Как найти массу дуги линии

Приложения криволинейных интегралов

Краткая теория

---

Длина дуги

Длину дуги

 плоской или пространственной линии

 определяют по формуле:

Масса дуги

Если

 – линейная плотность вещества в точках дуги,
то массу

 дуги

 определяют по формуле:

Статистические моменты

Статистические
моменты

 и

 плоской дуги

 относительно координатных осей

 и

 определяют по формулам:

Моменты инерции

Моменты
инерции

,

 плоской дуги

 относительно координатных осей

 и

 определяют по формулам:

Полярный момент инерции

Полярный
момент инерции

 плоской дуги

 относительно начала координат определяют по
формуле:

Площадь фигуры

Площадь

фигуры, расположенной в плоскости

 и ограниченной замкнутой линией

, вычисляют по формуле:

Работа, приложенная к точке, при перемещении по дуге

Работу, совершаемую силой

 приложенной в точке

 при перемещении ее по дуге

, вычисляют по формуле:

Примеры решения задач

---

Задача 1

Найти
момент инерции относительно оси

 четверти однородной окружности

, расположенной в первом
квадранте.

Решение

Окружность
однородна, следовательно

, следовательно искомый
момент инерции:

Для
удобства вычислений перейдем к параметрическим уравнениям окружности

Тогда:

Ответ:

---

Задача 2

Найти
массу дуги кривой

 от точки

 до

, если плотность в каждой точке
ее равна абсциссе точки;

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Плотность
дуги: 

Искомая масса будет выражаться
криволинейным интегралом 1-го рода:

Производная:

Искомая масса:

Ответ:

.

---

Задача 3

Найти
массу дуги окружности

, лежащей в первой
четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.

Решение

Плотность:

Искомая масса будет
выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:

Параметрическое
уравнение окружности:

Окружность лежит в
первой четверти, поэтому

Ответ:

.

---

Задача 4

Вычислить
работу силы

 при обходе точки ее приложения по границе

 области

 в положительном направлении, начиная от точки

.

Решение

Искомая
работа будет равна криволинейному интегралу 2-го рода:

Для
вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина:

Ответ:

.

---

Задача 5

Вычислить
работу силового поля

 при перемещении материальной точки вдоль пути

.

Решение

Искомая работа будет
выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Параметр

:

Перейдем к
определенному интегралу:

Искомая работа:

Ответ: 

---

Задача 6

Вычислить
работу силы

 при перемещении материальной точки вдоль линии

 от точки

 до точки

.

Решение

Искомая работа будет
выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Криволинейный
интеграл 2-го рода можно свести к определенному интегралу по следующей формуле:

Получаем:

Ответ:

Приложения криволинейного интеграла первого рода

1. Если подынтегральная функция равна единиц, то криволинейный интеграл

равен длине S кривой L, т.е. 

2. Пусть в плоскости Оху задана гладкая кривая L, на которой определена и непрерывна функция двух переменных z=f(x,y)≥0. Тогда можно построить цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующей, параллельной оси Оz и заключенной между L и поверхностью z=f(x,y). Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле

3. Если L=AB – материальная кривая с плотностью, равной ρ=ρ(х,у), то масса этой кривой вычисляется по формуле

(физический смысл криволинейного интеграла первого рода).

4. Статистические моменты материальной кривой L относительно координатных осей Ох и Оу соответственно равны

 

где ρ(х,у) – плотность распределения кривой L а   — координаты центра тяжести (центра масс) кривой L.
5. Интегралы

  

выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью ρ(х,у) относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно.

ПРИМЕРЫ:1. Вычислить криволинейный интеграл

где L – дуга параболы у² = 2х, заключенная между точками (2, 2) и (8, 4).
Найдем дифференциал дуги dl для кривой . Имеем

 

Следовательно, данный интеграл равен

Ответ: 

2. Вычислить криволинейный интеграл

где L – контур треугольника АВО с вершинами А(1,0), В(0,1), О(0,0)
Поскольку

то остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков АВ, ВО и ОА :

1) (АВ): так как уравнение прямой АВ имеет вид у=1 – х, то . Отсюда, учитывая, что х меняется от 0 до 1, получим
2) (ВО): рассуждая аналогично, находим х=0, 0 ≤ у ≤ 1,  откуда

3) (ОА):  .

4) Окончательно

Ответ:  
3. Вычислить криволинейный интеграл

где L – окружность 
Введем полярные координаты   Тогда, поскольку  уравнение окружности примет вид  т.е.  а дифференциал дуги

При этом  Следовательно,

Ответ:  
4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными

где L – дуга кривой, заданной параметрически    
Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для подынтегральной функции:

Теперь выразим через t дифференциал dl:

Таким образом,

Ответ:  

5. Вычислить площадь части боковой поверхности кругового цилиндра  , ограниченной снизу плоскостью О_ху, а сверху поверхностью 
Искомая площадь вычисляется по формуле

где L – окружность x²+y²=R². Поверхность цилиндра и поверхность  симметричны относительно координатных плоскостей О_xz и O_yz, поэтому можно ограничиться вычислением интеграла при условиях у≥0, х≥0, т.е. вычислить четверть искомой площади и результат умножить на 4. Имеем

 

Следовательно,

Получили определенный интеграл, который берем подстановкой  откуда

  

Ответ:  

6. Найти массу четверти эллипса

расположенной в первой четверти, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна ординате этой точки с коэффициентом k.
Поскольку р(х, у)=ky, имеем

L – четверть эллипса

 х≥0, у≥0.

Переходим к параметрическим координатам эллипса  Напомним, что — фокусное расстояние эллипса, а  — эксцентриситет эллипса. Находим 

Переходим к вычислению массы

Воспользуемся формулой

где  Получаем

Учитывая, что  получим окончательно

Ответ:  

7. Найти координаты центра тяжести дуги окружности x²+y²=R²(0≤ x ≤R, 0≤ y ≤R).
Так как по условию задана четверть дуги окружности, то ее длина  В силу того, что биссектриса I координатного угла является осью симметрии, имеем . Теперь находим

Ответ: 
Приложения криволинейного интеграла второго рода

Интеграл 

можно представить в виде скалярного произведения векторов F=Pi+Qi и ds=idx+jdy:

В таком случае

Выражает работу переменной силы F=Pi+Qj при перемещении материальной точки М=М(х,у) вдоль кривой L=AB от точки А до точки В.
При А=В кривая L замкнута, а соответствующий криволинейный интеграл по замкнутой кривой обозначается так:

В этом случае направление обхода контура иногда поясняется стрелкой на кружке, расположенном на знаке интеграла.
Предположим, что в плоскости Оху имеется односвязная область D (это значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой , ( — обозначение границы области D), а в области D и на ее границе  функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными.
Теорема: Пусть А и В – произвольные точки области D, AmB и AnB – два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 2).
Тогда следующие условия равносильны:
1.  (условие Грина).
2.  (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).
3.  (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).
4.  (выражение  представляет собой полный дифференциал некоторой функции ).

В случае выполнения любого из равносильных условий предыдущей теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки (х_о, у_о) и (х₁, у₁) из области D, можно вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница

где U(x, y) – некоторая первообразная для P dx + Q dy. 
С другой стороны, первообразная U(x, y) выражения P dx + Q dy может быть найдена при помощи криволинейного интеграла

В этих же условиях на функции Р(х,у) и Q(х,у), а также на область D, имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу

Здесь предполагается, что обход границы области D в криволинейном интеграле

совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе границы область D остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.
Заметим, что площадь S=S(D) области D может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второговрода:

(эта формула получается из формулы Грина с ).

ПРИМЕРЫ:1. Даны функции Р(х ,у) = 8х+4у+2, Q(х ,у) = 8у+2 и точки А(3, 6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл

где:
1) L – отрезок ОА;
2) L – ломаная ОВА;
3) L – ломаная ОСА;
4) L – парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через точки О и А;
5) проверить выполнимость условия Грина.

1) Отрезок ОА может быть записан в виде: у=2х, . Тогда dy=2dx и

2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам ОВ и ВА. Тогда:
а) ОВ: здесь у=0, 0≤х≤3, т.е. dy=0, откуда

б) ВА: х=3, 0≤у≤6, т.е. dx=0, и

Таким образом,

3) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему.
а) ОС: х=0, (т.е. dx=0), 0≤y≤6, откуда

б) СА: 0≤х≤3 , у=6, dy=0, следовательно,

Окончательно

4) Подставив координаты точки А(3;6) в равенство у=ах² найдем уравнение данной параболы . При этом 0≤х≤3 и  откуда (путь ОА по параболе обозначим )

5) Имеем

т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в пунктах 1) – 4) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.
2. Вычислить интеграл

где L – верхняя половина эллипса  пробегаемая по ходу часовой стрелки.
Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: х=a cost, y=b sin t,  т.е. dx = – a sin t dt, dy = b cos t dt. Подставляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что t меняется от π до 0), получаем
Ответ:  

3. Вычислить криволинейный интеграл

где L – отрезок, соединяющий точку С(2, 3, -1) с точкой D(3, -2, 0).
Составим параметрические уравнения отрезка СD, используя уравнения прямой, проходящей через две точки:

Отсюда . Далее, находим  подставляем все нужные выражения в данный интеграл, обозначенный через J, и вычисляем определенный интеграл:

Ответ: 

4. Вычислить  где К – отрезок прямой от А(0 ;0) до В (4; 3).
Уравнение прямой АВ имеет вид у=(3; 4)х. Находим у^/= ¾ и, следовательно,

Ответ: 

5. Вычислить  если 
Найдем  Тогда

Ответ: 

6. Найти массу М дуги кривой x=t, y=t²/2, z=t³/3 (0≤ t ≤1), линейная плотность которой меняется по закону 

Ответ: 

7. Вычислить криволинейный интеграл  от точки А(1, 0) до точки В(0, 2) (рис. 3):
1) по прямой 2х+у=2;
2) по дуге параболы 4х+у²=4;
3) по дуге эллипса x=cost, y=2sint.
1) Пользуясь данным уравнением линии интегрирования, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный определенный интеграл с переменной х, затем вычисляем его:

у=2-2х, dy=-2dx,

2) Здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной у:

3) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной t, затем вычисляем его: x=cost, dx=-sintdt; y=2sint; dy=2costdt:

Ответ: I₁=1, I₂=-1/5, I₃=4/3. 

8. Вычислить криволинейный интеграл  между точками Е 
(-1, 0) и Н (0, 1):
1) по прямой ЕН;
2) по дуге астроиды х=cos³t, y=sin³t.
1) Вначале составляем уравнение линии интегрирования – прямой ЕН, как уравнение прямой, проходящей через две известные точки: у-х=1.
Пользуясь этим уравнением и известной формулой для дифференциала дуги плоской кривой преобразуем данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной х и вычисляем его:

2) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной t, затем вычисляем:

 ибо π/2≤ t ≤π;

Ответ: 

9. Даны точки А(3, -6, 0) и В(-2, 4, 5). Вычислить криволинейный интеграл 
1) по прямолинейному отрезку ОВ;
2) по дуге АВ окружности, заданной уравнениями x²+y²+z²=45, 2x+y=0.
1) Вначале составляем уравнения линии интегрирования – прямой ОВ.
Пользуясь общими уравнениями прямой, проходящей через две точки  получим  Приравнивая эти равные отношения параметру t, преобразуем полученные канонические уравнения прямой ОВ к параметрическому виду: x=-2t, y=4t, z=5t.
Далее, пользуясь этими уравнениями, преобразуем данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t, затем вычисляем его

2) Преобразуем данные уравнения окружности к параметрическому виду. Полагая х=t, получим у=-2t (из второго данного уравнения),  (из первого уравнения). Отсюда  и

Ответ:  

10. Вычислить криволинейные интегралы:
1) 

2) вдоль периметра треугольника с 

вершинами А(-1,0), В (0,2) и С (2,0)
Составив уравнение прямой АВ, у-2х=2, и исходя из этого уравнения, преобразуем криволинейный интеграл на отрезке АВ в обыкновенный интеграл с переменной х:

у=2х+2, dy=2dx, 

Аналогичным путем вычисляя криволинейный интеграл на отрезках ВС и СА, получим

х=2-у, dx=-dy,

Следовательно,

2) Здесь подынтегральное выражение есть полный дифференциал функции двух переменных, ибо (уcosx)^’_y =(sinx)^’_x =cosx. Вследствии этого данный криволинейный интеграл, взятый по периметру данного треугольника равен нулю. Он будет равен нулю и по любому другому замкнутому контуру.

Ответ: 

11. Найти длину кардиоиды x=2acost-acos2t, y=2asint-asin2t.
Применяем формулу , исходя из данных параметрических уравнений кардиоиды и формулы для дифференциала дуги плоской кривой, преобразуем криволинейный интеграл формулы в обыкновенный интеграл с переменной t.

Ответ: L=16a. 
12. Найти площадь, ограниченную замкнутой кривой:
1) эллипсом x=a cost, y=b sint;
2) петлей декартова листа х³+у³-3аху=0.
1) Применяем формулу , исходя из данных параметрических уравнений эллипса, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t и вычисляем его:

2) Вначале преобразуем данное уравнение к параметрическому виду. Полагая у=хt, получим 
Геометрический параметр t=y/x есть угловой коэффициент полярного радиуса ОМ (рис. 6), точка М(х, у) опишет всю петлю кривой при изменении t от 0 до +∞.
Преобразуя криволинейный интеграл формулы  в обыкновенный интеграл с переменной t , получим

Ответ: S=3a²/2. 

13. Найти массу дуги АВ кривой у=lnx, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки: х_А=1, х_В=3.
Применяем формулу , исходя из данного уравнения кривой, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной х

Ответ: 

14. Найти координаты центра тяжести дуги АВ винтовой линии х=аcost, y=asint, z=bt, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна аппликате этой точки: t_A=0, t_B=π.
Применяя формулы  вычислим криволинейные интегралы, преобразуя их в обыкновенные интегралы с переменной t:

Следовательно, 
Ответ: 

15. Вычислить работу, совершаемую силой тяжести при перемещении точки массы m по дуге АВ некоторой кривой.
Если выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы направление оси О_z совпало с направлением силы тяжести, то действующая на точку сила  а ее проекции на оси координат F_x=P=O, F_y=Q=0, F_z=R=mg.
Искомая работа согласно формуле 

Она зависит только от разности аппликат начала и конца пути, но не зависит от формы пути.

16. Найти работу силового поля, в каждой точке (х,у) которого напряжение (сила, действующая на единицу массы) , когда точка массы m описывает окружность x=accost, y=asint, двигаясь по ходу часовой стрелки.
Подставляя в формулу  проекции силы  действующей на точку: F_x=m(x+y), F_y= – mx, и преобразуя криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t, получим

Ответ: Е=2πma².

Библиографический список

1. Лунгу К.Н.  Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 7-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2008.
2. Лунгу К.Н.  Сборник задач по высшей математике. 2 курс – 5-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2007.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008.

---

Все статьи автора «Рабчук Александр Викторович»

Соберем в одном месте все формулы.

Масса [math]m[/math] гладкой кривой[math]L[/math], линейная плотность которой вдоль кривой [math]L[/math] равна [math]gamma(x,y,z)[/math], выражается криволинейным интегралом первого рода:

[math]m=int_{L}gamma(x,y,z);dl[/math]

Криволинейный интеграл равен обычному и совсем не опасному интегралу функции одной переменной :

* Если кривая задана параметрическими уравнениями [math]x=x(t), y=y(t), z=z(t),hspace{2mm}tin[alpha,beta][/math], то

[math]m=int_{alpha}^{beta}gamma(x(t),y(t),z(t))sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)};dthspace{10mm}(1)[/math]

* Если кривая лежит в плоскости [math]Oxy[/math], то [math]z(t)=0[/math] и получаем

[math]m=int_{alpha}^{beta}gamma(x(t),y(t))sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2};dthspace{37mm}(2)[/math]

В частности, для плоской кривой, заданной уравнением [math]y=f(x), xin[a,b][/math] имеем

[math]m=int_{a}^{b}gamma(x,f(x))sqrt{1+f'(x)^2};dxhspace{47mm}(3)[/math]

* Если плоская кривая задана уравнением [math]rho=rho(phi}), hspace{3mm}phiin[alpha,beta][/math] в полярных координатах, то

[math]m=int_{alpha}^{beta}gamma(rhocosphi,rhosinphi)sqrt{rho^2+rho ‘^2};dphihspace{45mm}(4)[/math]

————————————————————————
В данной задаче надо применить формулу (3):

[math]gamma(x,y)=frac{2sqrt x-y}{sqrt{1+frac{1}{x}}},hspace{3mm}y=f(x)=2sqrt x-1, hspace{3mm}xin [0,4][/math]

[math]gamma(x,f(x))=frac{2sqrt x -(2sqrt x-1)}{sqrt{1+frac{1}{x}}}=frac{1}{{sqrt{1+frac{1}{x}}}[/math]

Так как
[math]f'(x)=frac{1}{sqrt x}[/math]
то
[math]sqrt{1+f'(x)^2}=sqrt{1+frac{1}{x}}[/math]

И получаем миленький интегральчик.

Предположим,
что кусок проволоки описывается некоторой
пространственной кривой C.
Пусть масса распределена вдоль этой
кривой с плотностью ρ (x,y,z).
Тогда общая масса
кривой выражается
через криволинейный интеграл первого
рода

Если
кривая C задана
в параметрическом виде с помощью
векторной функции 
,
то ее масса описывается формулой

В
случае плоской кривой, заданной в
плоскости Oxy,
масса определяется как

или
в параметрической форме

2.16
понятие момента фиксированного порядка
n>1, n=1
и соответствующегося ему центра у массы
вдоль кривой.

Центр
масс и моменты инерции кривой

Пусть
снова кусок проволоки описывается
некоторой кривой C,
а распределение массы вдоль кривой
задано непрерывной функцией
плотности ρ (x,y,z).
Тогда координаты
центра масс кривой определяются
формулами

где

−
так
называемые моменты
первого порядка. 

Моменты
инерции относительно осей Ox, Oy и
Oz определяются
формулами

3.Вопросы потеме «кратные интыгралы»

3.2 Свойство аддитивности кратного интеграла

• Аддитивность
  по множеству интегрирования. Пусть
  множества G₁ и
  G₂ измеримы, 
   и 
  .
  Пусть также функция f определена и
  интегрируема на каждом из множеств
  G₁ и
  G₂.
  Тогда интеграл по G существует и равен

.

.3.3. свойство
линейности для кратного интеграла

Линейность
по функции.
Пусть 
 измеримо,
функции 
 и 
 интегрируемы
на 
,
тогда

.

3.4.Сведенья кратного интеграла к интегралам одной переменной.

Кратным
(n-кратным) интегралом функции 
 на
множестве 
 называется число 
 (если
оно существует), такое что, какой бы
малой 
-окрестностью
числа 
 мы
ни задались, всегда найдется такое
разбиение множества 
 и
набор промежуточных точек, что сумма
произведений значения функции в
промежуточной точке разбиения на меру
разбиения будет попадать в эту окрестность.
Формально:

 : 
 : 

Здесь 
 —
мера множества 
.

Это
определение можно сформулировать в
другой форме с использованием интегральных
сумм. А именно, для данного разбиения 
 и
множества точек 
 рассмотрим
интегральную сумму

Кратным
интегралом функции 
 называют
предел

если
он существует. Предел берётся по множеству
всех последовательностей разбиений, с
мелкостью стремящейся к 0. Разумеется,
это определение отличается от предыдущего,
по сути, лишь используемым языком.

Интеграл
обозначается следующим образом:

• В
  векторном виде: 
  ,

• Либо
  ставят значок интеграла 
   раз,
  записывают функцию и 
   дифференциалов: 
  .

• Для
  двойного и тройного интегралов
  используются также
  обозначения 
   и 
   соответственно.

В
современных математических и физических
статьях многократное использование
знака интеграла не применяется.

Такой
кратный интеграл называется интегралом
в собственном смысле.

4.1 два
типа криволинейногоинтеграла

Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги)

Пусть
в некоторой области D плоскости хоу (см.
рис. 1) задана непрерывная функция f(x,
y)
и гладкая незамкнутая кривая L между
точками А, В.

Рис.
1

Составим
интегральную сумму по уже известному
алгоритму. Разобьём кривую L точками

А = А₀, А₁,
…, А_п = В

на п произвольных
участков l_i, обозначив
через 
 длину i-го
участка кривой между точками А_i-1, A_i,
где I =
1, 2, …,п.

В
каждом i-том
участке выберем произвольно точку 
 и
подсчитаем в ней значение функции f_i = f(M_i).

Просуммировав
произведения 
по
всем i =
1, 2, …, п,
получим интегральную сумму

.

Предел
этой интегральной суммы, если он
существует и не зависит от типа разбиения
дуги L и
способа нахождения точек M_i, где i =
1, 2, …, п,
называется криволинейным интегралом первого типа от функции f(x,
y),
взятым по кривой L,
и обозначается

где 
.

Этому
интегралу можно придать вполне
определённый физический смысл: если в
каждой точке дуги L задана
переменная плотность 
 —
функция точки, то можно подсчитать массу
материальной дуги АВ:

.
(1)

Сравните
с задачей о вычислении массы неоднородного
стержня, приводящей к понятию определённого
интеграла .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Пусть: 1) в точках простой (без точек самопересечения), спрямляемой (т. е. имеющей длину) кривой L из пространства определена ограниченная скалярная функция 2) — произвольное разбиение кривой L на элементарные дуги с длинами ; 3) — произвольный набор точек; 4)— интегральная сумма, соответствующая данному разбиению кривой L и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения кривой L, ни от выбора точек , называется Криволинейным интегралом первого рода от функции по кривой L: .

Вычисление КИ-1. Теорема 14.6. Если кривая l задана параметрическими уравнениями: , где — непрерывно дифференцируемые по T функции и возрастание длины L дуги кривой соответствует возрастанию T, то в предположении существования определенного интеграла имеет место равенство

. (5.1)

Следствия.

А) Если плоская кривая L задана Явно: , и , то

. (5.2)

Б) Если плоская кривая L задана в Полярных координатах: , то

. (5.3)

Некоторые приложения КИ-1

1. Масса материальной линии. Пусть , — линейная плотность массы материальной линии l. Тогда масса этой линии есть:

. (5.4)

2. Длина пространственной (или плоской) кривой L есть L: .

3. Статические моменты и координаты центра тяжести.

а) Для Плоской линии c плотностью и массой M статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox:

, ;

Координаты центра тяжести:

, .

Б) Для Пространственной линии L c плотностью и массой M статические моменты относительно плоскостей и Oxy:

, , ;

координаты центра тяжести:

, , .

Пример 17. Вычислить КИ-1: , где L – прямолинейный отрезок, соединяющий точки и .

Ñ Уравнения отрезка прямой AB в параметрической форме: , или . Тогда и из (5.1) имеем

=.

Замечание. В случае явного задания отрезка прямой следует воспользоваться формулой (5.2). #

Пример 18. Вычислить КИ-1: , где L – кривая, заданная уравнением при условии .

Ñ Для построения кривой L преобразуем уравнение ее к виду ; таким образом, L есть полуокружность с центром в точке радиуса 1, расположенная слева от оси Oy (рис. 14.22).

Наличие комбинации в подынтегральной функции и в уравнении L наводит на мысль провести вычисления в полярных координатах, которые связаны с декартовыми координатами формулами . Тогда: из
Рис. 14.22

получаем – уравнение L в полярных координатах; из рис. 14.22 (или условий , , следует: ; , = ==, и из (5.3) . #

Пример 19. Найти массу одного витка материальной винтовой линии , , (рис. 14.23),

Если линейная плотность в точке обратно пропорциональна квадрату расстояния этой точки от начала координат.

Ñ По условию задачи плотность +

=, где K – коэффициент про-

Порциональности, . Для одного витка . Из формул (5.4) и (5.1) имеем: =

= . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы первого рода:

81. , где L – отрезок прямой , заключенный между точками и .

82. , где L – контур прямоугольника с вершинами: .

83. , где L – дуга параболы , отсеченная параболой .

84. , где L – первая арка циклоиды .

85. , где L— половина лемнискаты .

86. , где L – часть спирали Архимеда , заключенная внутри круга радиуса R с центром в точке .

87. , где L – первый виток конической винтовой линии , , .

88. , где L –четверть окружности , лежащая в первом октанте.

89. , где L – дуга гиперболы , .

90. , где L – дуга астроиды в первом квадранте.

91. Найти массу первого витка винтовой линии , плотность которой в каждой точке равна полярному радиусу этой точки.

92. Найти массу линии , , от точки, соответствующей T=0, до произвольной точки, если плотность в каждой точке обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке Равна единице.

93. Найти массу дуги параболы , если линейная плотность в текущей точке равна .

Вычислить координаты центра тяжести дуги однородной кривой :

94. , от точки До точки .

95. .

96. .

< Предыдущая		Следующая >