Как найти массу через гравитационную постоянную - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В статье обсуждаются несколько подходов и некоторые примеры проблем о том, как вычислить массу по гравитационной силе.

Каждый объект с массой во Вселенной оказывает гравитационное воздействие на другой. Вот почему сила тяжести прямо пропорциональна массе объекта. Таким образом, используя различные формулы, связанные с гравитационной силой, мы можем вычислить ненулевую массу объекта.

Узнайте больше о Как рассчитать массу по силе и расстоянию.

Как рассчитать массу по гравитационной силе, используя второй закон движения Ньютона

Как рассчитать массу по гравитационной силе?

Рассчитаем массу, используя второй закон движения Ньютона:

Во втором законе движения Ньютон описывает, что сила действует на объект с ненулевой массой, чтобы ускорить его в том же направлении. Гравитационная сила — это естественная сила, которая всегда действует вниз на каждый объект, чтобы ускорить его, в зависимости от его массы.

Мы уже изучили два основных типа сил которые действуют на тела. гравитационная сила или гравитация, бесконтактная сила, всегда действует между массами каждого объекта.

Согласно второму закону Ньютона,

F = ма ………………… (*)

Когда действует сила тяжести, каждый объект ускоряется в соответствии со вторым законом движения. Ускорение, вызванное силой тяжести, постоянно, называется ускорение силы тяжести ‘грамм’. Поскольку гравитация всегда действует на нас, возникла идея нашего «веса» как «mg», который включает нашу массу m и ускорение «a». По этой причине гравитационную силу также называют силой тяжести. сила веса.

Сила тяжести как сила веса
(Кредит: Shutterstock)

Следовательно, формула второго закона Ньютона принимает следующий вид:

F_g = мг …………………………. (1)

Согласно уравнениям (*) и (1),

Чтобы поднять более тяжелое тело, мы должны создать восходящую силу (ма), превышающую силу тяжести (мг).

Поскольку g имеет постоянное значение 9.8 м / с², гравитационная сила F_g зависит только от массы объекта m. Чем массивнее объект, тем больше силы требуется для его ускорения.

Если к объекту приложена сила тяжести, мы можем вычислить его массу по формуле второго закона движения Ньютона..

Узнайте больше о Законы движения Ньютона.

Сила тяжести, действующая на бегающую в парке девушку, равна 490. Вычислите массу девушки.

Данный:

F_g = 490 Н

g = 9.8 м / с

Найти: м =?

Формула:

F = ma

Решение:

Масса девушки рассчитывается с помощью Второй закон движения Ньютона формула,

F = ma

Компания сила гравитации дан кем-то,

F_g = мг

m=F_g/g

м=490/9.8

m = 50 кг …………………………………. а)

Масса бегущей в парке девушки 50 кг.

Как найти массу с гравитационной силой и радиусом?

Давайте вычислим массу с гравитационной силой, используя закон тяготения Ньютона следующим образом:

Закон тяготения обнаруживает, что гравитационная сила между двумя объектами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату радиуса между их центрами масс. Если второй объект — Земля с фиксированной массой, мы можем вычислить массу первого объекта.

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона,

F_g=G(мМ/р²)……………..(2)

Вся масса объекта сосредоточена в одной конкретной точке, в основном в его центральной точке, называемой его центр масс (см). Радиус r измеряет расстояние или разделение между центрами масс двух объектов.

Небольшая масса в 1 кг, разделенная радиусом 1, испытывала небольшую гравитационную силу 6.67 x 10-11 Нм.²/ кг², совместимый с каждым объектом. Следовательно, это постоянное значение является значением постоянной пропорциональности в законе всемирного тяготения, также называемой величиной Универсальная гравитационная постоянная G.

Проще вычислить F_g между объектом и Землей как планетой с фиксированной массой M = 5.98 x 10²⁴ кг, а также фиксированный радиус r от центра земли, r = 6.38 x 10⁶m

Сила тяжести, действующая на девушку, бегающую трусцой в парке, равна 490. Вычислите массу девушки, используя закон всемирного тяготения Ньютона.

Данный:

F_g = 490 Н

М = 5.98 х 10²⁴ kg

г = 6.38 х 10⁶m

G = 6.67 х 10^-11 nm²/ кг²

Найти: м =?

Формула:

F_g=G(мМ/р²)

Решение:

Масса девушки рассчитывается по Закон всемирного тяготения Ньютона является,

F_g=G(мМ/р²)

Переставляем на массу m,

м=F_gr²/ГМ

Подставляя все значения,

Из (а) и (б) мы заметили расчетная масса с использованием второго закона Ньютона и формулы закона всемирного тяготения такая же.

Закон всемирного тяготения может применяться к двум объектам, имеющим одинаковые или разные массы.

Сила тяжести между двумя объектами
имея разные массы
(Кредит: Shutterstock)

Сила притяжения между вами и вашим коллегой составляет 3 x 10.^-7 N, когда вы оба приближаетесь на расстоянии 1 м друг от друга в школьном коридоре. Поскольку ваша масса 60 кг, рассчитайте массу вашего коллеги.

Данный:

F_g= 3 x 10^-7 N

г = 1 м

m₁ = 60 кг

G = 6.67 х 10^-11 nm²/ кг²

Найти: м₂ =?

Формула:

F_g=G(м₁m₂/r²)

Решение:

Масса коллеги рассчитывается по формуле Закон всемирного тяготения Ньютона является,

F_g=G(м₁m₂/r²)

Перестановка на массу m₂,

m₂=F_gr²/Гм₁

Подставляя все значения,

Масса вашего коллеги 75 кг.

Как рассчитать массу по гравитационной силе, используя формулу центростремительной силы?

Рассчитаем массу с гравитационной силой, используя центростремительная сила формула следующим образом:

Когда объект движется по кругу, его скорость постоянно меняется в зависимости от его направления. Направление ускорения — к центру, вызванное центростремительной силой. Поскольку масса всего объекта сосредоточена в его центре, мы можем рассчитать ее по формуле центростремительной силы.

Центростремительная сила получается из второго закона движения Ньютона.

Поскольку ускорение — это круговой путь, нам нужно учитывать радиус; вот почему ускорение становится

v²/r

Следовательно, согласно уравнению (*) центростремительная сила определяется как

F_c=мв²/r

Центростремительная сила — это центристская сила который действует на объект, чтобы двигаться по кругу к его центру. Земля оказывает центростремительное сила, действующая на спутник, чтобы поддерживать его круговое движение вокруг.

Центростремительная сила Земли на Спутнике

Спутник непрерывно движется по орбите вокруг Земли со скоростью 20 м / с. Гравитационная сила между Землей и спутником составляет 500 Н, что создает центростремительную силу около 200 Н. Вычислите массу спутника.

Данный:

F_g = 500 Н

F_c= 200 Н

v = 20 м / с

M = масса Земли = 5.98 x 10²⁴ kg

G = 6.67 х 10^-11 nm²/ кг²

Найти: м =?

Формула:

F_g=G(мМ/р²)

F_c=мв²/r

Решения:

Масса спутника рассчитывается по формуле закон всемирного тяготения Ньютона,

F_g=G(мМ/р²)

Компания центростремительная сила на спутнике есть,

F_c=мв²/r

Решая формулу для радиуса r,

г=мв²/F_c

Подставляя вышеприведенное уравнение в закон всемирного тяготения Ньютона, получаем

F_g=F_c²[ГМ/мв⁴]

Решая массу m,

Подставляя все значения,

м=159.4/8

м = 19.94 примерно 20 кг

Масса спутника, движущегося вокруг Земли, составляет 20 кг.

Источник

Напомню, что такие задачи решаются на ОГЭ несложно, простой подстановкой данных в формулу. Есть два варианта — сначала подставить данные, затем решать уравнение, или сначала выразить из формулы искомую величину, а затем подставить данные. Разберём оба варианта:

1) F=(GmM)/r² Подставляем данные:

0,00667=6,67⋅10⁻¹¹*m*5⋅10⁸/5²

0,00667=6,67*10⁻³*m/5

0,00667*m=0,00667*5

m=5 кг

2) А теперь выразим массу m из формулы:

m=F*r²/G*M

Подставим данные в получившуюся формулу:

m=0,00667*5²/6,67⋅10⁻¹¹*5⋅10⁸=0,00667*5/0,00667=5 кг

Способ решения, который Вы выберете, значения не имеет. Результат при этом получается одинаковый.

Ответ: 5 кг.

Источник

Закон всемирного тяготения.

Гипермаркет знаний>>Физика и астрономия>>Физика 10 класс>>Физика: Закон всемирного тяготения

Содержание

1 Закон всемирного тяготения
2 Определение закона всемирного тяготения
3 Определение гравитационной постоянной
4 Зависимость ускорения свободного падения тел от географической широты
5 Равенство инертной и гравитационной масс
6 Значение закона всемирного тяготения
7 Задача
8 Интересные факты

Закон всемирного тяготения

Можно лишь догадываться о волнении, охватившем Ньютона, когда он пришел к великому результату: одна и та же причина вызывает явления поразительно широкого диапазона — от падения брошенного камня на Землю до движения огромных космических тел. Ньютон нашел эту причину и смог точно выразить ее в виде одной формулы — закона всемирного тяготения.

Так как сила всемирного тяготения сообщает всем телам одно и то же ускорение независимо от их массы, то она должна быть пропорциональна массе того тела, на которое действует:

Но поскольку, например, Земля действует на Луну с силой, пропорциональной массе Луны, то и Луна по третьему закону Ньютона должна действовать на Землю с той же силой. Причем эта сила должна быть пропорциональна массе Земли. Если сила тяготения является действительно универсальной, то со стороны данного тела на любое другое тело должна действовать сила, пропорциональная массе этого другого тела. Следовательно, сила всемирного тяготения должна быть пропорциональна произведению масс взаимодействующих тел. Отсюда вытекает формулировка закона всемирного тяготения.

Определение закона всемирного тяготения

Сила взаимного притяжения двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной.

Гравитационная постоянная численно равна силе притяжения между двумя материальными точками массой 1 кг каждая, если расстояние между ними равно 1 м. Ведь при m₁=m₂=1 кг и R=1 м получаем G=F (численно).

Нужно иметь в виду, что закон всемирного тяготения (4.5) как всеобщий закон справедлив для материальных точек. При этом силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей эти точки (рис.4.2). Подобного рода силы называются центральными.

Можно показать, что однородные тела, имеющие форму шара (даже если их нельзя считать материальными точками), также взаимодействуют с силой, определяемой формулой (4.5). В этом случае R — расстояние между центрами шаров. Силы взаимного притяжения лежат на прямой, проходящей через центры шаров. (Такие силы и называются центральными.) Тела, падение которых на Землю мы обычно рассматриваем, имеют размеры, много меньшие, чем земной радиус (R≈6400 км). Такие тела можно, независимо от их формы, рассматривать как материальные точки и определять силу их притяжения к Земле с помощью закона (4.5), имея в виду, что R есть расстояние от данного тела до центра Земли.

Определение гравитационной постоянной

Теперь выясним, как можно найти гравитационную постоянную. Прежде всего заметим, что G имеет определенное наименование. Это обусловлено тем, что единицы (и соответственно наименования) всех величин, входящих в закон всемирного тяготения, уже были установлены ранее. Закон же тяготения дает новую связь между известными величинами с определенными наименованиями единиц. Именно поэтому коэффициент оказывается именованной величиной. Пользуясь формулой закона всемирного тяготения, легко найти наименование единицы гравитационной постоянной в СИ:

Н•м²/кг²=м³/(кг•с²).

Для количественного определения G нужно независимо определить все величины, входящие в закон всемирного тяготения: обе массы, силу и расстояние между телами. Использовать для этого астрономические наблюдения нельзя, так как определить массы планет, Солнца, да и Земли, можно лишь на основе самого закона всемирного тяготения, если значение гравитационной постоянной известно. Опыт должен быть проведен на Земле с телами, массы которых можно измерить на весах.

Трудность состоит в том, что гравитационные силы между телами небольших масс крайне малы. Именно по этой причине мы не замечаем притяжение нашего тела к окружающим предметам и взаимное притяжение предметов друг к другу, хотя гравитационные силы — самые универсальные из всех сил в природе. Два человека массами по 60 кг на расстоянии 1 м друг от друга притягиваются с силой всего лишь порядка 10^-9 Н. Поэтому для измерения гравитационной постоянной нужны достаточно тонкие опыты.

Впервые гравитационная постоянная была измерена английским физиком Г. Кавендишем в 1798 г. с помощью прибора, называемого крутильными весами. Схема крутильных весов показана на рисунке 4.3. На тонкой упругой нити подвешено легкое коромысло с двумя одинаковыми грузиками на концах. Рядом неподвижно закреплены два тяжелых шара. Между грузиками и неподвижными шарами действуют силы тяготения. Под влиянием этих сил коромысло поворачивается и закручивает нить. По углу закручивания можно определить силу притяжения. Для этого нужно только знать упругие свойства нити. Массы тел известны, а расстояние между центрами взаимодействующих тел можно непосредственно измерить.

Из этих опытов было получено следующее значение для гравитационной постоянной:

Лишь в том случае, когда взаимодействуют тела огромных масс (или по крайней мере масса одного из тел очень велика), сила тяготения достигает большой величины. Например, Земля и Луна притягиваются друг к другу с силой F≈2•10²⁰ H.

Зависимость ускорения свободного падения тел от географической широты

Одна из причин увеличения ускорения свободного падения при перемещении точки, где находится тело, от экватора к полюсам, состоит в том, что земной шар несколько сплюснут у полюсов и расстояние от центра Земли до ее поверхности у полюсов меньше, чем на экваторе. Другой, более существенной причиной является вращение Земли.

Равенство инертной и гравитационной масс

Самым поразительным свойством гравитационных сил является то, что они сообщают всем телам, независимо от их масс, одно и то же ускорение. Что бы вы сказали о футболисте, удар которого одинаково ускорял бы обыкновенный кожаный мяч и двухпудовую гирю? Каждый скажет, что это невозможно. А вот Земля является именно таким «необыкновенным футболистом» с той только разницей, что действие ее на тела не носит характера кратковременного удара, а продолжается непрерывно миллиарды лет.

Необыкновенное свойство гравитационных сил, как мы уже говорили, объясняется тем, что эти силы пропорциональны массам обоих взаимодействующих тел. Факт этот не может не вызывать удивления, если над ним хорошенько задуматься. Ведь масса тела, которая входит во второй закон Ньютона, определяет инертные свойства тела, т. е. его способность приобретать определенное ускорение под действием данной силы. Эту массу естественно назвать инертной массой и обозначить через m_и.

Казалось бы, какое отношение она может иметь к способности тел притягивать друг друга? Массу, определяющую способность тел притягиваться друг к другу, следует назвать гравитационной массой m_г.

Из механики Ньютона совсем не следует, что инертная и гравитационная массы одинаковы, т. е. что

Равенство (4.6) является непосредственным следствием из опыта. Оно означает, что можно говорить просто о массе тела как о количественной мере как инертных, так и гравитационных его свойств.

Закон всемирного тяготения является одним из самых универсальных законов природы. Он справедлив для любых тел, обладающих массой.

Значение закона всемирного тяготения

Но если подойти к этой теме, более кардинально, то выясняется, что закон всемирного тяготения не везде есть возможность его применения. Этот закон нашел свое применение для тел, которые имеют форму шара, его можно использовать для материальных точек, а также он приемлем для шара, имеющего большой радиус, где этот шар может взаимодействовать с телами, гораздо меньшими, чем его размеры.

Но вот для тела и бесконечной плоскости, а также для взаимодействия бесконечного стержня и шара эту формулу применять нельзя.

Как вы уже догадались из информации, предоставленной на этом уроке, что закон всемирного тяготения является основой в изучении небесной механики. А как вы знаете, небесная механика изучает движение планет.

Благодаря этому закону всемирного тяготения, появилась возможность в более точном определении расположения небесных тел и возможность вычисления их траектории.

С помощью этого закона можно рассчитать и движение искусственных спутников Земли, а также и созданных других межпланетных аппаратов.

С помощью этого закона Ньютон смог объяснить не только то, как движутся планеты, но и почему возникают морские приливы и отливы. По истечении времени, благодаря трудам Ньютона, астрономам удалось открыть такие планеты Солнечной системы, как Нептун и Плутон.

Важность открытия закона всемирного тяготения заключается в том, что с его помощью появилась возможность делать прогнозы солнечных и лунных затмений и с точностью рассчитывать движения космических кораблей.

Силы всемирного тяготения являются наиболее универсальными со всех сил природы. Ведь их действие распространяется на взаимодействие между любыми телами, имеющими массу. А как известно, то любое тело обладает массой. Силы тяготения действуют сквозь любые тела, так как для сил тяготения нет приград.

Задача

А теперь, чтобы закрепить знания о законе всемирного тяготения, давайте попробуем рассмотреть и решить интересную задачу.
Ракета поднялась на высоту h равную 990 км. Определите, насколько уменьшилась сила тяжести, действующая на ракету на высоте h, по сравнению с силой тяжести mg, действующей на нее у поверхности Земли?
Радиус Земли R = 6400 км. Обозначим через m массу ракеты, а через M массу Земли.

Будем считать, что на ракету действует только сила тяготения Земли и центробежной силой можно пренебречь из-за малой угловой скорости вращения Земли. Поэтому можно записать, что сила тяжести на Земле:

На высоте h сила тяжести равняется:

Отсюда вычислим:

Подстановка значение даст результат:

Интересные факты

Легенду про то, как Ньютон открыл закон всемирного тяготения, получив яблоком по макушке, придумал Вольтер. Причем сам Вольтер уверял, что эту правдивую историю ему рассказала любимая племянница Ньютона Кэтрин Бартон. Вот только странно, что ни сама племянница, ни ее очень близкий друг Джонатан Свифт, в своих воспоминаниях о Ньютоне про судьбоносное яблоко никогда не упоминали. Кстати и сам Исаак Ньютон, подробно записывая в своих тетрадях результаты экспериментов по поведению разных тел, отмечал только сосуды, наполненные золотом, серебром, свинцом, песком, стеклом водой или пшеницей, ни как ни о яблоке. Впрочем, это не помешало потомкам Ньютона водить экскурсантов по саду в имении Вулсток и показывать им ту самую яблоню, пока ее не сломала буря.

Да, яблоня была, и яблоками наверняка с нее падали, но насколько велика заслуга яблока в деле открытия закона всемирного тяготения?

Споры о яблоке не затихают вот уже 300 лет, так же как и споры о самом законе всемирного тяготения верее о том, кому принадлежит приоритет открытия.ук

Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев, Н.Н.Сотский, Физика 10 класс

При использовании материалов ресурса
ссылка на edufuture.biz обязательна (для интернет ресурсов —
гиперссылка).
edufuture.biz 2008-© Все права защищены.
Сайт edufuture.biz является порталом, в котором не предусмотрены темы политики, наркомании, алкоголизма, курения и других «взрослых» тем.

Разработка — Гипермаркет знаний 2008-

Ждем Ваши замечания и предложения на email:
По вопросам рекламы и спонсорства пишите на email:

Источник

Главная Учёба Калькулятор расчётов по закону всемирного тяготения Ньютона

Калькулятор расчётов по закону всемирного тяготения Ньютона

Условные обозначения формулы: F — сила гравитации, m1,m2 — масса двух тел, G — гравитационная константа, приблизительно 6.67384 (80) x10^-11, R — расстояние между телами.

Формула расчёта силы гравитации: F=G*m1*m2/R2. Гравитационная константа, умноженная на массы двух тел и разделённая на расстояние в квадрате.

Формула расчёта массы одного из тел: m1=(F*R2*10^11)/(G/m2). Силу гравитации, умножаем на расстояние, в квадрате, на 10 в 11 степени, и делим на гравитационную константу умноженную на массу другого тела.

Формула расчёта расстояния между телами: R=[квадратный корень][(G*m1*m2)/(F*10^11)]. Гравитационную константу умноженную на массы тел, делим на силу гравитации, умноженную на 10 в 11 степени и извлекаем квадратный корень.

Понравилась страница? Поделитесь ссылкой в социальных сетях. Поддержите проект!

Нет комментариев.

Источник

1. Закон всемирного тяготения

Вы уже знаете, что между всеми телами действуют силы притяжения, называемые силами всемирного тяготения.

Их действие проявляется, например, в том, что тела падают на Землю, Луна вращается вокруг Земли, а планеты вращаются вокруг Солнца. Если бы силы тяготения исчезли, Земля улетела бы от Солнца (рис. 14.1).

Закон всемирного тяготения сформулировал во второй половине 17-го века Исаак Ньютон.
Две материальные точки массой m₁ и m₂ находящиеся на расстоянии R, притягиваются с силами, прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними. Модуль каждой силы

Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной. (От латинского «гравитас» — тяжесть.) Измерения показали, что

G = 6,67 * 10^-11 Н * м²/кг². (2)

Закон всемирного тяготения раскрывает еще одно важное свойство массы тела: она является мерой не только инертности тела, но и его гравитационных свойств.

? 1. Чему равны силы притяжения двух материальных точек массой 1 кг каждая, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга? Во сколько раз эта сила больше или меньше веса комара, масса которого 2,5 мг?

Столь малое значение гравитационной постоянной объясняет, почему мы не замечаем гравитационного притяжения между окружающими нас предметами.

? 2. Оцените силы гравитационного притяжения двух человек, находящихся на расстоянии 10 м друг от друга.

Силы тяготения заметно проявляют себя только тогда, когда хотя бы одно из взаимодействующих тел имеет огромную массу – например, является звездой или планетой.

? 3. Как изменится сила притяжения между двумя материальными точками, если расстояние между ними увеличить в 3 раза?

? 4. Две материальные точки массой m каждая притягиваются с силой F. С какой силой притягиваются материальные точки массой 2m и Зm, находящиеся на таком же расстоянии?

2. Движение планет вокруг Солнца

Расстояние от Солнца до любой планеты во много раз больше размеров Солнца и планеты. Поэтому при рассмотрении движения планет их можно считать материальными точками. Следовательно, сила притяжения планеты к Солнцу

где m – масса планеты, M_С – масса Солнца, R – расстояние от Солнца до планеты.

Будем считать, что планета движется вокруг Солнца равномерно по окружности. Тогда скорость движения планеты можно найти, если учесть, что ускорение планеты a = v²/R обусловлено действием силы F притяжения Солнца и тем, что согласно второму закону Ньютона F = ma.

? 5. Докажите, что скорость планеты

Из этой формулы следует, что чем больше радиус орбиты, тем меньше скорость планеты.

? 6. Радиус орбиты Сатурна примерно в 9 раз больше радиуса орбиты Земли. Найдите устно, чему примерно равна скорость Сатурна, если Земля движется по своей орбите со скоростью 30 км/с?

За время, равное одному периоду обращения T, планета, двигаясь со скоростью v, проходит путь, равный длине окружности радиуса R.

? 7. Докажите, что период обращения планеты

Из этой формулы следует, что чем больше радиус орбиты, тем больше период обращения планеты.

? 8. Оцените период обращения Сатурна (в земных годах).

? 9. Докажите, что для всех планет Солнечной системы

Подсказка. Воспользуйтесь формулой (5).
Из формулы (6) следует, что для всех планет Солнечной системы отношение куба радиуса орбиты к квадрату периода обращения одинаково. Эту закономерность (ее называют третьим законом Кеплера) обнаружил немецкий ученый Иоганн Кеплер на основании результатов многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге.

3. Условия применимости формулы для закона всемирного тяготения

Ньютон доказал, что формулу

F = G(m₁m₂/R²)

для силы притяжения двух материальных точек можно применять также:
– для однородных шаров и сфер (R – расстояние между центрами шаров или сфер, рис. 14.2, а);

– для однородного шара (сферы) и материальной точки (R – расстояние от центра шара (сферы) до материальной точки, рис. 14.2, б).

4. Сила тяжести и закон всемирного тяготения

Второе из приведенных выше условий означает, что по формуле (1) можно найти силу притяжения тела любой формы к однородному шару, который намного больше этого тела. Поэтому по формуле (1) можно рассчитать силу притяжения к Земле тела, находящегося на ее поверхности (рис. 14.3, а). Мы получим выражение для силы тяжести:

(Земля не является однородным шаром, но ее можно считать сферически симметричной. Этого достаточно для возможности применения формулы (1).)

? 10. Докажите, что вблизи поверхности Земли

где M_Зем – масса Земли, R_Зем – ее радиус.
Подсказка. Используйте формулу (7) и то, что F_т = mg.

Пользуясь формулой (1), можно найти ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли (рис. 14.3, б).

? 11. Докажите, что

? 12. Чему равно ускорение свободного падения на высоте над поверхностью Земли, равной ее радиусу?

? 13. Во сколько раз ускорение свободного падения на поверхности Луны меньше, чем на поверхности Земли?
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (8), в которой массу и радиус Земли замените на массу и радиус Луны.

? 14. Радиус звезды белый карлик может быть равен радиусу Земли, а ее масса – равной массе Солнца. Чему равен вес килограммовой гири на поверхности такого «карлика»?

5. Первая космическая скорость

Представим себе, что на очень высокой горе установили огромную пушку и стреляют из нее в горизонтальном направлении (рис. 14.4).

Чем больше начальная скорость снаряда, тем дальше он упадет. Он не упадет вообще, если подобрать его начальную скорость так, чтобы он двигался вокруг Земли по окружности. Летя по круговой орбите, снаряд станет тогда искусственным спутником Земли.

Пусть наш снаряд-спутник движется по низкой околоземной орбите (так называют орбиту, радиус которой можно принять равным радиусу Земли R_Зем).
При равномерном движении по окружности спутник движется с центростремительным ускорением a = v2/RЗем, где v – скорость спутника. Это ускорение обусловлено действием силы тяжести. Следовательно, спутник движется с ускорением свободного падения, направленным к центру Земли (рис. 14.4). Поэтому a = g.

15. Докажите, что при движении по низкой околоземной орбите скорость спутника

Подсказка. Воспользуйтесь формулой a = v²/r для центростремительного ускорения и тем, что при движении по орбите радиуса R_Зем ускорение спутника равно ускорению свободного падения.

Скорость v₁, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно двигалось под действием силы тяжести по круговой орбите вблизи поверхности Земли, называют первой космической скоростью. Она примерно равна 8 км/с.

? 16. Выразите первую космическую скорость через гравитационную постоянную, массу и радиус Земли.

? 17. Оцените, во сколько раз первая космическая скорость для Луны меньше, чем для Земли. Примите, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Луны в 3,7 раза меньше радиуса Земли.

Подсказка. В формуле, полученной при выполнении предыдущего задания, замените массу и радиус Земли на массу и радиус Луны.

Чтобы тело навсегда покинуло окрестности Земли, ему надо сообщить скорость, равную примерно 11,2 км/с. Ее называют второй космической скоростью.

6. Как измерили гравитационную постоянную

Если считать известными ускорение свободного падения g вблизи поверхности Земли, массу и радиус Земли, то значение гравитационной постоянной G можно легко определить с помощью формулы (7). Проблема, однако, в том, что до конца 18-го века массу Земли измерить не удавалось.

Поэтому, чтобы найти значение гравитационной постоянной G, надо было измерить силу притяжения двух тел известной массы, находящихся на определенном расстоянии друг от друга. В конце 18-го века такой опыт смог поставить английский ученый Генри Кавендиш.

Он подвесил на тонкой упругой нити легкий горизонтальный стержень с небольшими металлическими шарами a и b и по углу поворота нити измерил силы притяжения, действующие на эти шары со стороны больших металлических шаров А и В (рис. 14.5). Малые углы поворота нити ученый измерял по смещению «зайчика» от прикрепленного к нити зеркальца.

Этот опыт Кавендиша образно назвали «взвешиванием Земли», потому что этот опыт впервые позволил измерить массу Земли.

? 18. Выразите массу Земли через G, g и R_Зем.

Дополнительные вопросы и задания

19. Два корабля массой 6000 т каждый притягиваются с силами по 2 мН. Каково расстояние между кораблями?

20. С какой силой Солнце притягивает Землю?

21. С какой силой человек массой 60 кг притягивает Солнце?

22. Чему равно ускорение свободного падения на расстоянии от поверхности Земли, равном ее диаметру?

23. Во сколько раз ускорение Луны, обусловленное притяжением Земли, меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли?

24. Ускорение свободного падения на поверхности Марса в 2,65 раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли. Радиус Марса приближенно равен 3400 км. Во сколько раз масса Марса меньше массы Земли?

25. Чему равен период обращения искусственного спутника Земли на низкой околоземной орбите?

26. Чему равна первая космическая скорость для Марса? Масса Марса 6,4 * 10²³ кг, а радиус 3400 км.

Источник