3.1. Уравнение д. Бернулли без учета потерь энергии
Уравнение Д. Бернулли для потока невязкой
жидкости (без учета потерь энергии),
составленное в отношении произвольно
выбранной плоскости сравнения, имеет
следующий вид:
Левая часть уравнения представляет
собой сумму двух видов энергии:
потенциальной, состоящей из энергии
положения
и энергии давления
,
и кинетической энергии
,
отнесенных к единице веса движущейся
жидкости. Коэффициент кинетической
энергии потока
,
входящий в уравнение Д. Бернулли при
движении невязкой жидкости, может
быть принят равным единице.
Многие практические задачи, связанные
с установившимся движением жидкости,
решаются совместным применением
уравнения Д. Бернулли и уравнения
неразрывности (сплошности) потока.
Уравнение неразрывности может быть
записано в следующем виде:
откуда
где V1иV2— средние скорости в сечениях потока;
и
— соответствующие площади живых сечений.
Примеры
3.1.Определить расход воды
в трубе диаметром
,
имеющей плавное сужение до диаметра
,
если показания пьезометров: до сужения
;
в сужении
.
Температура воды
.
Решение.Составим уравнение Бернулли
для сечений 1-1 и 2-2, принимая за плоскость
сравнения ось трубы:
.
Учитывая, что
,
пренебрегая потерями напора, т. е.
принимая
,
и полагая
,получим:
.
Из уравнения неразрывности расхода
имеем:
.
Поскольку
;
,
находим:
.
Обозначим
.
Тогда уравнение Бернулли запишется в
виде
,
откуда найдем скорость в сечении 1-1:
.
Расход воды в трубе
,
где μ – коэффициент, учитывающий
уменьшение расхода вследствие потерь
напора; в первом приближении принимаем
μ=0,98; тогда расход будет
.
Коэффициент μ зависит от отношения
диаметров
и числа Рейнольдса:
;
.
Найдем скорость в сужении трубы
.
Кинематическую вязкость воды примем:
(табл. П-12).
С учётом полученных данных найдем число
Рейнольдса
.
По табл. П-25 находим μ =0,98. Следовательно,
в первом приближении значение μ принято
верно.
Искомый расход
.
Замечание: Рассмотренное сужение трубы
с плавными переходами от большего
диаметра к малому и от малого к большому
называется водомером Вентури.
Ответ: 
.
3.2.Определить, на какую высоту
поднимается вода в трубке, один конец
которой присоединён к суженному сечению
трубопровода, а другой конец опущен в
воду. Расход воды в трубе
,
избыточное давление
,
диаметры
и
.
Решение.Уравнение Бернулли для
сечений 1-1 и 2-2 относительно оси трубы
(потерями напора пренебрегаем) имеет
вид (при
)
.
Учитывая, что скорости в сечениях 1-1 и
2-2 находятся так
и
,
то после преобразований получим:
Полученная отрицательная высота –
вакуумметрическая высота. На эту высоту
и поднимается вода в трубке.
Ответ: 
.
3.3. Определить критическую скорость,
отвечающую переходу от ламинарного
режима к турбулентному, в трубе диаметромd= 0,03 м при движении воды
и воздуха при температуре 25˚C и глицерина
при температуре 20˚C.
Решение.Из формулы для критического
числа Рейнольдса имеем:
.
Для воды
.
Для воздуха
.
Для глицерина
.
3.4. Определить давлениер1
в сечении1-1горизонтально
расположенного сопла гидромонитора,
необходимое для придания скорости
водеV2 = 40м/св выходном сечении2-2, если
скорость движения воды в сечении1-1
V1= 3м/с.
Решение.Данная задача может быть
решена при помощи уравнения Д. Бернулли
и уравнения неразрывности.
При составлении уравнения Д. Бернулли
следует выбрать два сечения в
рассматриваемом потоке и плоскость
сравнения, по отношению к которой
записывается уравнение для двух выбранных
сечений. Эти сечения и плоскость сравнения
выбираются так, чтобы наибольшее
количество величин, входящих в уравнение,
были известными, а в уравнение входили
искомые величины.
При решении данной задачи удобно
использовать сечения 1 — 1 и2 —2, поскольку скорости в этих
сечениях заданы, давлениеp1подлежит определению, а давлениер2в сечении на выходе из гидромонитора
равно атмосферному. Плоскость сравнения
следует провести через ось сопла, тогда
удельные энергии положенияz1
= z2 = 0 и
уравнение Д. Бернулли будет иметь
следующий вид:
откуда
.
О
твет:
.
3.5.Определить диаметрdсуженной части горизонтального
трубопровода, при котором вода
поднимается на высотуh
= 3,5м при расходе
Q= 6л/с и диаметреD = 10см.
Решение.Плоскость сравнения
совместим с осью трубы. Выбрав сечения1 — 1 и2 —2 и составив
уравнение Д. Бернулли, получим:
Так как плоскость сравнения проведена
по оси трубы, то z1
=z2= 0, и тогда
Для того чтобы вода поднялась на высоту
3,5 м, необходимо, чтобы удельная
энергия давления в сечении1 — 1была
равна
,
откуда
.
Так как истечение происходит в атмосферу,
то давление р2равно атмосферному,
т.е.
Следовательно,
Для определения диаметра суженной части
воспользуемся уравнением неразрывности
движения
,
где
и
.
Подставив в уравнение найденные величины,
получим
откуда искомый диаметр
Ответ:
.
3.6.Определить расход воды в
горизонтальном трубопроводе переменного
сечения, скорость на каждом из участков
и построить пьезометрическую линию,
еслиH= 5м, d1= 15мм, d2= 20мм и d3
= 10мм.
Решение.Уравнение Д. Бернулли для
сечений0 — 0 и3 —3при
совмещении плоскости сравнения с осью
трубы будет иметь вид
В данном случае
=H,
= 0. В связи с тем, что в сечениях0—0
и3—3давление равно атмосферному,
то
.
Учитывая, чтоH=const,
а скорость в сечении0—0 V0= 0, скорость в выходном сечении3 —3определится из зависимости
откуда
Расход воды в трубопроводе
Скорость в сечении 1 —
1
Скорость в сечении 2 —2
Пьезометрическую линию строят, исходя
из следующих положений. Поскольку задача
решается без учета потерь энергии, то
напорная линия (линия полной энергии)
будет представлять собой горизонтальную
прямую, являющуюся продолжением свободной
поверхности воды в сечении 0 —0.
Пьезометрическая линия расположится
ниже напорной линии на величину
в каждом сечении. Таким образом, отложив
вниз от напорной линии величины
в сечениях, соответствующих изменению
диаметра трубопровода, получим ряд
точек, соединив которые построим
пьезометрическую линию (см. рис). При
этом:
Ответ:
.
3.7. Определить избыточное давление
воды на входе в брандспойт и диаметр
выходного сечения , необходимые для
получения струи мощностьюQ=9
л/с, бьющей вертикально вверх на высоту
Н=15 м при диаметре входного сеченияD=60
мм и длине брандспойтаh=0,5
м.
Решение:
Составим уравнение Бернулли для сечений
1-1 и 3-3
относительно плоскости сравнения
-
(см.рис.):
,
где Z1=0;p1=
;Z3=(H+h);p3=pатм;V3=0;V1=
.
Тогда
.
Откуда найдем давление на входе в
брандспойт:
Па=1,498
Па.
Составим уравнение Бернулли для сечений
2-2 и 3-3 относительно плоскости сравнения
(см.рис.):
,
где Z2=0;p2=pатм;
р3=ратм;Z3=H;V3=0.
Тогда получаем уравнение:
,
откуда определим скорость воды на
входеV
м|c.
Из уравнения постоянства расхода Q=
найдем диаметрd:
d=
м=25,8 мм.
Ответ: р
Па;d=25,8 мм.
3.8. Поршень в цилиндре А, двигаясь
вверх, поднимает воду из резервуара В
при разности уровней воды в цилиндре
под поршнем и в резервуаре Н=3 м. Определить
скорость движения поршня, при котором
абсолютное давление под ним р=0,65 кг/см
.
Решение:
Составим уравнение Бернулли для сечений
1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения
0-0 (см.рис.):
Z
,
где Z
;p
=p
;V
;Z
=H;p
=p
;V
=V
.
Тогда
=H+
.
Откуда найдем скорость поршня:
V
=
м/с.
Ответ: Vn=3,13
м/с.
3.9. Давление в трубопроводе диаметром
d=35 мм при закрытом кране равно p=3,2
кгс/см2. Определить давление перед
краном при расходе воды в трубопроводе
Q=7,3 л/с.
Решение:
Найдём скорость движения воды в трубе
после открытия крана:
м/с.
Таким образом, часть давления
(первоначального) перейдёт в скоростной
напор:
Hv=
м.
Найдём это конечное давление перед
краном:
р1
=
Па = 2,88 кгс/см2.
Ответ:р1=2,88 кгс/см2.
3.10. Горизонтальный отстойник для
очистки сточных вод имеет ширинуb=1,5
м и глубинуh=1,0 м. Режим
движения воды в отстойнике ламинарный.
Определить максимально допустимый
расход сточных вод в отстойнике, еслиt в=20oC,Rе<Rе
кр
Решение: Так как режим движения воды
в отстойнике ламинарный, то число
Рейнольда длжно быть меньше критического,
которое для открытых русел может быть
найдено по зависимости:
Rе’кр=
= 800 ÷ 900,
где R=
— гидравлический радиус;
ω=bh–площадь
гидравлического сечения отстойника;
χ= 2h+b– смоченный периметр отстойника.
Тогда R=
=
=
.
Найдём максимальное значение скорости,
соответствующее максимальному режиму
движения. При этом
=
1.01·10-6 м2/c
(Приложение 2, стр 226 (1)).
Замечание : скорость получилась вполне
удовлетворительная для горизонтальных
отстойников. Теперь найдём максимально
допустимый расход сточных вод:
л/c
Ответ:
.
3.11. Под действием разности уровнейH= 2,6 м и избыточном давленииp0 = 0.3 ат по трубе
нормального сечения вода перетекает
из из верхнего резервуара в нижний(d1=150мм,d2=125 мм,d 3=100 мм). Определить
расход воды и построить пьезометрическую
линию без учёта потерь на трение.
Р
ешение:
Составим уравнение Бернулли для сечений
1-1
и 2-2 относительно плоскости сравнения
0-0
( см. рис.):
,
где Z1=H;Z2= 0;p1
= po
+pат;p2
=pат;
V1 =V2≈ 0.
Так как по условию задачи потери на
трение
не учитываются, то остаются только
потери напора на местных сопротивлениях:
hw=hl
+hм= 0 +hм,
где hм =hвх
+hвн.с.1 +hвн.c.2
+hвых.
В результате получаем:
или
(*).
Распишем местные сопротивления:
;
:
;
;
где
;
;
;
;
.
Подставив исходные данные в эти формулы,
в результате получим:
;
;
;
;
;
;
Потери напора в местных сопротивлениях
приведем к одной скорости, в частности,
к V3 :
;
;
;
;
Представив эти значения в уравнение
(*) , в результате получим:
.
Найдём напор; соответствующий давлению
.
Получаем уравнение:
,
откуда найдём скорость
.
Найдём величину расхода воды, протекающей
по трубе:
Для построения пьезометрической линии
найдём величину скоростного напора в
каждой из трёх труб:
;
;
.
Найдём теперь потери напора на местных
сопротивлениях и от этих значений вниз
отложим величины скоростных напоров,
в результате получим линию пьезометрических
напоров p-p:
;
;
;
.
Замечание: если бы в решении задачи
были учтены потери напора на трение по
длине, то линияp-pна участкахd1, d2,
d3 имела бы
наклонный характер.
3.12. Из открытого резервуара вода
вытекает по расширяющейся трубе с
диаметрамиd1=300 мм
иd2=350 мм , длиной
от суженной части до нижнего сеченияH2= 2,5 м. Найти давлениеpв суженной части трубы
при напореH1= 0,65 м.
Потерями напора пренебречь.
Решение:
З
апишем
уравнение Бернулли для сечений а-а и
2-2 относительно плоскости сравнения
0-0 (см. рис.):
Тогда
откуда найдем скорость истечения
:
.
По уравнению постоянства расхода
найдем скорость воды в сечении 1-1:
.
Составим уравнение Бернулли для
сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости
сравнения 0-0:
где
.
Тогда
откуда найдём давление
Ответ:
3.13. Определить среднюю скорость
движения воды в трубе, если разность
показаний между динамической и статической
трубками, определяемая по ртутному
дифференциальному пьезометру, составляетh=20 мм.
Р
ешеиие:
Составим уравнение равновесия для
ртутного пьезометра:
,
где
—
давление в точке А.
Получаем
=h(
—
1).
Следовательно, скорость на оси трубы
равна:
=
=
=
=2,22м/с
Средняя скорость в трубе при турбулентном
режиме движения составит
V=(0,85
0,95)
=(0,85
0,95)2,22=
(1,89
2,11)м/с.
Ответ. V
2,0м/с.
3.14. Из резервуара по трубе, имеющей
сужение, протекает вода. Определить
диаметр суженной частиd,
при котором образуется заданная величинаhвак=10мм, если
известны напор Н=10м и диаметрD=100мм.
Д
ано:
Решение:
Составим уравнение Бернулли для сечений
0-0 и 2-2 относительно плоскости сравнения
—
:
где
.
Тогда получаем 
.
Найдём скорость на выходе из трубы
.
Составим уравнение Бернулли для сечений
1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения
—
:
где
.
Подставим и получим
,
Откуда найдём вакуум
.
Поделим на удельный вес ртути и найдём
вакуумметрическую высоту
;
или
.
Найдём скорость в сечении 1-1
По уравнению неразрывности найдём
диаметр в сечении 1-1
Ответ:
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
На чтение 4 мин Просмотров 4.4к.
В предыдущей статье было подробно рассмотрено ключевое понятие для гидравлики – давление. Теперь, во второй части этой статьи, я постараюсь максимально просто рассказать про движение жидкости.
Для начала рассмотрим, какое бывает движение жидкости. Существует большое количество различных классификаций и подходов к математическому описанию движения, но мы практически все это опустим, упомянем лишь, что в инженерной практике преимущественно рассматривается так называемое установившееся равномерное движение.
Это означает, что мы рассматриваем поток жидкости как замороженную картинку. Обычно системы водоснабжения и канализации рассчитывают именно так, принимая при этом пиковую нагрузку (расходы). Кроме того отметим, что рассматриваем далее движение реальной жидкости (т.е. в ней действуют силы внутреннего трения).
Это означает, что жидкость испытывает сопротивление своему движению, и тратит на движение свою энергию, которую называют напором жидкости.
Для нас также важно то, что движение жидкости может быть безнапорным и напорным.
Содержание
- Виды движения жидкости
- Уравнение неразрывности потока жидкости
- Уравнение Бернулли
Виды движения жидкости
- Безнапорное движение: жидкость движется сверху вниз под действием силы тяжести. Сечение трубы (канала) при этом не полностью заполнено водой, имеется так называемая свободная поверхность жидкости. Так работает система канализации у нас дома в большинстве случаев.
- Напорное движение: жидкость может двигаться не только сверху вниз, но и снизу вверх. Она движется под разницей напоров. Это подробно объясняется чуть ниже. Напорное движение характерно для системы водоснабжения.
Движение жидкости подчиняется двум основным уравнениям.
Уравнение неразрывности потока жидкости
Q = ω · v
Q – расход жидкости; объем жидкости, проходящий через живое сечение потока ω за единицу времени. В системе СИ измеряется в м3/с. Поскольку 1 кубометр – это очень много, то обычно эту единицу измерения используют для рек. В инженерной практике оперируют [л/с], величиной, в 1000 раз меньшей. Так, обычно, умываясь, из смесителя к нам в руки направляется 0,1 – 0,2 л/с воды.
ω – живое сечение потока, м2. Живое сечение – та часть поперечного сечения трубопровода (или русла), которую занимает поток жидкости.
v – средняя скорость потока жидкости в живом сечении. Дело в том, что если посмотреть на распределение скоростей частиц жидкости по сечению, например в напорном трубопроводе, то получится, что по центру скорость движения максимальна, а у стенок трубы равна 0. Т.е. скорости не одинаковы, поэтому используют понятие средней скорости. Измеряется в метрах в секунду (м/c). Скорость движения воды в системах водоснабжения и водоотведения примерно 0,7 — 1,5 м/с
Пример. Какой расход движется по трубе внутренним диаметром 40 мм в напорном режиме, если средняя скорость потока составляет 1,2 м/c?
Решение: площадь живого сечения трубы = площадь круга диаметром 40 мм. Площадь круга: ω = 3,14*d²/4 = 3,14*0,04²/4 = 0,00126 м². Тогда расход: Q = ω·v = 0,00126 · 1,2 = 0,00151 м³/с = 1,51 л/с.
Здесь представим сразу упрощенный вид уравнения Бернулли для напорного движения жидкости, который используют для расчета трубопроводных систем. В нем пренебрегают скоростными напорами (кинетической энергией жидкости в сечениях потока) ввиду малости этих скоростей для систем водоснабжения и водоотведения.
Уравнение Бернулли составляют для любых двух сечений одного потока жидкости. Оно связывает между собой скорости движения жидкости и давления в этих сечениях.
Уравнение Бернулли
Z₁ + H₁ = Z₂ +H₂ + hf
Здесь: Z₁ – положение (отметка) сечения 1-1, выражается в метрах.
H₁ – напор в сечении 1-1 (избыточное давление в сечении 1-1, выраженное в метрах столба жидкости H₁ = p₁/ρg)
Z₂ – положение (отметка) сечения 2-2, выражается в метрах.
H₂ – напор в сечении 2-2 (избыточное давление в сечении 2-2), выражается также в метрах
hf – общая потеря напора при движении жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2. Происходит за счет работы сил трения в жидкости. При определенных условиях зависит от шероховатости
Пример. Какой напор будет в точке установки смесителя (точка 2) при величине напора воды в точке подключения в квартиру (точка 1) равном 5 м? Потерю напора при движении расчетного расхода по указанному пути принять 2 м. Точка 1 расположена на высоте 1 м от пола, точка 2 расположена на высоте 0,5 м от пола.
Решение: Отметки записываются относительно плоскости сравнения. Это может быть абсолютно любая горизонтальная плоскость. В данном случае удобно принять за плоскость сравнения поверхность пола.
Z₁ + H₁ = Z₂ +H₂ + hf
1 + 5 = 0,5 + H₂ + 2, H₂ = 3,5м.
Отметим, что этот напор 3,5 м будет полностью потрачен в самом смесителе. В месте выхода воды из смесителя – атмосферное давление. Избыточное давление в этом месте равно 0 м.вод.ст.
Это выглядит довольно просто, однако сложность заключается в том, что в реальной жизни величину потери напора hf необходимо определять. Какие бывают потери напора, и как их определять – читайте третью статью в данном цикле
Воспользовавшись данным калькулятором, вы без труда сможете определить скорость воды в трубе, зная диаметр трубы и расход воды.
Как пользоваться калькулятором для расчёта скорости жидкости в трубопроводе?
Введите диаметр трубы, через которую будет протекать жидкость. Затем заполните следующее поле калькулятора, где укажите расход воды в трубе за единицу времени. После этого останется только нажать на кнопку «Рассчитать» и сразу же узнаете скорость потока жидкости в данном трубопроводе. Как вы можете видеть всё довольно просто и легко.
В итоге, после вычислений, результат скорости будет выведен в метрах в секунду (м/с). Если вам нужны другие единицы измерения, то переводить придётся самостоятельно.
Как самостоятельно определить скорость движения воды в трубе ?
Для того чтобы рассчитать скорость протекания жидкости в трубе воспользуйтесь следующей формулой из гидравлики:
V = 4 * Q / (π * d2) , где
Q — расход воды в трубе, м3/сек,
π — просто число пи (из математики),
d — внутренний диаметр трубопровода, м
Результатом будет скорость движения жидкости в м/с. При вычислениях будьте внимательны в размерностях. А лучше всего скорость воды считайте на нашем простом онлайн-калькуляторе. Это сэкономит ваше время и нервы :).
Максимальная скорость движения жидкости в трубе обычно ограничивается из соображений шумности потока в трубах. Следует придерживаться следующих рекомендаций:
до 1,5 м/сек — скорость для общественных зданий и помещений в них,
до 2,0 м/сек — скорость для административно-бытовых зданий и помещений,
до 3,0 м/сек — максимальная скорость в производственных зданиях и помещениях.
Слишком маленькая скорость тоже противопоказана нормальной работе трубопровода. В некоторых случаях могут образовываться воздушные пробки в системе.
Как м3/ч перевести в л/с ?
Перевести метры кубические в час в литры в секунду или наоборот очень просто. Посмотрите ниже на коэффициенты перевода и вам все станет понятно. Достаточно лишь воспользоваться кнопкой умножения на калькуляторе.
1 м3/час равен 0,278 л/сек
1 л/сек равен 3,600 м3/час
Думаю такая информация будет весь полезна при любых расчётах в гидравлике. Примеры приводить нет смысла, если очень надо то посмотрите калькулятор расчета диаметра трубы по расходу воды, там всё это есть.
Было полезно? Поделитесь с друзьями!
Главная страница
Содержание
Введение
Основы гидростатики
Основы гидродинамики
Гидравлические сопротивления
Истечние жидкости из отверстий, насадков и из-под затворов
Гидравлический расчет простых трубопроводов
Гидравлические машины
Лекция 3. ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ
Гидродинамика — раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости и ее взаимодействие
с неподвижными и подвижными поверхностями.
Если отдельные частицы абсолютно твердого тела жестко связаны между собой, то в движущейся жидкой среде
такие связи отсутствуют. Движение жидкости состоит из чрезвычайно сложного перемещения отдельных молекул.
Живым сечением ω (м²) называют площадь поперечного сечения потока, перпендикулярную
к направлению течения. Например, живое сечение трубы — круг (рис.3.1, б); живое сечение клапана — кольцо с
изменяющимся внутренним диаметром (рис.3.1, б).
Рис. 3.1. Живые сечения: а — трубы, б — клапана
Смоченный периметр χ («хи») — часть периметра живого сечения, ограниченное твердыми
стенками (рис.3.2, выделен утолщенной линией).
Рис. 3.2. Смоченный периметр
Для круглой трубы
если угол в радианах, или
Расход потока Q — объем жидкости V, протекающей за единицу времени t через живое
сечение ω.
Средняя скорость потока υ — скорость движения жидкости, определяющаяся отношением расхода
жидкости Q к площади живого сечения ω
Поскольку скорость движения различных частиц жидкости отличается друг от друга, поэтому скорость движения
и усредняется. В круглой трубе, например, скорость на оси трубы максимальна, тогда как у стенок трубы она
равна нулю.
Гидравлический радиус потока R — отношение живого сечения к смоченному периметру
Течение жидкости может быть установившимся и неустановившимся. Установившимся движением называется
такое движение жидкости, при котором в данной точке русла давление и скорость не изменяются во времени
υ = f(x, y, z)
P = φ f(x, y, z)
Движение, при котором скорость и давление изменяются не только от координат пространства, но и от времени,
называется неустановившимся или нестационарным
υ = f1(x, y, z, t)
P = φ f1(x, y, z, t)
Линия тока (применяется при неустановившемся движении) это кривая, в каждой точке которой вектор
скорости в данный момент времени направлены по касательной.
Трубка тока — трубчатая поверхность, образуемая линиями тока с бесконечно малым поперечным сечением.
Часть потока, заключенная внутри трубки тока называется элементарной струйкой.
Рис. 3.3. Линия тока и струйка
Течение жидкости может быть напорным и безнапорным. Напорное течение наблюдается в закрытых руслах
без свободной поверхности. Напорное течение наблюдается в трубопроводах с повышенным (пониженным давлением).
Безнапорное — течение со свободной поверхностью, которое наблюдается в открытых руслах (реки, открытые
каналы, лотки и т.п.). В данном курсе будет рассматриваться только напорное течение.
Рис. 3.4. Труба с переменным диаметром при постоянном расходе
Из закона сохранения вещества и постоянства расхода вытекает уравнение неразрывности течений.
Представим трубу с переменным живым сечением (рис.3.4). Расход жидкости через трубу в любом ее сечении
постоянен, т.е. Q1=Q2= const, откуда
ω1υ1 = ω2υ2
Таким образом, если течение в трубе является сплошным и неразрывным, то уравнение неразрывности примет вид:
Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно
дает связь между давлением P, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z
в различных сечениях потока и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. С помощью этого
уравнения решается большой круг задач.
Рассмотрим трубопровод переменного диаметра, расположенный в пространстве под углом
β (рис.3.5).
Рис.3.5. Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости
Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: сечение 1-1 и
сечение 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой
равен Q.
Для измерения давления жидкости применяют пьезометры — тонкостенные стеклянные трубки, в которых
жидкость поднимается на высоту 
. В каждом сечении установлены
пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные высоты.
Кроме пьезометров в каждом сечении 1-1 и 2-2 установлена трубка, загнутый конец которой
направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито. Жидкость в трубках Пито также
поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии.
Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечением 1-1 и 2-2
поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то мы
получим ломаную линию (рис.3.5).
Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0, называемой
плоскостью сравнения, будет одинакова.
Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна, и будет
отражать уровень полной энергии трубопровода.
Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет
следующий вид:
Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе:
и прочитать так: сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть
величина постоянная.
С энергетической точки зрения каждый член уравнения представляет собой определенные виды энергии:
z1 и z2 — удельные энергии положения, характеризующие потенциальную энергию в сечениях 1-1 и
2-2;
— удельные энергии давления, характеризующие потенциальную
энергию давления в тех же сечениях;
— удельные кинетические энергии в тех же сечениях.
Следовательно, согласно уравнению Бернулли, полная удельная энергия идеальной жидкости в любом сечении
постоянна.
Уравнение Бернулли можно истолковать и чисто геометрически. Дело в том, что каждый член уравнения имеет
линейную размерность. Глядя на рис.3.5, можно заметить, что z1 и z2 — геометрические высоты сечений 1-1
и 2-2 над плоскостью сравнения; — пьезометрические высоты;
— скоростные высоты в указанных сечениях.
В этом случае уравнение Бернулли можно прочитать так: сумма геометрической, пьезометрической и скоростной
высоты для идеальной жидкости есть величина постоянная.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости несколько отличается от уравнения
Дело в том, что при движении реальной вязкой жидкости возникают силы трения, на преодоление которых
жидкость затрачивает энергию. В результате полная удельная энергия жидкости в сечении 1-1 будет больше
полной удельной энергии в сечении 2-2 на величину потерянной энергии (рис.3.6).
Рис.3.6. Схема к выводу уравнения Бернулли для реальной жидкости
Потерянная энергия или потерянный напор обозначаются 
и имеют также линейную размерность.
Уравнение Бернулли для реальной жидкости будет иметь вид:
Из рис.3.6 видно, что по мере движения жидкости от сечения 1-1 до сечения 2-2 потерянный
напор все время увеличивается (потерянный напор выделен вертикальной штриховкой). Таким образом, уровень
первоначальной энергии, которой обладает жидкость в первом сечении, для второго сечения будет складываться
из четырех составляющих: геометрической высоты, пьезометрической высоты, скоростной высоты и потерянного
напора между сечениями 1-1 и 2-2.
Кроме этого в уравнении появились еще два коэффициента α1 и α2, которые
называются коэффициентами Кориолиса и зависят от режима течения жидкости ( α = 2 для ламинарного
режима, α = 1 для турбулентного режима ).
Потерянная высота складывается из линейных потерь, вызванных силой трения между слоями
жидкости, и потерь, вызванных местными сопротивлениями (изменениями конфигурации потока)
= hлин + hмест
С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач практической гидравлики. Для этого выбирают два
сечения по длине потока, таким образом, чтобы для одного из них были известны величины Р, ρ,
g, а для другого сечения одна или величины подлежали определению. При двух неизвестных для второго
сечения используют уравнение постоянства расхода жидкости υ1ω
1 = υ2ω2.
Для измерения скорости в точках потока широко используется работающая на принципе уравнения Бернулли трубка
Пито (рис.3.7), загнутый конец которой направлен навстречу потоку. Пусть требуется измерить скорость жидкости
в какой-то точке потока. Поместив конец трубки в указанную точку и составив уравнение Бернулли для сечения
1-1 и сечения, проходящего на уровне жидкости в трубке Пито получим
где Н — столб жидкости в трубке Пито.
Рис. 3.7. Трубка Пито и pасходомер Вентури
Для измерения расхода жидкости в трубопроводах часто используют расходомер Вентури, действие которого
основано так же на принципе уравнения Бернулли. Расходомер Вентури состоит из двух конических насадков с
цилиндрической вставкой между ними (рис.3.7). Если в сечениях I-I и II-II поставить пьезометры,
то разность уровней в них будет зависеть от расхода жидкости, протекающей по трубе.
Пренебрегая потерями напора и считая z1 = z2 , напишем уравнение Бернулли для сечений I-I и
II-II:
или
Используя уравнение неразрывности
Q = υ1ω1 = υ2ω2
сделаем замену в получено выражении:
Решая относительно Q, получим
Выражение, стоящее перед 
, является постоянной величиной, носящей название постоянной
водомера Вентури.
Из полученного уравнения видно, что h зависит от расхода Q. Часто эту зависимость строят в
виде тарировочной кривой h от Q, которая имеет параболический характер.
Проверить себя ( Тест )
Наверх страницы
Занятие 7 Режимы движения жидкости. Критическая скорость Режим движения (ламинарный или турбулентный) определяется по числу Рейнольдса: для напорных потоков круглого сечения Reкр = 2320 для некруглых напорных потоков и безнапорных Reкр = 580 Тогда при Re < 2320 (580) — режим ламинарный; при Re > 2320 (580) — режим турбулентный.
Примеры решения задач Задача 1 По трубе диаметром 70 мм протекает за сутки 120000 кг нефти плотностью 820 кг/м 3, вязкость нефти = 0, 5 см 2/с. Определить режим движения нефти.
Решение: Q = 120000/820∙ 86400 = 0, 0017 м 3/с; = 3, 14∙ 0, 072/4 = 0, 0038 (м 2) v = 0, 0017/0, 0038 = 0, 45 (м/с); Re = 45∙ 7 / 0, 5 = 630 < Reкр= 2320 – режим ламинарный
Задача 2 Определить режим движения в лотке прямоугольного сечения шириной b = 120 см при уровне воды в нем h = 5 см, если V = 8 см/с, = 0, 015 см 2/с.
Решение: = b∙h /2 h + b = 120∙ 5 /2∙ 5 + 120 = 4, 62 (см) Re = 8 ∙ 4, 62 / 0, 015 = 2464 > Reкр= 580 — режим турбулентный
Задача 3 Определить режим движения в водопроводе диаметром 100 мм и длиной 2, 5 км, если расход воды 11, 8 л/с.
Решение = 3, 14∙ 0, 12 / 4 = 0, 00785 (м 2). V = 0, 0118 / 0, 00785 = 1, 5 (м/с). Принимается = 0, 01 см 2/с. = = 150∙ 10 / 0, 01 = 150000 > 2320 – режим турбулентный
Задача 4 Вода из одного бассейна в другой с расходом 12 л/с подается по трубе диаметром 50 мм. Определить режим движения и критическую скорость.
Решение Определяется скорость в трубе (м/с) Определяется режим движения при кинематической вязкости воды =0, 01 см 2/с. = 611∙ 5 / 0, 01 = 305500 — режим турбулентный. Критическая скорость соответствует критическому числу Re = 2320
Задачи для самостоятельного решения Задача 5 Какой режим движения воды будет при температуре в круглой напорной трубе диаметром d = 32 мм, если расход равен Q = 0, 5 л / с ? Задача 6 По напорной трубе диаметром d = 25 мм движется вода, температура которой составляет . Определить расход в л/с, при котором наступает смена режима движения.
Задача 7 Изучение режимов движения жидкости производится в лабораторных условиях на стеклянной трубе диаметром d = 0, 025 м, через которую пропускается вода с температурой 10 ºС. Расход воды определяется при помощи мерного цилиндра и секундомера. Подсчитать, в течение какого времени будет наполнятся мерный цилиндр емкостью W = 0, 003 м 3 при режиме движения воды, соответствующем критическому значению числа Рейнольдса.
Задача 8 Определить критическую скорость, отвечающую переходу из ламинарного течения к турбулентному, для трубы диаметром d = 0, 02 м, при движении в ней воды при температуре t = 15 ºС и глицерина при t = 20 ºС. Кинематическая вязкость глицерина = 4, 1 · 10 -4 м 2/с.
Задача 9 Определить режим движения жидкости с вязкостью в лотке прямоугольного сечения при расходе потока Q = 300 л/с. Ширина лотка 1 м, глубина безнапорного потока в нём 0, 5 м. Примечание: выполнить второе решение для движения напорного потока.
Самостоятельно: Задача 10 По трубопроводу диаметром 100 мм перекачивается нефть ( = 0, 42 см 2/с) в количестве 12 дм 3/с. Определить: а) режим движения нефти; б) критическую скорость. Задача 11 Определить потерю напора в трубопроводе длиной 500 м и диаметром 150 мм при перекачке воды расходом 20 л/с, = 0, 012 см 2/с. Как изменится потеря напора в трубопроводе, если диаметр трубы уменьшится в 2 раза? Задача 12 Задача 13 Как изменится потеря напора в трубопроводе, если вязкость уменьшится в 2 раза?
Ответы: № 10 – а) режим турбулентный; б) 0, 98 м/с; № 12 – увеличится в 16 раз; № 13 – уменьшится в 2 раза.