Как найти массу через количество теплоты

Алгоритм 8

Пример. По термохимическому уравнению

С + О2 = СО2 + 412 кДж вычислите массу сгоревшего угля, если количество теплоты, выделившееся в результате реакции, составляет 82,4 кДж.

Дано:

Q = 82,4 кДж

Q_р-ции = 412кДж

——————

m(С) = ? г

М(С) = 12 г/моль

Запишем термохимическое уравнение реакции. Обозначим вопросительным знаком количество вещества, массу которого надо

найти, и надпишем количество теплоты, записанное в условии задачи. Под формулой вещества обозначим молярное соотношение, вытекающее из уравнения реакции. Вычислим количество вещества, массу которого требуется найти.  
Решение:

?моль 82,4 кДж

С + О₂ = СО₂ + 412 кДж

1 моль

Для этого составим пропорцию

m=n•М

m(С)=n(C)•М(С)

m(C)=0,2моль•12г/моль=2,4

Как найти массу, зная удельную теплоемкость и кол — во теплоты?

Сайт znanija.org не имеет отношения к другим сайтам и не является официальным сайтом компании.

Решение:

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела:
$Q = cm(t_2 — t_1)$.

В данном случае нам не известны начальная и конечная температуры тела ($t_2$ и $t_1$). Нам известно изменение этой температуры: $Delta t = t_2 — t_1$. Тогда формула для расчета количества теплоты примет вид:
$Q = cm Delta t$.

Подставим значения всех величин и рассчитаем количество теплоты:
$Q = 400 frac{Дж}{кг cdot degree C} cdot 15 space кг cdot 80 degree C = 480 space 000 space Дж = 480 space кДж$.

Ответ: $Q = 480 space кДж$.

Решение:

Формула для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела:
$Q = cm(t_2 — t_1)$.

Нам неизвестна масса воды в бассейне, но известен ее объем и плотность. Плотность по определению:
$rho = frac{m}{V}$.

Тогда масса будет равна:
$m = rho V$.

Также нам неизвестны начальная и конечная температуры тела ($t_2$ и $t_1$). Нам известно изменение этой температуры: $Delta t = t_2 — t_1$. Тогда формула для расчета количества теплоты примет вид:
$Q = c rho V Delta t$.

Рассчитаем количество теплоты:
$Q = 4200 frac{Дж}{кг cdot degree C} cdot 1000 frac{кг}{м^3} cdot 300 space м^3 cdot 10 degree C = 12.6 cdot 10^9 space Дж = 12.6 space ГДж$.

Ответ: $Q = 12.6 space ГДж$.

Дано:
$Q = 12 space кДж$
$t_1 = 10 degree C$
$t_2 = 15 degree C$
$c = 2430 frac{Дж}{кг cdot degree C}$

СИ:
$Q = 12 cdot 10^3 space Дж$

Решение:

Формула для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела:
$Q = cm(t_2 — t_1)$.

Выразим отсюда массу глицерина:
$m = frac{Q}{c(t_2 — t_1)}$.

Рассчитаем:
$m = frac{12 cdot 10^3 space Дж}{2430 frac{Дж}{кг cdot degree C} cdot (15 degree C — 10 degree C)} approx 1 space кг$.

Ответ: $m approx 1 space кг$.

Дано:
$V = 1 space л$
$Q = 45 space кДж$
$c = 1.67 frac{кДж}{кг cdot degree C}$
$Delta t = 30 degree C$

СИ:
$V = 10^{-3} space м^3$
$Q = 45 cdot 10^3 space Дж$
$c = 1.67 cdot 10^3 frac{Дж}{кг cdot degree C}$

Решение:

Формула для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела:
$Q = cm(t_2 — t_1)$.

Нам известны изменение температуры ($Delta t = t_2 — t_1$), количество теплоты и удельная теплоемкость машинного масла. Выразим массу и рассчитаем ее:
$m = frac{Q}{c Delta t} = frac{45 cdot 10^3 space Дж}{1.67 cdot 10^3 frac{Дж}{кг cdot degree C} cdot 30 degree C} approx 0.9 space кг$.

По определению плотности:
$rho = frac{m}{V}$.

Рассчитаем плотность машинного масла:
$rho = frac{0.9 space кг}{10^{-3} space м^3} = 0.9 cdot 10^3 frac{кг}{м^3} = 900 frac{кг}{м^3}$.

Ответ: $rho = 900 frac{кг}{м^3}$.

Дано:
$m_в = 450 space г$
$m_ж = 200 space г$
$t_{в1} = 20 degree C$
$t_{в2} = 24 degree C$
$c_в = 4200 frac{Дж}{кг cdot degree C}$
$t_{ж1} = 100 degree C$

СИ:
$m_в = 0.45 space кг$
$m_ж = 0.2 space кг$

Решение:

Формула для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела и выделяемого при его охлаждении:
$Q = cm(t_2 — t_1)$.

Запишем эту формулу для воды:
$Q_в = c_в m_в (t_{в2} — t_{в1})$.

Запишем формулу количества теплоты для железных опилок:
$Q_ж = c_ж m_ж (t_{ж2} — t_{ж1})$.

Нагретые железные опилки помещают в воду для их охлаждения. Значит, вода будет нагреваться и поглотит некоторое количество теплоты, а опилки будут охлаждаться и выделят некоторое количество теплоты. Т.е., между этими телами будет происходить теплообмен, для которого действует уже известное вам правило:

Если между телами происходит теплообмен, то внутренняя энергия всех нагревающихся тел увеличивается на столько, на сколько уменьшается внутренняя энергия остывающих тел.

Это значит, что количество теплоты $Q_в$, полученное водой, будет равно количеству теплоту $Q_ж$, которое выделится при охлаждении железных опилок, но с обратным знаком: $Q_в = — Q_ж$.

Подставим выражения, которые дает формула для расчета количества теплоты:
$c_в m_в (t_{в2} — t_{в1}) = — c_ж m_ж (t_{ж2} — t_{ж1})$.

После завершения теплообмена температура воды и температура железных опилок будут равны друг другу: $t_в2 = t_ж2 = t_2$.

Подставим в наше равенство и выразим $c_ж$:
$c_ж = — frac{c_в m_в (t_2 — t_{в1})}{m_ж (t_2 — t_{ж1})}$.

Рассчитаем удельную теплоемкость железных опилок:
$c_ж = — frac{4200 frac{Дж}{кг cdot degree C} cdot 0.45 space кг cdot (24 degree C — 20 degree C)}{0.2 space кг cdot (24 degree C — 100 degree C)} = — frac{7560 space Дж}{- 15.2 space кг cdot degree C} approx 497 frac{Дж}{кг cdot degree C} approx 0.5 frac{кДж}{кг cdot degree C}$.

Ответ: $c_ж approx 0.5 frac{кДж}{кг cdot degree C}$.

Дано:
$Q = 2 space кДж$
$t_1 = 0 degree C$
$t_2 = 10 degree C$
$c = 2100 frac{Дж}{кг cdot degree C}$

СИ:
$Q = 2 cdot 10^3 space Дж$

Решение:

Формула для расчета количества теплоты, необходимого для нагревания тела:
$Q = cm(t_2 — t_1)$.

Выразим отсюда массу:
$m = frac{Q}{c (t_2 — t_1)}$.

Рассчитаем ее:
$m = frac{2 cdot 10^3 space Дж}{2100 frac{Дж}{кг cdot degree C} cdot (10 degree C — 0 degree C)} approx 0.095 space кг approx 100 space г$.

Ответ: $m approx 100 space г$.

Дано:
$V_в = 15 space л$
$m_р = 2 space кг$
$t_{р1} = 800 degree C$
$c_р = 500 frac{Дж}{кг cdot degree C}$
$rho_в = 1000 frac{кг}{м^3}$
$c_в = 4200 frac{Дж}{кг cdot degree C}$
$t_{в1} = 10 degree C$

СИ:
$V_в = 15 cdot 10^3 м^3$

Решение:

Когда нагретый резец опускают в холодную воду, между этими двумя телами происходит теплообмен. Резец остывает и выделяет энергию, а вода получает эту энергию и нагревается. Соответственно, количество теплоты, которое выделится при остывании стального резца, численно будет равно количеству теплоту, которое получит вода. 

Когда теплообмен завершится,температуры стального резца и воды будут одинаковы: $t_{в2} = t_{р2} = t_2$.

Запишем формулу для расчета количества теплоты, которое выделится при остывании резца:
$Q_р = с_р m_р (t_2 — t_{р1})$.

Запишем формулу для расчета количества теплоты, которое получила вода:
$Q_в = с_в m_в (t_2 — t_{в1})$.

Приравняем правые части этих уравнений, не забыв про знак “минус”, которые указывает на выделение энергии при охлаждении тела:
$с_р m_р (t_2 — t_{р1}) = — с_в m_в (t_2 — t_{в1})$.

Раскроем скобки:
$с_р m_р t_2 — с_р m_р t_{р1} = — с_в m_в t_2 + с_в m_в t_{в1}$.

Перенесем множители с $t_2$ на одну сторону уравнения и выразим эту температуру, до которой нагреется вода:
$с_р m_р t_2 + с_в m_в t_2 =  с_в m_в t_{в1} + с_р m_р t_{р1}$,
$t_2 (с_р m_р +  с_в m_в) =  с_в m_в t_{в1} + с_р m_р t_{р1}$,
$t_2 = frac{с_в m_в t_{в1} + с_р m_р t_{р1}}{с_р m_р +  с_в m_в}$.

Нам неизвестна масса воды, но известны ее плотность и объем. Выразим и рассчитаем массу через эти величины:
$m_в = rho_в V_в = 1000 frac{кг}{м^3} cdot 15 cdot 10^3 м^3 = 15 space кг$.

Теперь мы можем рассчитать температуру $t_2$:
$t_2 = frac{4200 frac{Дж}{кг cdot degree C} cdot 15 space кг cdot 10 degree C + 500 frac{Дж}{кг cdot degree C} cdot 2 space кг cdot 800 degree C}{500 frac{Дж}{кг cdot degree C} cdot 2 space кг + 4200 frac{Дж}{кг cdot degree C} cdot 15 space кг} = frac{630 cdot 10^3 space Дж + 800 cdot 10^3 space Дж}{1 cdot 10^3 frac{Дж}{degree C} + 63 cdot 10^3 frac{Дж}{degree C}} = frac{1430 cdot 10^3 space Дж}{64 cdot 10^3 frac{Дж}{degree C}} approx 22.3 degree C$.

Ответ: $t_2 approx 22.3 degree C$.

Решение:

При смешивании жидкостей разных температур, мы знаем, что внутренняя энергия всех нагревающихся тел увеличивается на столько, на сколько уменьшается внутренняя энергия остывающих тел.

Для смешивания двух жидкостей мы можем записать, что $Q_1 = — Q_2$ или $Q_1 + Q_2 = 0$.

Сначала рассмотрим смешивание первых двух порций воды. Первая порция с температурой $15 degree C$ будет нагреваться (получать энергию), а вторая порция с температурой $25 degree C$ будет охлаждаться (выделять энергию). Эти энергии будут численно равны друг другу, но противоположны по знаку:
$cm_1(t_{1+2} — t_1) = — cm_2(t_{1+2} — t_2)$.

Найдем конечную температуру этой смеси:
$m_1(t_{1+2} — t_1) = — m_2 (t_{1+2} — t_2)$,
$m_1 t_{1+2} — m_1 t_1 = -m_2 t_{1+2} + m_2 t_2$,
$t_{1+2} (m_1 + m_2) = m_1 t_1 + m_2 t_2$,

$t_{1+2} = frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2} = frac{0.02 space кг cdot 15 degree C + 0.03 space кг cdot 25 degree }{0.02 space кг + 0.03 space кг} = frac{0.3 space кг cdot degree + 0.75 space кг cdot degree C}{0.05 space кг} = 21 degree C$.

Так мы получили смесь первой и второй порций воды массой $m_{1+2} = 0.05 space кг$ и температурой $t_{1+2} = 21 degree C$.

Теперь добавим третью порцию воды  в полученную смесь. Смесь будет нагреваться (получать энергию), а третья порция воды будет охлаждаться (выделять энергию):
$Q_{1+2} = — Q_3$.
$cm_{1+2} (t — t_{1+2}) = — cm_3 (t — t_3)$,
$m_{1+2} (t — t_{1+2}) = — m_3 (t — t_3)$.

Выразим отсюда конечную температуру смеси из трех порций воды $t$:
$m_{1+2} t — m_{1+2} t_{1+2} = -m_3 t + m_3 t_3$,
$t (m_{1+2} + m_3) = m_{1+2} t_{1+2} + m_3 t_3$,
$t = frac{m_{1+2} t_{1+2} + m_3 t_3}{m_{1+2} + m_3}$.

Рассчитаем ее:
$t = frac{0.05 space кг cdot 21 degree C + 0.01 space кг cdot 60 degree}{0.05 space кг + 0.01 space кг} = frac{1.05 space кг cdot degree C + 0.6 space кг cdot degree C}{0.06 space кг} = 27.5 degree C$.

Ответ: $t = 27.5 degree C$.

Решение:

Сначала рассчитаем количество теплоты, которое необходимо сообщить воде в чайнике, чтобы ее температура увеличилась с $70 degree C$ до $80 degree C$:
$Q = cm(t_2 — t_1)$.

Масса воды в чайнике нам неизвестна, поэтому примем ее, равной $1 space кг$. Тогда,
$Q = 4200 frac{Дж}{кг cdot degree C} cdot 1 space кг cdot (80 degree C — 70 degree C) = 42 space 000 space Дж = 42 space кДж$.

Когда вода в чайнике остывает с температуры $80 degree C$ до температуры $70 degree C$, она выделяет в окружающую среду точно такое же количество энергии $Q$. Остывание происходит за $9 space мин$. Значит, количество теплоты, которое выделяется в окружающую среду за $1 space мин$ будет равно:
$Q_0 = frac{42 space кДж}{9 space мин} approx 4.7 frac{кДж}{мин}$.

В условиях задачи сказано, что тепловые потери постоянны. Это означает, что вода массой $1 space кг$ отдает $4.7 space кДж$ каждую минуту, в том числе, и при ее нагревании.

Нагревается вода за 3 минуты. За это время она отдает в окружающую среду следующее количество теплоты:
$Q_1 = 4.7 space кДж cdot 3 = 14.1 space кДж$.

Тем не менее, чайник нагрел воду до нужной температуры. Значит, он сообщил воде количество энергии, равное $Q_2 = Q + Q_1$.
$Q_2 = 42 space кДж + 14.1 space кДж = 56.1 space кДж$.

Теперь мы можем рассчитать отношение $frac{Q_1}{Q_2}$, и узнать какая часть теплоты, выделяемая спиралью чайника, рассеивается в окружающую среду:
$frac{Q_1}{Q_2} = frac{14.1 space кДж}{56.1 space кДж} approx 0.25$.

Т.е., в окружающую среду рассеивается $frac{1}{4}$ часть энергии, сообщаемая воде в чайнике.

Можно доказать, что это соотношение останется постоянным для воды любой массы в этой задаче. Чем больше будет масса воды, тем больше энергии ей будет нужно, чтобы нагреться до определенной температуры. Больше будут и тепловые потери. Искомое соотношение же останется неизменным.

Ответ: $frac{Q_1}{Q_2} approx 0.25$.