Как найти массу части кривой

этого участка, умноженному на

получим формулу для вычисления длины дуги AB .

Рис. 54.3

Если отрезки, на которые делится кривая, достаточно малые, то длина li

отрезка кривой Ai−1Ai приблизительно равна длине хорды Ai−1Ai . По теореме Лагранжа приращение yi функции y = y(x) на участке (xi−1, xi ) равно значению производной в некоторой точке ξi

приращение xi , т.е. yi = y′(ξ i) xi . Таким образом, для плоского случая (рис.54.3) будем иметь

Li ≈ Ai−1Ai = xi2 + yi2 = 1+ y′2(ξi) xi

и, следовательно,

.

Нетрудно видеть, что под знаком предела стоит интегральная сумма для функции 1 на отрезке (a,b), и потому последний пре-

дел равен определенному интегралу от этой функции на этом отрезке. Таким образом,

b

L= ∫ dl = ∫ 1+ y′ 2(x)dx

AB a

102

Пусть теперь f (x, y)– произвольная непрерывная функция, определенная в точках близких к кривой AB . Так как, согласно определению, точка Pi

на отрезке кривой Ai−1Ai может выбираться произвольным образом, то вы-

ленному интегралу от этой функции на данном отрезке. В результате мы приходим к формуле

b

Пример. Найти массу части кривой y=2-x2соединяющей точки A(0,2) и B(1,1), если плотность распределения массы вдоль

кривой задана функцией ρ(x,y)=2x(рис.53.4).

Рис. 54.4

103

Плоский случай. Параметрическое задание кривой. Пусть кривая AB

определена параметрическими уравнениями

x= x(t); y= y(t); α≤t ≤β,

где x(t)и y(t)дифференцируемые функции, производные которых непре-

Для её вывода достаточно в формуле (54.7) осуществить замену перемен-

тах. Попробуем вывести формулу для вычисления криволинейного инте-

Вспомним, что связь между декартовыми и полярными координатами определяется формулами x=rcosϕ, y=rsinϕ. Если в них вместо r под-

ставить его выражение из уравнения (54.8), то получится параметрическое уравнение кривой AB :

в котором в качестве параметра выступает полярный угол ϕ, изменяющийся в пределах от ϕ1до ϕ2 . При этом

x′2 (ϕ)+ y′2 (ϕ) = (r′(ϕ)cosϕ − r(ϕ)sinϕ)2 + (r′ (ϕ)sinϕ + r(ϕ)cosϕ)2

= r2(ϕ)+ r′2(ϕ).

104

Подставляя это выражение в соотношение (54.7), получим формулу для вычисления криволинейных интегралов 1-го рода в случае, когда кривая АВ на плоскости задана в полярных координатах:

Пример. Найти массу половины кардиоиды r = (1+cosϕ), 0≤ ϕ≤ π,

если плотность ρ = r в каждой её точке.

Рис. 54.5

Пользуемся формулами (54.3) и (54.10):

π

M = ∫ ρdl = ∫r r2 (ϕ) + r′2 (ϕ)dϕ =

Общий пространственный случай. Если кривая AB расположена в пространстве, то, как правило, она задается параметрическими уравнениями

x = x(t); y = y(t); z = z(t) α≤t ≤β,

причем параметру t =α соответствует точка A, а параметру t =β соответ-

окружающей кривую AB, и, проводя рассуждения, подобные приведенным для плоского случая, придем к следующей формуле:

54.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла 1-ого рода. Определение пло щади цилиндрической поверхности. На рис.54.6 изображено ограждение переменной высоты некоторой гор изонтально расположенной территори и, ограниченной кривойL. Вопрос о расходе краски, необходимой для окр аски этого ограждения, сведется к нахождению его площади. Если ввести систему координат так, чтобы территория находилась в плоскости XOY, то можно считать, что данное огра ждение представляет собой часть цил индрической поверхности с направл яющей L и образующей, параллельной оси OZ, причем высота ограждения задается функцией z = f (x, y), определенной в каждой точке кривой L(рис.54.6). Если

рассмотреть часть п оверхности на небольшом участке кривой Ai−1Ai , то можно считать, что высота этой части постоянна и равна значению

Рис. 54.6

Суммируя по всем уч асткам и переходя к пределу в поллучающейся интегральной сумме, мы придем к тому, что площадь всей б оковой поверхно-

сти ограждения будет определяться по формуле S = ∫ z(x, y)dl.

L

106

Вычисление массы, координат центра тяжести и моментов инерции материальной кривой. Часто математическую идеализацию пространственного материального объекта можно представить в виде пространственной кривойAB, вдоль которой распределена масса с линейной плотностью ρ(x, y,z) (рис.54.1). (Канаты, на которых подвешен мост через пролив Босфор, соединяющий Черное и Средиземные моря, можно рассматривать в качестве примера такого объекта. В качестве математической модели канатов можно рассматривать их осевые линии с постоянной линейной плотностью, равной массе тонкого слоя поперечного сечения). В таком случае основные механические характеристики подобных объектов могут быть вычислены с помощью криволинейного интеграла 1-ого рода.

а)Масса материальной кривой. Как мы уже знаем, масса М такой кривой может быть вычислена по формуле (54.3).

б) Моменты инерции Ix, I y, Izотносительно осей OX ,OY ,OZ . Перечисленные моменты вычисляются по следующим формулам

кие участки и считаем, что вся масса отрезка кривой (приблизительно рав-

C(xc, yc,zc ) материальной пространственной кривой могут быть высчитаны по формулам:

где M– масса кривой.

Пример. Найдем механические характеристики верхней полуок- ружности радиуса Rс центром в начале координат, вдоль которой равномерно распределена масса с плотностьюρ .В данном примере мы имеем дело с плоской кривой и потому в соответствующих формулах мы должны опустить переменную z. Очевидно, что масса M равна длине полуокружности, умноженной на ρ , т.е. M = πρR .

107

Рис.54.7

Для нахождения моментов инерции Ix и Iyсначала запишем уравнение полуокружности в пара метрическом виде

а затем воспользуемсся формулой (54.11) (для плоского случая) и (54.8). Будем иметь

Что касается координат центра тяжести C(xc, yc ), то в силу симметрии xc = 0, а для вычисления yc опять используем параметрическое уравнение полуокружности:

108

Лекция 55. Криволинейные интегралы 2-г о рода (по координатам)

В данной лекци и мы рассмотрим еще одну интегральную конструкцию, которая, как и все рассмотренные ранее, изначально возникла при стремлении решить н екоторую прикладную задачу (именно в физике), а потом оказалась при менимой при решении других теоретических и прикладных задач. Речь идет о криволинейных интегралах 2 -го рода.

55.1. Определение и обозначения. Физическая зад ача, в которой подобная конструкция возникает, формулируется следующ им образом. Пусть в некоторой области D пространства определено силовое поле, т.е. на материальную точку ед иничной массы, помещенную в область D, действует зависящая от ее местонахождения вектор-сила F. И пусть в этой области материальная точка перемещается по кривой L из положения A в положение B. Требуется о пределить работу W сил данного поля при таком перемещении.

Рис. 55.1

На рисунке 55. 1 изображено плоское поле сил. Ясно, что при перемещении точки по кр ивой L по участку кривой ACB силы поля оказывают положительное воздействие, т.е. совершают положительную работу, а при движении по участку кривой DEF они оказывают отрицательное воздействие, т.е. совершают отрицательную работу. Точно также при спуске с горы мы ощущаем положительное воздействие силы тяжести, а при подъеме в гору нам приходится преодолевать отрицательное воздействие этой силы.

Если в пространстве введена декартова система к оординат, то сила,

действующая в точке M(x,y,z) может задаваться посредс твом ее разложе-

ния по единичным ве кторам i, j,k

109

где функции P(x,y, z),Q(x,y,z), R(x,y,z)являются проекциями силы на оси

Рис. 55.2

Ясно, что в случае к риволинейной траектории перемещ ения и непостоянной по величине и направлению силы, данная формула для подсчета работы неприменима. На помощь, как часто в подобных случаях, приходит интегральная методология. В согласии с ней, для решения поставленной задачи разобьем кривую Lна n отрезков (см. рис.55.2,б). Работа W сил

110

поля по кривой AB очевидно будет равна сумме работWi (i = 1,…, n) по этим отрезкам кривой. Если считать, что: а) сила поля на отрезке кривой

но как сумма произведений соответствующих координат этих векторов.

R(ξi ηi,νi), а координатами вектора Ai−1 Ai будут приращения координат при переходе от точки Ai−1к точке Ai т.е. числа xi, yi , zi . Следовательно,

W i ≈ P(ξi ηi ,νi ) xi + Q(ξi ηi ,νi ) yi + R(ξi ηi ,νi ) zi ) .

В таком случае вся работа сил поля будет приблизительно равна

n

W ≈ ∑(P(ξi ,ηi ,νi ) xi + Q(ξi ,ηi ,νi ) yi + R(ξi ,ηi ,νi ) zi ).

i=1

В качестве точного значения работы W естественно принять предел этой суммы при n→∞ и измельчении отрезков, на которые делится кривая L, т.е.

Отвлечемся теперь от физического содержания задачи и будем считать, что в некоторой области D пространства в окрестности пространственной кривойL, соединяющей точки A иB,определена некоторая функция

A0 = A ,A1,A2,A3,…,An = B,внутри каждого отрезка выбрать некоторую точку

Mi (ξi ,ηi ,νi )и сформировать интегральную сумму

i=1

то предел этой суммы при n→∞ и li →0 (если он существует и не зави-

сит от способа деления кривой AB и от выбора точек M(ξη,ν )) обознача-

i i i i

ется, как

111

1. Теоретический минимум

   Криволинейные и поверхностные интегралы часто встречаются в физике. Они бывают двух видов, первый из которых рассматривается здесь. Этот
   тип интегралов строится согласно общей схеме, по которой вводятся определённые, двойные и тройные интегралы. Коротко напомним эту схему.
   Имеется некоторый объект, по которому проводится интегрирование (одномерный, двумерный или трёхмерный). Этот объект разбивается на малые части,
   в каждой из частей выбирается точка. В каждой из этих точек вычисляется значение подынтегральной функции и умножается на меру той части, которой
   принадлежит данная точка (длину отрезка, площадь или объём частичной области). Затем все такие произведения суммируются, и выполняется предельный
   переход к разбиению объекта на бесконечно малые части. Получающийся предел и называется интегралом.

   1. Определение криволинейного интеграла первого рода

   Рассмотрим функцию , определённую на кривой . Кривая предполагается спрямляемой. Напомним, что это означает, грубо говоря,
   что в кривую можно вписать ломаную со сколь угодно малыми звеньями, причём в пределе бесконечно большого числа звеньев длина ломаной должна оставаться
   конечной. Кривая разбивается на частичные дуги длиной и на каждой из дуг выбирается точка . Составляется произведение ,
   проводится суммирование по всем частичным дугам . Затем осуществляется предельный переход с устремлением длины наибольшей
   из частичных дуг к нулю. Предел является криволинейным интегралом первого рода
   .
   Важной особенностью этого интеграла, прямо следующей из его определения, является независимость от направления интегрирования, т.е.
   .

   2. Определение поверхностного интеграла первого рода

   Рассмотрим функцию , определённую на гладкой или кусочно-гладкой поверхности . Поверхность разбивается на частичные области
   с площадями , в каждой такой области выбирается точка . Составляется произведение , проводится суммирование
   по всем частичным областям . Затем осуществляется предельный переход с устремлением диаметра наибольшей из всех частичных
   областей к нулю. Предел является поверхностным интегралом первого рода
   .

   3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода

   Методика вычисления криволинейного интеграла первого рода просматривается уже из формальной его записи, а фактически следует непосредственно из
   определения. Интеграл сводится к определённому, только нужно записать дифференциал дуги кривой, вдоль которой проводится интегрирование.
   Начнём с простого случая интегрирования вдоль плоской кривой, заданной явным уравнением . В этом случае дифференциал дуги
   .
   Затем в подынтегральной функции выполняется замена переменной , и интеграл принимает вид
   ,
   где отрезок отвечает изменению переменной вдоль той части кривой, по которой проводится интегрирование.

   Очень часто кривая задаётся параметрически, т.е. уравнениями вида . Тогда дифференциал дуги
   .
   Формула эта очень просто обосновывается. По сути, это теорема Пифагора. Дифференциал дуги — фактически длина бесконечно малой части кривой.
   Если кривая гладкая, то её бесконечно малую часть можно считать прямолинейной. Для прямой имеет место соотношение
   .
   Чтобы оно выполнялось для малой дуги кривой, следует от конечных приращений перейти к дифференциалам:
   .
   Если кривая задана параметрически, то дифференциалы просто вычисляются:
   и т.д.
   Соответственно, после замены переменных в подынтегральной функции криволинейный интеграл вычисляется следующим образом:
   ,
   где части кривой, по которой проводится интегрирование соответствует отрезок изменения параметра .

   Несколько сложнее обстоит дело в случае, когда кривая задаётся в криволинейных координатах. Этот вопрос обычно обсуждается в рамках дифференциальной
   геометрии. Приведём формулу для вычисления интеграла вдоль кривой, заданной в полярных координатах уравнением :
   .
   Приведём обоснование и для дифференциала дуги в полярных координатах. Подробное обсуждение построения координатной сетки полярной системы координат
   см. здесь. Выделим малую дугу кривой, расположенную по отношению к координатным линиям так, как показано на рис. 1. В силу малости всех фигурирующих
   дуг снова можно применить теорему Пифагора и записать:
   .
   Отсюда и следует искомое выражение для дифференциала дуги.
   

   С чисто теоретической точки зрения достаточно просто понять, что криволинейный интеграл первого рода должен сводиться к своему частному случаю —
   определённому интегралу. Действительно, выполняя замену, которая диктуется параметризацией кривой, вдоль которой вычисляется интеграл, мы устанавливаем
   взаимно-однозначное отображение между частью данной кривой и отрезком изменения параметра . А это и есть сведение к интегралу
   вдоль прямой, совпадающей с координатной осью — определённому интегралу.

   4. Вычисление поверхностного интеграла первого рода

   После предыдущего пункта должно быть ясно, что одна из основных частей вычисления поверхностного интеграла первого рода — запись элемента поверхности ,
   по которой выполняется интегрирование. Опять-таки начнём с простого случая поверхности, заданной явным уравнением . Тогда
   .
   Выполняется замена в подынтегральной функции, и поверхностный интеграл сводится к двойному:
   ,
   где — область плоскости , в которую проектируется часть поверхности, по которой проводится интегрирование.

   Однако часто задать поверхность явным уравнением невозможно, и тогда она задаётся параметрически, т.е. уравнениями вида
   .
   Элемент поверхности в этом случае записывается уже сложнее:
   .
   Соответствующим образом записывается и поверхностный интеграл:
   ,
   где — область изменения параметров, соответствующая части поверхности , по которой проводится интегрирование.

   5. Физический смысл криволинейного и поверхностного интегралов первого рода

   Обсуждаемые интегралы обладают очень простым и наглядным физическим смыслом. Пусть имеется некоторая кривая, линейная плотность которой не является
   константой, а представляет собой функцию точки . Найдём массу этой кривой. Разобьём кривую на множество малых элементов,
   в пределах которых её плотность можно приближённо считать константой. Если длина маленького кусочка кривой равна , то его масса
   , где — любая точка выбранного кусочка кривой (любая, так как плотность в пределах
   этого кусочка приближённо предполагается постоянной). Соответственно, масса всей кривой получится суммированием масс отдельных её частей:
   .
   Чтобы равенство стало точным, следует перейти к пределу разбиения кривой на бесконечно малые части, но это и есть криволинейный интеграл первого рода.
   
   Аналогично разрешается вопрос о полном заряде кривой, если известна линейная плотность заряда .

   Эти рассуждения легко переносятся на случай неравномерно заряженной поверхности с поверхностной плотностью заряда . Тогда
   заряд поверхности есть поверхностный интеграл первого рода
   .

   Замечание. Громоздкая формула для элемента поверхности, заданной параметрически, неудобна для запоминания. Другое выражение получается в дифференциальной геометрии,
   оно использует т.н. первую квадратичную форму поверхности.

   Примеры вычисления криволинейных интегралов первого рода

   Пример 1. Интеграл вдоль прямой.
   Вычислить интеграл
   
   вдоль отрезка прямой, проходящей через точки и .

   Сначала запишем уравнение прямой, вдоль которой проводится интегрирование: . Найдём выражение для :
   .
   Вычисляем интеграл:
   

   Пример 2. Интеграл вдоль кривой на плоскости.
   Вычислить интеграл
   
   по дуге параболы от точки до точки .

   Заданные точки и позволяют выразить переменную из уравнения параболы: .
   
   Вычисляем интеграл:
   .

   Однако можно было проводить вычисления и иначе, пользуясь тем, что кривая задана уравнением, разрешённым относительно переменной .
   Если принять переменную за параметр, то это приведёт к небольшому изменению выражения для дифференциала дуги:
   .
   Соответственно, интеграл несколько изменится:
   .
   Этот интеграл легко вычисляется подведением переменной под дифференциал. Получится такой же интеграл, как и в первом способе вычисления.

   Пример 3. Интеграл вдоль кривой на плоскости (использование параметризации).
   Вычислить интеграл
   
   вдоль верхней половины окружности .

   Можно, конечно, выразить из уравнения окружности одну из переменных, а затем провести остальные вычисления стандартно. Но можно использовать и
   параметрическое задание кривой. Как известно, окружность можно задать уравнениями . Верхней полуокружности
   отвечает изменение параметра в пределах . Вычислим дифференциал дуги:
   .
   Таким образом,
   

   Пример 4. Интеграл вдоль кривой на плоскости, заданной в полярных координатах.
   Вычислить интеграл
   
   вдоль правого лепестка лемнискаты .

   
   На чертеже выше изображена лемниската. Вдоль её правого лепестка нужно проводить интегрирование. Найдём дифференциал дуги для кривой :
   .
   Следующий шаг — определение пределов интегрирования по полярному углу. Ясно, что должно выполняться неравенство , а потому
   .
   Вычисляем интеграл:
   

   Пример 5. Интеграл вдоль кривой в пространстве.
   Вычислить интеграл
   
   вдоль витка винтовой линии , соответствующего пределам изменения параметра .

   Вычисляем дифференциал дуги:
   .
   Подставляем в интеграл:
   .

   Примеры вычисления поверхностных интегралов первого рода

   Пример 6. Интеграл по поверхности, заданной явно.
   Вычислить интеграл
   
   по поверхности тела .

   Поверхность интегрирования состоит из двух частей: части плоскости , которую обозначим и поверхности , заданной
   уравнением . Эта поверхность представляет собой верхнюю половину конуса второго порядка. Проекция той её части,
   по которой проводится интегрирование, на плоскость представляет собой круг, ограниченный окружностью .
   Запишем элемент поверхности:
   .
   Таким образом, поверхностный интеграл сводится к следующему двойному:
   
   где — круг . Такой интеграл проще всего вычислять в полярных координатах:
   .

   Теперь интегрируем по плоскости . Это совсем простое интегрирование, так как поверхностный интеграл сразу превращается
   в двойной без каких-либо дополнительных вычислений. Он будет отличаться только множителем от только что вычисленного.
   
   Окончательный ответ получается суммированием двух вычисленных интегралов:
   .

   Пример 7. Интеграл по сфере.
   Вычислить интеграл
   
   по верхней полусфере .

   Можно выразить явно, например, аппликату из уравнения сферы и проводить вычисления дальше, но при интегрировании по сфере удобно использовать
   сферические координаты. Тем более элемент поверхности сферы в этом случае хорошо известен:
   .
   Осталось только выполнить замену в подынтегральной функции:
   .

   Пример 7. Интеграл по параметрически заданной поверхности.
   Вычислить интеграл
   
   по части поверхности геликоида , отвечающей границам изменения параметров .

   Поверхность интегрирования задана параметрически, поэтому для написания элемента поверхности нужно предварительно вычислить три якобиана:
   
   .
   Таким образом, элемент поверхности
   .
   Следовательно, поверхностный интеграл сводится к следующему двойному:
   .
   Детали вычисления определённого интеграла здесь опущены: они не имеют отношения к теме. Тем более, сам интеграл достаточно простой.