Как найти максимум функции с корнем

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)).
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
   — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
   — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

Исследуем знаки производной.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

Определим знаки производной.

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции

Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции .будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.

при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при

4. Найдите абсциссу точки максимума функции

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при

Если то Если , то

Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю:

Найдем знаки производной на отрезке

При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

Найдем производную функции

При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки

В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при

Как решать задачи B15 без производных

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность.

Функция f ( x ) называется на отрезке если для любых точек этого отрезка выполняется следующее:

Функция f ( x ) называется на отрезке если для любых точек этого отрезка выполняется следующее:

Другими словами, для возрастающей функции Для убывающей функции все наоборот:

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание и монотонно убывает, если Не забывайте про область допустимых значений логарифма:

f ( x ) = log _a x ( a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет и убывает Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только

f ( x ) = a x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

1. Ветви параболы — могут уходить вверх или вниз Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее или наибольшее значение.

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы, абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

1. Отрезок [ a ; b ] в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
2. Но таких точек всего одна — это вершина параболы координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

1. Выписать уравнение параболы и найти ее вершину по формуле:
2. Найти значение исходной функции в этой точке: Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Под корнем стоит квадратичная функция График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент

x ₀ = − b /(2 a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке функция принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Под логарифмом снова квадратичная функция: График — парабола ветвями вверх,

x ₀ = − b /(2 a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция монотонная, поэтому:

y _min = y (−1) = log ₂ ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = . = log ₂ 8 = 3

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

В показателе стоит квадратичная функция Перепишем ее в нормальном виде:

Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз Поэтому вершина будет точкой максимума:

Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

Аргумент логарифма должен быть положительным:

y = log _a f ( x ) ⇒ f ( x ) > 0

Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел:

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2 x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2 x − 3 ≤ 0 ⇒

Теперь найдем вершину параболы:

Точка принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции а также на концах ОДЗ:

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Внутри логарифма стоит квадратичная функция Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6 x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6 x + 5 x ₀ = − b /(2 a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только

y _min = y (3) = log _0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) =

Сайты, меню, вход, новости

Здравствуйте! В этой статье речь пойдёт о задачах, которые можно решать без нахождения производной. В данной рубрике мы уже рассмотрели некоторые примеры с логарифмами, числом е, функции  с произведениями. Смысл заданий тот же –  требуется найти либо точку максимума (минимума) функции, либо определить максимальное (минимальное) значение функции. 

В чём суть и каков «стандартный» алгоритм решения — можно посмотреть в этой статье. Но не для всех заданий применение этого алгоритма будет рационально. Если следовать ему в представленных ниже примерах, то процесс решения будет «перегружен» вычислениями. А потеря времени на экзамене вам не нужна. Так какие же задания имеются ввиду?

В условии дана иррациональная, логарифмическая или показательная функция:

при чём под корнем, под знаком логарифма или в показателе находится квадратичная функция вида:

Рассмотрим подход без нахождения производной. Вы увидите, что такие задачи можно решать устно.

Что необходимо знать? Свойство параболы, напомним его:

Если а > 0, то её ветви направлены вверх.

Если а < 0, то её ветви направлены вниз.

Далее вспомним  координату  (абсциссу)  вершины параболы:

То есть, это точка экстремума квадратичной функции – в ней функция меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот.

Следующий важный факт (ключевой для этих задач):

Если исходная функция монотонна (непрерывно возрастает или убывает), для нее указанная точка «х» также будет точкой экстремума.

Почему? Давайте рассмотрим отдельно функции подробнее.

Квадратичная функция в показателе степени (при чём n>1):

Смотрите! Представим, что ax²+bx+c=z. Можем записать:

Получается что значение z изменяется следующим образом.

Вариант когда a>0 (ветви параболы направлены вверх) – при х от минус бесконечности до –b/2a  z уменьшается, в точке –b/2a значение будет минимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z увеличивается.

Это означает, что и сама функция у=n^f(x) будет имет минимальное значение в точке х=–b/2a, так как при минимуме в показателе получится минимум в результате.

Вариант когда a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до  –b/2a  z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z уменьшается.

Это означает, что и сама функция у=n^f(x) будет иметь максимальное значение в точке х=–b/2a, так как при максимуме в показателе получится максимум в результате.

Квадратичная функция под знаком логарифма (при чём n>1):

Представим, что ax²+bx+c=z. Можем записать:

Получается что значение z изменяется следующим образом:

Вариант когда a>0 (ветви параболы направлены вверх) –  при х от минус бесконечности до  –b/2a  z уменьшается, в точке –b/2a значение будет минимальным, далее при х от–b/2a  до бесконечности z увеличивается.

Это означает, что и сама функция log_nz будет имет минимальное значение в точке х=–b/2a. Так как логарифмическая функция уменьшается при уменьшении аргумента (видно по графику).

Вариант когда a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до  –b/2a  z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z уменьшается.

Это означает, что и сама функция log_nz будет имеет максимальное значение в точке х=–b/2a. Так как логарифмическая функция увеличивается при увеличении аргумента (видно по графику).

Квадратичная функция под знаком корня:

Представим, что ax²+bx+c=z. Можем записать:

Получается что:

При a>0 значение z минимально в точке х=–b/2a, а значит и сама функция будет иметь минимальное значение. *Корень из наименьшего значения в результате даст наименьшее число.

При a<0 значение z максимально в точке х=–b/2a, а значит и сама функция будет иметь максимальное значение.

Таким образом, сформулируем ключевое правило:

ВНИМАНИЕ! Конечно, если глубже уйти в тему, то возможны варианты когда сложная функция имеет отрицательный знак, когда логарифм находится в знаменателе дроби, когда основание логарифма или основание степени находится в пределах от 0 до 1. Разумеется,  важно понимать как ведёт себя данная в условии функция (возрастает или убывает). Но для решения типовых заданий экзамена указанного вывода вам будет вполне достаточно.

И конечно, не теряйте из виду область допустимых значений заданной функции:

— выражение стоящее под знаком корня, больше или равно нулю (число неотрицательное).

— выражение стоящее под знаком  логарифма, есть положительное число.

— выражение стоящее в знаменателе дроби не равно нулю.

В подобных задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, я бы посоветовал находить область определения в любом случае (даже не смотря на то, что в представленных ниже примерах это ничего важного нам не даёт и не влияет на ответ).

Рассмотрим примеры:

Найдите точку максимума функции 

Под корнем  квадратичная функция  13+6х–х². Ее график — парабола, ветви направлены вниз, поскольку  а=–1<0. Значит максимальное значение  функция приобретает в точке:

Проверим чему равно подкоренное выражение при х=3 То есть будет ли оно числом неотрицательным:

13 + 6∙3 – 3² = 13 + 18 – 9 = 22 > 0 

Почему необходимо это сделать? Дело в том, что при полученной абсциссе квадратичная функция теоретически может дать отрицательное значение, то есть график такой параболы будет лежать ниже оси ох. Это  будет означать что решения (таких вариантов заданий на самом ЕГЭ не будет).

Ответ: 3

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции

Под корнем  квадратичная функция   х² + 8х + 185.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а =  1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

Так как  ветви параболы направлены вверх, то в точке  х = – 4 функция

х² + 8х + 185 принимает наименьшее значение.

Функция кважратного корня монотонно возрастает, значит х = 4 точка минимума  всей функции, вычислим  её наименьшее  значение:

Ответ: 13

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

Найдите точку максимума функции у=log₇(–2 – 12х – х²) + 10. 

Под знаком логарифма квадратичная функция    –2 – 12х – х².

График — парабола, ветви направлены  вниз, так как а = – 1 < 0 

Абсцисса вершины параболы:

Проверим, принадлежит ли полученное значение х области определения (выражение под знаком логарифма должно быть число положительное):

– 2 – 12∙(–6) – (–6)² = – 2 + 72 – 36 = 34 > 0

То есть, в точке х = – 6

функция f (х) = – 2 – 12х – х²   будет иметь  максимальное значение.

Значит, и у=log₇(–2–12х–х²)+10  в этой точке так же будет иметь максимальное значение.

Ответ: – 6.

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у=log₂(2 + 2х – х²) – 2

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции  у=log₉ (х² – 10х + 754) + 3

Под корнем  квадратичная функция   х² – 10х+754.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = 5 функция f (x) = х²  – 10х + 754 принимает наименьшее значение.  

Функция log₉х  монотонная, значит у =log₉ (х² – 10х + 754) + 3  в точке х = 5 также принимает наименьшее значение, вычислим его:

Ответ: 6

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции  у=log₃(х² – 6х + 10) + 2

Посмотреть решение

Найдите точку максимума функции 

В показателе стоит квадратичная функция   – 30 + 12х – х².     

График — парабола, ветви направлены  вниз, так как а = –1 < 0.

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = 6 функция f (х) = – 30 + 12х – х² приобретёт максимальное значение. Значит и данная функция в этой точке будет иметь также максимальное значение.

Ответ: 6

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции: 

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции

В показателе стоит   квадратичная функция  х²  + 16х + 66.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = – 8 функция х²  + 16х + 66 принимает наименьшее значение.

Показательная  функция монотонна, поэтому её наименьшее значение будет также в точке х = – 8, вычислим его  

Ответ: 36

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

Разумеется,  что  это краткая схема решения и, конечно же, нужно понимать свойства квадратичной, показательной, логарифмической, дробно-рациональной функции,  но эта схема работает.

В данной рубрике мы ещё рассмотрим задания с тригонометрическими функциями, не пропустите! Успеха вам!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.

29 января 2012

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых — монотонность.

Функция f (x) называется монотонно возрастающей на отрезке [a; b], если для любых точек x₁ и x₂ этого отрезка выполняется следующее:

x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) < f (x₂).

Функция f (x) называется монотонно убывающей на отрезке [a; b], если для любых точек x₁ и x₂ этого отрезка выполняется следующее:

x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) > f (x₂).

Другими словами, для возрастающей функции чем больше x, тем больше f (x). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x, тем меньше f (x).

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 < a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log_a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a ^x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит — сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax² + bx + c. Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют:

1. Ветви параболы — могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a < 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a < 0) значение.

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы, абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x₀ тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x₀ для квадратного трехчлена, а на функцию — забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

1. Отрезок [a; b] в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a) и f (b) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
2. Но таких точек всего одна — это вершина параболы x₀, координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

1. Выписать уравнение параболы y = ax² + bx + c и найти ее вершину по формуле: x₀ = −b/2a;
2. Найти значение исходной функции в этой точке: f (x₀). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике — именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

Под корнем стоит квадратичная функция y = x² + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x₀ = −b/(2a) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x₀ = −3 функция y = x² + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит x₀ — точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log ₂ (x² + 2x + 9)

Под логарифмом снова квадратичная функция: y = x² + 2x + 9. График — парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x₀ = −b/(2a) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке x₀ = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y = log ₂ x — монотонная, поэтому:

y_min = y(−1) = log ₂ ((−1)² + 2 · (−1) + 9) = … = log ₂ 8 = 3

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

В показателе стоит квадратичная функция y = 1 − 4x − x². Перепишем ее в нормальном виде: y = −x² − 4x + 1.

Очевидно, что график этой функции — парабола, ветви вниз (a = −1 < 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x₀ = −b/(2a) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Исходная функция — показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x₀ = −2:

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка, а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

1. Аргумент логарифма должен быть положительным:

   y = log_a f (x) ⇒ f (x) > 0

2. Арифметический квадратный корень существует только из неотрицательных чисел:

   

3. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

   

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби — никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x². Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1 < 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2x − x² ≥ 0 ⇒ x² + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

x₀ = −b/(2a) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x₀ = −1 принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x₀, а также на концах ОДЗ:

y(−3) = y(1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log _0,5 (6x − x² − 5)

Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6x − x² − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6x − x² − 5 > 0 ⇒ x² − 6x + 5 < 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.

Ищем вершину параболы:

x₀ = −b/(2a) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: x₀ = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x₀:

y_min = y(3) = log _0,5 (6 · 3 − 3² − 5) = log _0,5 (18 − 9 − 5) = log _0,5 4 = −2

Смотрите также:

1. Показательные функции в задаче B15: хитрости решения
2. Задача B15: работаем с показательной функцией без производной
3. Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
4. Четырехугольная пирамида в задаче C2
5. Задача B5: площадь кольца
6. Решение задач на движение по воде

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции (f'(x)). 
2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
   — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
   — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью