Как найти максимум модуля функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Теорема: Пусть аналитична в и . Если , в которой, то в . Иными словами, модуль не постоянной функции не может достигать своей верхней границы внутри области аналитичности — только на ее границе.

Доказательство: Пусть и . Рассмотрим множество точек из , в которых . Известно, что . Покажем, что открыто. Пусть. По теореме о среднем достаточно малого :

. Отсюда: . Из условия верхней границы: на . Обозначим на . Тогда имеем: , но , как площади фигур (см. рисунок). Отсюда следует равенство.

, а отсюда получаем, что . Мы показали, что если , то . Отсюда следует, что открыто (любая точка лежит в нем вместе с окрестностью). Рассмотрим множество . Покажем, что оно открыто. — непрерывная вещественная функция это неравенство выполняется в некоторой окрестности точки — открыто. Следовательно, область образуется двумя открытыми непересекающимися множествами, а значит является двусвязным, как область, следовательно либо , либо . Но известно, что . Следовательно является константой на всей .

Получили: . В силу аналитичности функции (а значит, и аналитичности модуля) имеем:

Заменив здесь по условиям Коши-Римана частные производные и решив относительно них систему алгебраических уравнений с ненулевыми коэффициентами, нетрудно получить, что . Следовательно . Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >

Источник

ГЛАВНАЯ >
ПРЕДМЕТЫ >
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО >
ПРИНЦИП МАКСИМУМА МОДУЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Принцип максимума модуля аналитической функции

НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ

Принцип максимума модуля

Доказательство

НАВИГАЦИЯ ПО СТРАНИЦЕ

Принцип максимума модуля

Доказательство

Нам важно твое мнение

Остался ли ты доволен контентом, который опубликован на этой странице?

Спасибо, принято!

Напиши, что не так с вопросом в форме обратной связи, мы постараемся разобраться в ближайшее время.

Принцип максимума модуля для аналитической функции:

Если аналитичная в и то достигает максимального значения на границе.

Доказательство.

Предположим обратное: что

всюду на окружности

Теперь на ZNZN можно делать свои конспекты

Легко создавать, делиться и просматривать с устройств

Доступно в ПК-версии сайта

Нам важно твое мнение

Остался ли ты доволен контентом, который опубликован на этой странице?

Спасибо, принято!

Напиши, что не так с вопросом в форме обратной связи, мы постараемся разобраться в ближайшее время.

Источник

Для любых последовательностей чисел , , существует целая функция $f$ , такая, что .

Вот это да. Спасибо за указанный факт.

Используя его, последовательность . $a_n:a_n=g(c_{n+1}), ngeqslant 0$ . Для таких последовательности существует целая функция . Искомая функция имеет вид: $f(z)=suplimits_{xin[0,x_0]}|g(x)|+f_1(z).$ В точках вида $r=x_0+n,ninmathbb{N}$ очевидно выполняется неравенство . В остальных точках это неравенство следует из принципа максимума модуля.
И не понадобилось никаких действительнозначных аналитических функций, аналитических продолжение… :-)

Построение $f_1$ :
Построим целую функцию $G(z)$ имеющую нули в точках последовательности ${c_n}_{n=0}^infty$ .
$G(z)=prodlimits_{n=1}^inftyleft(1-frac{z}{c_n}right)e^{sumlimits_{i=1}^{j_n}frac{z^i}{ic_n^i}}.$
Тогда $f_1(z)=sumlimits_{n=1}^inftyfrac{a_n}{G'(c_n)}left(frac{z}{c_n}right)^{p_n}frac{G(z)}{z-c_n},$
где $p_ninmathbb{N}$ — наименьшие удовлетворяющие неравенствам
$left|frac{a_n}{G'(c_n)}right|left|frac{1}{c_n}right|^{p_n}<frac1{n^{1+delta}}, delta>0, ngeqslant n_0.$
Обалденная конструкция, завораживает)

Странно, что в брошюре по целым функциям из которой я взял это задания, оно идёт в самом начале главы один, а факторизация целых функций рассматривается во второй главе, гм.

Источник

Лемма:
Знач-ие голоморф. в обл. G
ф-ии f
в любой т. z
равно среднему арифм. ее значений на
любой окр-ти Г с центром z,
принадл. вместе с внутренностью обл. G.

Теорема
1: Если ф. f
голоморф. в обл. G
с С_z
и модуль |f|
достигает локал. максимума в нек. т. z_0,то ф. f=const
в G.

Док-во:
Положим |f(z₀)|=M,
очевидно, 0≤M<.
Выберем числотак,
чтобы кругU(z₀,)
вместе с границей лежал вG
и чтобы |f(z)|≤M
в замыкании z.
В случ. M=0
имеем f=0,и,
согласно принципу единств-и, f=0
в G.
Пусть M>0.
Рассужд. от прот-го, покаж., что |f|=M
в
.
Предпол., что вимеется некот. т.,
где 0<r<,
0≤t₀≤
2,
в кот. |f(z^*)|<M,
тогда в виду непрер-ти
)|т.,
что наT₁=[t₀—,t₀+]
выполн. нер-во.
Кроме того, ф , 0≤≤M
на дополн. T₂=
[t₀+,t₀—+2].
Используя теор. о среднем для голоморф.
ф-ции, имеемf(z₀)=.
ОткудаПолученное противоречие доказ., что
|f|=M
в U(z₀,

Следствие1:
Максимум |f|,
голоморф. в обл. и непрер. в ее замыкании,
может достигаться только на границе
этой обл., при усл-иии, что f(z)≠const.

Следствие
2(Вейерштрасса): Пусть
дан ряд f₁(z)+…+f_n(z)+…
(1) все члены кот.- ф-ции, голоморф. в обл.
G
и непрер. в G,
тогда если ряд (1) сход. равном. на границе
обл. G
,
то он сход-ся также равномер. на замкн.
обл..

22.Нули
голоморф.ф-и. Порядок нуля. Изолированность
нулей голоморф.ф-и.

Опр.Если ф-яголоморфн. в обл-ти,
то кажд. т.,
в кот.,
наз. нулем ф-ии.

Утв.замкнут.огранич. подмн-во обл-тиG,
в кот. ф-яfголоморф. и,
может содерж. лишь конечное число нулей
ф-иf.

Док-во.Д-но, предположение по-ти
мн-ва нулей приводит к-ию
вGхотя бы 1-й предел. т.
мн-ва ф-иfи, сл-но, к
рав-вуf=0.

Утв.Мн-во
нулей голоморф.вGф-ии(fкак эл-т, вектор),конечно
или счетно.

Док-во.Обл-тьGможно
представ. в виде объединения замкн. мн-в,,
где– расст. отzдо.
Т.к. в кажд.мн-во
нулей ф.fконечно, то вGоно конечно или счетно.

Опр.Пустьfголоморф.вобл-тиG,,–т.
обл-тиG,.
Числоmназ. порядком
(кратностью) нуляф-ииf,
если ее разложение в ряд Тейл. в окр. т.имеет вид:(,.
Очев, что т.явл.
нулем пор-каmголоморф.ф.fтиттк,.

Пример.Т.явл.
для ф-ииsinz-zнулем пор-ка 3, а т.для
ф-ииsinzнулем пор-ка 1.Опр.Приm=1 нуль ф.fназ. простым.

Утв.Голоморф.ф., имеющая нули, либо тожд.
нулю, либо ее нули – изолир. т. (без
док-ва).

23.
Представление рядом Лорана ф-и,
голоморф.в кольце. Интегральные ф-лы
Коши для коэфф-в ряда Лорана.

Теор.
1.Пусть ф-яfголоморф.в
кольце,,,
тогда вKф.fпредставима
в виде суммыf=S+T,
гдеS(z) –
сумма степ. ряда,
сходящ. в круге,
а–сумма
ф-ии ряда,
сходящ. вне замыкания круга.
Коэф. этих рядов выраж. ф-лой:(1), где.

Док-во.Зафикс.
т.и
возьмем числатак, что выполн..
Пустьсоотв-но
внутр. и внешн. граничн. окр-ти кольца.
Пусть– окр-ть с центр. в т.z,
леж. внутри.
Т.к.явл.
голоморф. ф. отв обл-ти К, исключая т.,
то по интегр. т. Коши для остального
контура имеем,
откуда,
где,.
Разложим подынтегр. ф. в 1-м из интегралов
по полож, а во 2-м – по отриц. степеням
разности:;.
Получ. ряды сход.равном. соотв-но на,,
т.к.при,ипри,,
поэтому после почленного интегрир.
рядов получ. разлож.,с
коэф-ами:,.
Ряд с суммойS(z)
сход.в круге,
а ряд с сум.T(z)
сход-ся вне замык. круга.
Т.к. ф-яприголоморф.при,
то в силу интегр. т. Коши о составном
конт., интегрирование поив
ф-лахиможно заменитьинтегрир-ем поокр-тис
центр. в т.,
лежащей в кольце К. 1-й ряд в теор. 1S(z)
–обыкн. степ. ряд и изображ. ф-юf,
голоморф. в круге.
2-й рядT(z)
можно рассм. как обыкн. степ.ряд, если,.
В новых обозначениях ряд примет вид(3). Ряд (3) сход.прии изображ. ф. перем.tи
голоморф. при.
Возвращаясь к перем.z,
видим, что рядT(z)
изобр.T(z),
голом. вне замкн. круга.
Преставл. голоморф.ф.с
коэф.

можно
запис. короче
.

24.Ряд
Лорана, его правильная и главная части.
Единственность ряда Лорана.

[ P.S.Теор. 1.Пусть ф-яfголоморф.в
кольце,,,
тогда вKф.fпредставима
в виде суммыf=S+T,
гдеS(z) –
сумма степ. ряда,
сходящ. в круге,
а–сумма
ф-ии ряда,
сходящ. вне замыкания круга.
Коэф. этих рядов выраж. ф-лой:(1), где.
]

Опр.Разлож.(откуда получилось – см. билет 22) по
целым степенямназ.
рядом Лорана ф.fв кольце
К. СуммаS(z)
с неотриц. степеняминаз. егоправильной частью, а суммаT(z) с отриц.
степенями –главной частью.

Теор.В
данном круговом кольцеголоморф.ф.f(z) единств.
образом разлагается в ряд Лорана.

Док-во.Пусть(5) на окр-ти,
где.
Ряд (5) сход.равном. Умножив (5) на,
получ..
Здсеь ряд также сход.равномерно на,
поэтому, интегрир. его почленно на,
получ:,
что совпад. с (1).

25.Прав.иизолиров.
особые т. голоморф. ф-и. Критерий прав.т.
Классификация особых изолир. т-к. Ряд
Лорана в окрестности особ.т.

Пусть ф-я
f(z) явл.
голоморф.внекот. окр-ти.

Опр. 1.Еслитакое, что, положив,
получ. ф-юf(z),
голоморф.во всем круге,
то т.наз.правильной т.ф.f(z).
Если такого числа не,
то т.наз.изолир. особ.т.для ф.f(z).

Теор.Для
того, чтобы ф.f(z),
голоморф.вбыла правильн. в т.,
необх. и достат., чтобыокр-тьUт.,
в кот.f(z)
огранич. по модулю.

Док-во.Необх.
очевидна. Достат. – много.

Следствие.
Чтобы т.была изолир. особ. т.f(z)
необх. и достат., чтобы вееокр-ти|f(z)|
был неогранич., т.е. чтобы выполн..

Опр. 2.Изолир.
особ.т.,
для кот. выполн.,
наз.полюсом голоморф. ф. f.Изолир.
особ.т., для кот.(ни конечн., ни бескон)наз. существ. особ. т. ф.

Теор. 2.Чтобы т.была полюсом ф.f(z)
необх. и достат., чтобы эта т. была нулем
ф..

Док-во.Большое.

Опр. 3.Т.наз. полюсом порядка (кратности)m,
если т.явл.
нулем порядкаmдля ф..
Приm=1 полюс наз. простым,
а приm>1 – кратным.

Теор. 3.Чтобы т.была полюсом кратн.mдля
ф.f, необх. и достат., чтобы
лорановск. разлож. ф.f(см.
22-23) имело вид:)
(3).

Док-во.Большое.

След.Изолир.
особ.т.голоморф. ф.f(z)
явл. для нее существенно особ. т.
титткларановск. разлож. ф.fв
окр. т.содержитмн-во
членов с отриц. степенями.

26.Теорема
Сохоцкого.

Теор. 1.Если–сущ.
особ. т. голоморф. ф.f, то
длясущ.
сход. кпослед-ть,
такая, чтопри.

Док-во.Большое. [Случай бескон. удал. т.Пустьf(z) голоморф.
в,
тогда ф.будет
голоморф.в обл.,.

Опр. 1.
наз.
прав. т., полюсом порядкаmили
сущ. особ. т. ф.f(z),
голоморф. в К, (см. 25) в зав-ти от того,
будет ли т.соотв-но
прав. т., полюсом порядкаmили сущ. особ. т. для ф-ии.
В указ. случ. ф.иммет
в окр-ти т.имеет лоран. разлож. (см. 23) вида:,
второе ур-ие не видно.(в
посл. случ. беск. мн-во коэф.при отриц. степеняхотлична от 0).

Опр. 2.Разлож.,
голоморф. в кольце,
ф.fв ряд Лорана наз. рядом
Лорана в бесконечности. Главная часть
(см. 24) ряда Лорана в беск-ти наз.
совокупность членов с полож. степенями,
а прав.частью – все ост. члены.]

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

МАКСИМУМА МОДУЛЯ ПРИНЦИП

теорема, выражающая одно из основных свойств модуля аналитич. функции. Пусть f(z) — регулярная аналитическая, или голоморфная, функция пкомплексных переменных в области Dкомплексного числового пространства отличная от константы, М. м. п. в локальной форме утверждает, что ни в какой точке не может достигаться локальный максимум модуля f(z), т. е. не существует окрестности, V(z⁰) точки z°, в к-рой выполняется неравенство , Если, кроме того, то z⁰ не может быть и точкой локального минимума модуля f(z). Равносильная формулировка М. м. п. в глобальной форме состоит в том, что при тех же условиях модуль аналитич. функции f(z) не может ..достигать своей верхней грани

ни в какой точке Следовательно, если f(z) непрерывна в конечной замкнутой области D, то наибольшее значение Мдостигается только в граничных точках области D. Приведенные формулировки М. м. п. сохраняют силу и в том случае, если f(z) — голоморфная функция на связном комплексном (аналитическом) многообразии, в частности на римановой поверхности или на римановой области D.

М. м. п. допускает обобщения в различных направлениях. Во-первых, вместо голоморфности f(z) достаточно предположить только, что f(z)=u(z)+iv(z) — (комплексная) гармоническая функция. Другое обобщение связано с тем, что для голоморфной функции f(z) модуль |f(z)| есть логарифмически субгармоническая функция. Если f(z) — ограниченная голоморфная функция в конечной области и условие

выполняется для всех точек кроме точек нек-рого множества внешней емкости нуль (в пространстве ), то всюду в D. См. также Двух констант теорема, Фрагмена — Линделёфа теорема.

М. м. п. обобщается и на голоморфные отображения. Пусть — голоморфное отображение области впространство

то, — голоморфные функции в — евклидова норма. Тогда ни в какой точке функция ||f(z)|| не может достигать локального максимума. М. м. п. справедлив всякий раз, когда выполняется сохранения области принцип.

Лит.:[1] Стоилов С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., М., 1962; [2] В л а д и м и р о в В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
.
1977—1985.

Полезное

Смотреть что такое «МАКСИМУМА МОДУЛЯ ПРИНЦИП» в других словарях:

МАКСИМУМА МОДУЛЯ ПРИНЦИП — утверждение, согласно к рому аналитическая функция одного или неск. комплексных неременных, отличная от постоянной, не может внутри области аналитичности достигать своего максимального по абс. величине значения. В частности, если аналитич. ф ция… … Физическая энциклопедия
Принцип максимума модуля (значения) — Принцип максимума модуля (в теории функций комплексных переменных) Принцип максимума для уравнения теплопроводности Принцип максимума Понтрягина (в теории оптимального управления) … Википедия
Принцип максимума модуля — У этого термина существуют и другие значения, см. Принцип максимума. В этой статье отсутствует вступление. Пожалуйста, допишите вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи. Формулировка Если … Википедия
Принцип Фрагмена — Линделёфа — Для аналитических функций справедлив так называемый принцип максимума модуля, который предписывает четкое расположение максимума модуля для аналитической в некоторой ограниченной области функции исключительно на границе этой области. В общем… … Википедия
Принцип максимума — модуля (в теории функций комплексных переменных) Принцип максимума для уравнения теплопроводности Принцип максимума Понтрягина (в теории оптимального управления) … Википедия
Принцип максимума (значения) — Принцип максимума модуля (в теории функций комплексных переменных) Принцип максимума для уравнения теплопроводности Принцип максимума Понтрягина (в теории оптимального управления) … Википедия
Принцип Фрагмена — Линделёфа — Для аналитических функций справедлив так называемый принцип максимума модуля, который предписывает четкое расположение максимума модуля для аналитической в некоторой ограниченной области функции исключительно на границе этой области. В общем… … Википедия
Принцип Фрагмена—Линделёфа — Для аналитических функций справедлив так называемый принцип максимума модуля, который предписывает четкое расположение максимума модуля для аналитической в некоторой ограниченной области функции исключительно на границе этой области. В общем… … Википедия
Принцип Фрагмена — Для аналитических функций справедлив так называемый принцип максимума модуля, который предписывает четкое расположение максимума модуля для аналитической в некоторой ограниченной области функции исключительно на границе этой области. В общем… … Википедия
АРГУМЕНТА ПРИНЦИП — геометрический принцип теории функций комплексного переменного, формулируемый следующим образом: пусть ограниченная область на комплексной плоскости , причем граница является непрерывной кривой, ориентация к рой согласована с ; если функция… … Математическая энциклопедия

Источник