Как найти максимальный объем коробки

МЕТОДИЧЕСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Название образовательной программы

Авторская  программа курса информатики и информационных технологий для 5-7 классов лицея № 4 г. Краснодара Коротенко А. А, разработанная на основе обязательного минимума содержания образования по информатике (уровень Б) и учебного плана  МОУ-лицей  № 4 города Краснодар.

Тип урока

Практическая работа: «Определение наибольшего объема коробки» по теме «Компьютерные модели» для учащихся 6 класса

Цели урока

Обучающая – научить анализировать текст задачи, разбивать решение задачи на этапы, применять на практике полученные знания, научить проводить компьютерный эксперимент, использовать для решения задачи графики и диаграммы. 

Развивающая – учить анализировать полученные результаты, сравнивать, делать выводы.

Воспитательная – воспитывать творческий подход к труду, аккуратность, ответственность.

Задачи урока

• Выполнить постановку задачи «Определение наибольшего объема коробки».
• Разработать математическую модель решения.
• Выполнить компьютерную реализацию модели.
• Провести компьютерный эксперимент.
• Проанализировать  результаты и  сделать выводы.

Ожидаемые результаты

В ходе урока ученики актуализируют знания, приобретенные при изучении тем «Моделирование», «Компьютерное моделирование», приобретут практические навыки в решении задачи путем разбиения процесса решения на этапы, в том числе: в проведении компьютерного эксперимента  и анализе полученных результатов, закрепят знания о назначении, целесообразности и смысле  компьютерного моделирования.

ПОДРОБНЫЙ КОНСПЕКТ УРОКА

 Мотивация учащихся

Раздел  «Моделирование»  является интересным, но непростым  для понимания и усвоения в школьном курсе информатики.  Рассматриваемый  урок является логическим продолжением  изучения теоретического материала по теме  «Компьютерное моделирование»    и  содержит  Практическую работу,  назначение которой: в процессе решения несложной задачи  рассмотреть все этапы построения и применения компьютерной  модели  и добиться от каждого ученика полного выполнения и усвоения предложенного материала.

Цель решения задачи доступна для понимания учащимися 6 класса. Математическая модель решения задачи знакома учащимся из курса математики. Во время объяснения учитель использует  презентацию, которая содержит цель работы, повторение необходимого теоретического материала, задание на текущий урок, домашнее задание. Учитель организует совместное обсуждение работы с учащимися в форме диалога. На этапе формализации и постановки задачи применяется раздаточный материал – бумажные модели (развертки) прямоугольных параллелепипедов,  выполненные  из квадрата заданного размера, но с различной величиной выреза для того, чтобы учащиеся могли убедиться и самостоятельно обосновать необходимость применения компьютерного моделирования.

Учащиеся понимают, что цель урока – создать компьютерную модель, провести эксперимент и проанализировать результаты. Для большей наглядности можно использовать графики и диаграммы. Результаты трех компьютерных экспериментов учащиеся будут заносить в таблицу.

Ход и содержание урока

I. Объявление темы, целей и задач урока

II. Актуализация опорных знаний

Учитель предлагает ученикам вспомнить, что такое моделирование и модель, виды моделей. Повторить понятия формализации, обсудить: какая задача считается «хорошо поставленной»? Учащиеся повторяют этапы решения задачи на компьютере. Раскрывают понятие «адекватности модели». Учитель подводит учеников к выводу о том, что существуют ситуации, когда компьютерное моделирование является единственно возможным способом решения поставленной задачи.

III. Объяснение содержания и выполнение практической работы – презентация

Сформулируем задачу. Из квадратного листа металла необходимо сделать коробку наибольшего объема. [1]

Некоторые из вас, ребята, ошибочно полагают, что какую бы форму не имела коробка, сделанная из одного и того же листа, её объём будет постоянным. От чего же зависит объём коробки? Можем ли мы позволить себе взять несколько листов металла и наугад выкраивать коробки? Каким образом мы убедимся, что полученная коробка будет иметь наибольший объём? Очевидно, что нам поможет компьютерное моделирование.

Этап 1. Постановка задачи

Дано: квадрат со стороной  а см. По углам вырезаются квадраты со стороной b см. Найти: величину выреза b такую, чтобы объем коробки был наибольшим.

Этап 2.  Построение математической модели

Нам необходимо найти объем прямоугольного параллелепипеда. Воспользуемся известной формулой   V=a*b*c. Заметим, что в качестве расчетной формулы мы могли бы использовать другие алгебраические выражения, но  была бы при этом модель адекватной? Доработаем модель. Длина и ширина нашей коробки равны с см, а высота равна b см, поэтому формула для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда примет вид  V=b*c*с.

Выразим с через а и b: с=а-2*b

Математическая модель для решения нашей задачи построена.

Этап 3.  Компьютерная реализация  модели

Откройте табличный процессор и создайте таблицу. Сохраните таблицу под именем Объём. В ячейке А7 будем хранить длину стороны квадрата. Эта величина не меняется в процессе решения задачи.

В столбец В, начиная с ячейки В7, будем записывать высоту коробки. Начальное значение высоты – о см. Эта величина будет нарастать с заданным шагом. В столбце С, начиная с ячейки С7, будем вычислять длину основания коробки в зависимости от величины выреза по формуле  с=а-2*b. Переведём эту формулу на язык табличного  процессора, предварительно  вспомнив: «Какая величина в процессе решения задачи  не меняется?» Остаётся постоянной длина стороны листа, поэтому   формула имеет вид:   =А$7-2*В7. В столбце D будем вычислять объём коробки по формуле V=b*c*с. В ячейку D7 самостоятельно запишем соответствующую формулу. Формула имеет вид:  =В7*С7*С7   или    =В7*СТЕПЕНЬ(С7;2). Выполните копирование формул в столбцах С и D. Построение компьютерной модели решения задачи завершено.

Этап 4. Компьютерный эксперимент

Приступим к самой интересной части нашей работы. Пусть длина стороны квадратного листа равна 1м или 100 см. Будем постепенно увеличивать высоту коробки (величину выреза) для того, чтобы найти наибольший объём. Высоту коробки будем менять, задавая шаг. Подготовьте таблицу для записи результатов эксперимента. В графу «Величина выреза» запишите простым карандашом предполагаемые ответы – высоту коробки. После окончания эксперимента, у нас появится возможность сравнить Ваш прогноз и результаты расчетов. В ячейку В7 запишем начальное значение величины  выреза – 0 см. В ячейку В8 запишем величину шага – 1 см. Выделите эти две ячейки и выполните автоматическое заполнение следующих за ними ячеек. Как называется полученный ряд чисел? Арифметическая прогрессия с разностью 1.

Проанализируем полученные результаты. Очевидно, что ответ находится в строке номер 24. При величине выреза 17 см наибольший объём равен 74052 куб.см.

Для более наглядного представления, выделим данные в диапазоне ячеек D7:D57 и построим график (гистограмму) зависимости объёма коробки от величины выреза. Продолжим эксперимент. Изменим величину шага. В ячейку В8 внесём  2 см. Выделите ячейки В7 и В8 и выполните автоматическое заполнение следующих за ними ячеек. Какой теперь вы получили результат? Сравните новый результат с предыдущим. При величине выреза 16 см наибольший объём равен 73984 куб.см. Занесите результаты двух экспериментов в таблицу. Какие можно сделать выводы?

Проведём заключительный опыт. Уменьшим величину шага. В ячейку В8 запишем число 0,5.  Занесите результат в таблицу ответов:  При величине выреза 16,5 см наибольший объём равен 74068,5 куб.см.

Этап 5. Анализ результатов

Проанализируйте полученные результаты и в рабочей тетради сделайте краткие выводы.

Ответьте на вопросы.

1. Возможно ли проведение большего количества опытов?
2. Является ли наш «наилучший» результат окончательным?
3. Можно ли признать полученный нами результат удовлетворительным и почему?
4. Сравните результаты компьютерного моделирования с предполагаемыми ответами.

IV.  Физкультминутка

V. Обсуждение пройденного материала и подведение итогов урока. Результатом решения задачи является вывод о том, что по итогам проведенных опытов наибольший объём коробки равен 74068,5 куб.см. при величине выреза 16,5 см.

VI. Домашнее задание. Учащимся выдаются карточки с домашним заданием.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Использование презентации и средств мультимедиа

После объявления темы, целей и задач урока  на этапе мотивации учебной деятельности и актуализации знаний учащихся предполагается обращение  к презентации. Учитель  демонстрирует этапы решения задачи, объясняет содержание экспериментов, указывает способ  записи промежуточных результатов и вывода. Ученики  включаются в обсуждение предстоящей работы, после чего приступают к выполнению задания.

В презентации представлено полное содержание практической работы. Это цели и задачи урока, повторение теоретического материала,  формулировка  решаемой задачи, рисунки, схемы, все этапы решения, содержание и результаты экспериментов, таблицы, графики, домашнее задание с подробным решением.

Поэтому, проводя  урок, учитель может использовать всю презентацию или ее фрагменты, увеличивать или уменьшать число экспериментов, применять раздаточный материал: таблицы для занесения результатов опытов, карточки с домашним заданием.

Сcылка для скачивания презентации: http://edu.letitbit.net

При  изучении данной темы, целесообразно использовать  средства  мультимедиа, так как именно это позволяет ученику за малый промежуток времени охватить взглядом весь урок, понять смысл предстоящей работы и предполагаемый результат, то есть выстроить четкую картину действий. Этому особенно способствуют наглядные объекты – чертежи, схемы, графики, диаграммы, таблицы.

Все изложенное выше приводит к успешному решению поставленной задачи.

Вопросы для устной работы на этапе актуализации опорных знаний

• Моделирование – это замена одного объекта (процесса или явления) другим, при условии схранения всех существенных свойств исходного объекта (процесса или явления)
• Модель – это заменяющий объект (процесс или явление) Приведите примеры объектов, процессов и явлений и их моделей.
• Приведите примеры существенных и несущественных свойств одного и того же объекта, процесса или явления
• Виды моделей: наглядные и информационные
• Информационная модель – это модель, представляющая объект (процесс или явление) набором параметров и связей между ними
• Основным языком информационного моделирования является язык математики
• Информационные модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями
• Процесс описания факторов модели с помощью параметров называется формализацией
• Умение «хорошо поставить задачу», т.е. построить модель, учитывающую все существенные факторы, является искусством построения модели
• Модель называется адекватной, если при испытаниях она даёт удовлетворительные результаты
• Приведите пример такой ситуации, когда компьютерное моделирование является единственно возможным способом решения поставленной задачи[3]

Проверка и оценивание ЗУНов

Учитель оценивает наиболее полные и точные ответы учащихся во время устной работы, а также проверяет и оценивает результат решения задачи, оформленный в виде кратких выводов в  тетради. А именно: результаты компьютерных экспериментов, их анализ,  выводы о величине выреза – высоте коробке, при заданной длине стороны квадратного листа, такой, чтобы ее объем был наибольшим.

Карточки с домашним заданием

Постройте математические модели для приведенных ниже задач. Сравните полученные модели. Запишите выводы.

Задача 1. Первая труба наполняет бассейн за а минут, а вторая – за b минут. За какое время обе трубы наполнят бассейн, работая одновременно?[2]

Задача 2. Два теплохода одновременно отошли от разных пристаней и направились по озеру навстречу друг другу. Первый теплоход преодолевает все расстояние за c часов,  а второй – за d часов. Через сколько часов теплоходы встретятся?[2]

Решите задачу с помощью электронных таблиц,  используя приведенную ниже  математическую модель.

Задача 3. Скорость  распространения звука в воздухе в зависимости от температуры может быть найдена приближенно по формуле v=331+0,6t, где v – скорость (в метрах в секунду), t – температура (в градусах Цельсия).  Найдите, с какой скоростью распространяется звук зимой при температуре воздуха от -35˚С до -20˚ С и летом при температуре воздуха от 20˚ С до 35˚.[2]

Логический переход от данного урока к последующим

Представленный урок является первой Практической работой  из серии работ по теме  «Компьютерное моделирование». В процессе решения несложной задачи  необходимо было рассмотреть все этапы построения и применения компьютерной  модели.  

Далее мы переходим к решению задач  «Прирост массы растений»,  отрабатывая «Модель неограниченного роста», «Модель ограниченного роста», «Модель потребления возобновляемых ресурсов»[3], адаптированные  для учащихся 6 класса.

В результате завершения работ по всему циклу и  опираясь на результаты компьютерного моделирования,  дети с большим удовольствием отвечают на вопрос: «Сколько можно брать у живой природы, чтобы ее запасы не истощались?», что само по себе имеет большое воспитательное значение, акцентирует внимание детей на бережном отношении к окружающей среде и находит отклик в душах детей среднего школьного возраста.

Для оформления уроков выбраны картинки живой природы с целью придания единого смысла всем практическим работам, логическим завершением которых являются задачи о разумном подходе к потреблению природных ресурсов.

Список литературы

1. Н. В. Макарова  «Информатика 7–9  задачник по моделированию», Санкт-Петербург, Питер, 2001
2. Л.Л. Босова, В. В. Трофимова, А. Ю. Босова «Изучаем информационные технологии в 7 классе: информационное моделирование», «Информатика в школе», Москва, Образование и информатика, 2007
3. А. Г. Гейн, А.Н.Сенокосов,  Н. А. Юнерман «Информатика 10–11», Москва, Просвещение, 2004

Данная задача формулируется следующим образом. Имеется квадратная заготовка из некоторого гибкого материала, например, картона или жести, причем размеры этой заготовки фиксированы для конкретной ситуации (Рис. 1. а). Из этой заготовки следует вырезать четыре равных квадрата по её углам, а полученную фигуру (Рис. 1. б) согнуть так, чтобы получилась коробка без верхней крышки (Рис. 1. в). При этом необходимо так выбрать размер вырезаемых квадратов, чтобы получилась коробка максимального объема.

На примере данной задачи можно проиллюстрировать все элементы постановки задач оптимизации. Оценочной функцией в данной задаче служит объем изготовленной коробки. Проблема выбора заключается в выборе размера вырезаемых квадратов. Действительно, если размер вырезаемых квадратов будет слишком мал, то будет получена широкая коробка малой высоты, а значит, и ее объем окажется невелик. С другой стороны, если размер вырезаемых квадратов будет слишком большой, то будет получена узкая коробка большой высоты, а значит, и ее объем также окажется невелик.

В то же время на выбор размера вырезаемых квадратов оказывает влияние ограничение размера исходной заготовки. Действительно, если вырезать квадраты со стороной, равной половине стороны исходной заготовки, то задача теряет смысл. Сторона вырезаемых квадратов также не может превышать половину стороны исходной заготовки, поскольку это невозможно из практических соображений. Из этого следует, что в постановке данной задачи должны присутствовать некоторые ограничения.

Задача о коробке максимального объема имеет не только наглядную интерпретацию, но и достаточно простое аналитическое решение. Она относится к классу задач нелинейной оптимизации, методы решения которых подробно рассматриваются ниже.

Математическая постановка задачи о коробке максимального объема

Для математической постановки данной задачи необходимо ввести в рассмотрение некоторые параметры, характеризующие геометрические размеры коробки. С этой целью дополним содержательную постановку задачи соответствующими параметрами. С этой целью будем рассматривать квадратную заготовку из некоторого гибкого материала, которая имеет длину стороны L (Рис. 2). Из этой заготовки следует вырезать четыре равных квадрата со стороной r по ее углам, а полученную фигуру согнуть, так чтобы получилась коробка без верхней крышки. Задача состоит в таком выборе размера вырезаемых квадратов, чтобы в результате получилась коробка максимального объема.

Для математической постановки данной задачи необходимо определить переменные соответствующей задачи оптимизации, задать целевую функцию и специфицировать ограничения. В качестве переменной следует взять длину стороны вырезаемого квадрата r, которая в общем случае, исходя из содержательной постановки задачи, принимает непрерывные действительные значения.

Целевой функцией является объем полученной коробки. Поскольку длина стороны основания коробки равна: L — 2r, а высота коробки равна r, то ее объем находится по формуле: V(r) = (L — 2r)² * r. Исходя из физических соображений, значения переменной r не могут быть отрицательными и превышать величину половины размера исходной заготовки Z, т. е. 0,5 * L.

При значениях r = 0 и r = 0,5L соответствующие решения задачи о коробке являются вырожденными. Действительно, в первом случае заготовка остается без изменения, а во втором случае она разрезается на 4 одинаковых части. Поскольку эти решения имеют физическую интерпретацию, задачу о коробке для удобства ее постановки и анализа можно считать задачей оптимизации с ограничениями типа нестрогих неравенств.

С целью унификации, обозначим переменную через х = r, что не оказывает влияния на характер решаемой задачи оптимизации. Тогда математическая постановка задачи о коробке максимального объема может быть записана в следующем виде: f(x) = x * (L - 2x)² → max, где Δβ = {X ∈ R¹ | 0 ≤ x ≤ 0,5 * L}.

Целевая функция данной задачи является нелинейной, поэтому задача о коробке максимального размера относится к классу задач нелинейного программирования или нелинейной оптимизации.

Решение задачи о коробке максимального объема с помощью программы MS Excel

Не уменьшая общности математической постановки задачи, предположим: L = 1. Для решения данной задачи с помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Нелинейная Оптимизация и изменим имя ее первого листа на Задача о коробке. Сделаем необходимые надписи в ячейках А1:В2. После этого введем в ячейку С2 формулу: =C1*(1-2*C1)^2, которая представляет целевую функцию. Внешний вид рабочего листа MS Office Excel с исходными данными для решения задачи о коробке максимального объема имеет следующий вид (Рис. 3).

При изображении исходных данных для решения задачи о коробке максимального объема (Рис. 3.) выбран режим отображения формул в ячейках рабочего листа, что оказывается весьма удобным для визуального контроля правильности задания выражений для соответствующих формул. Этот режим может быть установлен с помощью выполнения операции главного меню: Формулы → Показать формулы. С помощью удаления этой отметки можно вернуться к обычному режиму изображения ячеек рабочего листа.

Для дальнейшего решения задачи следует воспользоваться инструментом поиска решения программы MS Office Excel. С этой целью необходимо выполнить операцию меню: Данные → Поиск решения.

Следует заметить, что при первоначальном обращении к инструменту поиска решения можно не обнаружить в меню Данные операции Поиск решения. Это означает, что компонент поиска решения в программе MS Office Excel не установлен. Поэтому для продолжения работы необходимо предварительно установить данный компонент, для чего следует выполнить операцию главного меню: Файл → Параметры → Надстройки и установить отметку в строке с именем Поиск решения.

После вызова инструмента поиска решения появится диалоговое окно мастера задания параметров для нахождения решения (Рис. 4). Ввиду важности этого инструмента следует более подробно остановиться па элементах его диалоговых окон.

Первое диалоговое окно Поиск решения (Рис. 4) имеет следующие элементы:

• поле Оптимизировать целевую функцию — используется для задания ссылки на ячейку, в которой задана формула с выражением целевой функции решаемой задачи оптимизации;
• переключатели в группе До: — определяют характер решаемой задачи оптимизации. Для нахождения решения с максимальным значением целевой функции этот переключатель ставится в положение максимальному значению, для нахождения решения с минимальным значением — в положение минимальному значению. Наконец, для нахождения решения, при котором целевая функция принимает некоторое фиксированное значение, переключатель ставится в положение Значению, справа от которого можно ввести требуемое фиксированное значение;
• поле Изменяя ячейки переменных — служит для указания ячеек, которые должны изменяться в процессе поиска решения задачи. Именно в этих ячейках должны находиться переменные решаемой задачи оптимизации;
• в многострочном поле В соответствии с ограничениями отображаются ограничения решаемой задачи оптимизации;
• кнопка Добавить — служит для вызова дополнительного окна Добавление ограничения (Рис. 5);
• кнопка Изменить — служит для вызова дополнительного окна Добавление ограничения, в котором будет отображено ограничение, выбранное в многострочном поле Ограничения;
• кнопка Удалить — служит для удаления ограничения, выбранного в многострочном поле Ограничения;
• кнопка Выполнить — служит для запуска процесса нахождения оптимального решения после спецификации всех параметров поиска решения;
• кнопка Сбросить — служит для сброса всех параметров поиска решения;
• кнопка Загрузить / сохранить — служит для загрузки сохраненных условий ограничений или сохранения условий ограничения;
• кнопка Выполнить — служит для запуска процесса нахождения оптимального решения после спецификации всех параметров поиска решения;
• кнопка Параметры — служит для вызова дополнительного окна Параметры поиска решения (Рис. 3.5) для спецификации дополнительных параметров поиска решения, часть которых уже задана по умолчанию.

Диалоговое окно Добавление ограничения (Рис. 5) предназначено для задания одного ограничения и имеет следующие элементы:

• поле Ссылки на ячейки — служит для указания ячейки или диапазона ячеек, в которых содержится левая часть задаваемого ограничения;
• выпадающий список в центре окна — содержит перечень знаков неравенств ограничений, а также возможность спецификации требования целочисленности или двоичных значений переменных. Мастер поиска решений допускает спецификацию ограничений в виде равенств и неравенств;
• поле Ограничение — служит для указания ячейки, диапазона ячеек или конкретного числа, которое специфицирует правую часть задаваемого ограничения;
• кнопка ОК — служит для добавления ограничения к параметрам поиска решения и закрытия окна Добавление ограничения;
• кнопка Отмена — для закрытия окна Добавление ограничения без добавления ограничения к параметрам поиска решения;
• кнопка Добавить — для добавления ограничения к параметрам поиска решения без закрытия окна Добавление ограничения;
• кнопка Справка — служит для получения справочной информации об элементах диалогового окна Добавление ограничения.

Диалоговое окно Параметры поиска решения (Рис. 3.5) предназначено для спецификации дополнительных параметров нахождения решения или изменения уже заданных параметров. Следует заметить, что значения большинства этих параметров, используемых по умолчанию, подходят для решения типовых задач оптимизации. Диалоговое окно Параметры поиска решения имеет следующие элементы.

• Поле Максимальное время служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи. В это поле можно ввести время (в секундах), не превышающее 32 767. Установленное по умолчанию значение 100 подходит для решения рассматриваемых типовых задач.
• Поле Число итераций служит для ограничения времени решения задачи посредством задания некоторого предельного числа промежуточных вычислений. Установленное по умолчанию значение 100 подходит для решения рассматриваемых типовых задач.
• Флажок Показывать результаты итераций служит для приостановки поиска решения для просмотра результатов отдельных итераций.
• Флажок Автоматическое масштабирование служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно различающихся по величине, — например, максимизация прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в миллионах рублей.

Продолжим решение задачи о коробке максимального объема. В первом окне мастера поиска решения следует в поле с именем Установить целевую ячейку указать ячейку $С$2, в которой содержится формула для расчета целевой функции задачи, а в поле е именем Изменяя ячейки ввести абсолютный адрес ячейки $C$1, в которую будет записано искомое решение задачи.

После этого следует добавить два ограничения на допустимые значения переменной. Для этого следует нажать кнопку Добавить, в результате чего появится дополнительное окно задания ограничений (Рис. 7). Для ввода адресов ячеек в левую часть ограничения предназначено поле е именем Ссылка на ячейку. Форма неравенства ограничения выбирается из вложенного списка в средней части окна.

Наконец, для задания правой части ограничений в поле ввода с именем Ограничение следует ввести с клавиатуры следующие числа: 0,5 — для первого ограничения и 0 — для второго. После спецификации каждого из ограничений их необходимо включить в модель расчета, для чего следует нажать кнопку Добавить или ОК. Для того чтобы закрыть дополнительное окно задания ограничений и вернуться в исходное окно мастера поиска решения, следует нажать кнопку Отмена или ОК.

Остальные параметры мастера поиска решения, для редактирования которых предназначено дополнительное второе окно этого мастера, можно оставить без изменения. Окончательный внешний вид диалогового окна мастера поиска решения после задания необходимой информации изображен на Рис. 7.

Для редактирования некоторого ограничения его следует выделить в многострочном поле с именем Ограничения и нажать кнопку с именем Изменить. В этом случае появится дополнительное окно, аналогичное изображенным на Рис. 7, в котором можно выполнить необходимые действия по редактированию выбранного ограничения.

После задания необходимых параметров поиска решения можно приступить к выполнению численных расчетов, для чего следует нажать кнопку Выполнить. После выполнения численных расчетов программой MS Excel практически мгновенно будет получено количественное решение, которое имеет следующий вид (Рис. 8).

Интерпретируя полученные количественные значения, можно прийти к следующему заключению. Результатом решения является оптимальное значение стороны вырезаемого квадрата: ropt = 0,166666693977061, при котором изготовленная коробка будет иметь максимальный объем: Vmax = 0,0740740740740726. Напомним, что это решение соответствует длине стороны исходной заготовки, равной 1.

При выполнении расчетов для ячеек С1:С2 был выбран числовой формате 15 знаками после запятой. Это можно рассматривать в качестве предельного случая, поскольку реально подобная точность может потребоваться весьма редко. Тем не менее, анализ вычислительной точности методов нахождения решений данной задачи оптимизации программой MS Excel основывается на сравнении найденного решения и аналитического приближенного решения (см. Рис. 4) с максимальным количеством значащих цифр.

Полученное решение имеет общий характер, поскольку в любом конкретном случае для получения решения рассматриваемой задачи оптимизации значение L следует умножить на найденное значение r_opt. Например, если L = 2, то для получения коробки максимального объема следует вырезать по углам исходной заготовки квадраты со стороной 0,166666693977061 * 2 = = 0,333333387954122 м.

Таким образом, задача о коробке максимального объема в каждом конкретном случае может быть решена простой подстановкой в расчетную формулу r_opt = 0,166666693977061 * L конкретного значения величины L. Допустимая точность решения задается в каждом конкретном случае, исходя из специфики задачи и соответствующей проблемной области.

Получение решения задачи оптимизации в виде расчетной формулы вообще говоря, делает излишним использование программы MS Excel для решения конкретных задач данною типа. Тем не менее, из методических соображений процесс получения данного решения с помощью программы MS Excel рассмотрен достаточно подробно, поскольку он может быть использован для решения аналогичных задач нелинейной оптимизации.

Для анализа найденного решения можно построить график целевой функции и визуально оценить его корректность. С этой целью на отдельном рабочем листе е помощью операции автозаполнения ячеек зададим последовательный ряд чисел исходной переменной r в диапазоне от 0 до 1 с интервалом 0.01, которые запишем в ячейки с адресами А2:А52. Рядом в ячейки В2:В52 запишем соответствующие значения целевой функции. Для этого можно записать формулу: =A2*(1-2*A2)^2 в ячейку В2 и с помощью операции автозаполнения «протащить» содержание этой ячейки на диапазон В3:В52.

После этого для построения графика целевой функции для задачи о коробке следует воспользоваться мастером диаграмм. Построенный график целевой функции будет иметь следующий вид как на Рис. 9. Визуальный анализ этого графика показывает, что максимум целевой функции находится между значениями х = 0,16 и х = 0,17. Этот факт можно также проверить, сравнив значения в ячейках В18 и В19. Тем самым, можно сделать вывод о корректности полученного результата решения данной задачи оптимизации.

Аналитическое решение задачи о коробке максимального объема

Поскольку задача о коробке максимального объема имеет достаточно простое аналитическое решение, оно приводится для дополнительной проверки правильности численных расчетов программы MS Excel.

Прежде всего, следует заметить, что целевая функция является непрерывной и дифференцируемой на всем интервале ее задания, включая множество допустимых альтернатив Δ_β, которое, в свою очередь, является замкнутым. Как следует из курса математического анализа, непрерывная функция на замкнутом множестве достигает своих экстремальных значений, из которых нас интересуют точки максимума данной функции. Для нахождения экстремума аналитическим способом следует определить первую производную целевой функции и отыскать ее корни.

Первая производная функции: f(x) = x*(1-2x)² равна df(x)/dx = 12x²-8x+1. Соответствующее уравнение: 12x²-8x+1=0 является квадратным, которое имеет два корня: Х = 1/6 и х2 = 1/2. Анализ графика целевой функции (см. Рис. 3.5) показывает, что максимальному значению этой функции соответствует первый корень. Данное значение является допустимым и служит точным аналитическим решением задачи оптимизации о коробке максимального размера.

Таким образом, ropt = 1/6. Поскольку число 1/6 является иррациональным и представляет собой периодическую дробь 0.16(6), при желании можно получить его любое приближение произвольной точности. Сравнивая найденное ранее значение 0,166666693977061 с соответствующим округлением точного значения, можно получить относительную погрешность программы MS Excel. Это значение равно: 0.000016382137877% и свидетельствует о том, что решение задач оптимизации программой MS Excel с гладкой целевой функцией выполняется весьма эффективно.

IV этап. Анализ результатов

Практическая работа

Тема: Математическая модель. Расчет
геометрических параметров объекта.

Задача о склеивании коробки.

1.   Постановки задачи.

Имеется квадратный лист  картона. Из листа по
углам  вырезают четыре квадрата и склеивают коробку по сторонам вырезов. Какова
должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы коробка имела наибольшую
вместимость? Какого размера надо взять лист, чтобы получить из него коробку  с
заданным максимальным объемом.

Цель моделирования – определить максимальный
объем коробки.

2.
Содержательное описание  объекта моделирования.

Объект моделирования:

¾   
Картонный лист – квадрат со стороной a.

¾   
Коробка с квадратным основанием с длиной стороны c, площадью дна S и объемом V.

¾   
Квадратный вырез с длиной стороны b.

Процедура определения максимального объема
коробки:

Проследить, как изменяется объем коробки при
изменении размера выреза, который увеличивается от 0  с заданным шагом D b.

Ограничения:
размер дна не может быть отрицательным (С>0).

Разработка модели. Для вывода формул математической модели составим геометрическую
модель в виде чертежа с указанием исследуемых характеристик объекта.

Расчетные параметры объекта определяются по
формулам:

c=a-2b – длина стороны дна.

S—c² – площадь
дна.

V=Sb – объем.

Первоначальный размер выреза b₀=0.

Далее размеры выреза определяются по формуле
bi+1=bi+D b.

Компьютерная модель.

Заполняем область исходных данных.

В этой области заданы тестовые исходные параметры a=40, D b=1 см, которые используются для расчета «вручную» длины стороны дна,
площади дна и объема коробки при нескольких значениях выреза:

. Составляем таблицу расчета

Здесь ячейка и
содержащаяся в ней формула означает:

A9 (0) – начальный
размер выреза.

A10 (=A9+$B$4) – следующий размер выреза.

B9 (=$B$3+2*A9) –длина стороны дна.

C9 (=B9*A9) – площадь дна.

D9 (=C9+A9) – объем коробки.

Тестирование. Сравним результаты, полученные после ввода формул, с результатами
приведенными в примере расчета:

Совпадение
значений с контрольным образцом показывает правильность введения формул.

Проведение
исследования.

Исследование
параметров модели. (длины стороны дна, площадь дна,
объем коробки).

1. Для
   проведения исследования заполним  в компьютерной модели не менее 20 строк.
2. По столбцу В
   проследим, как изменяется длина стороны дна.. Определим, сколько строк
   компьютерной модели надо использовать  для исследования.
3. Вывод: длина
   стороны дна уменьшается до нуля, а затем становится отрицательной. Для
   исследования используем  диапазон строк, для которых с»а/2.
4. В диапазоне
   строк, подлежащих исследованию, по столбцу С проследим, как изменяется
   площадь дна.
5. В диапазоне
   строк, подлежащих исследованию, по столбцу D проследим, как изменяется
   объем коробки.
6. Вывод: объем
   коробки сначала увеличивается, достигает некоторого максимального
   значения, затем уменьшается

Определение
наибольшего объема коробки и соответствующего выреза.

В диапазоне строк, подлежащих исследованию, по
столбцу D определим наибольший объем коробки. По столбцу А  определим размер
выреза, соответствующий наибольшему объему.

Зависимость наибольшего объема коробки от
размера исходного листа

1. Определим значение наибольшего объема
   коробки для нескольких значений длины картонного листа. Для этого:
1. В ячейку В4 введем новое  исходное
   значение.
2. По столбцу В определим допустимый диапазон
   строк для исследования. При необходимости заполним дополнительное
   количество строк.
3. По столбцу D определим наибольший объем
   коробки.
4. По столбцу А определим  размер выреза, соответствующий 
   наибольшему объему.
2. Результаты эксперимента разместим  в ячейках
   на свободном пространстве  ЭТ по образцу.

	Шаг выреза 1 см
Длина стороны листа	вырез	Объем
40
60
80

1. Сделаем вывод и запишем его  после таблицы
   результатов эксперимента.

Зависимость
наибольшего объема коробки от шага изменения  выреза.

1. Введем в ячейку новое значение  шага
   изменения выреза (например, D b=0,3 см).

	Шаг выреза 0,3 см
Длина стороны листа	вырез	Объем
40
60
80

1. Определим значения наибольшего объема
   коробки для нескольких значений длины картонного листа.
2. Результаты экспериментов разместим в ячейках
   на свободном пространстве ЭТ по образцу.
3. сравним значения  наибольшего объема и
   соответствующего  выреза, полученные сейчас и в предыдущем эксперименте.
4. сделайте вывод, позволяет ли  уменьшение
   шага изменения выреза точнее определить наибольший  объем и
   соответствующий вырез.

Подбор параметров  исходного картонного
листа

1. Для подбора размера исходного картонного
   листа изменяем  значение ячейки и определяем наибольший объем коробки,
   пока не получим заданную величину.
2. Результаты экспериментов разместим в ячейках
   на свободном пространстве  ЭТ по образцу.
3. Анализ результатов моделирования. По результатам экспериментов  сформулируйте выводы.

	Подбор размеров листа
Длина стороны листа	вырез	Объем
		3500
		5000
		12000