1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол
a — сторона ромба
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α — острый угол
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :
2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты
a — сторона ромба
h — высота
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :
Формула радиуса окружности, вписанной в треугольник
Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла.
Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.
Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:
- Длин сторон треугольника.
- Его площади.
- Его периметра.
- Величины углов треугольника.
Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.
Вычисление с помощью полупериметра
Чтобы рассчитать величину радиуса вписанной окружности в треугольник, необходимо учитывать следующие параметры:
- Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
- Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную — полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
- В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
- Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
- Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Вычисление с учётом площади треугольника
Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.
- Для начала нужно удвоить величину площади.
- Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
- Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.
Расчёт с помощью тригонометрических функций
Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:
r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.
Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность. Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.
- Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С — это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b, а гипотенуза — переменной с.
- Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр. Если в условиях даются размеры двух катетов, по ним можно вычислить величину гипотенузы, исходя из теоремы Пифагора.
- Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ, во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA.
- Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
- Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем —величина полупериметра.
Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.
Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.
Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.
Видео
Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.
Все формулы для радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности в треугольник
a , b , c — стороны треугольника
p — полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
a — сторона треугольника
r — радиус вписанной окружности
Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):
Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник
1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
α — угол при основании
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :
2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота
a — равные стороны равнобедренного треугольника
b — сторона ( основание)
h — высота
О — центр вписанной окружности
r — радиус вписанной окружности
Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :
Радиус вписанной окружности
Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус вписанной в треугольник и в многоугольник окружности, размещены на одной странице.
Радиус вписанной в многоугольник окружности
Если в многоугольник можно вписать окружность, то формула для вычисления радиуса вписанной окружности:
где p — полупериметр, то есть полусумма длин всех сторон этого многоугольника.
Например, для пятиугольника со сторонами a, b, c, d, e радиус вписанной окружности находится по формуле
Радиус вписанной в треугольник окружности
Формула для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности (верна для треугольника любого вида)
где p — полупериметр,
где a, b, c — стороны треугольника.
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
где a и b — катеты, c — гипотенуза.
Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник
Формула радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности
где a — сторона многоугольника, n — количество сторон.
Частные случаи — правильный (равносторонний) треугольник, правильный четырехугольник (квадрат) и правильный шестиугольник.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник
Формула радиуса вписанной окружности для правильного треугольника:
В правильном треугольнике радиус вписанной окружности вдвое меньше радиуса описанной окружности:
Радиус окружности, вписанной в квадрат
Формула радиуса вписанной в квадрат окружности:
где a — сторона квадрата.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник
Формула радиуса вписанной в правильный шестиугольник окружности:
где a — сторона правильного шестиугольника.
Для любого многоугольника центр вписанной окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.
5 Comments
Почему для квадрата не подходит формула S=pr
Вполне подходит. Полупериметр p=2а, r=a/2, откуда S=2a∙(a/2)=a².
Огромное спасибо этому сайту!Всё просто, понятно и правильно.
Радиус вписанной окружности это есть высота правильного многоугольника? Работает ли это для всех многоугольников?
http://www-formula.ru/2011-09-24-00-40-48
Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника
Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.
Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Пусть сторона правильного треугольника равна .
Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус описанной окружности в два раза больше:
Площадь правильного треугольника:
Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .
Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.
Ответ: .
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .
Ответ: .
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Содержание
- Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна сторона треугольника
- Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна высота треугольника
- Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна площадь треугольника
1. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна сторона треугольника
Пусть известна сторона a равностороннего треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.
Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности через основание a и боковую сторону b вычисляется из следующей формулы:
Учитывая, что у равностороннего треугольника все стороны равны (( small a=b )), имеем:
То есть
или, умножив числитель и знаменатель на ( small sqrt{3} ):
Пример 1. Известна сторона a=17 равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (2) и (3). Подставим значения ( small a=17 ) в (3):
Ответ:
2. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна высота треугольника
Пусть известна высота h равностороннего треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Выведем формулу стороны равностороннего треугольника через высоту. Из Теоремы Пифагора имеем:
Тогда:
Откуда:
Формула радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности по основанию и высоте вычисляется из формулы
Подставляя (4) в (5), получим:
То есть, радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности по высоте вычисляется из формулы:
Пример 2. Известна высота ( small h=39 ) равностороннего треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значение ( small h=39 ) в (6):
Ответ:
3. Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если известна площадь треугольника
Пусть известна площадь S равностороннего треугольника (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности вычисляется из следующей формулы:
Откуда:
Тогда:
Пример 3. Известна площадь равностороннего треугольника: ( small S=42 . ) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (7). Подставим значение ( small S=42 ) в (7):
Ответ:
Смотрите также:
- Окружность, описанная около треугольника
- Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
- Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус вписанной в треугольник и в многоугольник окружности, размещены на одной странице.
Радиус вписанной в многоугольник окружности
Если в многоугольник можно вписать окружность, то формула для вычисления радиуса вписанной окружности:
где p — полупериметр, то есть полусумма длин всех сторон этого многоугольника.
Например, для пятиугольника со сторонами a, b, c, d, e радиус вписанной окружности находится по формуле
откуда
По этой же формуле ищут радиус вписанной в треугольник окружности.
Радиус вписанной в треугольник окружности
Формула для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности (верна для треугольника любого вида)
где p — полупериметр,
где a, b, c — стороны треугольника.
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности
Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
где a и b — катеты, c — гипотенуза.
Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник
Формула радиуса вписанной в правильный многоугольник окружности
где a — сторона многоугольника, n — количество сторон.
Частные случаи — правильный (равносторонний) треугольник, правильный четырехугольник (квадрат) и правильный шестиугольник.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник
Формула радиуса вписанной окружности для правильного треугольника:
В правильном треугольнике радиус вписанной окружности вдвое меньше радиуса описанной окружности:
Радиус окружности, вписанной в квадрат
Формула радиуса вписанной в квадрат окружности:
где a — сторона квадрата.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник
Формула радиуса вписанной в правильный шестиугольник окружности:
где a — сторона правильного шестиугольника.
Для любого многоугольника центр вписанной окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.