Как найти массу цилиндра зная плотность - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Цилиндр является одной из простых объемных фигур, которую изучают в школьном курсе геометрии (раздел стереометрия). При этом часто возникают задачи на расчет объема и массы цилиндра, а также на определение площади его поверхности. Ответы на отмеченные вопросы даны в этой статье.

Что такое цилиндр?

Перед тем как переходить к ответу на вопрос, чему равна масса цилиндра и его объем, стоит рассмотреть, что представляет собой эта пространственная фигура. Сразу необходимо отметить, что цилиндр — это трехмерный объект. То есть в пространстве можно измерить три его параметра по каждой из осей в декартовой прямоугольной системе координат. В действительности для однозначного определения размеров цилиндра достаточно знать всего два его параметра.

Цилиндр — это объемная фигура, образованная двумя кругами и цилиндрической поверхностью. Чтобы яснее представить этот объект, достаточно взять прямоугольник и начать вращать его вокруг какой-либо его стороны, которая будет осью вращения. В этом случае вращающийся прямоугольник опишет фигуру вращения — цилиндр.

Две круглые поверхности называются основаниями цилиндра, они характеризуются определенным радиусом. Расстояние между основаниями называется высотой. Два основания соединены между собой цилиндрической поверхностью. Линия, проходящая через центры обоих кругов, называется осью цилиндра.

Объем и площадь поверхности

Как можно заметить из вышесказанного, цилиндр определяется двумя параметрами: высотой h и радиусом его основания r. Зная эти параметры, можно рассчитать все другие характеристики рассматриваемого тела. Ниже приводятся основные из них:

Площадь оснований. Эта величина рассчитывается по формуле: S₁ = 2*pi*r², где pi — число пи, равное 3,14. Цифра 2 в формуле появляется потому, что цилиндр имеет два одинаковых основания.
Площадь цилиндрической поверхности. Ее можно рассчитать так: S₂ = 2*pi*r*h. Понять эту формулу просто: если цилиндрическую поверхность разрезать вертикально от одного основания к другому и развернуть, то получится прямоугольник, высота которого будет равна высоте цилиндра, а ширина будет соответствовать длине окружности основания объемной фигуры. Поскольку площадь полученного прямоугольника — это произведение его сторон, которые равны h и 2*pi*r, то получается представленная выше формула.
Площадь поверхности цилиндра. Она равна сумме площадей S₁ и S₂, получаем: S₃ = S₁ + S₂ = 2*pi*r² + 2*pi*r*h = 2*pi*r*(r+h).
Объем. Эта величина находится просто, необходимо лишь умножить площадь одного основания на высоту фигуры: V = (S₁/2)*h = pi*r²*h.

Определение массы цилиндра

Наконец, стоит перейти непосредственно к теме статьи. Как определить массу цилиндра? Для этого необходимо знать его объем, формула для вычисления которого была представлена выше. И плотность вещества, из которого он состоит. Масса определяется по простой формуле: m = ρ*V, где ρ — плотность материала, образующего рассматриваемый объект.

Понятие плотности характеризует массу вещества, которое находится в единице объема пространства. Например. Известно, что железо имеет большую плотность, чем дерево. Это означает, что в случае одинаковых объемов вещества железа и дерева первое будет иметь намного большую массу, чем второе (приблизительно в 16 раз).

Расчет массы медного цилиндра

Рассмотрим простую задачу. Необходимо найти массу цилиндра, сделанного из меди. Для определенности пусть цилиндр имеет диаметр 20 см и высоту 10 см.

Перед тем как приступать к решению задачи, следует разобраться с исходными данными. Радиус цилиндра равен половине его диаметра, значит r = 20/2 = 10 см, высота же составляет h = 10 см. Поскольку рассматриваемый в задаче цилиндр сделан из меди, то, обращаясь к справочным данным, выписываем значение плотности этого материала: ρ = 8,96 г/см³ (для температуры 20 °C).

Теперь можно приступать к решению задачи. Для начала рассчитаем объем: V =pi*r²*h = 3,14*(10)²*10 = 3140 см³. Тогда масса цилиндра будет равна: m = ρ*V = 8,96 * 3140 = 28134 грамм или приблизительно 28 килограмм.

Следует обратить внимание на размерность единиц во время их использования в соответствующих формулах. Так, в задаче все параметры были представлены в сантиметрах и граммах.

Однородный и полый цилиндры

Из полученного выше результата можно видеть, что медный цилиндр с относительно малыми размерами (10 см) обладает большой массой (28 кг). Это связано не только с тем, что он сделан из тяжелого материала, но и с тем, что он является однородным. Этот факт важно понимать, поскольку приведенную выше формулу для расчета массы можно использовать только в случае, если цилиндр полностью (снаружи и внутри) состоит из одного и того же материала, то есть является однородным.

На практике же часто используют полые цилиндры (например, цилиндрические бочки для воды). То есть они сделаны из тонких листов какого-то материала, а внутри являются пустыми. Для полого цилиндра указанной формулой расчета массы пользоваться нельзя.

Расчет массы полого цилиндра

Интересно рассчитать, какой массой будет обладать цилиндр из меди, если он является пустым внутри. Для примера пусть он будет сделан из тонкого медного листа толщиной всего d = 2 мм.

Чтобы решить эту задачу, нужно найти объем самой меди, из которой сделан объект. А не объем цилиндра. Поскольку толщина листа мала, по сравнению с размерами цилиндра (d = 2 мм и r = 10 см), тогда объем меди, из которой изготовлен предмет, можно найти, если умножить всю площадь поверхности цилиндра на толщину медного листа, получаем: V = d*S₃ = d*2*pi*r*(r+h). Подставляя данные из предыдущей задачи, получим: V = 0,2*2*3,14*10*(10+10) = 251,2 см³. Массу полого цилиндра можно получить, если умножить полученный объем меди, который потребовался для его изготовления, на плотность меди: m = 251,2 * 8,96 = 2251 г или 2,3 кг. То есть рассмотренный полый цилиндр весит в 12 (28,1/2,3) раз меньше, чем однородный.

Источник

Enter the cylinder radius (m), the cylinder length (m), and the density (kg/m^3) into the Cylinder Mass Calculator. The calculator will evaluate and display the Cylinder Mass.

All Mass Calculators
Cylinder Density Calculator
Cylinder Capacity Calculator
Water Mass Calculator

Cylinder Mass Formula

The following formula is used to calculate the Cylinder Mass.

Where CM is the Cylinder Mass (kg)
r is the cylinder radius (m)
L is the cylinder length (m)
D is the density (kg/m^3)

To calculate the cylinder mass, calculate the cylinder volume, then multiply the volume by the density.

How to Calculate Cylinder Mass?

The following example problems outline how to calculate Cylinder Mass.

Example Problem #1

First, determine the cylinder radius (m).
- The cylinder radius (m) is calculated to be : 2.
Next, determine the cylinder length (m).
- The cylinder length (m) is measured to be: 5.
Next, determine the density (kg/m^3).
- The density (kg/m^3) is found to be: 50.
Finally, calculate the Cylinder Mass using the formula above:

CM = pi*r^2*L*D

The values given above are inserted into the equation below and the solution is calculated:

CM = pi*2^2*5*50 = 3141.59 (kg)

Example Problem #2

The variables needed for this problem are provided below:

cylinder radius (m) = 3

cylinder length (m) = 6

density (kg/m^3) = 70

This example problem is a test of your knowledge on the subject. Use the calculator above to check your answer.

CM = pi*r^2*L*D = (kg)

Источник

Масса сплошного цилиндра Калькулятор

Search
Дом	физика ↺
физика	Инженерная механика ↺
Инженерная механика	Свойства поверхностей и тел ↺
Свойства поверхностей и тел	Массовый момент инерции ↺

✖Плотность материала показывает плотность этого материала в определенной заданной области. Это берется как масса на единицу объема данного объекта.ⓘ Плотность [ρ]

+10%

-10%

✖Высота — это расстояние между самой низкой и самой высокой точками человека/фигуры/объекта, стоящего прямо.ⓘ Высота [H]

+10%

-10%

✖Радиус цилиндра – это радиус его основания.ⓘ Радиус цилиндра [R_cyl]

+10%

-10%

✖Масса – это количество вещества в теле независимо от его объема или действующих на него сил.ⓘ Масса сплошного цилиндра [M]

⎘ копия

Масса сплошного цилиндра Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Плотность: 997 Килограмм на кубический метр —> 997 Килограмм на кубический метр Конверсия не требуется
Высота: 1.05 метр —> 1.05 метр Конверсия не требуется
Радиус цилиндра: 0.025 метр —> 0.025 метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

2.05548516838155 Килограмм —> Конверсия не требуется

7 Массовый момент инерции Калькуляторы

Масса сплошного цилиндра формула

масса = pi*Плотность*Высота*Радиус цилиндра^2

M = pi*ρ*H*R_cyl^2

Что такое масса?

Масса — одна из фундаментальных величин в физике. Масса — это мера количества вещества в теле. Чем больше масса тела, тем меньше изменение, вызванное приложенной силой.

Источник

Как найти массу цилиндра

Масса любого физического объекта помогает оценить, какое усилие надо приложить, чтобы сдвинуть его с места при отсутствии силы тяжести и силы трения. Но нам чаще приходится иметь дело с массой в другом ее проявлении, обычно называемом «весом». Его определяют как силу, с которой физическое тело давит на поверхность под воздействием земного притяжения. Чтобы их различать эти две ипостаси массы называют «инерционной» и «гравитационной».

Инструкция

Взвесьте цилиндр с помощью весов нужной степени точности и получите значение его массы в условиях воздействия земной гравитации — гравитационную массу. Это самый простой, но не всегда доступный способ, применимый к физическим объектам не только цилиндрической формы.

Если возможности взвешивать нет, то рассчитайте объем пространства, который занимает цилиндрический объект, и определите плотность материала, из которого он состоит. Эти две характеристики связаны с массой постоянным соотношением, формула которого позволит рассчитать массу тела. Для определения плотности вещества придется воспользоваться соответствующими таблицами из справочников. В бумажном варианте их можно взять в библиотеке, а в электронном виде — найти в интернете или в магазине на оптических дисках с тематическими подборками материалов.

Объем цилиндра можно определить подручными средствами — например, погрузить его в наполненную водой мерную посуду и оценить объем вытесненной воды. Полученное значение, скорее всего, будет обозначено на мерных инструментах в литрах и производных от него единицах. Для перевода в кубические метры и его производные используйте такое соотношение: один литр равен одному кубическому дециметру.

Если определить объем (V) приведенным в предыдущем шаге способом не представляется возможным, то определите физические размеры цилиндра — его диаметр (d) и высоту (h). Рассчитайте значение одной четверти от произведения числа Пи, взятого с нужной степенью точности, на возведенный в квадрат диаметр — так вы найдете значение площади основания цилиндра. Умножьте его на высоту и получите объем цилиндрического объекта: V=¼*π*d*h.

Теперь вам известны плотность вещества (ρ), из которого состоит цилиндр, и его объем (V). Для расчета массы (m) объекта просто перемножьте эти два значения: m=ρ*V.

Источники:

масса цилиндра формула
Как вычислить объем цилиндра?

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Масса сплошной детали

Это странное название статьи объясняется только тем, что детали одной и той же формы могут быть как сплошными, так и полыми (т.е. следующая статья будет называться «Масса полой детали»).

Тут самое время вспомнить, что масса тела — это его объем , умноженный на плотность его материала rho (см. таблицы плотностей):

Объем сплошной детали — это… ее объем и больше ничего.

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
Буквой обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

Рассмотрим несколько простых форм (более сложные, как вы помните, можно составить путем сложения или вычитания простых).

1. Масса параллелепипеда (бруска)

Объем параллелепипеда: , где — длина, — ширина, — высота.
Тогда масса:

2. Масса цилиндра

Объем цилиндра: $V~=~pi~*~{D^2/4}~*~H$ , где — диаметр основания, — высота цилиндра.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~D^2~*~H}/4000}~*~rho$

3. Масса шара

шар Объем шара: $V~=~pi~*~{D^3/6}$ , где — диаметр шара.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~D^3}/6000}~*~rho$

4. Масса сегмента шара

Объем сегмента шара: $V~=~{1/6}pi*H*(H^2+~{3/4}D^2)$ , где — диаметр основания сегмента, — высота сегмента.
Тогда масса:

$m~=~{{pi~*~H~*~(4H^2+~3D^2)}/24000}~*~rho$

5. Масса конуса

Объем любого конуса: , где — площадь основания, — высота конуса.
Для круглого конуса: $V~=~{1/12}pi*D^2*H$ , где — диаметр основания, — высота конуса.
Масса круглого конуса:

$m~=~{{pi~*~D^2~*~H}/12000}~*~rho$

6. Масса усеченного конуса

Поскольку невозможно объять необъятное, рассмотрим только круглый усеченный конус. Его объем — это разность объемов двух вложенных конусов: с основаниями и : $V~=~{1/12}pi*(D1^2*H1~-~D2^2*H2)$ , где , . После никому не интересных алгебраических преобразований получаем:
$V~=~{1/12}pi*H*(D1^2+D1*D2+D2^2)$ , где — диаметр большего основания, — диаметр меньшего основания, — высота усеченного конуса.
Отсюда масса:

$m~=~{{pi~*~H~*~(D1^2~+~D1*D2~+~D2^2)}/12000}~*~rho$

7. Масса пирамиды

Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту (то же самое, что и для конусов (часто мы не замечаем, насколько мироздание к нам благосклонно)): , где — площадь основания, — высота пирамиды.
Для пирамиды с прямоугольным основанием: , где — ширина, — длина, — высота пирамиды.
Тогда масса пирамиды:

8. Масса усеченной пирамиды

Рассмотрим усеченную пирамиду с прямоугольным основанием. Ее объем — это разность объемов двух подобных пирамид с основаниями W1*L1 и W2*L2 : , где , .
Исчеркав половину тетрадного листа, получаем: $V~=~{1/3}H*~{{W1^2L1~-~W2^2L2}/{W1~-~W2}}$ , где , — ширина и длина большего основания, , — ширина и длина меньшего основания, — высота пирамиды.
И, оставив в покое остальную половину листа, исходя из одних соображений симметрии, мы можем написать еще одну формулу, которая отличается от предыдущей только заменой W на L и наоборот. В чем разница между длиной и шириной? Только в том, что мы их так назвали. Назовем наоборот и получим: $V~=~{1/3}H*~{{L1^2W1~-~L2^2W2}/{L1~-~L2}}$ .
Тогда масса усеченной прямоугольной пирамиды: