стоимостный баланс. В будущем будим
иметь в виду стоимостный баланс.

Таблица
1 также называется
таблицей межотраслевого баланса и она
позволяет изучать структуру потоков
ресурсов в национальной экономике. Но
более информативными являются
относительные величины. Если все элементы
α_ij
таблицы 1
разделить на величину q_j(объем
продукции j –
й отрасли), а
числа y_iна
q_i,то числа
a_ij=α_ij
/q_j,
i,j
= 1,2,…,n, можно
понимать как
объем продукции i
— й отрасли,
необходимой для производства одной
единицы продукции отрасли с номером j;
числа
y_i/ q_i, i
= 1,2,…,n, как
долю продукции i
–й отрасли,
которая пошла на непроизводственное
потребление.

Числа
a_ij,i
= 1,2,…,n, носят
название коэффициентов прямых,
непосредственных затрат j
– й отрасли и
в некотором смысле полностью характеризуют
технологию j
– й отрасли в
отчетном периоде: выпуск единицы
продукции возможен при структуре затрат,
характеризуемыми величинами a_ij.
Исходя из экономического смысла, считаем
коэффициенты a_ij
положительными.

Матрица
А=[ a_ij], составленная
из коэффициентов прямых затрат a_ij, несет
много информации о структуре межотраслевых
связей и существующей технологии
общественного производства, которые
сложились в народном хозяйстве. Сравнивая
такие матрицы, составленные в разные
моменты времени, можно прогнозировать
направления изменения и развития
технологии.

Например,
некоторые коэффициенты затрат труда
при семидесяти шести отраслевой схеме
классификации отраслей народного
хозяйства США имеют вид

Таблица
2

Название отрасли	1947 г.	1958 г.
Автомобили и оборудование	0,2149	0,1569
Ремонт автомобилей	0,4769	0,4969
Нефтепереработка	0,1328	0,0881

Из
таблицы 2 видно, что вследствие внедрения
прогрессивной технологии резко
уменьшились затраты на производство
автомобилей и нефтепереработку, но в
сфере ремонта автомобилей, где преобладает
ручной труд, относительные затраты
возросли.

Матрицу
А можно
использовать для текущего и долгосрочного
планирования. Сделаем следующие
предположения:

Существующая
технология производства неизменна в
течение некоторого промежутка времени
[T₀,
T], где Т>T₀
. В зависимости
от поставленной задачи промежуток [T₀,
T] может
равняться одному календарному периоду
(год) или нескольким.

Технология
производства линейная, то есть будем
считать, что для выпуска продукции i-й
отрасли объемом
x_iнеобходимо
и достаточно сделать затраты в объемах
x_ia_ij, j=1,2,…,n,
продукции
каждой отрасли.

Все это вместе
приводит к тому, что мы будем рассматривать
идеализацию реальных процессов — модель.
Мы не можем производить какой угодно
объем продукции, так как не хватит прежде
всего производственных мощностей.

Пусть
i-я
отрасль должна
вырабатывать объем x_i,
i=1,2,…,n, валового
выпуска своей продукции. Обозначим
через X
=
[,,….,]^T
матрицу-столбец
валового выпуска всех секторов.
Воспользовавшись
предположением о линейности, рассчитаем
затраты отрасли i
на выпуск
продукции в других отраслях. Это будет

.
(5)

Из
уравнения баланса вытекает, что выражение
(5) равняется x_iминус
конечный спрос, то есть

где

конечный спрос на продукцию i-й
отрасли.

В
матричном виде:

AX
= X — Y, или

(
E – A ) X = Y,
(6)

где
Y —
вектор конечного спроса национальной
экономики, E –
единичная
матрица.

Матрица
B
= (E-A)^-1
называется матрицей полных затрат или
обратной матрицей Леонтьева. Уравнение
(6) вместе с интерпретацией матрицы A
и векторов X,
Y называется
моделью Леонтьева. При планировании
ставится задача: найти вектор X
валового
выпуска, чтобы удовлетворить вектор
конечного спроса Y
при существующей
структуре экономики, которая задается
матрицей A.

Если задан вектор
конечного спроса Y
и существует
положительный вектор производства X,
который
удовлетворяет
уравнению (6), то модель Леонтьева
называется продуктивной.

Для
установления продуктивности модели
Леонтьева необходимы выполнения условия
Хаукинса-Саймона:

Теоретически
решение уравнения (6) весьма компактно:

X
= (E
– A
)^-1
Y
= B∙Y,

где
B
= ( E – A )^-1
— обратная матрица Леонтьева. C
является
ни чем иным, как матрицей коэффициентов
полных затрат. Экономическое содержание
ее элементов b_ij
заключается
в следующему: коэффициент b_ij
показывает общую потребность в валовом
выпуске продукции отрасли i
для производства единицы конечной
продукции отрасли j.

Например,
для выпуска автомобилей нужна продукция
металлургической отрасли, это будет
первичный спрос; также нужны подшипники,
для выпуска которых нужна продукция
металлургической отрасли – это образует
вторичный спрос со стороны отрасли
автомобилестроения на продукцию
металлургической отрасли и так далее.

Задание:

Исследуйте заданную
укрупненной таблицей межотраслевого
баланса модель экономики (в таблице А
и І — сельское хозяйство, В и II —
промышленность, С і III — транспорт, IV —
сектор конечного спроса (домашние
хозяйства), V — общий выпуск). Найдите
объем выпуска каждой отрасли при заданном
конечном спросе Y. Найдите зависимость
выпуска каждой отрасли от конечного
спроса. Укажите, как должен измениться
выпуск каждого сектора при увеличении
спроса на транспортные услуги на k%, где
k = N для вариантов N= 1-10, k=|(N/2)-5| для вариантов
N=11-20, k=|(N/3)-5| для вариантов N =21-30.

Решение:

Дана таблица
межотраслевого баланса.

		II	III	IV	V	Y
A	70	52	350	80	552	560
B	23	45	280	43	391	400
C	17	62	210	47	336	350

A
І —
сельское
хозяйство;

B
II — промышленность;

C
III — транспорт;

IV — сектор конечного
спроса;

V — общий выпуск;

Y
— конечный спрос

Матрица межотраслевого
баланса

2) Общий выпуск
по отраслям

Матрица
отраслевых затрат

3)Структурная
матрица образуется путём деления
элементов матрицы отраслевых затрат
на общий объём затрат по каждой отрасли.

Структурная
матрица А=

4) Проверим
справедливость условия Хаукина-Саймона

= 0,11>0;

=0,77>0;

1-0,12=0,88>0.

5)Заданный конечный
спрос Y=

— объем выпуска по отраслям при заданном
конечном спросе.

Спрос на
транспортные услуги увеличивается на
1% (3,5ед.).

Заданный конечный
спрос Y₂=

Y₂=

— объем выпуска по отраслям при
изменённом

конечном спросе.

6)Разница по отраслям
А-15,05; В-15,96; С-18,76.

Источник

Пусть Q — количество реализованного товара, R(Q) — Функция дохода; C(Q) — функция затрат на производство товара. В реальности вид этих функций зависит в первую очередь от способа производства, организации инфраструктуры и т. п. Прибыль от реализации произведенного товара дается формулой

В микроэкономике известно утверждение: для того чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны. Оба упомянутых предельных показателя определяются по аналогии с (5.14а), так что этот принцип можно записать в виде R‘(Q) = C‘(Q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функции (5.16) следует, что П'(Q) = 0, откуда и получается основной принцип.

Пример 4. Найти максимум прибыли, если доход и издержки определяются следующими формулами:

Решение. Согласно (5.16), прибыль П(Q) = — Q3 + 36Q2 — 69Q — 4000. Приравнивая производную функции прибыли к нулю, получаем уравнение

Корни этого уравнения Q1 = 1, Q2 = 23. Проверка показывает, что максимальная прибыль достигается при Q = 23: Пmах = 1290.

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Download Article

Business statisticians know how to use sales data to determine mathematical functions for sales and demand. Using these functions and some basic calculus, it is possible to calculate the maximum revenue that the company can expect. If you know the revenue function, you can find the first derivative of that function and then determine the maximum point of the function.

1
Understand the relation between price and demand. Economics study shows that, for most traditional businesses, as the demand for any item increases, the price for that item should decrease. Conversely, as the price decreases, demand should increase. Using data from actual sales, a company can determine a supply and demand graph. That data can be used to calculate a price function.
- For more information on graphing supply and demand data, see Find and Analyze Demand Function Curve.
2
Create a price function. The price function consists of two primary pieces of information. The first is the intercept. This is the theoretical price if no items are sold. The second detail is a decreasing slope. The slope of the graph represents the drop in price for each item. A sample price function might look like:
- $p=500-{frac {1}{50}}q$
  - p = price
  - q = demand, in number of units
- This function sets the “zero price” at $500. For each unit sold, the price decreases by 1/50th of a dollar (two cents).
Advertisement
3

Determine the revenue function. Revenue is the product of price times the number of units sold. Since the price function includes the number of units, this will result in a squared variable. Using the price function from above, the revenue function becomes:^[1]

1

Find the first derivative of the revenue function. In calculus, the derivative of any function is used to find the rate of change of that function. The maximum value of a given function occurs when the derivative equals zero. So, to maximize the revenue, find the first derivative of the revenue function.^[2]
2

Set the derivative equal to 0. When the derivative is zero, the graph of the original function is at either a peak or a trough. This will be either the maximum or minimum value. For some higher level functions, there may be more than one solution to the zero derivative, but not a basic price-demand function.^[3]
3

Solve for the number of items at the 0 value. Use basic algebra to solve the derivative for the number of items to sell where the derivative is equal to zero. This will give you the number of items that will maximize the revenue.^[4]
4

Calculate the maximum price. Using the optimal number of sales from the derivative calculation, you can enter that value into the original price formula to find the optimal price.^[5]
5

Combine the results to calculate maximum revenue. After you have found the optimal number of sales and the optimal price, multiply them to find the maximum revenue. Recall that . The maximum revenue for this example, therefore, is:^[6]
6

Summarize the results. Based on these calculations, the optimal number of units to sell is 12,500, at the optimal price of $250 each. This will result in a maximum revenue, for this sample problem, of $3,125,000.^[7]

1
Begin with the price function. Suppose that another business has collected price and sales data. Using that data, the company has determined that the initial price is $100, and each additional unit sold will cut the price by one cent. Using this data, the following price function is:
2

Determine the revenue function. Recall that revenue is equal to price times quantity. Using the price function above, the revenue function is:
3

Find the derivative of the revenue function. Using basic calculus, find the derivative of the revenue function:
4

Find the maximum value. Set the derivative equal to zero and solve for to find the optimal number of sales. This calculation is as follows:
5

Calculate the optimal price. Use the optimal sales value in the original price formula to find the optimal sales price. For this example, this works as follows:
6

Combine the maximum sales and optimal price to find maximum revenue. Using the relationship that revenue equals price times quantity, you can find the maximum revenue as follows:
7

Interpret the results. Using this data and based on the price function , the company’s maximum revenue is $250,000. This assumes a unit price of $50 and a sale of 5,000 units.

Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

Question

How do I find demand function from price function only?

Maximilian Pagsaligan

Community Answer

Derive the demand function, which sets the price equal to the slope times the number of units plus the price at which no product will sell, which is called the y-intercept, or «b.» The demand function has the form y = mx + b, where «y» is the price, «m» is the slope and «x» is the quantity sold.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

References

About This Article

Article SummaryX

You can use formulas for sales and demand to predict the maximum revenue that a company can expect to make. To calculate maximum revenue, determine the revenue function and then find its maximum value. Write a formula where p equals price and q equals demand, in the number of units. For example, you could write something like p = 500 — 1/50q. Revenue is the product of price times the number of units sold. This results in the price function as a squared variable. You can then set the derivative, or the rate of change, to zero. Then, using the optimal number of sales from the derivative, enter that value into the original price formula to find the maximum price. Multiply the maximum number of sales by the maximum price to find the maximum revenue. For tips about better understanding the relationship between price and demand, keep reading!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 228,272 times.

Did this article help you?

Источник