Как найти массу материальной точки формула

Содержание:

• Определение и формула массы тела
• Инертная масса
• Гравитационная масса
• Формула расчета массы через плотность тела
• Масса в специальной теории относительности
• Примеры решения задач

Определение и формула массы тела

В классической механике считают:

• масса тела не является зависимой от движения тела, от воздействия других тел, расположения тела;
• выполняется закон сохранения массы: масса замкнутой механической системы тел неизменна во времени.

Инертная масса

Свойство инертности материальной точки состоит в том, что если на точку действует внешняя сила, то у нее возникает конечное по модулю ускорение.
Если внешних воздействий нет, то в инерциальной системе отсчета тело находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно. Масса входит во второй закон Ньютона:

$$bar{F}=m bar{a}(2)$$

где масса определяет инертные свойства материальной точки (инертная масса).

Гравитационная масса

Масса материальной точки входит в закон всемирного тяготения, при этом она определяет гравитационные свойства данной точки.при этом она носит
название гравитационной (тяжелой) массы.

Эмпирически получено, что для всех тел отношения инертных масс к гравитационным являются одинаковыми. Следовательно, если правильно избрать
величину постоянной гравитации, то можно получить, что для всякого тела инертная и гравитационная массы одинаковы и связываются с силой
тяжести (F_t) избранного тела:

$$m=frac{F_{t}}{g}(3)$$

где g – ускорение свободного падения. Если проводить наблюдения в одной и той же точке, то ускорения свободного падения одинаковы.

Формула расчета массы через плотность тела

Масса тела может быть рассчитана как:

$$m=int_{V} rho d V(4)$$

где $rho$ – плотность вещества тела, где интегрирование
проводится по объему тела. Если тело однородное ( $rho = const$ ),
то масса может быть рассчитана как:

$m = rho V (5)$

Масса в специальной теории относительности

В СТО масса инвариантна, но аддитивной не является. Она здесь определена как:

$$m=sqrt{frac{E^{2}}{c^{4}}-frac{p^{2}}{c^{2}}}$$

где E – полная энергия свободного тела, p- импульс тела, c – скорость света.

Релятивистская масса частицы определяется формулой:

$$m=frac{m_{0}}{sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}}(7)$$

где m₀ – масс покоя частицы, v – скорость движения частицы.

Основной единицей измерения массы в системе СИ является: [m]=кг.

В СГС: [m]=гр.

Примеры решения задач

Читать дальше: Формула момента силы.

Механическая
система

Механическая
система — совокупность материальных
точек: 
— движущихся согласно
законам классической механики; и 
—
взаимодействующих друг с другом и с
телами, не включенными в эту совокупность.

Ма́сса

Масса
проявляется в природе несколькими
способами.

Пассивная гравитационная масса^[1] показывает,
с какой силой тело взаимодействует с
внешними гравитационными
полями — фактически эта масса
положена в основу измерения
массы взвешиванием в
современной метрологии.

Активная
гравитационная масса^[2] показывает,
какое гравитационное поле создаёт само
это тело — гравитационные массы
фигурируют в законе
всемирного тяготения.

Инертная
масса характеризует инертность тел
и фигурирует в одной из формулировок второго
закона Ньютона. Если произвольная
сила винерциальной
системе отсчёта одинаково ускоряет
разные исходно неподвижные тела, этим
телам приписывают одинаковую инертную
массу.

Гравитационная
и инертная массы равны друг другу (с
высокой точностью — порядка 10⁻¹³ —
экспериментально, а в большинстве
физических теорий, в том числе всех,
подтверждённых экспериментально —
точно), поэтому в том случае, когда речь
идёт не о «новой
физике», просто говорят о массе, не
уточняя, какую из них имеют в виду.

В классической
механике масса системы тел равна сумме
масс составляющих её тел. В релятивистской
механике масса не является аддитивной
физической величиной, то есть масса
системы в общем случае не равна сумме
масс компонентов, а включает в себя энергию
связи и зависит от характера
движения частиц друг относительно друга

Центр
масс — (в механике)
геометрическая точка, характеризующаядвижение тела
или системы частиц, как целого^[1].
Не является тождественным понятию центра
тяжести (хотя чаще всего совпадает).

Положение
центра масс (центра инерции)
системы материальных
точек в классической механике
определяется следующим образом^[2]:

где  — радиус-вектор центра
масс,  —
радиус-вектор i-й точки
системы,  — масса i-й
точки.

Для случая
непрерывного распределения масс:

где  —
суммарная масса системы,  —
объём,  —
плотность. Центр масс, таким образом,
характеризует распределение массы по
телу или системе частиц.

Можно
показать, что если система состоит не
из материальных точек, а из протяжённых
тел с массами ,
то радиус-вектор центра масс такой
системы  связан
с радиус-векторами центров масс
тел  соотношением^[3]:

Иначе
говоря, в случае протяжённых тел
справедлива формула, по своей структуре
совпадающая с той, что используется для
материальных точек.

В механике!!!

Понятие
центра масс широко используется в
механике и физике.

Движение
твёрдого тела можно рассматривать
как суперпозицию движения
центра масс и вращательного
движения тела вокруг его центра
масс. Центр масс при этом движется так
же, как двигалось бы тело с такой же
массой, но бесконечно малыми размерами
(материальная
точка). Последнее означает, в частности,
что для описания этого движения применимы
все законы
Ньютона. Во многих случаях можно
вообще не учитывать размеры и форму
тела и рассматривать только движение
его центра масс.

Часто бывает
удобно рассматривать движение замкнутой
системы в системе
отсчёта, связанной с центром масс.
Такая система отсчёта называется
системой
центра масс (Ц-система), или системой
центра инерции. В ней полный импульс замкнутой
системы всегда остаётся равным нулю,
что позволяет упростить уравнения её
движения.

Центры
масс однородных фигур

У отрезка —
середина.

У
многоугольников (как сплошных плоских
фигур, так и каркасов):

У параллелограмма —
точка пересечения диагоналей.

У треугольника —
точка пересечения медиан (центроид).

У правильного
многоугольника — центр поворотной
симметрии.

У полукруга
— точка, делящая перпендикулярный радиус
в отношении 4:3π от центра круга.

Количество
движения = импульс

Количество
движения системы (импульс системы).

Количество
движения (импульс тела) – векторная
физическая величина, равная произведению
массы тела на его скорость:

Импульс
(количество движения) – одна из самых
фундаментальных характеристик движения
тела или системы тел.

Запишем II закон
Ньютона в другой форме, учитывая, что
ускорение  Тогда   следовательно

Произведение
силы на время ее действия равно приращению
импульса тела (рис. 1):

Где  —
импульс силы, который показывает, что
результат действия силы зависит не
только от ее значения, но и от
продолжительности ее действия.

Рис.1

Количеством
движения системы (импульсом) будем
называть векторную величину , равную
геомет­рической сумме (главному
вектору) количеств движения (импульсов)
всех точек системы (рис.2):

Из чертежа
видно, что независимо от величин скоростей
точек системы (если только эти скорости
не параллельны) вектор   может
принимать любые значения и даже оказаться
равным нулю, когда многоугольник,
построенный из векторов ,
замкнется. Следова­тельно, по
величине   нель­зя
полностью судить о ха­рактере движения
системы.                                                                   

Рис.2

Найдем
формулу, с по­мощью которой значительно
легче вычислять величину , а
также уяснить ее смысл.

Из равенства

следует,
что

Беря от
обеих частей производную по времени,
получим

Отсюда
находим, что 

количество
движения (импульс) системы равно
произведению массы всей системы на
скорость ее центра масс. Этим
результатом особенно удобно пользоваться
при вычислении количеств движения
твердых тел.

Из формулы
видно, что если тело (или система) движется
так, что центр масс остается неподвижным,
то количество движения тела равно нулю.
Например, количество движения тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси,
проходящей через его центр масс, будет
равно нулю.

Если же
движение тела является сложным, то
величина  не
будет характеризовать вращательную
часть движения вокруг центра масс.
Например, для катящегося колеса  независимо
от того, как вращается колесо вокруг
его центра масс С.

Таким
образом, количество движения
характеризует только поступательное
движение системы. При сложном
же движении величина  характеризует
только поступательную часть движения
системы вместе с центром масс.

 Главный
момент количеств
движения
(импульса) системы.

Главным
моментом количеств движения (или
кинетическом моментом) системы
относительно данного центра О называется
величина ,
равная геометрической сумме моментов
количеств движения всех точек системы
относи­тельно этого центра.

Аналогично
определяются моменты количеств движения
системы относительно координатных
осей:

При
этом  представляют
собою одновременно проекции вектора  на
координатные оси.

Подобно
тому, как количество движения системы
является характеристикой ее поступательного
движения, главный момент количеств
движения системы является характеристи­кой
вращательного движения системы.

Рис.6

Чтобы
уяснить механический смысл величины L₀ и
иметь необхо­димые формулы для решения
задач, вычислим кинетический момент
тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
(рис.6).При этом, как обычно,
определение вектора  сводится
к определению его проекций .

Найдем
сначала наиболее важ­ную для приложений
формулу, оп­ределяющую величину L_z, т.е.
кине­тический момент вращающегося
тела относительно оси вращения.

Для любой
точки тела, отстоя­щей от оси вращения
на расстоя­нии ,
скорость .
Сле­довательно, для этой точки .
Тогда для всего тела, вынося общий
множитель ω за скобку, получим

 

Величина,
стоящая в скобке, представляет собою
момент инерции тела относительно оси z.
Окончательно находим

Таким
образом, кинетический момент
вращающегося тела относительно оси
вращения равен произведению момента
инерции тела относительно этой оси на
угловую скорость тела.

Если система
состоит из нескольких тел, вращающихся
вокруг одной и той же оси, то, очевидно,
будет

Легко видеть
аналогию между формулами  и :
количество движения равно произведению
массы (величина, характеризующая
инертность тела при поступательном
движении) на скорость; кинети­ческий
момент равен произведению момента
инерции (величина, характеризующая
инертность тела при вращательном
движении) на угловую скорость.

Пусть, например, мы имеем коленчатый вал А (рис. 13.39), вращающийся вокруг неподвижной оси z—г с угловой скоростью ы. Как было показано в 59, чтобы подшипники В не испытывали дополнительных динамических давлений от сил инерции масс вала, необходимым и достаточным является условие равенства нулю главного вектора сил инерции масс материальных точек вала. Как известно из теоретической механики, это условие всегда удовлетворяется, если центр масс вращающегося звена лежит на его оси вращения, которая должна быть одной из его главных осей инерции. Если конструктивное оформление вала (рис. 13.39) удовлетворяет этому условию, то вал получается уравновешенным, что при проектировании достигается соответствующим выбором формы уравновешиваемой детали. Например, коленчатый вал (рис. 13.39) имеет фигурные щеки а, коренные шейки С и шатунную шейку Ь. Рассматривая в отдельности эти элементы вала, мы видим, что центр масс материальных точек коренных шеек рас-  [c.292]

Определить частоту малых вертикальных колебаний материальной точки Е, входящей в состав системы, изображенной па рисунке. Масса материальной точки т. Расстояния  [c.407]

Второй закон (основной закон динамики) устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.  [c.182]

Сила Ф, равная по модулю произведению массы материальной точки на модуль ее ускорения, направленная противоположно ускорению и приложенная к телу, сообщающему это ускорение, называется силой инерции материальной точки.  [c.11]

Эта задача заключается в том, что по заданному движению и известной массе материальной точки требуется определить силу, действующую на эту точку, или, если на материальную точку действует несколько сил, определить одну из них.  [c.237]

Сила, численно равная произведению массы материальной точки на приобретенное ею ускорение и направленная в сторону, противоположную ускорению, называется силой инерции. Иначе говоря (рис. 1.152), сила инерции  [c.126]

Прямой называется задача,- в которой по заданным движению и массе материальной точки определяется равнодействующая сил, приложенных к этой точке.  [c.13]

Обратной называется задача, в которой по заданным силам и массе материальной точки определяется ее движение.  [c.13]

Силы инерции равны по модулю произведениям массы материальной точки на соответствующие ускорения и направлены в стороны, противоположные этим ускорениям.  [c.123]

Отношение модуля силы тяжести Р к массе материальной точки на-  [c.138]

Закон сохранения главного вектора количеств движения системы материальных точек или сохранения его проекции чаще всего применяется при решении задач, в которых в число данных и искомых величин входят массы материальных точек и их скорости в начальный и конечный моменты времени.  [c.178]

Масса материальной точки не входит в выражение периода колебаний Т. Следовательно, материальные точки, несмотря на различные массы, имеют при одинаковой длине нити маятника L один и тот же  [c.189]

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется сумма произведений масс материальных точек, из которых состоит твердое тело, на квадраты их расстояний до оси, т. е.  [c.194]

При непрерывном распределении масс материальных точек в твердом теле момент инерции определяется формулой  [c.195]

Методом кинетостатики можно пользоваться в случаях, когда в число заданных и неизвестных величин входят, массы материальных точек, моменты инерции твердых тел, скорости и ускорения точек, угловые скорости и угловые ускорения твердых тел, силы и моменты сил.  [c.351]

Запишем выражение кинетической энергии материальной точки T— ymv , где т — масса материальной точки, а Ф — ее скорость. Учитывая, что — -i , получим  [c.477]

Поступательное движение твердого тела. Наиболее общим приемом составления уравнений динамики поступательного движения твердого тела является применение теоремы о движении центра инерции системы материальных точек. Теорема преимущественно используется в проекциях на оси декартовых координат. В число данных и искомых величин должны входить массы материальных точек, их уравнения движения, внешние силы системы. Решение обратных задач упрощается в случаях, когда главный вектор внешних сил, приложенных к твердому телу, постоянен либо зависит только от 1) времени, 2) положений точек системы, 3) скоростей точек системы. Труднее решать обратные задачи, в которых главный вектор внешних сил одновременно зависит от времени, положения и скоростей точек системы.  [c.540]

Если масса материальной точки изменяется в результате непрерывного присоединения или отделения частиц бесконечно малой массы, то уравнение движения этой точки имеет вид (уравнение И. В. Мещерского)  [c.576]

Здесь т — мгновенное значение массы материальной точки т — скорость материальной точки и — скорость присоединяющихся илй  [c.576]

Здесь г,, V,- — радиусы-векторы и векторы скоростей точек в трехмерном евклидовом пространстве шу — массы материальных точек (/ = 1, А ).  [c.37]

В формулах (77) и (77 ) величина m не только коэффициент пропорциональности, она представляет собой меру инерции материальной точки и выражает ее массу . Итак, масса материальной точки является мерой инерции этой материальной точки, выражающаяся положительной скалярной величиной, равной отношению модуля силы, приложенной к точке, к модулю ускорения, полученного точкой (в инерциальной системе отсчета) от действия этой силы  [c.105]

Аксиома 3.3.1. Масса материальной точки сохраняет свое значение не только во времени, но и при любых взаимодействиях материальной точки с другими материальными точками независимо от их числа и от природы взаимодействий.  [c.160]

Основной закон позволяет вычислить F через понятие массы материальной точки т и ее движение в инерциальной системе координат (а). Однако этот закон нельзя рассматривать как определение силы F, которая, являясь физической величиной, не зависит от выбора той или иной системы координат и является мерой изменения движения материального обьекта только в узком смысле. Как уже говорилось во введении, сила и масса представляют собой понятия первичные.  [c.49]

Коэффициент пропорциональности т и называют инертной массой материальной точки. Массу точки определяют по ускорению, которое она получает под действием известной силы. В частности такой силой является сила тяжести. Так, если под действием силы тяжести Р вблизи Земли ускорение свободно падающей материальной точки равно у, то согласно (1)  [c.206]

Скалярная мера механического движения, равная половине произведения массы материальной точки на квадрат её скорости.  [c.30]

Векторная мера механического движения, равная произведению массы материальной точки на её скорость.  [c.31]

Сумма масс материальных точек, образующих механическую систему.  [c.39]

Векторная величина, модуль которой равен произведению массы материальной точки на модуль её ускорения и направленная противоположно этому ускорению.  [c.79]

Это является весьма существенным физическим фактом, лежащим в основе одного из наиболее фундаментальных обобщений ньютоновской механики произведение массы материальной точки на ее ускорение является функцией положения этой точки относительно окружающих тел, а иногда также и функцией ее скорости. Эту функцию обозначают F и называют силой.  [c.40]

Историческая эволюция понятия массы материальной точки  [c.226]

Различные способы определения массы мы рассмотрели в 126. Формулу (III.I), как уже было отмечено, можно рассматривать как частный случай равенства (III.5Ь). Но было бы ошибочным полагать, что равенство (III.5Ь) является лишь количественным определением массы. Массу материальной точки можно определить экспериментально независимо от второго закона Ньютона. Это было указано выше и отражено формулами (III.За) и (III.ЗЬ).  [c.229]

Как известно из курса физики, скалярный множитель т, являющийся коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением, представляет собой массу материальной точки.  [c.145]

Второй закон Ньютона устанавливает связь между массой материальной точки, приложенной к ней силой и возникающим при этом ускорением точки. Если m — масса точки, а w — ее ускорение в инерциальной системе отсчета, то согласно второму закону Ы ь ю т о н а  [c.72]

Теорему об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек относительно неподвижной оси рекомендуется применять при рассмотрении движения материальной системы, в состав которой входит подвижная среда, врапгаюпгаяся вокруг этой оси. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно оси равна нулю, то можно получить соотношение между массами материальных точек, их скоростями и угловой скоростью вращения подвижной среды.  [c.194]

Системе, состоящей из однородной квадратной пластины AB D и находящейся в вершине В этой пластины материальной точки М, сообщено вращение с угловой скоростью соо вокруг вертикальной оси, совпадающей со стороной AD пластины. В некоторый момент времени материальная точка М из состояния относительного покоя начинает двигаться вдоль диагонального желоба BD в плоскости пластины. Чему будет равна угловая скорость ш вращения системы, когда материальная точка окажется в положении D, если масса пластины в три раза больше массы материальной точки  [c.111]

В кинематике, где движение изучается с геометрической точки врения, масса материальной точки во внимание не принимается и  [c.47]

Примеры тел предполагалось и неоднократно исполь-переменнои массы зовалось, ЧТО массы материальных точек, движение которых изучалось, остаются неизменными. Однако при изучении ряда движений материальных объектов модель материальной точки постоянной массы не описывает основных характе-  [c.162]

На материальную точку псвдействовал ударный импульс s= lOf . Скорость до удара iJi = -10/ , скорость после удара йг «= 5/ . Определить массу материальной точки. (0,667)  [c.350]

---

Масса — материальная точка

Cтраница 1

Масса материальной точки считается постоянной величиной, не зависящей от обстоятельств движения. Это свойство массы хорошо подтверждается опытом, если скорость точки мала по сравнению со скоростью света и если не учитывать внутриатомные процессы в веществе, образующем материальную точку. За единицу массы в Международной системе единиц принимается масса эталона, хранящегося в Париже.
 [1]

Масса материальной точки считается постоянной величиной, не зависящей от обстоятельств движения. Это свойство массы хорошо подтверждается опытом, если скорость точки мала по сравнению со скоростыо света и если не учитывать внутриатомные процессы в веществе, образующем материальную точку. За единицу массы в Международной системе единиц принимается масса эталона, хранящегося в Париже.
 [2]

Массой материальной точки ( она обозначается далее буквой т) называется масса того материального объекта, который в принятой идеализации считается материальной точкой.
 [3]

Независимость массы материальной точки от места ее измерения свидетельствует о том, что в отличие от веса масса является свойством самой материальной точки.
 [4]

Произведение массы материальной точки на ускорение равно действующей на эту точку силе.
 [5]

Произведение массы материальной точки на ее скорость — то — называется количеством движения. Количество движения является вектором, направление которого совпадает с направлением скорости.
 [6]

Обычно массу материальной точки находят как отношение ее веса G, выраженного в н ( СИ), или кГ ( МКГСС), к ускорению силы тяжести g, в м / сек.
 [7]

Аксиома 3.3.1. Масса материальной точки сохраняет свое значение не только во времени, но и при любых взаимодействиях материальной точки с другими материальными точками независимо от их числа и от природы взаимодействий.
 [8]

Таким образом найденная масса материальной точки называется инертной массой точки.
 [9]

Для описания массы материальной точки в рассматриваемых системах служат математические понятия: комплексное число и функция времени.
 [10]

Будем считать массу материальных точек, из которых состоит тело, постоянной. Исходя из этого, под телом переменной массы будем понимать тело, масса которого изменяется вследствие процесса отделения от него или присоединения к нему материальных точек.
 [11]

Связь между массой материальной точки, силой, приложенной к этой точке, и сообщаемым ею ускорением устанавливается вторым законом динамики. Приведем этот закон в следующей формулировке: произведение массы, точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.
 [12]

В ньютоновской механике масса материальной точки не зависит от ее скорости и импульса.
 [13]

В ньютоновской механике масса материальной точки не зависит от времени /, а ускорение a dv / ch, где v — скорость точки.
 [14]

Здесь m — масса материальной точки; ц, — коэффициент пропорциональности.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4