Как найти малый угол трапеции

Решение:

#472

Мои постоянные читатели знают, что у меня особенное отношение к треугольникам. С ними проще — сторон минимальное количество, углов тоже. Если говорить о сумме внутренних углов, то она, как и положено для любого плоского n-угольника, вычисляется по формуле = 180°*(n-2), где n — количество сторон.

• n=3, 180°*(n-2) = 180°*(3-2) = 180°*1 = 180°

Но, если об этом знать, не составит труда разобраться и с четырёхугольниками, будь то прямоугольник или квадрат, ромб или трапеция:

• n=4, 180°*(n-2) = 180°*(4-2) = 180°*2 = 360°

И тогда действительно, как и сказал в предыдущем ответе Вова мален­ький, нам будет достаточно из 360° сначала дважды вычесть по 90°, а потом заданный в условии угол 129°. Пожалуй, в былые времена я именно так и поступил бы. Но постоянное общение с сайтом БВ приучило первым делом проверять информацию о свойствах тех или иных геометрических фигур. Кстати, благодаря этому, и к треугольникам удалось найти не мало любопытных теорем и прочих сведений, которые теперь помогают в расчётах.

У трапеций тоже имеются свои определённые и специфические свойства. Наверное, что-то о них нам рассказывали в школе. Но я свою закончил в далёком 1982-м. За прошедшее время успел больше забыть, чем кто-то успел узнать. Конечно, и большинство разных формул позабыто. Было бы позабыто, если бы не постоянное общение с задачами по геометрии. А в них не только треугольники, но и трапеции иной раз попадаются. Для таких случаев у меня сохранилась одна памятка:

В ней второй и третий пункты можно пока не рассматривать. Нам вполне достаточно одного первого:

Таким образом нас вообще не волнует, что там с левой стороны. Разве что, чисто для проверки самого свойства мы можем сложить 90°+90° и получить те самые 180°. Всё правильно работает. Но тогда и с правой стороны должна получиться такая же сумма. Если один из углов известен и равен 129°, тогда второй вычисляется элементарно:

• ∠D = 180° — ∠C = 180° — 129° = 51°

В следующий раз, если известен один из углов трапеции, а нужно найти второй при той же боковой стороне, сразу вычитайте известный из 180-ти градусов и получите правильный ответ.

Трапеция —  геометрическая фигура представляет собой выпуклый четырехугольник с параллельными
противоположными сторонами. Они называются основаниями. Две другие стороны — боковые.
Трапеция, у которой они одинакового размера, называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон
образует у основания угол в 90 градусов-прямоугольной.

Прямая линия, проведенная от одного основания
к другому, именуется высотой трапеции. Величина ее высчитывается делением суммы оснований на 2.
Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные углы фигуры. У равнобедренной трапеции
они равны по длине. Средняя линия-прямая, делящая пополам боковые стороны.

Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую боковую сторону

Введем обозначения: h-высота, с — боковая сторона. Угол трапеции α при основании вычисляется с
помощью формулы

sin α = h/с

где: h — высота трапеции, c — боковая сторона.

Пример. Заменим буквенные обозначения условными цифрами. Пример: если высота равна
9см, боковая сторона-11см, получим: sin α = 9 / 11 = 0,818 , отсюда α =
55º. Указанное значение находим в таблице синусов. Данный показатель синуса угла соответствует
величине 55 градусов.

Через нижнее основание, среднию линию и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание, среднюю линию и боковую сторону находится по
формуле:

cos α = (2a-2m) / 2c

где а — нижнее основание, m — средняя линия, с — боковая сторона.

Пример.Заменим буквы условными цифровыми значениями. Если нижнее основание равно 8
см, средняя линия-6, а боковая сторона-4,8 см, то косинус угла равен 0,41666, что соответствует 65
градусам. cos α = (2 * 8 — 2 * 6) / 2 * 4,8 = 0, 41666, отсюда α =
65º. Равнобедренная трапеция — геометрическая фигура с нижними острыми углами. Это ее
особенность.

Угол трапеции, зная размер нижнего основания, боковой стороны и диагонали

Если известны эти величины, воспользуемся формулой:

cos α= (a²+c²-d²) / 2ac

где а-нижнее основание, d-диагональ, с-боковая сторона.

Пример. При условной величине нижнего основания 4 см, диагонали — 5.7 см,
боковой стороны — 4,4 см косинус равняется 0,081534, что соответствует углу 85 градусов по
таблице функций. cos α= (4² + 4,4² — 5,7²) / 2*4*4,4 = 0,081534,
отсюда α = 85º.

Через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Нахождение угла равнобедренной трапеции через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону
выполняется по предложенной формуле:

cos α = (2m-2b) / 2c

где m — средняя линия, b — верхнее основание, c — боковая сторона.

Пример. Введем условные цифровые значения. Допустим, что у равнобедренной трапеции
верхнее основание равно 4 см, средняя линия-6, боковая сторона-4 см. Косинус составляет 0,5.
Значение соответствует 60 градусам по таблице Брадиса. cos α = (2 * 6 — 2 * 4) / 2 * 4 = 0,5,
отсюда α = 60º

Вычисление острого угла при нижнем основании, если известны величины обоих оснований и боковой
стороны в прямоугольной трапеции

Находится по формуле

cos α = (a — b) / c

где a,b — основания, c — боковая сторона.

Пример. Если буквенные выражения заменить условными цифровыми, получится наглядный
пример вычисления. Допустим, длина нижнего основания а 8 см, верхнего b-5,8 см, размер боковой
стороны с-4,8. Подставив в формулу цифровые значения, получим итог: косинус равен 0,45833.
Сравниваем показатель с таблицей вычисления Брадиса: он соответствует углу 63 градуса. cos α=(8 — 5,8) / 4,8 = 0,45833, отсюда α = 63º

Острый угол при нижнем основании, зная высоту и размеры двух оснований прямоугольной трапеции

При известных указанных величинах воспользуемся следующей формулой:

tg(α) = h / (a-b)

где h — высота, a,b — верхнее и нижнее основания.

Пример. Введя условные цифровые значения h = 15, a = 11, b = 10 получим tg(α) = 15 / (11-10) = 15. При вычислении получим значение тангенса: 15.
По таблице функций показатель соответствует 86 градусам.

Следует знать несколько закономерностей данной геометрической конструкции. У трапеции четыре угла,
общая сумма которых составляет 360 градусов.

Равнобедренная отличается двумя равными острыми, прилегающими к нижнему основанию, и тупыми
одинаковой величины-к верхнему. У прямоугольной трапеции два угла по 90 градусов, другие —
острый и тупой. Если он прилегает к нижнему основанию, величина такого угла определяется делением
высоты на разность между нижним и верхним основаниями. Угол трапеции при основании равен отношению
высоты к боковой стороне.

Категория: Задачи по планиметрии

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word