Как найти массу математического маятника формула

Формулы математического маятника в физике

Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

[ddot{varphi }+{omega }^2_0varphi =0 left(1right),]

где $varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$

[varphi (t)={varphi }_0{cos left({omega }_0t+alpha right)left(2right), }]

где $alpha $ — начальная фаза колебаний; ${varphi }_0$ — амплитуда колебаний; ${omega }_0$ — циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

[ {omega }_0=sqrt{frac{g}{l}}left(3right).]

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

[T=frac{2pi }{{omega }_0}=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(4right).]

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

[E=E_k+E_p=frac{mv^2}{2}+mgh=frac{mv^2}{2}+frac{mgx^2}{2l}=constleft(5right),]

где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:

[varphi =frac{x}{l}left(6right).]

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

[E_{pmax}=mgh_m=frac{mg{x^2}_m}{2l}left(7right);;]

Максимальная величина кинетической энергии:

[E_{kmax}=frac{mv^2_m}{2}=frac{m{omega }^2_0{x^2}_m}{2l}=E_{pmax}left(8right),]

где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={omega }_0x_m$ — максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Читать дальше: формулы пружинного маятника.

Содержание:

Пружинные и математические маятники:

Тело или система тел, совершающие периодические колебательные движения, называются маятниками. Большинство колебательных движений, встречающихся в природе, напоминают движение пружинных и математических маятников.

Система, состоящая из груза массой

Если немножко растянуть пружину и отпустить, то груз придет в колебательное движение в вертикальном направлении.
С помощью опытов мы определили, что смещение груза в зависимости от времени изменяется следующbм образом:

Если учесть, что ускорение тела, совершающего гармонические колебания  , то уравнение (5.10) примет вид:

Из этого уравнения мы имеем:

 

Значит, частота циклического колебания тела, совершающего гармоническое колебание, зависит от параметров тел, входящих в систему колебания. Формула (5.12) называется формулой для
определения циклической (периодической) частоты пружинного маятника.

Период колебания пружинного маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению массы груза и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению упругости пружины.
Рассмотрим обмен энергиями в пружинном маятнике. Кинетическая энергия маятника, если не учитывать массу пружины, равна кинетической энергии груза, . В предыдущих темах было показано, что скорость можно выразить формулой . В таком случае кинетическая энергия маятника равна

Потенциальная энергия пружинного маятника равна энергии деформации пружины, т.е.:

В большинстве случаев важно знать полную энергию системы:

Если учесть, что ,

Обратите внимание, что полная энергия пружинного маятника является постоянной величиной, не зависящей от времени, т.е. соблюдается выполнение закона сохранения механической энергии. 
Материальная точка, подвешенная на нерастяжимой и невесомой нити и совершающая периодическое колебательное движение вокруг равновесного состояния, называется математическим маятником. 

Когда маятник находится в устойчивом равновесном состоянии, вес материальной точки уравновешивает силу натяжения  (рис. 5.4), так как их модули равны и направлены по одной линии в противоположные стороны. Если наклонить маятник на угол , силы  и не смогут уравновесить друг друга из-за взаимного расположения под углом. В результате сложения таких сил появится возвращающая сила, которая вернет маятник в равновесное состояние. Если отпустить маятник, то под воздействием возвращающей силы он начинает двигаться в сторону равновесного состояния.

Из рис. 5.4. видим, что:

Согласно второму закону Ньютона, сила придает материальной точке ускорение , поэтому

Из-за того, что угол наклона очень маленький , а сила  направлена противоположно смещению, формулу (5.19) можно записать в виде

Если смещение материальной точки (шарика) во время колебательного процесса отметить буквой и учитывать соотношение , получим 
Следовательно
Исходя из смысла периода колебания и учитывая, что  получаем

Эта формула, определяющая период колебания математического маятника, называется формулой Гюйгенса. Отсюда вытекают следующие законы математического маятника:

1. при маленьких углах наклона (а) математического маятника, его период колебания не зависит от амплитуды колебания. 
2. период колебания математического маятника также не зависит от массы подвешенного на него груза;
3. период колебания математического маятника прямо пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению длины маятника и обратно пропорционален выведенному из-под квадратного корня значению ускорения свободного падения.

Отсюда колебание математического маятника записывается следующим выражением:

Следует отметить, что когда амплитуда колебания или угол наклона велики, колебания математического маятника не являются гармоническим. В этом случае нельзя считать  и для решения уравнения движения не применяется закон синусов или косинусов.
 

Пример:

Период колебания первого маятника равен 3 сек, второго – 4 сек. Найдите период колебания маятника с длиной, равной сумме длин этих маятников.

Дано:

Найти:

Формула:

Решение:

Ответ: 5 cек.

Пружинный и математический маятники

Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально массе материальной точки:

Закон Гука: модуль силы упругости , возникающей в теле при упругих деформациях, прямо пропорционален его абсолютному удлинению (сжатию) :

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела.

Рассмотрим пружинный маятник, представляющий собой колебательную систему, образованную грузом на пружине.

Пусть груз массой т, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 3). Второй конец пружины закреплен относительно данной инерциальной системы отсчета (ИСО).

Выведем груз из положения равновесия, сместив его на расстояние х вправо. В пружине возникнет сила упругости  направленная влево.

Запишем второй закон Ньютона для движения груза:

В проекции на ось Ох действующих на груз сил с учетом закона Гука получаем

или  

Следовательно,

Это уравнение аналогично уравнению гармонических колебаний

Сравнивая эти два уравнения, находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника:

Тогда период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле

Как следует из полученной формулы, период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греческих слов , — равный и — время). Таким образом, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности.

Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения грузика, подвешенного на нити. Моделью данной колебательной системы является математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка массой т, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле каких-либо сил, например силы тяжести Земли (рис. 4).

Математический маятник — это идеализированная модель реального маятника при условии, что длина нити намного больше размеров подвешенного на ней тела и масса нити намного меньше массы тела. Кроме того, деформацией нити можно пренебречь.

Галилео Галилей экспериментально определил, что период малых колебаний (9 < 10°) математического маятника в поле силы тяжести не зависит от его массы и амплитуды колебаний (угла начального отклонения ). Он установил также, что период этих колебаний прямо пропорционален .

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:

При углах отклонения математического маятника 20° погрешность расчета периода колебаний математического маятника по формуле Гюйгенса не превышает 1 %.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом (см. рис. 4), который нить образует с вертикалью.

Согласно второму закону Ньютона для движения шарика можем записать:

Смещение маятника вдоль дуги х = l, где угол выражен в радианах. Возвращающей силой в данном случае является проекция силы тяжести на касательную к дуге (см. рис. 4), которая определяется по формуле:

Заметим, что при малых углах и длина дуги

очень мало отличается от длины хорды  Для небольших углов (до 10°) значения и sin различаются меньше чем на I %. Поэтому для таких углов равенство

    (1)

является очень хорошим приближением.

Подставляя в выражение (1) значение, получим

Таким образом, уравнение движения маятника запишется в виде

Поскольку полученное уравнение совпадает с уравнением гармонических колебаний , то можно сделать вывод, что при малых отклонениях маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

Как видно из этой формулы, циклическая частота не зависит от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяется только его длиной и ускорением свободного падения.

В общем случае, когда маятник находится в однородных полях нескольких сил, для определения периода колебаний следует ввести «эффективное ускорение» , характеризующее результирующее действие этих полей, и период колебаний маятника будет определяться по формуле

Пример:

Определите амплитуду А, циклическую частоту , период Т и начальную фазу колебаний тела массой m = 0,50 кг, подвешенного к вертикальной пружине (рис. 5). Известно, что в состоянии покоя тело растягивает пружину на = 10 мм и для возбуждения колебаний его смещают вниз на x = 30 мм и отпускают.

Решение

Циклическая частота колебаний «вертикального» пружинного маятника также определяется по формуле

Найдем жесткость k пружины. Из условия равновесия тела следует

По закону Гука

В проекции на ось Ох условие равновесия запишется в виде:

Отсюда для циклической частоты получаем

Так как по условию задачи тело сместили на расстояние х = 30 мм от положения равновесия, то амплитуда его колебаний

Период колебаний находим из соотношения

Поскольку в начальный момент времени тело было смещено на максимальную величину, то начальная фаза колебаний
Ответ:

Пример:

Металлический шарик, подвешенный на длинной легкой нерастяжимой нити, поднимают по вертикали до точки подвеса и отпускают. Затем нить маятника отклоняют на небольшой угол от вертикали и также отпускают. В каком из этих случаев шарик быстрее возвратится в начальное положение?

Решение

В первом случае шарик свободно падает без начальной скорости с высоты h = l, следовательно,

Отсюда находим промежуток времени , необходимый для возвращения шарика в начальное положение:

Во втором случае промежуток времени , необходимый шарику для возвращения из отклоненного положения в положение равновесия, найдем из уравнения гармонических колебаний

Поскольку в начальный момент времени t = 0 маятник имеет максимальное

отклонение от положения равновесия, то начальная фаза колебаний Так как в положении равновесия x = 0, то

Используя формулу для периода колебаний математического маятника

находим  

Разделив почленно уравнения для промежутков времени получим

Ответ: шарик быстрее возвратится в начальное положение в случае, когда он движется вертикально вниз.

Пример:

Найдите периоды колебаний математического маятника длиной l= 1,0 м при перемещении его точки подвеса с ускорением, модуль которого а = , направленным: а) вертикально вверх; б) вертикально вниз.

Решение

Период колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли

а) При движении маятника с ускорением , направленным вверх (рис. 6, а), уравнение движения вдоль оси Оу

где Fy — проекция силы упругости нити.
Откуда находим

где g* = g + а — «эффективное ускорение».
Период колебаний определяется по формуле

б) При движении точки подвеса маятника с ускорением , направленным вниз (рис. 6, б), уравнение движения вдоль оси Оу

где Fy — проекция силы упругости нити. Откуда находим

где g*=g-a — «эффективное ускорение». Период колебаний  

Ответ:

Что такое пружинный и математический маятники

Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение тела прямо пропорционально результирующей силе и обратно пропорционально массе тела:

Закон Гука: при упругих деформациях сжатия и растяжения модуль силы упругости прямо пропорционален модулю изменения длины тела:

где  — жесткость тела,   — длина недеформированного тела,  -длина деформированного тела.

Колебательная система, состоящая из тела с прикрепленной к нему пружиной, называется пружинным маятником. Пружина может располагаться как вертикально (вертикальный пружинный маятник), так и горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).

Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника. Пусть груз массой  лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплен к свободному концу легкой (невесомой) пружины жесткостью  (рис. 6). Второй конец пружины неподвижен относительно данной инерциальной системы отсчета (ИСО).

Выведем груз из положения равновесия, сместив его на расстояние  вправо (см. рис. 6). Тогда в пружине возникнет сила упругости  действующая на груз и направленная влево.

Согласно второму закону Ньютона для движения груза

В проекции на ось  действующих на груз сил (см. рис. 6) с учетом закона Гука получаем:

или

 Перепишем полученное соотношение в виде:

которое является уравнением гармонических колебаний пружинного маятника.

Сравнивая (1) с уравнением гармонических колебаний  находим циклическую частоту колебаний горизонтального пружинного маятника

которая определяется массой  груза и жесткостью  пружины.

Для нахождения периода колебаний пружинного маятника воспользуемся формулой  подставив в нее выражение (2):

Как следует из формул (2) и (3), период и частота колебаний пружинного маятника не зависят от амплитуды его колебаний (в пределах выполнимости закона Гука).

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греч.  (изос) — равный и  (хронос) — время). Следовательно, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности.

Изохронность колебаний маятника была открыта Гали-лео Галилеем в 1583 г. при изучении движения груза, подвешенного на нити. Моделью данной колебательной системы является математический маятник.

Колебательная система, состоящая из находящегося в поле силы тяжести тела, подвешенного на легкой нерастяжимой нити, размеры которого малы по сравнению с длиной нити, а его масса значительно больше массы нити, называется математическим маятником. При таких условиях тело можно считать материальной точкой, а нить — легкой нерастяжимой (рис. 7).

Рассмотрим колебания математического маятника.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом  (см. рис. 7), который нить образует с вертикалью.

После отклонения маятника на него действуют две силы: направленная вертикально вниз сила тяжести  и направленная вдоль нити сила упругости  Под действием этих сил тело движется по дуге окружности к устойчивому положению равновесия.

Согласно второму закону Ньютона для движения маятника можем записать:

В проекциях на выбранные оси координат  (см. рис. 7) получаем:

Для углов отклонения  значения  различаются меньше чем на 1 %. Поэтому при малых углах отклонения  и длина дуги  очень мало отличается от длины хорды  где угол  выражен в радианах. Тогда смещение маятника вдоль дуги  Но практически маятник движется вдоль оси  Из  находим  и, подставив это выражение в (5), получим:

Таким образом, силой, возвращающей маятник к устойчивому положению равновесия, является сила упругости его нити.

При малых углах отклонения маятника проекция вектора ускорения  и ею можно пренебречь, а  тогда из уравнения (6) следует, что 

Следовательно, уравнение движения маятника вдоль оси  запишется в виде:

где  — ускорение, сообщаемое грузу маятника силой упругости нити.

Отсюда получаем уравнение гармонических колебаний математического маятника:

При сравнении уравнения (8) с уравнением гармонических колебаний  можно сделать вывод, что при малых отклонениях математический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

Тогда период малых колебаний математического маятника в поле тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:

которую впервые получил ученик И. Ньютона Христиан Гюйгенс.

При углах отклонения математического маятника  погрешность рас-чета периода колебаний математического маятника по формуле Гюйгенса не превышает 1 %.

Как видно из формул (9) и (10), циклическая частота и период математического маятника не зависят от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяются только его длиной  и модулем ускорения свободного падения 

Галилео Галилей первый экспериментально определил, что период малых колебаний  математического маятника длиной  в поле силы тяжести не зависит от его массы  и амплитуды колебаний (угла начального отклонения  Он установил также, что период этих колебаний прямо пропорционален 

Если маятник приобретает дополнительное ускорение  обусловленное, например, ускоренным движением точки подвеса, то при этом будет изменяться сила упругости нити. В таком случае период колебаний маятника будет определяться по формуле:

где  — «эффективное ускорение», равное векторной разности 

• Заказать решение задач по физике

Пример:

Выведите формулу для периода колебаний вертикального пружинного маятника, если масса груза  и жесткость пружины 

Решение

Рассмотрим вертикальное движение груза, происходящее под действием силы упругости пружины и силы тяжести груза после толчка. Начало координат поместим в точку, соответствующую равновесному положению тела (рис. 8). В этом положении пружина растянута на величину  определяемую соотношением:

При смещении груза на величину  из положения равновесия сила, действующая со стороны пружины на груз, равна 

Тогда по второму закону Ньютона

С учетом соотношения (1) это уравнение перепишем в виде:

Если ввести обозначение  то уравнение движения груза запишется в виде:

Оно описывает гармонические колебания вертикального пружинного маятника с частотой такой же, как у горизонтального пружинного маятника. Следовательно, период колебаний вертикального пружинного маятника такой же, как и горизонтального:

Ответ: 

Таким образом, действующая в колебательной системе постоянная сила только смещает положения равновесия, но не изменяет частоту колебаний.

Пример:

Определите амплитуду  циклическую частоту  период  и начальную фазу  колебаний тела массой г подвешенного к вертикальной пружине (рис. 9). Известно, что в состоянии покоя тело растягивает пружину на расстояние  мм и для возбуждения колебаний его смещают вниз на расстояние  мм от положения равновесия и отпускают.

Дано:    

Решение

Циклическая частота колебаний вертикального пружинного маятника так же, как и горизонтального, определяется по формуле (см. пример 1):

Для нахождения жесткости к пружины запишем условие равновесия тела:

По закону Гука

В проекции на ось  условие равновесия запишется:

Отсюда для циклической частоты  получаем:

Амплитуда колебаний маятника определяется начальным смешением:

 Период колебаний находим из соотношения:

Поскольку в начальный момент времени тело было смещено на максимальную величину, то начальная фаза колебаний 

Ответ: 

Подробное объяснение пружинного и математического маятника

Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально равнодействующей всех сил, действующих на нее, и обратно пропорционально массе материальной точки:

Закон Гука: модуль силы упругости возникающей в теле при упругих деформациях, прямо пропорционален его абсолютному удлинению (сжатию)

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела.

Простейшая колебательная система может быть получена с использованием груза и пружины.

Прикрепим груз массой m, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности, к невесомой упругой пружине жесткостью k, второй конец которой зафиксирован (рис. 181). Такая система называется пружинным маятником.
Запишем второй закон Ньютона для этой системы

В проекции на ось Ох с учетом закона Гука получаем
или

Запишем это уравнение в форме, аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний

находим циклическую частоту колебаний пружинного маятника

Тогда период колебаний пружинного маятника можно найти по формуле

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды, открытое Галилеем, называется изохронностью (от греческих слов — равный и — время).

Как видим, пружинный маятник обладает свойством изохронности, поскольку период его колебаний не зависит от амплитуды.

Одной из наиболее распространенных колебательных систем является математический маятник.

Математическим маятником называется материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l в поле каких-либо сил, например силы тяжести Земли (рис. 182).

Галилео Галилей экспериментально установил, что период колебаний математического маятника в поле силы тяжести не зависит от его массы и амплитуды колебаний (угла начального отклонения). Он установил также, что период колебаний прямо пропорционален

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:

При углах отклонения математического маятника погрешность формулы Гюйгенса не превышает 1 %.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом который нить образует с вертикалью.
Из второго закона Ньютона следует (см. рис. 182):

Смещение маятника вдоль дуги где угол выражен в радианах.

Возвращающей силой в данном случае является проекция на касательную к дуге силы тяжести (см. рис. 182), которая определяется по формуле

Заметим, что при малых углах длина дуги АВ = х = очень мало отличается от длины хорды так как при малых

Для небольших углов (до 10°) значения различаются меньше чем на 1 %. Поэтому для таких углов равенство
является очень хорошим приближением.

Используя полученное соотношение между координатой х и углом находим Подставляем его в выражение для проекции силы:

Таким образом, уравнение движения маятника запишется в виде

Поскольку полученное уравнение совпадает с уравнением гармонических колебаний то можно сделать вывод, что при малых отклонениях маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

Как видно из этой формулы, циклическая частота не зависит от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяется только его длиной и ускорением свободного падения.

В общем случае, когда маятник находится в однородных полях нескольких сил, для определения периода колебаний следует ввести «эффективное ускорение» характеризующее результирующее действие этих полей, и период колебаний маятника будет определяться по формуле

Математический и пружинный маятники и энергия колебаний

Колебательные движения очень разнообразны. При этом существует «классика» колебательных движений — они описаны сотни лет назад, их изучением занимались Галилео Галилей (1564– 1642) и Христиан Гюйгенс (1629–1695). Это колебания пружинного и математического маятников.

Колебания пружинного маятника

Пружинный маятник — это колебательная система, представляющая собой закрепленное на пружине тело.

Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника — тележки массой m, закрепленной на пружине жесткостью k. Будем считать, что силы трения, действующие в системе, пренебрежимо малы, а значит, колебания маятника незатухающие (их амплитуда с течением времени не изменяется, а полная механическая энергия системы сохраняется). При этом потенциальная энергия деформированной пружины будет превращаться в кинетическую энергию движения тележки, и наоборот.

Колебания пружинного маятника:

Обратите внимание! В течение всего времени колебания сила упругости направлена в сторону, противоположную смещению тележки, — сила упругости все время «толкает» тележку к положению равновесия.

Итак, причины свободных колебаний пружинного маятника: 1) действующая на тело сила всегда направлена к положению равновесия; 2) колеблющееся тело инертно, поэтому оно не останавливается в положении равновесия (когда равнодействующая сил становится равной нулю), а продолжает движение в том же направлении.

Как вычислить период колебаний пружинного маятника

Рассмотрим колебания тележки, закрепленной на горизонтальной пружине, с точки зрения второго закона Ньютона (рис. 20.1). Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторном виде:

Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры уравновешивают друг друга, поэтому . Спроецировав это уравнение на ось ОХ и воспользовавшись законом Гука получим: .

Последнее уравнение можно записать в виде Таким образом, колебания тележки на пружине являются гармоническими колебаниями, а циклическая частота этих колебаний равна:

Приняв во внимание, что , получим формулу для вычисления периода колебаний пружинного маятника:

Обратите внимание! Период колебаний пружинного маятника не зависит ни от амплитуды колебаний, ни от места расположения маятника (на поверхности Земли или Луны, в космическом корабле и т. д.), — он определяется только характеристиками самой колебательной системы «тело — пружина». Если период Т колебаний тела и жесткость k пружины известны, можно найти массу m тела. Такой способ определения массы используют в состоянии невесомости, когда обычные весы не работают.

Что называют математическим маятником

Любое твердое тело, которое совершает или может совершать колебания относительно оси, проходящей через точку подвеса, называют физическим маятником. Примером может быть игрушка, подвешенная на нити в салоне автомобиля. Если игрушку вывести из положения равновесия, она начнет колебаться. Однако изучать такие колебания сложно: их характер определяется размерами и формой игрушки, свойствами нити и другими факторами.

Чтобы размеры тела не влияли на характер его колебаний, следует взять нить, длина которой намного больше размеров тела, а масса незначительна по сравнению с его массой. В таком случае тело можно считать материальной точкой. А чтобы во время колебаний тело все время находилось на одинаковом расстоянии от точки подвеса, нить должна быть нерастяжимой. Таким образом будет получена физическая модель — математический маятник.

Математический маятник — это физическая модель колебательной системы, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити, и гравитационного поля.

Колебания математического маятника

Возьмем небольшой, но достаточно тяжелый шарик и подвесим его на длинной нерастяжимой нити — такой маятник можно считать математическим. Если отклонить шарик от положения равновесия и отпустить, то в результате действия гравитационного поля Земли (силы тяжести) и силы натяжения нити шарик начнет колебаться около положения равновесия. Поскольку сопротивление воздуха пренебрежимо мало, а силы, действующие в системе, являются консервативными, полная механическая энергия шарика будет сохраняться: потенциальная энергия шарика будет превращаться в его кинетическую энергию, и наоборот.

Рассмотрите колебательное движение шарика (рис. 20.2). Объясните причины его движения. Какие происходят превращения энергии?

Как вычислить период колебаний математического маятника

Математический маятник, отклоненный от положения равновесия на небольшой угол (3–5°), будет совершать гармонические колебания, то есть ускорение его движения все время будет прямо пропорционально смещению и направлено в сторону, противоположную смещению:

Для математического маятника: . Поскольку , имеем формулу для периода колебаний математического маятника:

где l — длина маятника; g — ускорение свободного падения.

Данную формулу впервые получил в XVII в. голландский ученый Христиан Гюйгенс, поэтому ее называют формулой Гюйгенса.

Период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника, а определяется только длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где расположен маятник. Поэтому, измерив длину нити и период колебаний маятника, можно определить ускорение свободного падения в данной местности.

Пример:

Уравнение колебаний груза массой 1 кг на пружине имеет вид: (cм). Найдите полную механическую энергию колебаний; наибольшую скорость груза; кинетическую и потенциальную энергии системы через с после начала отсчета времени. Трением пренебречь.

Решение:

Трение отсутствует, поэтому полная механическая энергия сохраняется:

Сравним уравнение колебаний в общем виде с уравнением, приведенным в задаче:

Поскольку

Определив удлинение пружины через, вычислим потенциальную и кинетическую энергии пружины:

Выводы:

Содержание:

Что такое математический маятник (осциллятор)

Колебания математического маятника

Свойства маятника

Период математического маятника

Практическое применение математического маятника

Математический маятник, видео

Что такое математический маятник (осциллятор)

Представьте себе некую механическую систему, которая состоит из некой материальной точки (тела), которая висит на нерастяжимой невесомой нити (при этом масса нити ничтожно мала по сравнению с массой тела). Вот такая механическая система и является маятником или осциллятором, как его еще называют. Впрочем, могут быть и другие виды такого устройства.

Чем же математический маятник, осциллятор интересен для нас? Дело в том, что с его помощью можно проникнуть в суть многих интересных природных явлений в физике.

[custom_ads_shortcode1]

Колебания математического маятника

Формула периода колебания математического маятника впервые была открыта голландским ученым Гюйгенсом в далеком XVII веке. Будучи современником Исаака Ньютона, Гюйгенс был очень увлечен такими вот маятниками, увлечен настолько, что даже изобрел специальные часы с маятниковым механизмам, и часы эти были одними из самых точных для того времени.

Маятниковые часы Гюйгенса.

Появление подобного изобретения сослужило большую пользу физике, особенно в сфере физических экспериментов, где точное измерение времени является весьма важным фактором. Но вернемся к маятнику, итак, в основе работы маятника лежат его колебания, которые можно выразить формулой, точнее следующим дифференциальным уравнением:

x + w2 sin x = 0Где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); w – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (w = √ g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Помимо, собственно колебаний маятник может пребывать и в положении равновесия, при этом сила тяжести, действующая на него, будет уравновешиваться силой натяжения нити. Обычный плоский маятник, пребывающий на нерастяжимой нити, является системой с двумя степенями свободы. Но если, к примеру, нитку заменить на стержень, тогда наш маятник станет системой лишь с одной степенью свободы, так как его движения будут двухмерными, а не трехмерными.

Но если же наш маятник все-таки пребывает на нити и при этом совершает интенсивные колебания вверх-вниз, тогда механическая система приобретает устойчивое положение, именуемое «верх тормашками», еще ее называют маятником Капицы.

[custom_ads_shortcode2]

Свойства маятника

У маятника есть ряд интересных свойств, подтвержденных физическими законами. Так период колебаний всякого маятника зависит от таких факторов, как его размер, форма тела, расстояние между центром тяжести и точкой подвеса. Поэтому определение периода маятника является не простой задачей. А вот период математического маятника можно рассчитать точно по формуле, которая будет приведена ниже.

В ходе наблюдений за маятниками были выведены следующие закономерности:

• Если к маятнику подвешивать разные грузы с разным весом, но при этом сохранять одинаковую длину маятника, то период его колебания будет одинаковым вне зависимости от массы груза.
• Если при запуске колебаний отклонить маятник на не очень большие, но все же разные углы, то он станет колебаться в одинаковым период, но по разным амплитудам. Следовательно, период колебания у подобного маятника не зависит от амплитуды колебания, такое явление было названо изохронизмом, что с древнегреческого можно перевести как «хронос» — время, «изо» — равный, то есть «равновременный».

[custom_ads_shortcode3]

Период математического маятника

Период маятника – показатель, который представляет период собственно колебаний маятника, их длительность. Формулу периода математического маятника можно записать следующим образом. T = 2π √L/gГде L – длина нити математического маятника, g – ускорение свободного падения, а π – число Пи, математическая константа.

Период малых колебания математического маятника никак не зависит от массы маятника и амплитуды колебания, в этой ситуации он двигается как математический маятник с заданной длинной.

[custom_ads_shortcode1]

Практическое применение математического маятника

Вот мы добрались и до самого интересного, зачем нужен математический маятник и какое его применение на практике в жизни. В первую очередь ускорение математического маятника используется для геологоразведки, с его помощью ищут полезные ископаемые. Как это происходит?

Дело в том, что ускорение свободного падения изменяется с географической широтой, так как плотность коры в разных местах нашей планеты далеко не одинакова и там где залегают породы с большей плотностью, ускорение будет немножко больше. А значит, просто подсчитав количество колебаний маятника можно отыскать в недрах Земли руду или каменный уголь, так как они имеют большую плотность, нежели другие рыхлые горные породы.

Также математическим маятником пользовались многие выдающиеся ученые прошлого, начиная с античности, в частности Архимед, Аристотель, Платон, Плутарх. Так Архимед и вовсе использовал математический маятник во всех своих вычислениях, а некоторые люди даже верили, что маятник может влиять на судьбы людей и пытались делать с его помощью предсказания будущего.

[custom_ads_shortcode2]

Математический маятник, видео

И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.

Механическая система, которая состоит из материальной точки (тела), висящей на нерастяжимой невесомой нити (ее масса ничтожно мала по сравнению с весом тела) в однородном поле тяжести, называется математическим маятником (другое название – осциллятор). Бывают и другие виды этого устройства. Вместо нити может быть использован невесомый стержень.

Математический маятник может наглядно раскрыть суть многих интересных явлений. При малой амплитуде колебания его движение называется гармоническим.

[custom_ads_shortcode3]

Общие сведения о механической системе

Формула периода колебания этого маятника была выведена голландским ученым Гюйгенсом (1629-1695 гг. ). Этот современник И.

Ньютона очень увлекался данной механической системой. В 1656 г. он создал первые часы с маятниковым механизмом.

Они измеряли время с исключительной для тех времен точностью. Это изобретение стало важнейшим этапом в развитии физических экспериментов и практической деятельности.

Если маятник находится в положении равновесия (висит отвесно), то сила тяжести будет уравновешиваться силой натяжения нити. Плоский маятник на нерастяжимой нити является системой с двумя степенями свободы со связью. При смене всего одного компонента меняются характеристики всех ее частей.

Так, если нитку заменить на стержень, то у данной механической системы будет всего 1 степень свободы. Какими же свойствами обладает математический маятник? В этой простейшей системе под воздействием периодического возмущения возникает хаос.

В том случае, когда точка подвеса не двигается, а совершает колебания, у маятника появляется новое положение равновесия. При быстрых колебаниях вверх-вниз эта механическая система приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». У нее есть и свое название.

Математический маятник имеет очень интересные свойства. Все они подтверждаются известными физическими законами. Период колебаний любого другого маятника зависит от разных обстоятельств, таких как размер и форма тела, расстояние между точкой подвеса и центром тяжести, распределение массы относительно данной точки.

Именно поэтому определение периода висящего тела является довольно сложной задачей. Намного легче вычисляется период математического маятника, формула которого будет приведена ниже. В результате наблюдений над подобными механическими системами можно установить такие закономерности:

• Если, сохраняя одинаковую длину маятника, подвешивать различные грузы, то период их колебаний получится одинаковым, хотя их массы будут сильно различаться. Следовательно, период такого маятника не зависит от массы груза.

• Если при запуске системы отклонять маятник на не слишком большие, но разные углы, то он станет колебаться с одинаковым периодом, но по разным амплитудам. Пока отклонения от центра равновесия не слишком велики, колебания по своей форме будут достаточно близки гармоническим. Период такого маятника никак не зависит от колебательной амплитуды. Это свойство данной механической системы называется изохронизмом (в переводе с греческого «хронос» – время, «изос» – равный).

None T = 2π√L/gПериод малых собственных колебаний ни в какой мере не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний. В этом случае маятник двигается как математический с приведенной длиной.

[custom_ads_shortcode1]

Колебания математического маятника

[custom_ads_shortcode2]

Математический маятник совершает колебания, которые можно описать простым дифференциальным уравнением:

x + ω2 sin x = 0,где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); ω – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (ω = √g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Уравнение малых колебаний вблизи положення равновесия (гармоническое уравнение) выглядит так: x + ω2 sin x = 0.

[custom_ads_shortcode3]

Колебательные движения маятника

Математический маятник, который совершает малые колебания, двигается по синусоиде. Дифференциальное уравнение второго порядка отвечает всем требованиям и параметрам такого движения. Для определения траектории необходимо задать скорость и координату, из которых потом определяются независимые константы:

x = A sin (θ + ωt),где θ0 – начальная фаза, A – амплитуда колебания, ω – циклическая частота, определяемая из уравнения движения.

[custom_ads_shortcode1]

Математический маятник (формулы для больших амплитуд)

Данная механическая система, совершающая свои колебания со значительной амплитудой, подчиняется более сложным законам движения. Для такого маятника они рассчитываются по формуле: sin x/2 = u * sn(ωt/u),где sn – синус Якоби, который для u < 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

None Определение периода колебания нелинейного маятника осуществляется по формуле:

T = 2π/Ω,где Ω = π/2 * ω/2K(u), K – эллиптический интеграл, π3,14.

[custom_ads_shortcode2]

[custom_ads_shortcode3]

Движение маятника по сепаратрисе

Сепаратрисой называют траекторию динамической системы, у которой двумерное фазовое пространство. Математический маятник движется по ней непериодически. В бесконечно дальнем моменте времени он падает из крайнего верхнего положения в сторону с нулевой скоростью, затем постепенно набирает ее. В конечном итоге он останавливается, вернувшись в исходное положение.

Если амплитуда колебаний маятника приближается к числу π, это говорит о том, что движение на фазовой плоскости приближается к сепаратрисе. В этом случае под действием малой вынуждающей периодической силы механическая система проявляет хаотическое поведение.

При отклонении математического маятника от положения равновесия с некоторым углом φ возникает касательная силы тяжести Fτ = –mg sin φ. Знак «минус» означает, что эта касательная составляющая направляется в противоположную от отклонения маятника сторону. При обозначении через x смещения маятника по дуге окружности с радиусом L его угловое смещение равняется φ = x/L. Второй закон Исаака Ньютона, предназначенный для проекций вектора ускорения и силы, даст искомое значение:

mg τ = Fτ = –mg sin x/LИсходя из этого соотношения, видно, что этот маятник представляет собой нелинейную систему, поскольку сила, которая стремится вернуть его в положение равновесия, всегда пропорциональна не смещению x, а sin x/L.

Только тогда, когда математический маятник осуществляет малые колебания, он является гармоническим осциллятором. Иными словами, он становится механической системой, способной выполнять гармонические колебания. Такое приближение практически справедливо для углов в 15–20°. Колебания маятника с большими амплитудами не является гармоническим.

[custom_ads_shortcode1]

Закон Ньютона для малых колебаний маятника

Если данная механическая система выполняет малые колебания, 2-й закон Ньютона будет выглядеть таким образом: mg τ = Fτ = –m* g/L* x.

Исходя из этого, можно заключить, что тангенциальное ускорение математического маятника пропорционально его смещению со знаком «минус». Это и является условием, благодаря которому система становится гармоническим осциллятором. Модуль коэффициента пропорциональности между смещением и ускорением равняется квадрату круговой частоты:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L. Эта формула отражает собственную частоту малых колебаний этого вида маятника. Исходя из этого,T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

[custom_ads_shortcode2]

Вычисления на основе закона сохранения энергии

None E = mg∆h = mgL(1 – cos α) = mgL2sin2 α/2Полная механическая энергия равняется кинетической или максимальной потенциальной: Epmax = Ekmsx = EПосле того как будет записан закон сохранения энергии, берут производную от правой и левой частей уравнения:

None Ep’ = (mg/L*x2/2)’ = mg/2L*2x*x’ = mg/L*v + Ek’ = (mv2/2) = m/2(v2)’ = m/2*2v*v’ = mv* α,следовательно:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0. Исходя из последней формулы находим: α = – g/L*x.

[custom_ads_shortcode3]

Практическое применение математического маятника

Ускорение свободного падения изменяется с географической широтой, поскольку плотность земной коры по всей планете не одинакова. Там, где залегают породы с большей плотностью, оно будет несколько выше. Ускорение математического маятника нередко применяют для геологоразведки. В его помощью ищут различные полезные ископаемые. Просто подсчитав количество колебаний маятника, можно обнаружить в недрах Земли каменный уголь или руду. Это связано с тем, что такие ископаемые имеют плотность и массу больше, чем лежащие под ними рыхлые горные породы.

Математическим маятником пользовались такие выдающиеся ученые, как Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед. Многие из них верили в то, что эта механическая система может влиять на судьбу и жизнь человека. Архимед использовал математический маятник при своих вычислениях. В наше время многие оккультисты и экстрасенсы пользуются этой механической системой для осуществления своих пророчеств или поиска пропавших людей.

Известный французский астроном и естествоиспытатель К. Фламмарион для своих исследований также использовал математический маятник. Он утверждал, что с его помощью ему удалось предсказать открытие новой планеты, появление Тунгусского метеорита и другие важные события.

Во время Второй мировой войны в Германии (г. Берлин) работал специализированный Институт маятника. В наши дни подобными исследованиями занят Мюнхенский институт парапсихологии.

ОпределениеМатематический маятник – это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

[custom_ads_shortcode1]

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник – классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением: [ddot{varphi }+{omega }^2_0varphi =0 left(1right),] где $varphi $ – угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$ [varphi (t)={varphi }_0{cos left({omega }_0t+alpha right)left(2right), }] где $alpha $ – начальная фаза колебаний; ${varphi }_0$ – амплитуда колебаний; ${omega }_0$ – циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора – это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

[custom_ads_shortcode2]

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса: [ {omega }_0=sqrt{frac{g}{l}}left(3right).] Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

[T=frac{2pi }{{omega }_0}=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(4right).] Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

[custom_ads_shortcode3]

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

[E=E_k+E_p=frac{mv^2}{2}+mgh=frac{mv^2}{2}+frac{mgx^2}{2l}=constleft(5right),] где $E_k$ – кинетическая энергия маятника; $E_p$ – потенциальная энергия маятника; $v$ – скорость движения маятника; $x$ – линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол – смещение связан с $x$ как:

None [E_{pmax}=mgh_m=frac{mg{x^2}_m}{2l}left(7right);;] Максимальная величина кинетической энергии:

[E_{kmax}=frac{mv^2_m}{2}=frac{m{omega }^2_0{x^2}_m}{2l}=E_{pmax}left(8right),] где $h_m$ – максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={omega }_0x_m$ – максимальная скорость.

[custom_ads_shortcode1]

Примеры задач с решением

None Решение. Сделаем рисунок.

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

[frac{mv^2}{2}=mgh left(1.1right).] Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

[h=frac{v^2}{2g}.] Ответ. $h=frac{v^2}{2g}$Пример 2Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми.textit{}Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

None [g=frac{4{pi }^2l}{T^2} .] Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

[g=frac{4{pi }^2cdot 1}{2^2}={pi }^2approx 9,87 left(frac{м}{с^2}right).] Ответ. $g=9,87 frac{м}{с^2}$Читать дальше: формулы пружинного маятника.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник – это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожно мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.

Колебательную систему в данном случае образуют нить, присоединенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником. ,где ах – ускорение, g – ускорение свободного падения, х – смещение, l – длина нити маятника.

Это уравнение называется уравнением свободных колебаний математического маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения: 1) будем считать, что силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и потому, их можно не учитывать;

2) рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха. Свободные колебания любых систем во всех случаях описываются аналогичными уравнениями.

Причинами свободных колебаний математического маятника являются: 1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, препятствующей его смещению из положения равновесия и заставляющей его снова опускаться.

2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше. Период свободных колебаний математического маятника .

Период свободных колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник. Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источники:

• www.poznavayka.org
• fb.ru
• www.webmath.ru
• studopedia.ru

Математический маятник, формула

Математический маятник, представляющий собой точечную массу на невесомой нити, что нельзя реализовать в действительности.
Однако, если масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой m тела и длина нити велика по сравнению с размерами тела,
то с достаточной точностью выполняется формула (4).
Математический маятник совершает гармонические колебания,
если угол отклонения не превышает примерно 8º.

Если

то

[
G = mg
]

[
frac{F_{1}}{G} = frac{y}{l}
]

и, поскольку величину у при малом угле отклонения φ можно приравнять длине дуги, аналогично формуле Собственная частота колебаний [1] получаем

[
D = frac{F_{1}}{y} = frac{G}{l} = frac{mg}{l}
]

Подстановка в Собственная частота колебаний [5] дает

[
T = 2π sqrt{frac{ml}{mg}} = 2π sqrt{frac{l}{g}}
]

Математический маятник — опыт

Математический маятник	стр. 546

Колебания математического маятника.
Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (физическая модель).
Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: .
На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).
Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории: . Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x ≈ s): .
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения . Видно, что  или  — циклическая частота при колебаниях математического маятника.
Период колебаний  или  (формула Галилея).	Формула Галилея
Важнейший вывод: период колебаний математического маятника не зависит от массы тела!
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна , а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической:
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: . Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то  . Производная суммы равна сумме производных:   и      .
Следовательно: , а значит .