1. Формула длины основания равнобедренной трапеции через среднюю линию
a — нижнее основание
b — верхнее основание
m — средняя линия
Формулы длины основания:
2. Формулы длины сторон через высоту и угол при нижнем основании
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — равные боковые стороны
α — угол при основании трапеции
h — высота трапеции
Формулы всех четырех сторон трапеции:
3. Формула длины сторон трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — равные боковые стороны
d — диагонали
α , β — углы между диагоналями
h — высота трапеции
Формулы длины сторон трапеции:
справедливо для данной ситуации:
4. Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь
a — нижнее основание
b — верхнее основание
c — равные боковые стороны
α , β — углы при основаниях
m — средняя линия
h — средняя линия
Формулы длины сторон равнобедренной трапеции через площадь:
Формулы площади произвольной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции
Формула периметра трапеции
Все формулы по геометрии
- Подробности
-
Опубликовано: 08 октября 2013
-
Обновлено: 13 августа 2021
Как найти меньшее основание трапеции
Меньшим основанием трапеции (или малым основанием) называется меньшая из его параллельных сторон. Длину этой стороны можно найти разными способами, используя различные данные. Именно способам его нахождения и посвящена данная статья.
Вам понадобится
- Длины большого основания, средней линии, высоты трапеции, площадь трапеции
Инструкция
Проще всего найти малое основание, зная большое основание трапеции и ее среднюю линию. По свойству трапеции, ее средняя линия равна полусумме оснований. Тогда малое основание трапеции можно выразить, как: b = 2m-a, где m — средняя линия трапеции, a — большое основание трапеции.
Если известна площадь трапеции, ее высота, а также длина большого основания, то этого достаточно, чтобы найти малое основание. По формуле площади трапеции S = h(a+b)/2. Следовательно, b = (2S/h)-a.
Пусть трапеция ABCD — остроугольная (как на рисунке). Тогда ее малое основание можно вычислить через большое, высоту и углы при большом основании (обозначим их за x и y).
В этом случае длину малого основания можно выразить через эти данные так: b = a-h*(ctg(x)+ctg(y)).
Пусть теперь эта трапеция тупоугольная (предположим, что угол y — тупой). В этом случае малое основание можно выразить так: b = a-h(ctg(x)-ctg(180-y)).
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции
Определение.
Равнобедренная трапеция — это трапеция у котрой боковые стороны равны.
На этой странице представленны формулы характерные равнобедренной трапеции. Не забывайте, что для равнобедренной трапеции выполняются все формулы и свойства трапеции.
 |
| Рис.1 |
Признаки равнобедренной трапеции
Трапеция будет равнобедренной если выполняется одно из этих условий:
1. Углы при основе равны:
∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC
2. Диагонали равны:
AC = BD
3. Одинаковые углы между диагоналями и основаниями:
∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC
4. Сумма противоположных углов равна 180°:
∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°
5. Вокруг трапеции можно описати окружность
Основные свойства равнобедренной трапеции
1. Сумма углов прилегающих к боковой стороне равнобедренной трапеции равна 180°:
∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°
2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона равна средней лини трапеции:
AB = CD = m
3. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность
4. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований (средней лини):
h = m
5. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату высоты:
SABCD = h2
6. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то квадрат высоты равен произведению основ трапеции:
h2 = BC · AD
7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенному произведению основ трапеции:
AC2 + BD2 = AB2 + CD2 + 2BC · AD
8. Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции:
HF ┴ BC, HF ┴ AD
9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) — равен полуразности оснований:
Стороны равнобедренной трапеции
Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
1. Формулы длины сторон через другие стороны, высоту и угол:
a = b + 2h ctg α = b + 2c cos α
b = a — 2h ctg α = a — 2c cos α
| c = | h | = | a — b |
| sin α | 2 cos α |
2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:
| a = | d12 — c2 | b = | d12 — c2 | c = √d12 — ab |
| b | a |
3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:
| a = | 2S | — b b = | 2S | — a |
| h | h |
4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:
5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:
Средняя линия равнобедренной трапеции
Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
1. Формула определения длины средней линии через основания, высоту и угол при основании:
m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √c2 — h2 = b + √c2 — h2
2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:
Высота равнобедренной трапеции
Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
1. Формула высоты через стороны:
2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:
| h = | a — b | tg β | = c sin β |
| 2 |
Диагонали равнобедренной трапеции
Диагонали равнобедренной трапеции равны:
d1 = d2
Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
1. Формула длины диагонали через стороны:
d1 = √с2 + ab
2. Формулы длины диагонали по теореме косинусов:
d1 = √a2 + c2 — 2ac cos α
d1 = √b2 + c2 — 2bc cos β
3. Формула длины диагонали через высоту и среднюю линию:
d1 = √h2 + m2
4. Формула длины диагонали через высоту и основания:
Площадь равнобедренной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции:
1. Формула площади через стороны:
| S = | a + b | √4c2 — (a — b)2 |
| 4 |
2. Формула площади через стороны и угол:
S = (b + c cos α) c sin α = (a — c cos α) c sin α
3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:
| S = | 4 r 2 | = | 4 r 2 |
| sin α | sin β |
4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:
5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:
S = (a + b) · r = √ab·c = √ab·m
6. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d12 | · sin γ | = | d12 | · sin δ |
| 2 | 2 |
7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:
S = mc sin α = mc sin β
8. Формула площади через основания и высоту:
Окружность описанная вокруг трапеции
Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
| R = | a·c·d1 |
| 4√p(p — a)(p — c)(p — d1) |
где
a — большее основание
Совет 1: Как обнаружить меньшее основание трапеции
Меньшим основанием трапеции (либо малым основанием ) именуется меньшая из его параллельных сторон. Длину этой стороны дозволено обнаружить различными методами, применяя разные данные. Именно методам его нахождения и посвящена данная статья.
Вам понадобится
- Длины большого основания, средней линии, высоты трапеции, площадь трапеции
Инструкция
1. Проще каждого обнаружить малое основание, зная огромное основание трапеции и ее среднюю линию. По свойству трапеции , ее средняя линия равна полусумме оснований. Тогда малое основание трапеции дозволено выразить, как: b = 2m-a, где m – средняя линия трапеции , a – крупное основание трапеции .
2. Если знаменита площадь трапеции , ее высота, а также длина большого основания, то этого довольно, дабы обнаружить малое основание. По формуле площади трапеции S = h(a+b)/2. Следственно, b = (2S/h)-a.
3. Пускай трапеция ABCD – остроугольная (как на рисунке). Тогда ее малое основание дозволено вычислить через огромное, высоту и углы при большом основании (обозначим их за x и y).В этом случае длину малого основания дозволено выразить через эти данные так: b = a-h*(ctg(x)+ctg(y)).
4. Пускай сейчас эта трапеция тупоугольная (представим, что угол y – тупой). В этом случае малое основание дозволено выразить так: b = a-h(ctg(x)-ctg(180-y)).
Совет 2: Как обнаружить высоту трапеции, если знаменита площадь
Под трапецией подразумевается четырехугольник, у которого две из четырех его сторон параллельны между собой. Параллельные стороны являются основаниями данной трапеции , две другие же являются боковыми сторонами данной трапеции . Обнаружить высоту трапеции , если вестима ее площадь, будет дюже легко.
Инструкция
1. Нужно разобраться, как дозволено вычислить площадь начальной трапеции . Для этого существуют несколько формул, в зависимости от начальных данных:S = ((a+b)*h)/2, где a и b – длины оснований трапеции , а h – ее высота (Высота трапеции – перпендикуляр, опущенный от одного основания трапеции к иному);S = m*h, где m – средняя линяя трапеции (Средняя линяя – отрезок, параллельный основаниями трапеции и соединяющий середины ее боковых сторон).
2. Сейчас, зная формулы для исчисления площади трапеции , дозволено из них вывести новые, для нахождения высоты трапеции :h = (2*S)/(a+b);h = S/m.
3. Для того, дабы было внятнее, как решать сходственные задачи, дозволено разглядеть примеры:Пример 1: Дана трапеция, у которой площадь равна 68 см?, средняя линяя которой равна 8 см, требуется обнаружить высоту данной трапеции . Для того, дабы решить данную задачу, требуется воспользоваться ранее выведенной формулой:h = 68/8 = 8.5 смОтвет: высота данной трапеции составляет 8.5 смПример 2: Пускай у трапеции площадь равняется 120 см?, длины оснований данной трапеции равны 8 см и 12 см соответственно, требуется обнаружить высоту этой трапеции . Для этого нужно применить одну из выведенных формул:h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 смОтвет: высота заданной трапеции равна 12 см
Видео по теме
Обратите внимание!
Любая трапеция владеет рядом свойств:- средняя линяя трапеции равна полусумме ее оснований;- отрезок, тот, что соединяет между собой диагонали трапеции, равен половине разности его оснований;- если через середины оснований провести прямую, то она пересечет точку пересечения диагоналей трапеции;- в трапецию дозволено вписать окружность в том случае, если сумма оснований данной трапеции равна сумме ее боковых сторон.Пользуйтесь этими свойствами при решении задач.
Совет 3: Как обнаружить меньшую сторону трапеции
Меньшим основанием трапеции является одна из ее параллельных сторон, имеющая минимальную длину. Рассчитать эту величину дозволено несколькими методами, применяя те либо иные данные.
Вам понадобится
- – калькулятор.
Инструкция
1. Если вестимы две длины – большого основания трапеции и средней линии – используйте для расчета наименьшего основания качество трапеции. Согласно нему, средняя линия трапеции тождественна полусумме оснований. В этом случае наименьшее основание будет равно разности удвоенной длины средней линии и длины большого основания данной фигуры.
2. Если вестимы такие параметры трапеции, как площадь, высота, длина большого основания, то расчет наименьшего основания данной фигуры ведите на основе формулы площади трапеции. В этом случае финальный итог получите путем вычитания из разности частного удвоенной площади и высоты такого параметра, как длина большого основания трапеции.
3. Длину наименьшей боковой стороны в прямоугольной трапеции высчитывайте по иной методике. Данный параметр будет равен произведению длины 2-й боковой стороны и синуса острого угла, прилежащего к ней. В тех же случаях, когда величина угла неведома, наименьшую боковую сторону приравнивайте к высоте трапеции и высчитывайте по теореме Пифагора. Наименьшую боковую сторону в прямоугольной трапеции находите с подмогой теоремы косинусов: с?=a?+b?-2ab*cos?; где а, b, с представляют собой стороны треугольника; ? является углом между сторонами а и b.
Видео по теме
Обратите внимание!
Дабы не ошибиться в вычислениях, значения синусов и косинусов берите из тригонометрических таблиц.
Полезный совет
Если трапеция является остроугольной фигурой, то ее наименьшее основание высчитывайте путем вычитания из разности длины большого основания такой величины, как произведение высоты на сумму котангенсов углов при большом основании.Для тупоугольной фигуры малое основание высчитывайте путем вычитания из разности длины большого основания такой величины, как произведение высоты на сумму разность котангенсов острого и тупого углов при большом основании.
Совет 4: Как обнаружить длину основания трапеции
Для задания такого четырехугольника, как трапеция, должно быть определено не менее 3 его сторон. Следственно, для примера, дозволено разглядеть задачу, в условии которой заданы длины диагоналей трапеции , а также один из векторов боковой стороны.
Инструкция
1. Фигура из данные задачи представлена на рисунке 1.В данном случае следует предположить, что рассматриваемая трапеция – это четырехугольник AВCD, в котором заданы длины диагоналей AC и BD, а также боковая сторона АВ, представленная вектором a(ax,ay). Принятые начальные данные дозволяют обнаружить оба основания трапеции (как верхнее, так и нижнее). В определенном примере вначале будет обнаружено нижнее основание АD.
2. Разглядите треугольник ABD. Длина его стороны АВ равна модулю вектора a. Пусть|a|=sqrt((ax)^2+(ay)^2)=a, тогда cosф =ax/sqrt(((ax)^2+(ay)^2), как направляющий косинус a. Пускай заданная диагональ BD имеет длину p, а желанная AD длину х. Тогда, по теореме косинусов, P^2=a^2+ x^2-2axcosф. Либо x^2-2axcosф+(a^2-p^2)=0.
3. Решения этого квадратного уравнения:X1=(2acosф+sqrt(4(a^2)((cosф)^2)-4(a^2-p^2)))/2=acosф+sqrt((a^2)((cosф)^2)-(a^2-p^2))==a*ax|sqrt(((ax)^2+(ay)^2)+sqrt((((a)^2)(ax^2))/(ax^2+ay^2))-a^2+ p^2)=AD.
4. Для нахождения верхнего основания ВС (его длина при поиске решения также обозначена х) применяется модуль |a|=a, а также вторая диагональ BD=q и косинус угла АВС, тот, что, видимо, равен (п-ф).
5. Дальше рассматривается треугольник АВС, к которому, как и ранее, используется теорема косинусов, и появляется следующее решение. Рассматривая, что cos(п-ф)=-cosф, на основе решения для AD, дозволено записать следующую формулу, заменив p на q:ВС=- a*ax|sqrt(((ax)^2+(ay)^2)+sqrt((((a)^2)(ax^2))/(ax^2+ay^2))-a^2+q^2).
6. Данное уравнение является квадратным и, соответственно, имеет два корня. Таким образом, в данном случае остается предпочесть лишь те корни, которые имеют правильное значение, потому что длина не может быть негативной.
7. ПримерПусть в трапеции АВСD боковая сторона АВ задана вектором a(1, sqrt3), p=4, q=6. Обнаружить основания трапеции .Решение. Применяя полученные выше алгорифмы дозволено записать:|a|=a=2, cosф=1/2. AD=1/2+sqrt(4/4 -4+16)=1/2 +sqrt(13)=(sqrt(13)+1)/2.BC=-1/2+sqrt(-3+36)=(sqrt(33)-1)/2.
Видео по теме
Как найти основание равнобедренной трапеции
Трапецией называют четырехугольник, основания которого лежат на двух параллельных прямых, при этом две другие стороны параллельными не являются. Нахождение основания равнобедренной трапеции требуется как при сдаче теории и решении задач в учебных заведениях, так и в ряде профессий (инженерных, архитектурных, дизайнерских).
У равнобедренной (или равнобокой) трапеции непараллельные стороны как и углы, которые образуются при пересечении нижнего основания, равны.
Трапеция имеет два основания, и чтобы их найти, нужно сначала обозначить фигуру. Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. При этом известны все параметры, кроме оснований. Боковая сторона AB=CD=a, высота BH=h и площадь равна S.
Для решения задачи об основании трапеции проще всего будет составить систему уравнений, чтобы через взаимосвязанные величины найти нужные основания.
Обозначьте отрезок BC за x, а AD за y, чтобы в дальнейшем было удобно обращаться с формулами и понимать их. Если не сделать этого сразу, можно запутаться.
Выпишите все формулы, которые пригодятся при решении поставленной задачи, используя известные данные. Формула площади равнобедренной трапеции: S=((AD+BC)*h)/2. Теорема Пифагора: a*a = h*h +AH*AH .
Вспомните свойство равнобедренной трапеции: высоты, выходящие из вершины трапеции, отсекают равные отрезки на большом основании.Отсюда следует, что два основания можно связать по формуле, вытекающей из этого свойства: AD=BC+2AH или y=x+2AH
Найдите катет AH, следуя теореме Пифагора, которую вы уже записали. Пусть он будет равен некому числу k. Тогда формула, вытекающая из свойства равнобедренной трапеции будет выглядеть так: y=x+2k.
Выразите через площадь трапеции неизвестную величину. У вас должно получиться: AD=2*S/h-BC или y=2*S/h-x.
После этого подставьте данные числовые значения в полученную систему уравнений и решите ее. Решение любой системы уравнений можно найти автоматически в программе MathCAD.