Как найти малую диагональ параллелограмма

Диагональ параллелограмма можно найти, точнее её половину, как сторону треугольника. Значит нужно знать по крайней мере еще две величины (если получается прямоугольный треугольник) или три (2 стороны и угол).

Вот формулы для определения длины меньшей диагонали d:

d = √a^2 + b^2 + 2ab·cosβ, d = √a^2 + b^2 — 2ab·cosα, где a и b — стороны параллелограмма, а β больший угол, α — меньший угол, D — длина большей диагонали.

Параллелограмм представляет собой геометрическую фигуру, где лежащие напротив друг друга ребра
взаимно параллельны.

В задачах по геометрии иногда нужно найти длину его диагонали. В некоторых из них это прямой вопрос,
а в некоторых диагональ нужно вычислить, чтобы потом через нее вычислять другие геометрические
объекты. Например, используя значения длины отрезков, соединяющих вершины, ребер этой геометрической
фигуры, ее углов, вычисляется значение ее площади, другая диагональ. Если в параллелограмме
неизвестны его углы, но известны стороны и угол между диагоналями, то из этих значений узнаются
через расчет углы параллелограмма.

Длинная диагональ через две стороны и тупой угол

В параллелограмме для вычисления длины наибольшей диагонали при имеющихся данных о его ребрах и тупом
угле между ними следует рассчитать квадрат ребер, суммировать эти значения. После этого умножить
значение одного ребра на другое, на косинус тупого угла между ними, на два. Затем от первой суммы
отнять это произведение и найти из этой разности квадратный корень.

D = √(a² + b² – 2 * a * b * cosβ

где D – диагональ этой геометрической фигуры, a, b – ее ребра, cos β – косинус тупого угла между
ребрами этой фигуры

Пример. Значения ребер этого четырехугольника 2 и 4, а косинус тупого угла (120
градусов) между ними -0,5. Диагональ равна: D = √(2²+ 4² – 2 * 2 * 4 * (-0,5)) = √(4+16 – 16 *( -0,5)) = √(20 + = 5,3
(ответ округлен)

Диагональ через две стороны и другую известную диагональ

В параллелограмме для вычисления длины проведенной в нем диагонали через его стороны и другую
диагональ следует возвести в квадрат каждую его сторону и умножить на 2 оба результата, затем
сложить полученные значения (это первый результат). Потом следует возвести в квадрат значение длины
другой диагонали (это второй результат). Затем из первого результата вычесть второй и найти из
полученного значения квадратный корень.

D = √(2 * a² + 2 * b² – d²)

где D – диагональ параллелограмма, a, b – его стороны, d – другая диагональ параллелограмма

Пример. Пусть стороны параллелограмма 2 и 4, а одна из диагоналей 4. Тогда вторая
диагональ равна: D = √(2 * 2²+ 2 * 4² – 4²) = √(8 + 32 – 16) = √24 = 4,9 (ответ
округленный)

Короткая диагональ через две стороны и тупой угол

Для нахождения наименьшего отрезка соединяющего противоположные вершины в этой геометрической фигуре
через его ребра и тупой угол между ними возводятся в квадрат длины его ребер, складываются
полученные числа (один результат). Далее перемножаются значения длины ребер, косинус тупого угла,
удваивается полученное число (это другой результат). К одному результату прибавляется другой и
находится из полученного значения квадратный корень.

D = √(a² + b² + 2 * a * b * cosβ)

где D – диагональ параллелограмма, a, b – его стороны, cos β – косинус тупого угла между ребрами.

Пример. Если ребра этой геометрической фигуры 1 и 3, а косинус тупого угла (120)
между ними -0,5. Тогда диагональ равна: D = √(1²+ 3² + 2 * 1 * 3 * (-0,5)) = √(1 + 9 + 6 * (-0,5)) = √(10 – 3) = 2,6
(ответ округлен)

Длинная диагональ через две стороны и острый угол

В этом четырехугольнике для расчета значения протяженности большего отрезка, соединяющего в нем
расположенные друг напротив друга вершины, через два его ребра и острый угол нужно сначала возвести
в квадрат значение длины его ребер, потом складываются результаты этого вычисления (это первое
слагаемое для последующего сложения). Затем умножаются длины ребер друг на друга, на косинус острого
угла, найденное произведение еще на 2 (это второе слагаемое). Затем оба слагаемых складываются и из
суммы вычисляется квадратный корень.

D = √(a² + b² + 2 * a * b * cos α)

где D – диагональ этой геометрической фигуры, a, b – его ребра, cos α – косинус острого угла

Пример. Если ребра этого четырехугольника 2 и 5, а косинус острого угла (60
градусов) 0,5. Тогда диагональ рассчитывается: D = √(2²+ 5² + 2 * 2 * 5 * 0,5) = √(4 + 25 + 20 * 0,5 = √(29 + 10) = 6,2
(округленно)

Короткая диагональ через две стороны и острый угол

В параллелограмме для вычисления длины наименьшей проведенной в нем диагонали через его стороны и
острый угол между ними следует возвести в квадрат каждую его сторону, затем сложить полученные
значения (это первый результат). Потом следует перемножить между собой стороны, косинус тупого угла
между ними, удвоить полученное значение (это второй результат). Затем из первого результата вычесть
второй и найти из полученного значения квадратный корень.

D = √(a² + b²– 2 * a * b * cosα)

где D – диагональ параллелограмма, a, b – его стороны, cos α – косинус острого угла между сторонами
параллелограмма

Пример. Пусть стороны параллелограмма 2 и 4, а косинус острого угла (60) между ними
0,5. Тогда диагональ равна: D = √(2²+ 4² – 2 * 2 * 4 * 0,5) = √(4 + 16 – 16 * 0,5) = √(20 — = 3,5
(ответ округлен)

Диагональ через площадь, другую известную диагональ и угол между диагоналями

В параллелограмме для вычисления длины проведенного в нем отрезка, соединяющего противоположные
вершины, используя значение его площади, другой диагонали и угол между диагоналями, следует удвоить
значение его площади (это первый результат). Потом следует умножить значение длины другого отрезка,
соединяющего противоположные вершины, на синус угла между диагоналями (это второй результат). Затем
следует разделить первый результат на второй.

D = (2 * S) / (d * sin α)

где D – диагональ параллелограмма, S – площадь параллелограмма, d – вторая диагональ этой
геометрической фигуры, sinα – синус угла между диагоналями параллелограмма

Пример. Значение площади составляет 30, одна из диагоналей 4, синус угла (30
градусов) между диагоналями 0,5. Тогда другая диагональ равна: D = 2 * 30 / 4 * 0,5 = 60 / 2 = 30

Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), (

D, d):

2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α,  β — углы между диагоналями

S — площадь параллелограмма

Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, (D, d):

---

---

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

www-formula.ru

Как найти диагональ параллелограмма?

Параллелограмм представляет собой геометрическую фигуру, характерной особенностью которой является то, что у нее противоположные стороны параллельны и попарно равны, а также диагонали в ней пересекаются, и точка пресечения делит их пополам. Квадрат, ромб и прямоугольник являются параллелограммами.

Диагональ параллелограмма

Рассмотрим, как найти диагональ параллелограмма. В параллелограмме:

• Сумма углов, которые прилегают к одной стороне, всегда будет составлять 180 градусов;
• Точка, в которой диагонали пересекаются, есть центр симметрии параллелограмма.
• В любом четырехугольнике, в том числе в параллелограмме сумма всех углов равна 360 градусов;
• Удвоенная сумма квадратов двух смежных сторон параллелограмма всегда равна сумме квадратов диагоналей.

Для того чтобы знать, как найти большую диагональ параллелограмма, надо определиться с буквенным обозначением. К примеру, мы имеем параллелограмм со сторонами АВ и ВС. Маленькой буквой «а» обозначим одну длину параллелограмма, а маленькой буквой «в» будет вторая его длина. Маленькими буквами d1 d2 обозначим диагонали. Для того чтобы найти диагональ параллелограмма надо:

• Значение свойств параллелограмма помогает найти нужное решение. Диагонали, которые в точке пресечения делятся пополам, называются биссектрисами. Меньшая биссектриса – для тупых углов, большая для острых углов. Таким образом, когда рассматриваются пары треугольников, получаемых из одной диагонали и двух смежных сторон геометрической фигуры, другая половина диагонали является еще и медианой.
• Треугольники, которые получаются в результате образования половинами диагонали и параллельными сторонами любого параллелограмм считаются подобными, также диагональ делит такую геометрическую фигуру на два треугольника, они симметричны относительно основания и абсолютно одинаковы.
• Для нахождения большой диагонали параллелограмма необ

elhow.ru

Диагонали параллелограмма | Онлайн калькулятор

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого по определению противоположные стороны параллельны и равны. Как следствие, противоположные углы параллелограмма также будут между собой равны, а так как сумма всех углов в четырехугольнике равна 360 градусам, то можно сделать вывод, что сумма двух последовательных углов будет равна 180 градусам. Данное свойство будет играть существенную роль для нахождения диагоналей параллелограмма, с учетом того, что они разной длины.

Так как каждая диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, именно их свойства и будут использованы для выведения формулы диагонали параллелограмма.

В любом треугольнике угол и сторона, лежащие напротив, пропорциональны друг другу. Для параллелограмма это будет значить, что более длинная диагональ будет лежать напротив тупого угла, а более короткая диагональ — напротив острого.С учетом того, что стороны треугольников, полученных в результате проведения диагоналей, одинаковы — это

стороны параллелограмма, значение градусной меры угла между данными сторонами определяет чему будет равна длина диагонали,вычисленной по формуле. Другими словами, если в формулудиагонали подставить значение острого угла параллелограмма, то калькулятор вычислит длину короткой диагонали, а если подставить значение тупого угла — то длинной.

Для того чтобы перейти от одного угла к другому, используется разность 180 градусов и заданного угла, таким образом калькулятор одновременно может вычислить обе диагонали.

α=180°-β

Чтобы вывести формулу диагонали параллелограмма, используется теорема косинусов в треугольнике, который диагональ образует со сторонами. В любом из подобных треугольников, диагональ является стороной, противолежащей углу параллелограмма и, соответственно, ее квадрат равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (сторон параллелограмма, в данном случае) за вычетом удвоенного произведения тех же сторон на косинус приведенного угла. Чтобы найти длину диагонали параллелограмма,

калькулятор вычисляет квадратный корень из данного выражения.

allcalc.ru

Как найти диагональ параллелограмма зная его стороны

Как найти диагональ параллелограмма, зная его стороны
У параллелограмма есть две диагонали, причем чаще всего одна из них длинная, а другая короткая.

Запишем формулы для определения длины диагоналей параллелограмма через его стороны и не только ))
Используя теорему косинусов несложно получить следующую формулу:

Здесь ugol2 — тупой угол между сторонами параллелограмма. Соответственно ugol1 — это острый угол между сторонами.

Если кроме сторон параллелограмма известна еще и вторая диагональ, то можно использовать следующую формулу:

Запишем еще несколько формул для нахождения диагонали параллелограмма:

Здесь ugol3 и ugol4 — острый и тупой угол между диагоналями параллелограмма.
Вторая диагональ находится аналогично:

ru.solverbook.com

Как найти диагональ в параллелограмме

27 декабря 2018

Автор КакПросто!

Вычислить диагональ параллелограмма бывает необходимо не только при подготовке домашнего задания. Это может понадобиться, например, в бумажной пластике или при создании архитектурного проекта.

Статьи по теме:

Вам понадобится

• Оборудование Бумага Линейка Карандаш Транспортир Таблица синусов и косинусов Математические понятия: Свойства параллелограмма Свойства высоты треугольника Извлечение квадратного корня Теоремы синусов и косинусов

Инструкция

Постройте параллелограмм с заданными параметрами. В условиях должны быть заданы длины сторон параллелограмма и хотя бы один угол. Вспомните, чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма. Она равна удвоенной сумме квадратов его сторон, которые вам известны. Обозначьте параллелограмм АBCD. Стороны параллелограмма обозначьте как a и b. Диагонали обозначьте как d1 и d2. Из угла В к стороне АD опустите высоту и обозначьте точку ее пересечения со стороной AD как Е. Внутри параллелограмма у вас получился прямоугольный треугольник АВЕ.

Найдите высоту BЕ. Вам известен угол А и гипотенуза АВ. AE = a*sinА

Вычислите длину отрезка АЕ. Он равен AE=a*cosA.

Вычислите отрезок ЕD, который равен разности стороны AD и отрезка AE.

Вычислите гипотенузу прямоугольного треугольника BED, которая одновременно является диагональю d1. Она будет равна квадратному корню из суммы квадратов сторон BE и ED.

Найдите квадрат второй диагонали. Он будет равняться удвоенной сумме квадратов сторон минус квадрат уже известной диагонали. Извлеките квадратный корень.

Обратите внимание

При построении параллелограмма строго следуйте заданным параметрам и пользуйтесь инструментами. При расчетах пользуйтесь таблицами синусов и косинусов.

Полезный совет

В прямоугольнике и квадрате диагонали равны. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон. В квадрате диагональ равна квадратному корню, извлеченному из удвоенного квадрата стороны. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

По диагоналям параллелограмма найти его стороны

Чтобы по диагоналям параллелограмма найти его стороны, нужно использовать свойство диагоналей параллелограмма.

Задача 1.

Диагонали параллелограмма равны 18 см и 26 см, а одна из сторон на 10 см больше другой. Найти стороны параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=26 см, BD=18 см,

AD на 10 см больше AB.

Найти: AB, AD.

Решение:

Пусть AB=x см, тогда AD=(х+10) см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

Составим уравнение и решим его:

Делим обе части уравнения на 4, получаем:

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, AB=10 см, AD=10+10=20 см.

Ответ: 10 см, 20 см.

Задача 2.

Найти стороны параллелограмма, если они относятся как 8:19, а диагонали параллелограмма равны 30 см и 50 см.

Рисунок — аналогичный.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AC=50 см, BD=30 см,

AB:AD=8:19.

Найти: AB, AD.

Решение.

Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AB=8k см, AD=19k см.

По свойству диагоналей параллелограмма,

Составляем уравнение:

Значит, AB=2∙8=16 см, AD=2∙19=38 см.

Ответ: 16 см, 38 см.

www.treugolniki.ru

Найти угол между диагоналями параллелограмма

---

Свойства углов между диагоналями параллелограмма:

1. Противоположные углы равны

2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение:  cos β <0

a, b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол между диагоналями

β — тупой угол между диагоналями

Формулы косинуса острого и тупого углов между диагоналями, через стороны и диагонали (по теореме косинусов):

Формула синуса острого и тупого углов через площадь 

(S) и диагонали:

Формулы соотношения острого и тупого углов между диагоналями:

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos и arcsin

---

---

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 06 ноября 2011

Обновлено: 27 сентября 2017

www-formula.ru

Так как каждая диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, именно их свойства и будут использованы для выведения формулы диагонали параллелограмма.

В любом треугольнике угол и сторона, лежащие напротив, пропорциональны друг другу. Для параллелограмма это будет значить, что более длинная диагональ будет лежать напротив тупого угла, а более короткая диагональ — напротив острого.С учетом того, что стороны треугольников, полученных в результате проведения диагоналей, одинаковы — это стороны параллелограмма, значение градусной меры угла между данными сторонами определяет чему будет равна длина диагонали,вычисленной по формуле. Другими словами, если в формулудиагонали подставить значение острого угла параллелограмма, то калькулятор вычислит длину короткой диагонали, а если подставить значение тупого угла — то длинной.

Для того чтобы перейти от одного угла к другому, используется разность 180 градусов и заданного угла, таким образом калькулятор одновременно может вычислить обе диагонали.

α=180°-β

Чтобы вывести формулу диагонали параллелограмма, используется теорема косинусов в треугольнике, который диагональ образует со сторонами. В любом из подобных треугольников, диагональ является стороной, противолежащей углу параллелограмма и, соответственно, ее квадрат равен сумме квадратов двух других сторон треугольника (сторон параллелограмма, в данном случае) за вычетом удвоенного произведения тех же сторон на косинус приведенного угла. Чтобы найти длину диагонали параллелограмма, калькулятор вычисляет квадратный корень из данного выражения.