Как найти максимум или минимум интерференции

Найдем
условия максимума и минимума интенсивности
при интерференции. Пусть S₁
и S₂
— два когерентных источника, совершающих
колебания в одинаковой фазе. До точки
наблюдения М
волны проходят разное расстояние (рис.
3.8).

Рис.3.8

Запишем
для них уравнения волн (3.24)

Найдем разность
фаз складываемых волн

Обозначим
через Δx
— разность хода, т. е.
.
По формуле (3.22)
волновое число равно
,
тогда связь между разностью хода и
разностью фаз дается уравнением

Амплитуда
результирующего колебания в точке
наблюдения определяется уравнением
(3.16)

.

Так
как интенсивность пропорциональна
среднему значению квадрата амплитуды
(см. (3.34)):

,
то получим выражение для результирующей
интенсивности

Если
источники некогерентные, то
и

,
т. е. интерференция не наблюдается. Для
когерентных источников разность фаз

и
среднее значение косинуса равно косинусу
разности фаз

.

В
тех точках пространства, где
интенсивность

,
а там, где
интенсивность

.
Следовательно, при наложении двух
когерентных световых волн происходит
пространственное перераспределение
световой энергии, в результате чего в
одних местах возникают максимумы, а в
других — минимумы интенсивности, т. е.
появляется интерференционная картина.

Максимумы
интенсивности появляются там, где
,
т. е. при
,
где m
= 0, 1, 2, …
Следовательно,
.
Отсюда получим условие
максимума
интенсивности при интерференции

где
m
— порядок интерференционного максимума.

Условие максимума
интенсивности при интерференции читается
следующим образом.

Если разность хода равна целому числу длин волн или четному числу полуволн, то будет наблюдаться максимум интенсивности при интерференции.

Аналогично
найдем условие минимума. Если
,
то
,
где m
= 0, 1, 2, …

Тогда

и

Условие
минимума
интенсивности при интерференции читается
следующим образом.

Если разность хода равна нечетному числу полуволн, то в данной точке экрана будет наблюдаться минимум интенсивности при интерференции.

8, Интерференция в тонких пленках

Интерференцию в
тонких пленках часто можно наблюдать
в виде радужной окраски масляных пленок
на воде, на мыльных пузырях и т. д.

Рассмотрим,
как происходит интерференция в тонких
пленках. Пленка называется тонкой, если
ее размеры соизмеримы с длиной волны
λ.
Пусть на тонкую пленку толщиной d
падает параллельный пучок лучей
монохроматического света (рис. 3.10).

Рис.3.10

На верхней границе
раздела двух сред свет частично
отражается, частично преломляется. Тоже
происходит на нижней грани пленки.

Таким
образом, световой луч испытывает
многократное отражение и преломление.
Отраженные лучи 1 и 2, а также преломленные
лучи 1^/
и 2^/,
когерентны между собой. Остальные лучи
не рассматриваются из-за малой
интенсивности.

Оптическую разность
хода находят из геометрических
представлений и законов геометрической
оптики.

Оптическая
разность хода лучей 1 и 2 в отраженном
свете, так же как и лучей 1^/
и 2^/
в проходящем свете, равна

,

где
i
— угол падения луча.

Кроме
оптической разности хода надо учесть
изменение фазы волны при отражении.
Теория и опыт показывают, что если свет
отражается от оптически более плотной
среды, фаза волны меняется на
противоположную, а если свет отражается
от оптически менее плотной среды, фаза
волны не меняется. Разность хода и
разность фаз связаны соотношением
(3.35)

.

Поэтому,
если фаза меняется на противоположную,
т. е.
,
то
.
Следовательно, изменение
фазы на противоположную равносильно
изменению разности хода на половину
волны.

В
нашем случае (рис. 3.10) изменение фазы на
противоположную происходит при отражении
в точке А.

Условия
максимума и минимума интенсивности в
отраженном
свете
запишутся следующим образом.

Запишем
условие максимума и минимума интенсивности
в проходящем
свете

Эти формулы
используются при решении задач.

Соседние файлы в предмете Физика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Явление интерференции света

Волны, как и колебания, могут складываться. Сложение волн может быть интерференционным и неинтерференционным. Интерференцией называется сложение когерентных волн, при котором в разных точках пространства получается усиление или ослабление амплитуды результирующей волны, не изменяющееся с течением времени. Интерференция наблюдается только от когерентных источников. Когерентность — значит согласованность. Когерентными источниками называются такие источники, которые дают волны одинаковой частоты, и для фиксированной точки пространства разность фаз колебаний остается постоянной.

Независимые источники света не могут быть когерентными, так как в каждом из них свет испускается множеством атомов, излучающих несогласованно. Разность фаз колебаний, испускаемых совокупностью атомов таких источников, быстро и беспорядочно меняется во времени. Когерентность можно обеспечить, разделив волну от одного источника на две части и затем сведя их вместе. Две части одной волны когерентны между собой и при наложении будут интерферировать.

Существуют различные методы получения когерентных световых источников. Самый простой из них — метод Юнга, в котором световая волна делится на две части с помощью экрана с двумя узкими параллельными щелями.

Условия максимума и минимума интенсивности
при интерференции

Найдем условия максимума и минимума интенсивности при интерференции. Пусть S₁ и S₂ — два когерентных источника, совершающих колебания в одинаковой фазе. До точки наблюдения М волны проходят разное расстояние.

Запишем для них уравнения волн

Найдем разность фаз складываемых волн

Обозначим через Δx — разность хода. Волновое число равно

тогда связь между разностью хода и разностью фаз дается уравнением

Амплитуда результирующего колебания в точке наблюдения определяется уравнением

Так как интенсивность пропорциональна среднему значению квадрата амплитуды, то получим выражение для результирующей интенсивности

Если источники некогерентные, то 

 , т. е. интерференция не наблюдается. Для когерентных источников разность фаз  и среднее значение косинуса равно косинусу разности фаз

При наложении двух когерентных световых волн происходит пространственное перераспределение световой энергии, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других — минимумы интенсивности, т. е. появляется интерференционная картина.

Максимумы интенсивности появляются там, где

 т. е. при

 где m = 0, 1, 2, … Следовательно,

 Отсюда получим условие максимума интенсивности при интерференции

где m — порядок интерференционного максимума.

Условие максимума интенсивности при интерференции читается следующим образом.

Если разность хода равна целому числу длин волн или четному числу полуволн, то будет наблюдаться максимум интенсивности при интерференции.

Аналогично найдем условие минимума. Если

 , то

 , где m = 0, 1, 2, …

Тогда

и

Условие минимума интенсивности при интерференции читается следующим образом.

Если разность хода равна нечетному числу полуволн, то в данной точке экрана будет наблюдаться минимум интенсивности при интерференции.

Кольца Ньютона

Установка для наблюдения колец Ньютона состоит из плоско-параллельной пластины и плосковыпуклой линзы большого радиуса кривизны. Свет на установку падает вертикально.

Тонкая пленка образуется между линзой и пластинкой. Это воздушная пленка или жидкая. Пленка имеет вид клина. Поэтому возникают полосы равной толщины. Из-за симметрии они имеют вид окружностей.

Рассмотрим ход одного из лучей. Поскольку угол клина мал, можно считать, что угол падения везде ноль. Когерентными являются лучи, отразившиеся в точках 1 и 2. В точке 1 они накладываются. Найдем радиус m-ого кольца r_m.

Оптическая разность хода между лучами 1 и 2 равна: 

В нашем случае α = 0, поэтому

Предположим, что кольцо темное, тогда 

Отсюда выражаем толщину клина в точке m кольца d_m:

Из рис. следует, что 

Пренебрегая членом d_m², получаем:

Приравнивая оба выражения для d_m, получаем:

Отсюда выражаем радиус m-ого темного кольца:

Для воздушной пленки (n = 1), это выражение принимает вид:

Найдем радиусы светлых колец. Оптическая разность хода в этом случае равна 

Отсюда

Приравнивая с предыдущим выражением d_m, получим:

Радиусы колец зависят от длины волны λ, поэтому, если свет немонохроматический, то кольца будут окрашены.

Явление дифракции. Принцип Гюйгенса — Френеля

Дифракцией называется огибание волнами препятствий. Дифракция наблюдается для волн различной природы (звуковых, световых, волн на воде и т. д.) Явление дифракции проявляется сильнее, если размеры препятствий соизмеримы с длиной волны.

Объяснить дифракционные явления можно с помощью принципа Гюйгенса — Френеля, согласно которому каждая точка фронта волны является источником вторичных волн, которые когерентны. Амплитуда и фаза волны в любой точке пространства — есть результат интерференции волн, излучаемых вторичными источниками.

На рис. изображено препятствие П в форме щели шириной b, размеры которого соизмеримы с длиной волны λ. На щель падает плоская монохроматическая волна. Любая точка фронта волны S₁ становится источником вторичных волн, которые являются сферическими и огибающая которых S₂ дает положение фронта волны в следующий момент времени.

Проходя через щель, волны отклоняются от прямолинейного распространения (дифрагируют). Если на их пути поставить экран, то на нем будет наблюдаться дифракционная картина, причем интенсивность в любой точке экрана наблюдения будет определяться результатом интерференции вторичных волн, пришедших в точку наблюдения.

Зоны Френеля. Дифракция света на одной щели

Объяснить и рассчитать распределение интенсивности света в дифракционной картине можно, применив вспомогательный прием — метод зон Френеля. Зоны Френеля — это участки волновой поверхности, построенные таким образом, что расстояние от краев соседних зон до точки наблюдения различается на половину волны (на λ/2 ). Известно, что разность хода и разность фаз связаны соотношением

Следовательно, если Δx = λ/2 , то  Δ φ = π, т. е. колебания, создаваемые соседними зонами Френеля находятся в противофазе и попарно гасят друг друга. Тогда, если отверстие щели открывает четное число зон Френеля, то в точке наблюдения находится минимум интенсивности, а, если нечетное, то — максимум.

Применим метод зон Френеля к рассмотрению дифракции света на одной щели.

Пусть на щель шириной b нормально падает плоская монохроматическая волна. Все точки волновой поверхности, открытые щелью, являются источниками вторичных волн, которые когерентны и распространяются по всем направлениям. Поставим между щелью и экраном наблюдения линзу, которая собирает параллельные лучи в одну точку. Дифракция в параллельных лучах называется дифракцией Фраунгофера. В результате интерференции вторичных волн на экране получится дифракционная картина. Распределение интенсивности вдоль экрана изображено в нижней части (кривая с максимумами и минимумами).

В центре дифракционной картины будет светлая полоса — центральный максимум, так как при φ = 0 все волны придут на экран в точку М₀ в одинаковой фазе и усилят друг друга. Чтобы определить результат интерференции вторичных волн при φ ≠ 0, разобьем открытый участок волновой поверхности на ряд зон Френеля. В данном случае они будут представлять собой узкие полоски, параллельные краям щели. Чтобы найти число зон Френеля m₁, нужно разность хода крайних лучей  Δ = b sin φ поделить на λ/2

, тогда  

При четном числе зон Френеля m₁= 2k будет наблюдаться минимум интенсивности, при нечетном m₁= 2k +1 — максимум. Условие дифракционного минимума для одной щели имеет вид

где k = 1, 2, 3, …

«Плюс-минус» показывает, что картина симметрична относительно центрального максимума.

Условие дифракционного максимума от щели имеет следующий вид

k  называется порядком максимума или минимума, k = 1, 2, 3, …

Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых щелей, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга.

Величина d = a + b называется постоянной (или периодом) дифракционной решетки, где b — ширина щели, a — ширина непрозрачного промежутка.

Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической волны, падающей нормально на дифракционную решетку. Для наблюдения дифракции Фраунгофера поставим между решеткой и экраном собирающую линзу.

Каждая из щелей посылает свет по всем направлениям, кроме тех, которые удовлетворяют условию дифракционного минимума. Следовательно, условие минимума для дифракции от одной щели является условием минимума для решетки. Распределение интенсивности за счет дифракции света на всех щелях будет подобно распределению, представленному на рисунке, но результирующая амплитуда будет в N раз, а интенсивность в N² раз больше, чем от одной щели, где N — число щелей.

При определении характера дифракционной картины необходимо учесть не только дифракцию света на каждой из щелей, но и интерференцию лучей, приходящих в данную точку экрана от разных щелей.

В нижней части рисунка изображено распределение интенсивности света вдоль экрана при дифракции на дифракционной решетке. Пунктирная кривая построена с учетом дифракции света на всех щелях, сплошная кривая учитывает также интерференцию волн от различных щелей. Разность хода лучей, идущих от двух соседних щелей под углом φ будет равна

Положение главных максимумов определяется условием:

где m = 1, 2, 3, … — порядок главного максимума, φ   — угол дифракции.

Условие максимума при интерференции, согласно которому разность хода лучей, идущих от соседних щелей , должна быть равна четному числу полуволн. Из условия главных максимумов для дифракционной решетки следует, что, если освещать решетку белым светом, то все максимумы, кроме центрального, представляют собой спектры (так как при любом m ≠ 0 чем больше λ, тем больше φ ). Таким образом, дифракционная решетка разлагает сложный свет в спектр и поэтому применяется в спектральных приборах.

Поляризация света

Согласно современным представлениям, свет представляет собой совокупность электромагнитных волн, которые излучаются отдельными атомами в виде порций (или квантов). Поскольку акты излучения отдельных атомов никак не связаны между собой, то свет от естественных источников представляет собой совокупность электромагнитных волн, световой вектор  которых колеблется беспорядочно во всех направлениях перпендикулярно лучу, причем все направления равновероятны. Такой свет называется неполяризованным (или естественным).

Поляризованным светом называется свет, в котором колебания светового вектора каким-то образом упорядочены. Если колебания светового вектора  происходят в одной плоскости, то такой свет называется плоскополяризованным. Плоскость, в которой колеблется вектор , называется плоскостью поляризации. Если имеется преимущественное (но не единственное) направление светового вектора , то такой свет называется частично поляризованным.

Возможные случаи колебаний вектора  в плоскости, перпендикулярной лучу, представлены на рис.

а) естественный свет; б) плоскополяризованный свет;
в) частично поляризованный свет

Подчеркнем, что луч перпендикулярен чертежу.

Свет естественных источников может приобрести частичную или полную поляризацию при взаимодействии с веществом. Поляризация состоит в выделении из светового пучка колебаний определенного направления. Для этой цели используют специальные устройства, например, призму Николя, пластинку турмалина, поляроид и т. д. Устройства, создающие поляризованный свет, называются поляризаторами. Глаз человека не отличает поляризованный свет от ествественного. Для анализа поляризованного света используется такое же, как поляризатор, устройство, которое называется анализатором.

Если плоскополяризованный свет, прошедший через поляризатор (П), падает на анализатор (А) (луч перпендикулярен чертежу, то через него будет пропущена составляющая

где E₀ — амплитуда света, прошедшего через поляризатор, E — амплитуда света, прошедшего через анализатор, α — угол между плоскостями пропускания колебаний поляризатора и анализатора.

Возведем в квадрат обе части уравнения. Так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то получим:

Это уравнение представляет собой закон Малюса.

Интенсивность света, прошедшего поляризатор и анализатор, равна интенсивности света, прошедшего через поляризатор, умноженной на квадрат косинуса угла между плоскостями пропускания колебаний поляризатора и анализатора.

Если на поляризатор падает естественный свет, то интенсивность света уменьшается наполовину

При повороте анализатора вокруг луча можно найти его положение, при котором свет совсем не проходит. При

  («скрещенные» поляризатор и анализатор) — I = 0. Это надежный способ убедиться в том, что свет полностью поляризован.

Задачи:

1. В установке для наблюдения колец Ньютона используется плосковыпуклая линза с радиусом кривизны 8,6 м. При освещении установки монохроматическим светом, падающим нормально на плоскую поверхность линзы, радиус четвертого темного кольца был равен 4,5 мм. Определить длину волны света, если наблюдение велось в отраженном свете.
2. Почему при наблюдении на экране интерференционной картины от тонкой мыльной пленки, полученной на вертикально расположенном каркасе, в отраженном монохроматическом свете расстояние между интерференционными полосами в верхней части меньше, чем в нижней?
3. Две когерентные световые волны приходят в некоторую точку пространства с разностью хода 2,25 мкм. Каков результат интерференции в этой точке, если свет: а) красный ( λ = 750 нм); б) зеленый ( λ = 500 нм)?
4. Дифракционная решетка содержит 120 штрихов на 1 мм. Найти длину волны монохроматического света, падающего на решетку, если угол между двумя спектрами первого порядка равен 8°.
5. Определить угол отклонения лучей зеленого света ( λ = 0,55 мкм) в спектре первого порядка, полученном с помощью дифракционной решетки, период которой равен 0,02 мм.
6. Линия с длиной волны λ₁ = 426 нм, полученная при помощи дифракционной решетки в спектре второго порядка, видна под углом φ₁ = 4,9º. Найти, под каким углом φ₂. видна линия с длиной волны λ₂ = 713 нм в спектре первого порядка.

Задания и вопросы для самоконтроля

1. Что называется интерференцией?
2. Какие источники называются когерентными? В чем заключается общий принцип получения когерентных световых волн?
3. Сформулируйте условия максимума и минимума интенсивности света при интерференции.
4. В чем состоит явление дифракции? Сформулируйте принцип Гюйгенса — Френеля.
5. Какой свет называется плоскополяризованным?
6. Сформулируйте закон Малюса.

1. Интерференция световых волн

1.1. Интерференция от двух источников

1.2. Определим положение m-ого интерференционного максимума. Определим ширину интерференционного максимума

1.3. Интерференция на тонкой плёнке

1.4. Интерференция на клине (полосы равной толщины)

1.5. Кольца Ньютона

2. Дифракция волн

2.1. Дифракция Фраунгофера на узкой длинной щели в непрозрачном экране

2.2. Дифракция света на одномерной дифракционной решётке

2.3. Разрешающая способность дифракционной решётки

2.4. Дифракция рентгеновских лучей

3. Поляризация света

3.1. Поляризованный и естественный свет

3.2. Закон Малюса

3.3. Поляризация при отражении от диэлектриков. Закон Брюстера

3.4. Двойное лучепреломления

3.5. Искусственная оптическая анизотропия

3.6. Вращение плоскости поляризации

1. Интерференция световых волн

Интерференцией волн называется явление усиления колебаний в одних и ослабление колебаний в других точках пространства в результате наложения двух или нескольких волн, приходящих в эти точки пространства.

Для наблюдения устойчивой во времени интерференционной картины необходимы условия, при которых частоты, поляризация и разность фаз интерферирующих волн, были бы постоянными в течение всего времени наблюдения.

Интерферируют когерентные, монохроматические волны.

Когерентные волны — волны одинаковой частоты, колебания в которых отличаются постоянной разностью фаз, не изменяющейся со временем.

1.1. Интерференция от двух источников

Свет от одного источника с помощью непрозрачного экрана с двумя отверстиями даёт возможность получить два когерентных источника волн (схема Юнга). Расстояние между источниками (В, С) равно l. Длина волны, излучаемая источниками λ, расстояние до экрана, где наблюдается интерференция. О – центр экрана.

Пусть в точке М – экрана происходит наложение когерентных волн. Получим условие усиления и ослабления волнами друг друга. Расстояние от В источника до точки М – d₁, от С до точки М – d₂. Колебания точки М, вызываемые первым. источником волн: , а колебания, вызываемые 2-ым источником: , где А – амплитуда колебаний источников, ω – частота колебаний, k=2π/λ – βолновое число.

Результирующее колебание точки М:

.

Амплитуда колебаний точки М:

A_M=2Acos(k(d₂-d₁)/2) зависит от положения точки на экране и может быть равной 2А, если волны усиливают друг друга или нулю, если волны ослабляют друг друга.

Получим условие усиления или максимум интерференции. Чтобы А_М=2А, необходимо чтобы

|cos(k(d₂-d₁)/2)|=1

Это выполняется, если

; .

Значит d₂-d₁=±mλ.

Пусть d₂-d₁=Δd – разность хода интерферирующих лучей, а ΔФ=2π(d₂-d₁)/λ=2πΔd/λ – разность фаз интерферирующих волн, тогда

ΔΤ=2π/λ (d₂-d₁) =2π/λ Δd – ρоотношение между разность фаз и разность хода волн.

Если d₂-d₁=Δd=± mλ, γде m=0,1…, то А_М=2А и, следовательно, в этих точках пространства (экрана) наблюдается максимум интерференции. Разность фаз волн при этом будет равна ΔФ=±2πmλ/λ=±2πm.

Условие ослабления или минимум интерференции

А_м=0,

|cos(k(d₂-d₁)/2)|=0.

Это выполняется, если (k(d₂-d₁)/2)=±(2m+1)λ/2; следовательно

Δd=±(2m+1)λ/2.

Волны ослабляют друг друга, если разность хода при этом

ΔΤ=±2πmλ /(2λ)(2m+1)=±(2m+1)π,

m – называется порядком интерференционного максимума или минимума. В центре экрана наблюдается максимум нулевого порядка: d₂-d₁=Δd=0.

1.2. Определим положение m-ого интерференционного максимума. Определим ширину интерференционного максимума

Рисунок 1. В точке М наблюдается максимум m-ого порядка. Обозначим расстояние от центра экрана до точки М – y_m. Воспользуемся геометрией рисунка 1. Отрезок CD=d₂-d₁. Треугольники BCD и AMO – подобны. Из подобия

.

Чтобы в точке наблюдался максимум m-ого порядка Δd=d₂-d₁=±mλ.

Ширина интерференционного максимума – расстояние между двумя соседними максимумами или минимумами.

Если положение m-ого максимума y_m=mLλ/l, то положение (m+1)-го максимума y_m+1=(m+1)Lλ/l. Тогда Δy= y_m+1-y_m=Lλ/l, γде Δy – ширина интерференционного максимума.

1.3. Интерференция на тонкой плёнке

На тонкую плёнку толщиной d и показателем преломления n падает монохроматический свет с длиной волны λ. Угол падения α. Среда около плёнки – воздух. Определим условие наблюдения максимума и минимума интерференции на тонкой плёнке. Интерферирующие лучи показаны на рисунке 2. Часть первого луча проходит через плёнку, преломляясь на границе раздела, отражается от нижней границы плёнки и выходит в точке С. Часть второго луча отражается от верхней поверхности плёнки и в точке С интерферирует с лучом 1. Обозначим Δ – оптическую разность хода волны.

Оптическая разность хода волн 1 и 2:

Δ=n(AB+BC)-(DC+λ/2),

где n(AB+BC) – путь (оптический) первой волны,

(DC+λ/2) – путь второй волны. При отражении волны от поверхности плёнки, фаза волны меняется на π, т.к. отражение происходит от более плотной среды (nb=1);

n>n_b.

Изменение фазы на π соответствует дополнительному ходу, равному λ/2.

Используя геометрию рисунка и законы преломления света, получим, что оптическая разность хода интерферирующихся волн равна:

или ,

где β – угол преломления. Запишем условие усиления волнами друг друга или максимума интерференции: Δ=⁺— mλ. Значит:

,

.

Толщина плёнки, при которой интерферирующие волны будут усиливать друг друга:

,

m – порядок интерференции (m=0,1,2…).

Если m=0, то

– это минимальная толщина плёнки, при которой плёнка будет окрашена цветом соответствующим данной длине волн λ. Условие ослабления при интерференции или минимум интерференции:

Δ=(2m+1)λ/2.

.

.

Толщина плёнки, при которой плёнка будет казаться тёмной, т.к. наблюдается ослабление волнами друг друга, равна:

, m=0,1,2…

1.4. Интерференция на клине (полосы равной толщины)

Две поверхности, расположение под малым углом α, образуют систему получившую название клин. Клин имеет разную толщину, а поэтому при освещении поверхности клина монохроматическим светом на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные максимумы и минимумы (смотри интерференцию на плёнке), т.к. в одних точках поверхности толщина клина соответствует условию наблюдению максимума, а в других – условию минимума.

Определим ширину интерференционной полосы.

Пусть в точке А поверхности клина возникает максимум m-ого порядка. Толщина клина — d_m+1. В точке В возникает максимум (m+1)-го порядка. Толщина плёнки в этом месте — d_m+1. Условие наблюдения максимума при толщине d_m и d_m+1:

2d_mn=(2m+1)λ/2; 2d_m+1n=(2m+3) λ/2.

Вычтем из второго уравнения первое:

.

d_m+1-d_m – разность толщины клина в местах наблюдения m-ого и (m+1)-го максимумов. На рисунке 3. Из прямоугольника:

AB=Δy=BD/sinα,

Δy – ширина интерференционной полосы

.

Если угол при вершине мал, то ,

, α[рад].

Ширина интерференционного минимума или расстояния между соседними минимумами равна ширине интерференционного максимума.

1.5. Кольца Ньютона

Частым случаем полос равной толщины являются кольца Ньютона, которые наблюдаются в схеме, изображённой на рисунке 4.

Плосковыпуклая линза с большим радиусом кривизны R выпуклой поверхностью лежит на плоской пластине и соприкасается с ней в точке О. Параллельный пучок света падает нормально на плоскую поверхность промежутка между линзой и пластиной. При наложении отраженных волн возникают интерференционные полосы равной толщины, имеющие вид колец. Вид этих колец в случае монохроматического света показан на рисунке 5.

В центре наблюдается минимум нулевого порядка (тёмное пятно). Центральный минимум окружён системой чередующихся окрашенных и тёмных колец, ширина и интенсивность которых постоянно убывает по мере удаления от центрального пятна.

Расчёт радиусом окрашенных и тёмных колец.

На рисунке 6 изображены интерферирующие волны, распространяются вдоль лучей 1 и 2.

Разность хода волн равна:

,

где d – толщина зазора между линзой и пластиной, где наблюдается интерференция, n – показатель преломления прослойки, λ/2 – потеря полволны при отражении 1-ой волны от стеклянной пластинки (при условии n<n_стекла).

Для наблюдения максимума интерференции или окрашенного кольца:

,

где m-ого порядка окрашенного кольца (m=1,2,3…).

Значит,.

Для минимума интерференции , или .

Радиус кольца определим, используя геометрию рисунка 4 OD=d. Из треугольника AO₁D:

.

Пренебрегая d², получим: .

Если подставим значения d, соответствующее минимуму интерференции, получим выражение для радиуса окрашенного кольца m-ого порядка.

Если между линзой и пластинкой воздушная прослойка, то n=1.

2. Дифракция волн

Огибание волнами препятствий или отклонение от прямолинейного распространения в оптически неоднородной среде получило название дифракции.

Дифракция возникает при прохождении световых волн через отверстия в непрозрачных экранах, вблизи границ непрозрачных тел и т.д.

Различаются два вида дифракции световых волн: дифракция Френеля, или дифракция в расходящихся лучах, и дифракция Фраунгофера, или дифракция в параллельных лучах.

В первом случае на препятствие падает сферическая или плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится позади препятствия на конечном расстоянии от него.

Во втором случае на препятствие падает плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света.

2.1. Дифракция Фраунгофера на узкой длинной щели в непрозрачном экране

Ширина щели BC=b, длина волны, падающего света λ. Свет падает на щель нормально к её поверхности так что колебания во всех точках щели совершаются в одной фазе. О – оптический центр линзы. Дифракционная картина наблюдается на экране, который установлен в фокальной плоскости линзы. φ – угол дифракции, или угол отклонения от прямолинейного распространения падающих волн, который может принимать значения от 0 до .

F₀ – центр дифракционной картины, где интерферируют лучи, угол дифракции которых равен нулю. В F наблюдается центральный дифракционный максимум.

Параллельные лучи BM и CN, идущие от краёв щели под углом дифракции φ, собираются линзой в побочном фокусе F_φ.

Линза обладает тем свойством, что оптические пути лучей BM и DNF_φ, где D – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на направление луча CN, одинаковы.

Результат интерференции в точке F_φ экрана зависит от разности хода волн и длины волн падающего света. Щель можно разбить по ширине на зоны, которые получили название зон Френеля. Зоны имеют вид параллельных ребру В полосок, разность хода от краев которых равна λ/2.

Число зон Френеля, укладывающихся в отверстие, равно:

.

Все зоны излучают свет в рассматриваемом направлении с одинаковой амплитудой, причём колебания, вызываемые в точке F_φ двумя соседними зонами противоположны по фазе.

Поэтому, если число зон Френеля в отверстии чётное

,

где k=1,2…,

то под углом дифракции, удовлетворяющем условию, наблюдается дифракционный минимум. k – порядок дифракционного минимума.

Если число зон Френеля нечётное

, где k=1,2…,

то под углом дифракции φ удовлетворяющему условию

наблюдается дифракционный максимум, соответствующий действию одной зоны Френеля (k — порядок дифракционного минимума).

Самый яркий центральный максимум наблюдается в главном фокусе линзы F₀ (φ=0).

С ростом k ширина зон Френеля уменьшается и интенсивность максимумов быстро падает.

Амплитуда и интенсивность света в точке F_φ равны:

и ,

где А₀ – амплитуда, I₀ – интенсивность центрального максимума (φ=0).

2.2. Дифракция света на одномерной дифракционной решётке

Одномерная дифракционная решётка представляет собой систему из большого число N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей в экране, раздельных также одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками.

На рисунке 8 показаны только две соседние щели решётки. Величина d=a+b, называется периодом решётки (a=KC – ширина непрозрачного промежутка, b=BK – ширина щели,

— ширина решётки). Если плоская монохроматическая волна с длиной λ падает на решётку нормально, то колебания во всех точках щели происходят в одинаковой фазе. Колебания, возбуждаемые в произвольной точке Fφ фокальной плоскости линзы каждой из щелей, совпадают по амплитуде, но отличаются по фазе. Для каждой пары соседних щелей сдвиг по фазе Δφ0 μежду этими колебаниями одинаков. Сдвиг по фазе зависит от разности хода волн, идущих от точек В и С под углом дифракции φ и длины волны λ.

,

где — разность хода,

D – основание перпендикуляра, опущенного из точки В на направление луча С.

.

Условие наблюдения главных максимумов: или (k=1,2,3)

,

k – порядок интерференционного максимума.

Наибольший порядок спектра наблюдается под углом дифракции: ;

;

;

,

k может принимать только целые значения, поэтому результат, полученный от деления, нужно округлить до меньшего целого числа. Число максимумов наблюдаемых на экране . В центре экрана в точке F₀ наблюдается центральный максимум (φ=0, k=0).

Условие наблюдения главных минимумов:

или ;

,

k – порядок главного минимума.

2.3. Разрешающая способность дифракционной решётки

Пусть на дифракционную решётку падает немонохроматический свет с длиной волны λ₁ и λ₂.

; (близкие длины волн).

Период дифракционной решётке d, число щелей N. В спектре k-ого порядка на экране (рисунок 9) под углом φ1 наблюдается максимум для длины волны λ1, а под углом дифракции φ2 – максимум для волны с λ2. (Fφ1 θ Fφ2 – ρоответственно), максимумы для двух длин волн на экране пространственно разделены, если выполняется условие:

(формула Рэлея).

Это условие получило название разрешающей способности дифракционной решётки. λ можно принять равным λ₁ или λ₂.

2.4. Дифракция рентгеновских лучей

Кристаллическую решётку твёрдых тел можно рассматривать как пространственную дифракционную решётку, период которой значительно меньше длины волны видимого света (). Для видимого света кристаллы являются оптически однородной средой.

В тоже время для рентгеновских лучей кристаллы представляют естественные кристаллические решётки ().

Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах рассматривается как результат интерференции рентгеновского излучения, зеркально отражающегося от систем параллельных плоскостей, которые проходят через узлы кристаллической решётке. Расстояние d между двумя сетчатыми плоскостями называется межплоскостным расстоянием, а угол Θ между падающим лучом и плоскостью – угол скольжения. На рисунке 10 изображены две плоскости, которые проходят через углы кристаллической решётки (сетчатые или атомные плоскости).

На поверхности кристалла под углом скольжения Θ падает плоская волна с длиной λ. Рентгеновские лучи не преломляются в кристалле, т.к. показатель преломления для них равен единице (примерно). Разность хода интерферирующих волн (лучи 1 и 2), отражённых от двух параллельных плоскостей равна . Отражение наблюдается в направлениях, соответствующих дифракционным максимумам, которые удовлетворяют условию Вульфа-Брэгга:

, m=1,2,3…

m – порядок дифракционного максимума

,

Θ – σгол скольжения для наблюдения максимума удовлетворяет этому условию.

Угол скольжения, соответствующий первому дифракционному максимуму (m=1)

.

3. Поляризация света

3.1. Поляризованный и естественный свет

Из теории Максвелла следует, что свет является поперечной электромагнитной волной. Вектор напряжённости электрического поля (электрический или световой вектор) и вектор напряжённости магнитного поля (магнитный вектор) в световой волне колеблется в направлении перпендикулярном скорости распространения волны.

Линейно поляризованной волной называется волна, вектор которой не изменяют направление колебаний в пространстве.

Уравнение плоской монохроматической линейно-поляризованной волны, распространяющейся в направлении оси ОХ:

,

где ω – циклическая частота, — волновое число, υ – скорость распространения волны.

В каждой точке электромагнитного поля электрический вектор совершает гармонические колебания в плоскости XOY, которая называется плоскостью колебания.

Магнитный вектор колеблется в плоскости XOZ – в плоскости поляризации.

Световая волна со всевозможными одинаково вероятными направлениями колебаний электрического и магнитного векторов называется естественным светом.

В естественном свете плоскости поляризации меняют ориентацию в пространстве с течением времени.

Естественный свет можно представить в виде суперпозиции двух волн, которые поляризованы во взаимно-перпендикулярных плоскостях. Запишем уравнение естественного света только для электрического вектора волны:

;

,

где E_y, E_z – проекции электрического вектора на оси координат, α – сдвиг по фазе между колебаниями по Y и Z. Для естественного света E_oy=E_oz.

Частично поляризованным называется свет, если в нём есть преимущественное направление колебаний вектора

(E_oy>>E_oz) или (E_oz>>E_oy).

Частично поляризованный свет можно рассматривать как смесь одновременно распространяющихся в одном и том же направлении естественного и линейно поляризованного.

Поляризацией света называется выделение линейно поляризованного света естественного или частично поляризованного. Для этой цели используются специальные устройства, называемые поляризаторами.

Для определения характера и степени поляризации используют устройства, называемые анализаторами.

Поляризатор можно использовать в качестве анализатора.

Анализатор или поляризатор условно изображают в виде решётки, “прутья” которой параллельны направлению колебаний вектора в проходящем сквозь неё свете.

Если на такую решётку-анализатор падает естественный свет, то интенсивность проходящей волны не изменяется при вращении анализатора вокруг направления падающего луча вследствие того, что в естественном свете ни одно из направлений плоскости поляризации (плоскости колебаний) не является преобладающим.

,

где I₀ – интенсивность падающего естественного света,

k – коэффициент прозрачности анализатора,

I_А – интенсивность проходящего света.

На выходе из анализатора-поляризатора имеем линейно поляризованную волну.

Если падающий свет частично поляризован, то I_A при вращении анализатора изменяется в зависимости от ориентации его главной плоскости (т.е. направления прутьев) по отношению к преимущественному направлению колебаний вектора в падающем свете.

3.2. Закон Малюса

Пусть на анализатор падает линейно поляризованный свет интенсивностью I0. Оптическая ось анализатора О-О` (направление прутьев).

Определим интенсивность прошедшей волны в точке А, если анализатор повернуть на угол α вокруг направления распространения луча. Через анализатор пройдёт электрический вектор, величина . Т.к. интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то — это и есть закон Малюса.

3.3. Поляризация при отражении от диэлектриков. Закон Брюстера

Направим на границу раздела двух диэлектриков (воздух, стекло) тонкий луч естественного света.

Часть световой волны отражается, а часть преломляется, распространяясь во второй среде. На рисунке: φ – угол падения луча, β – угол преломления, n₂ – показатель преломления стекла, n₁ — показатель преломления воздуха, n₁=1.

Если на пути отражённого и преломлённого луча поставить анализатор, то можно исследовать поляризацию при отражении и преломлении.

Оказалось, что в общем случае отражённый и преломлённый лучи поляризованы частично. При некотором строго определённом для данной пары сред (диэлектриков) значение угла падения отражённый свет оказывается линейно поляризованным. Угол падения в этом случае называется углом Брюстера (φ_Б) или углом полной поляризации и определяется законом Брюстера:

,

где n₂₁ – относительный показатель преломления среды.

3.4. Двойное лучепреломление

В оптически анизотронных кристаллах наблюдается явление двойного лучепреломления, которое состоит в том, что луч света падающий на поверхность кристалла, раздваивается на два преломлённых луча.

MN – оптическая ось кристалла.

Оптическая ось кристалла – направление в оптически анизотронном кристалле, вдоль которого свет распространяется, не испытывая двойного лучепреломления. Главной плоскостью или главным сечением одностороннего кристалла называется плоскость, проходящая через падающий луч и пересекающую его оптическую ось.

В одноосном кристалле один из преломлённых лучей подчиняется обычным законом преломления света. Этот луч лежит в плоскости падения. Волну, распространяющуюся вдоль направления этого луча, называют обыкновенной волной и обозначают буквой О. Показатель преломления для этой волны n₀.

Вдоль второго луча распространяется необыкновенная волна. Показатель преломления луча для неё n_е. угол преломления для необыкновенного луча зависит от того, как ориентирована поверхность пластинки по отношению к оптической оси кристалла MN. Угол преломления равен нулю в двух случаях:

а) если поверхность пластинки перпендикулярна к оптической оси (свет распространяется вдоль оптической оси, не испытывая двойного лучепреломления).

б) если поверхность пластинки параллельна оптической оси (свет распространяется в пластинке перпендикулярно оптической оси).

Двойное лучепреломление можно объяснить тем, что падающая на оптически анизотронный кристалл световая волна возбуждает две волны, распространяющиеся в кристалле эти по разным направлениям. В однослойном кристалле эти волны называются обыкновенными и необыкновенными волнами. Обыкновенные и необыкновенные волны линейно поляризованы во взаимно-перпендикулярных плоскостях.

В обыкновенной волне вектор направлен перпендикулярно к главной плоскости кристалла. Электрический вектор необыкновенной волны лежит в главной плоскости кристалла. Направления векторов в обыкновенных и необыкновенных волнах условно показаны на рисунке точками на обыкновенном луче и поперечными чёрточками на необыкновенном. Предполагается, что оба луча и пересекающая их оптическая ось MN кристалла лежат в плоскости рисунка.

3.5. Искусственная оптическая анизотропия

1. Оптически изотропное прозрачное вещество становится анизотропным, если его подвергнуть механической деформации. Это явление называется фотоупругостью, при одностороннем растяжении или сжатии изотропного тела вдоль оси OX оно приобретёт оптические свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого параллельна ОХ . Разность показателей преломления обыкновенного (n_o) и необыкновенного (n_е) лучей в направлении перпендикулярном оси ОХ, пропорциональна нормальному напряжению .

n₀-n_е=к

где к- коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств вещества.

2. Эффектом Керра называется возникновение оптической неоднородности у прозрачного изотропного диэлектрика, если его поместить во внешнее электрическое поле.

Под действием поля диэлектрик поляризуется и приобретает оптические свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает по направлению с вектором напряженности внешнего поля.

Разность показателей преломления поляризованного диэлектрика для необыкновенного и обыкновенного лучей монохроматического света, распространяющегося перпендикулярно направлению вектора Е, удовлетворяет закону Керра.

n_е-n₀=B_в

где -длина волны в вакууме, В_в-постоянная Керра.

3. Эффектом Коттона-Мутона называется возникновение оптической анизотропии у некоторых изотропных вещество при помещении их в сильное внешнее магнитное поле.

В однородном магнитном поле вещество преображает оптические свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает по направлению с вектором напряженности внешнего поля.

Разность показателей преломления вещества для необыкновенного и обыкновенного лучей монохроматического света при его распространении в направлении перпендикулярном вектору , пропорциональна .

с- постоянная Коттона — Мутона, -длина волны в вакууме.

3.6. Вращение плоскости поляризации

При прохождении линейно поляризованного света через некоторые вещества, называемые оптически активными, плоскость поляризации света поворачивается вокруг направления распространения луча.

Оптически активны некоторые кристалла (кварц, киноварь и др.) чистые жидкости и растворы (скипидар, раствор сахара в воде и др.)

В оптически активных кристаллах и чистых жидкостях угол поворота плоскости поляризации пропорционален толщине слоя вещества, через который проходит свет:

Коэффициент пропорциональности называется удельным вращением, или постоянной вращения.

Угол поворота плоскости поляризации при прохождении света пути в оптически активном растворе равен

С — объемно-массовая концентрация оптически активного вещества в растворе, D- плотность раствора, к=С/D- долевая концентрация по массе, — удельная вращения, зависит от природы оптически активного вещества.

Оптически неактивная среда под действием внешнего магнитного поля приобретает способность вращать плоскость поляризации света, распространяющегося вдоль направления поля.

Это явление называется эффектом Фарадея, или магнитным вращением плоскости поляризации.

где — угол поворота плоскости поляризации,

-напряженность магнитного поля,

— длина пути световой волны,

V — постоянная Верде.

Интерференция волн.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: интерференция света.

В предыдущем листке, посвящённом принципу Гюйгенса, мы говорили о том, что общая картина волнового процесса создаётся наложением вторичных волн. Но что это значит — «наложением»? В чём состоит конкретный физический смысл наложения волн? Что вообще происходит, когда в пространстве одновременно распространяются несколько волн? Этим вопросам и посвящён данный листок.

к оглавлению ▴

Сложение колебаний.

Сейчас мы будем рассматривать взаимодействие двух волн. Природа волновых процессов роли не играет — это могут быть механические волны в упругой среде или электромагнитные волны (в частности, свет) в прозрачной среде или в вакууме.

Опыт показывает, что волны складываются друг с другом в следующем смысле.

Принцип суперпозиции. Если две волны накладываются друг на друга в определённой области пространства, то они порождают новый волновой процесс. При этом значение колеблющейся величины в любой точке данной области равно сумме соответствующих колеблющихся величин в каждой из волн по отдельности.

Например, при наложении двух механических волн перемещение частицы упругой среды равно сумме перемещений, создаваемых в отдельности каждой волной. При наложении двух электромагнитных волн напряжённость электрического поля в данной точке равна сумме напряжённостей в каждой волне (и то же самое для индукции магнитного поля).

Разумеется, принцип суперпозиции справедлив не только для двух, но и вообще для любого количества накладывающихся волн. Результирующее колебание в данной точке всегда равно сумме колебаний, создаваемых каждой волной по отдельности.

Мы ограничимся рассмотрением наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты. Этот случай наиболее часто встречается в физике и, в частности, в оптике.

Оказывается, на амплитуду результирующего колебания сильно влияет разность фаз складывающихся колебаний. В зависимости от разности фаз в данной точке пространства две волны могут как усиливать друг друга, так и полностью гасить!

Предположим, например, что в некоторой точке фазы колебаний в накладывающихся волнах совпадают (рис. 1).

Рис. 1. Волны в фазе: усиление колебаний

Мы видим, что максимумы красной волны приходятся в точности на максимумы синей волны, минимумы красной волны — на минимумы синей (левая часть рис. 1). Складываясь в фазе, красная и синяя волны усиливают друг друга, порождая колебания удвоенной амплитуды (справа на рис. 1).

Теперь сдвинем синюю синусоиду относительно красной на половину длины волны. Тогда максимумы синей волны будут совпадать с минимумами красной и наоборот — минимумы синей волны совпадут с максимумами красной (рис. 2, слева).

Рис. 2. Волны в противофазе: гашение колебаний

Колебания, создаваемые этими волнами, будут происходить, как говорят, в противофазе — разность фаз колебаний станет равна . Результирующее колебание окажется равным нулю, т. е. красная и синяя волны попросту уничтожат друг друга (рис. 2, справа).

к оглавлению ▴

Когерентные источники.

Пусть имеются два точечных источника, создающие волны в окружающем пространстве. Мы полагаем, что эти источники согласованы друг с другом в следующем смысле.

Когерентность. Два источника называются когерентными, если они имеют одинаковую частоту и постоянную, не зависящую от времени разность фаз. Волны, возбуждаемые такими источниками, также называются когерентными.

Итак, рассматриваем два когерентных источника и . Для простоты считаем, что источники излучают волны одинаковой амплитуды, а разность фаз между источниками равна нулю. В общем, эти источники являются «точными копиями» друг друга (в оптике, например, источник служит изображением источника в какой-либо оптической системе).

Наложение волн, излучённых данными источниками, наблюдается в некоторой точке . Вообще говоря, амплитуды этих волн в точке не будут равны друг другу — ведь, как мы помним, амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника, и при разных расстояниях и амплитуды пришедших волн окажутся различными. Но во многих случаях точка расположена достаточно далеко от источников — на расстоянии гораздо большем, чем расстояние между самими источниками. В такой ситуации различие в расстояниях и не приводит к существенному отличию в амплитудах приходящих волн. Следовательно, мы можем считать, что амплитуды волн в точке также совпадают.

к оглавлению ▴

Условие максимума и минимума.

Однако величина , называемая разностью хода, имеет важнейшее значение. От неё самым решительным образом зависит то, какой результат сложения приходящих волн мы увидим в точке .

Рис. 3. Усиление колебаний в точке P

В ситуации на рис. 3 разность хода равна длине волны . Действительно, на отрезке укладываются три полных волны, а на отрезке — четыре (это, конечно, лишь иллюстрация; в оптике, например, длина таких отрезков составляет порядка миллиона длин волн). Легко видеть, что волны в точке складываются в фазе и создают колебания удвоенной амплитуды — наблюдается, как говорят, интерференционный максимум.

Ясно, что аналогичная ситуация возникнет при разности хода, равной не только длине волны, но и любому целому числу длин волн.

Условие максимума. При наложении когерентных волн колебания в данной точке будут иметь максимальную амплитуду, если разность хода равна целому числу длин волн:

(1)

Теперь посмотрим на рис. 4. На отрезке укладываются две с половиной волны, а на отрезке -три волны. Разность хода составляет половину длины волны (d=lambda /2[/math]).

Рис. 4. Гашение колебаний в точке P

Теперь нетрудно видеть, что волны в точке складываются в противофазе и гасят друг друга — наблюдается интерференционный минимум. То же самое будет, если разность хода окажется равна половине длины волны плюс любое целое число длин волн.

Условие минимума.
Когерентные волны, складываясь, гасят друг друга, если разность хода равна полуцелому числу длин волн:

(2)

Равенство (2) можно переписать следующим образом:

.

Поэтому условие минимума формулируют ещё так: разность хода должна быть равна нечётному числу длин полуволн.

к оглавлению ▴

Интерференционная картина.

А что, если разность хода принимает какое-то иное значение, не равное целому или полуцелому числу длин волн? Тогда волны, приходящие в данную точку, создают в ней колебания с некоторой промежуточной амплитудой, расположенной между нулём и удвоенным значением 2A амплитуды одной волны. Эта промежуточная амплитуда может принимать все значения от 0 до 2A по мере того, как разность хода меняется от полуцелого до целого числа длин волн.

Таким образом, в той области пространства, где происходит наложение волн когерентных источников и , наблюдается устойчивая интерференционная картина — фиксированное не зависящее от времени распределение амплитуд колебаний. А именно, в каждой точке данной области амплитуда колебаний принимает своё значение, определяемое разностью хода приходящих сюда волн, и это значение амплитуды не меняется со временем.

Такая стационарность интерференционной картины обеспечивается когерентностью источников. Если, например, разность фаз источников будет постоянно меняться, то никакой устойчивой интерференционной картины уже не возникнет.

Теперь, наконец, мы можем сказать, что такое интерференция.

Интерференция — это взаимодействие волн, в результате которого возникает устойчивая интерференционная картина, то есть не зависящее от времени распределение амплитуд результирующих колебаний в точках области, где волны накладываются друг на друга.

Если волны, перекрываясь, образуют устойчивую интерференционную картину, то говорят попросту, что волны интерферируют. Как мы выяснили выше, интерферировать могут только когерентные волны. Когда, например, разговаривают два человека, то мы не замечаем вокруг них чередований максимумов и минимумов громкости; интерференции нет, поскольку в данном случае источники некогерентны.

На первый взгляд может показаться, явление интерференции противоречит закону сохранения энергии — например, куда девается энергия, когда волны полностью гасят друг друга? Но никакого нарушения закона сохранения энергии, конечно же, нет: энергия просто перераспределяется между различными участками интерференционной картины. Наибольшее количество энергии концентрируется в интерференционных максимумах, а в точки интерференционных минимумов энергия не поступает совсем.

На рис. 5 показана интерференционная картина, созданная наложением волн двух точечных источников и . Картина построена в предположении, что область наблюдения интерференции находится достаточно далеко от источников. Пунктиром отмечена ось симметрии интерференционной картины.

Рис. 5. Интерференция волн двух точечных источников

Цвета точек интерференционной картины на этом рисунке меняются от чёрного до белого через промежуточные оттенки серого. Чёрный цвет — интерференционные минимумы, белый цвет — интерференционные максимумы; серый цвет — промежуточное значение амплитуды, и чем больше амплитуда в данной точке, тем светлее сама точка.

Обратите внимание на прямую белую полосу, которая идёт вдоль оси симметрии картины. Здесь расположены так называемые центральные максимумы. Действительно, любая точка данной оси равноудалена от источников (разность хода равна нулю), так что в этой точке будет наблюдаться является интерференционный максимум.

Остальные белые полосы и все чёрные полосы слегка искривлены; можно показать, что они являются ветвями гипербол. Однако в области, расположенной на большом расстоянии от источников, кривизна белых и чёрных полос мало заметна, и выглядят эти полосы почти прямыми.

к оглавлению ▴

Интерференционный опыт, изображённый на рис. 5, вместе с соответствующим методом расчёта интерференционной картины называется схемой Юнга. Эта схема лежит в основе знаменитного
опыта Юнга (речь о котором пойдёт в теме Дифракция света). Многие эксперименты по интерференции света так или иначе сводятся к схеме Юнга.

В оптике интерференционную картину обычно наблюдают на экране. Давайте ещё раз посмотрим на рис. 5 и представим себе экран, поставленный перпендикулярно пунктирной оси.
На этом экране мы увидим чередование светлых и тёмных интерференционных полос.

На рис. 6 синусоида показывает распределение освещённости вдоль экрана. В точке O, расположенной на оси симметрии, находится центральный максимум. Первый максимум в верхней части экрана, соседний с центральным, находится в точке A. Выше идут второй, третий (и такдалее) максимумы.

Рис. 6. Интерференционная картина на экране

Расстояние , равное расстоянию между любыми двумя соседними максимумами или минимумами, называется шириной интерференционной полосы. Сейчас мы займёмся нахождением этой величины.

Пусть источники находятся на расстоянии друг от друга, а экран расположен на расстоянии от источников (рис. 7 ). Экран заменён осью ; начало отсчёта , как и выше, отвечает центральному максимуму.

Рис. 7. Вычисление координат максимумов

Точки и служат проекциями точек и на ось и расположены симметрично относительно точки . Имеем: .

Точка наблюдения может находиться на оси (на экране) где угодно. Координату точки
мы обозначим . Нас интересует, при каких значениях в точке будет наблюдаться интерференционный максимум.

Волна, излучённая источником , проходит расстояние:

. (3)

Теперь вспомним, что расстояние между источниками много меньше расстояния от источников до экрана: . Кроме того, в подобных интерференционных опытах координата точки наблюдения также гораздо меньше . Это означает, что второе слагаемое под корнем в выражении (3) много меньше единицы:

.

Раз так, можно использовать приближённую формулу:

(4)

Применяя её к выражению (4), получим:

(5)

Точно так же вычисляем расстояние, которое проходит волна от источника до точки наблюдения:

. (6)

Применяя к выражению (6) приближённую формулу (4), получаем:

. (7)

Вычитая выражения (7) и (5), находим разность хода:

. (8)

Пусть — длина волны, излучаемой источниками. Согласно условию (1), в точке будет наблюдаться интерференционный максимум, если разность хода равна целому числу длин волн:

Отсюда получаем координаты максимумов в верхней части экрана (в нижней части максимумы идут симметрично):

При получаем, разумеется, (центральный максимум). Первый максимум рядом с центральным соответствует значению и имеет координату .Такой же будет и ширина интерференционной полосы:

.

Для всех волн характерны явления интерференции и дифракции. Если свет — это волна, то для него также должны быть присущи эти явления. Так рассуждали ученые, которые считали, что свет имеет волновую природу. Первым привел экспериментальные доказательства интерференции и дифракции света Томас Юнг в 1801 году.

Это интересно! Явление интерференции света было описано и объяснено в 1801 году, но само понятие «интерференция света» было введено немного позже — в 1803 году.

Интерференция механических волн

Чтобы лучше понять явление интерференции, сначала объясним его на примере механических волн, за которыми удобней наблюдать. Часто случается, что в среде одновременно распространяется несколько различных волн. К примеру, когда в комнате может одновременно находиться несколько источников звука. Что же происходит, когда волны пересекают друг друга? Объясним это на примере волн, образуемых на поверхности воды.

Если бросить в воду два камешка, образуются две круговые волны. Если наблюдать за их распространением, мы увидим, что каждая волна проходит сквозь другую. Причем она ведет себя так, как будто другой волны не существовало. Точно так же любое количество звуковых волн может одновременно распространяться в воздухе. И они не будут друг другу мешать. Множество музыкальных инструментов в оркестре или голосов в хоре создает звуковые волны, которые улавливаются нами одновременно. При этом звуки не сливаются в шум: наши органы слуха способны легко отличить один звук от другого.

Теперь рассмотрим более подробно процесс, когда волны накладываются одна на другую. Для этого будем наблюдать волны на поверхности воды от двух брошенных в воду камней. При этом мы заметим, что некоторые участки поверхности не возмущены, в других же местах возмущение усилилось. Если два гребня двух волн встречаются в одном месте, то в этом месте возмущение поверхности воды становится более сильным. Если же гребень одной волны встречается с впадиной другой, то поверхность воды в этом месте остается спокойной. Получается, что в каждой точке среды колебания, вызванные двумя волнами, складываются. Результирующее смещение любой частицы среды представляет собой алгебраическую сумму смещений, которые происходили бы при распространении одной из волн в отсутствие другой.

Интерференция — сложение в пространстве волн, при котором образуется постоянное во времени распределение амплитуд результирующих колебаний частиц среды.

Чтобы выяснить, при каких условиях наблюдается интерференция волн, одновременно возбудим две круговые волны в ванночке с помощью двух шариков, прикрепленных к стержням, колеблющимся по гармоническому закону.

Теперь представим явление интерференции схематически. В любой точке М на поверхности воды будут складываться колебания, вызванные двумя волнами от источников O₁ и O₂ (см. рисунок ниже). Амплитуды колебаний, вызванных в точке М обеими волнами, будут различаться, если волны проходят различные пути d₁ и d₂. Но если расстояние l между источниками много меньше этих путей, то обе амплитуды можно считать приближенно одинаковыми.

Результат сложения волн, приходящих в точку М зависит от разности фаз между ними. Пройдя различные расстояния d₁ и d₂, волны имеют разность хода, определяемую формулой:

Δd = d2 − d1

Когда разность хода равна длине волны λ, то вторая волна запаздывает по сравнению с первой на один период. Так как за период волна проходит путь, равный ее длине волны, то в точке встречи двух волн фазы совпадают. Если в этой точке волны имеют гребни, то совпадают гребни, если впадины — совпадают впадины.

Условие минимумов и максимумов

Когда гребни волн на поверхности волны складываются в одной точке, их амплитуда резко возрастает. В этом случае говорят, что в этой точке образуется интерференционный максимум. Когда впадины волн на поверхности волны складываются в одной точке, их амплитуда резко уменьшается. В этом случае говорят, что в этой точке образуется интерференционный минимум. Интерференционные минимумы и максимумы образуются при соблюдении определенных условий.

Если разность хода волн равна нечетному числу полуволн, то в точке наложения этих волн образуется интерференционный минимум. Амплитуда колебаний в данной точке минимальна.

Δd=(2k+1)λ2

k = 0, 1, 2, … .

Если разность хода волн равна целому числу волн, то в точке наложения этих волн образуется интерференционный максимум. Амплитуда колебаний в данной точке максимальна.

Δd=kλ

Если разность хода ∆d принимает промежуточное значение между λ и λ/2, амплитуда результирующих колебаний принимает некоторое промежуточное значение между удвоенной амплитудой и нулем. Но важной примечательностью является то, что амплитуда колебаний в любой точке с течением времени не меняется. Поэтому на поверхности воды возникает определенное, постоянное во времени распределение амплитуд колебаний, которое называют интерференционной картиной.

Для формирования устойчивой интерференционной картины важно, чтобы источники волн имели одинаковую частоту, и разность фаз их колебаний не менялась с течением времени. Такие источники волн называют когерентными.

Когерентные волны — это волны, имеющие одинаковые частоты, постоянную разность фаз, а колебания происходят в одной плоскости.

Только когерентные волны при сложении формируют устойчивую интерференционную картину. Если же источники волн некогерентные, то в любой точке среды разность фаз колебаний, возбуждаемых двумя волнами, будет с течением времени изменяться. Поэтому амплитуда результирующих колебаний также будет непрерывно изменяться. В результате максимумы и минимумы в пространстве будут иметь неопределенное положение. Поэтому интерференционная картина получается размытой.

Распределение энергии при интерференции

Любая волна переносит энергию без переноса вещества. Но что же с этой энергией происходит при интерференции волн? Если волны встречаются друг с другом, энергия никуда не исчезает и не превращается в другие формы энергии. Она лишь перераспределяется таким образом, что в минимумах он не поступает совсем, поскольку концентрируется в максимумах.

Интерференция света

Ели свет — это поток волн, то должно наблюдаться явление интерференции. Однако получить интерференционную картину, при которой чередуются минимумы и максимумы с помощью двух независимых источников света (к примеру, двух ламп), невозможно. Включение второй лампы лишь увеличивает освещенность поверхности, но не создает картины из минимумов и максимумов. Это объясняется несогласованностью волн друг с другом. Для получения же устойчивой интерференционной картины нужны согласованные, то есть когерентные световые волны. Они должны иметь одинаковые длины волн и постоянную во времени разность фаз в любой точке пространства.

Однако наблюдать интерференцию света все же можно. Вы ее наблюдали, когда пускали мыльные пузыри или рассматривали пленку нефти на поверхности воды.

Томас Юнг — первый из ученых, который предложил объяснить изменение цветов тонких пленок сложением волн. Согласно его предположению, одна волна отражается от наружной поверхности плёнки, а другая — от внутренней. При этом возникает явление, называемой интерференцией световых волн.

Усиление света происходит в том случае, если преломлённая волна запаздывает по сравнению с отражённой волной на целое число длин волн. Здесь действует условие максимумов, о котором мы говорили выше:

Δd=kλ

Если вторая волна запаздывает по сравнению с первой на половину длины волны или на нечетное число полуволн, то произойдет ослабление света. Здесь действует условие минимумов, о котором мы также уже говорили:

Δd=(2k+1)λ2

Четкая интерференционная картина получается потому, что волны, отраженные от внутренней и внешней оболочки тонкой пленки, являются когерентными. Когерентность этих волн объясняется тем, что они являются частями одного и того же светового луча.

Юнг сделал вывод, что многообразие цветов на мыльной пленке связано с разницей в длине волны. Если плёнка имеет неоднородную толщину, то при освещении её белым светом появляются различные цвета.

Простую интерференционную картину также можно получить, если положить на стеклянную поверхность плоско-выпуклую линзу, сферическая поверхность которой имеет большой радиус кривизны. Интерференционная картина, полученная таким способом, носит название колец Ньютона.

Исаак Ньютон исследовал интерференционную картину, получаемую в тонкой прослойке воздуха между стеклом и линзой, не только в белом свете, но и при освещении линзы монохроматическими лучами. Так он установил, что радиусы колец одного и того же порядкового номера увеличиваются при переходе от фиолетового конца спектра к красному. Так, красные кольца имеют максимальный радиус. Расстояние между соседними кольцами уменьшаются с увеличением их радиусов.

Ньютону удалось получить кольца, но их появление он объяснить не смог. Но это удалось сделать Юнгу. Проведенный им опыт показал, что волна определённой длины падает на плосковыпуклую линзу почти перпендикулярно. Волна 1 появляется в результате отражения от выпуклой поверхности линзы на границе сред стекло-воздух, а волна 2 — в результате отражения от пластины на границе сред воздуха- стекло.

Если вторая волна запаздывает по сравнению с первой на целое число длин волн, то при сложении волны усиливают друг друга. Если вторая волна запаздывает по сравнению с первой на нечётное число полуволн, то колебания в точке сложения будут совпадать в противоположных фазах. При этом волны погасят друг друга.

В результате проделанного эксперимента Юнг смог получить картину, которая состоит из чередующихся параллельных полос (темных и светлых)

Интерференция света – это явление сложения двух и более когерентных волн, приводящее к образованию в пространстве устойчивой картины чередующегося максимумом и минимумом интенсивности.

Это интересно! Измеряя радиусы колец Ньютона, можно вычислить длины волн. В ходе измерений было установлено, что для красного света λ_кр = 8∙10^–7 м, а для фиолетового — λ_a = 4∙ 10^–7 м.

Пример №1. Будет ли наблюдаться интерференционная картина при освещении мыльной пленки монохроматическим светом? Какой она будет?

Поскольку источник света один и тот же, то отраженные от обеих поверхностей мыльной пленки волны будут когерентными. Поэтому интерференционная картина наблюдаться будет. Она примет вид чередующихся цветных и темных полос. Цвет полос определяется цветом световой волны, который зависит от ее длины волны.

Алиса Никитина | Просмотров: 4.7k