Иногда в системе движется не одно, а два связанных между собой тела. Тогда описание движения с применением законов Ньютона включает в себя описания движения каждого из этих тел.
Движение тел по горизонтали без трения
Решение
II закон Ньютона в векторной форме для 1 тела:
II закон Ньютона в векторной форме для 2 тела:
Проекция на ОХ для 1 тела:
Проекция на ОY для 1 тела:
Проекция на ОХ для 2 тела:
Проекция на ОY для 2 тела:
III закон Ньютона:
Движение по горизонтали с учетом сил трения
Решение
II закон Ньютона в векторной форме для 1 тела:
II закон Ньютона в векторной форме для 2 тела:
Проекция на ОХ для 1 тела:
Проекция на ОY для 1 тела:
Проекция на ОХ для 2 тела:
Проекция на ОY для 2 тела:
III закон Ньютона:
Вертикальное движение тел (m1 > m2)
h — расстояние между телами. l1 и l2 — перемещение тела 1 и тела 2 соответственно. Перемещения обоих тел равны, поэтому: l1 = l2 = l.
Решение
Расстояние между телами определяется формулой: h = l1 + l2 = 2l.
II закон Ньютона в векторной форме для 1 тела:
II закон Ньютона в векторной форме для 2 тела:
Проекция на ОY для 1 тела:
Проекция на ОY для 2 тела:
III закон Ньютона:
На один из грузов положили довесок
Решение
II закон Ньютона для 1 тела:
II закон Ньютона для 2 тела:
Проекция на ось ОУ для 1 тела:
Проекция на ось ОУ для 2 тела:
III закон Ньютона:
Вес довеска определяется по формуле:
Пример №1. На нити, переброшенной через неподвижный блок, подвешены грузы массами m и 2m. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их отпустить? Трением в блоке пренебречь.
Строим чертеж:
Записываем второй закон Ньютона для каждого из тел. Для первого тела он будет иметь вид:
Для второго тела II закон Ньютона примет следующий вид:
Запишем проекции на ось OУ для каждого из тел:
Выразим силы натяжения нити для каждого из тел и приравняем их правые части:
Сделаем несколько преобразований:
Это значит, если отпустить грузы, они будут двигаться с ускорением, втрое меньшим по сравнению с ускорением свободного падения. Приблизительно оно будет равно 3,33 м/с2.
Задание EF17717
Два груза массами соответственно М1 = 1 кг и М2 = 2 кг, лежащие на гладкой горизонтальной поверхности, связаны невесомой и нерастяжимой нитью. На грузы действуют силы F1 и F2, как показано на рисунке. Сила натяжения нити Т = 15 Н. Каков модуль силы F1, если F2 = 21 Н?
а) 6 Н
б) 12 Н
в) 18 Н
г) 21 Н
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Сделать чертеж. Указать все силы, которые действуют на 1 и 2 тело. Выбрать систему координат.
3.Записать для каждого тела второй закон Ньютона в векторной форме.
4.Записать для каждого тела второй закон Ньютона в виде проекций на оси ОХ и ОУ.
5.Выразить формулу для вычисления силы, действующей на первое тело.
6.Подставить известные данные и произвести вычисления.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса тела 1: m1 = 1 кг.
• Масса тела 2: m2 = 1 кг.
• Сила натяжения нити: Т = 15 Н.
• Сила, действующая на второе тело, равна: F2 = 21 Н.
Сделаем чертеж. Систему координат выберем такую, чтобы ось ОУ была параллельная ускорению свободного падения.
Согласно третьему закону Ньютона, два тела действуют друг на друга с равными по модулю, но противоположными по направлению силами. Поэтому модули сил натяжения нити Т1 и T2 равны:
T1 = T2 = T
Учтем это при записи второго закона Ньютона для каждого из тел:
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси ОХ и ОУ. Сначала для первого тела:
T – F1 = m1a
N1 = m1g
Теперь для второго тела:
F2 – T = m2a
N2 = m2g
Выразим из проекции на ось ОХ для 1 тела модуль первой силы:
F1 = T – m1a
Из проекции на ось ОХ для второго тела выразим ускорение:
Подставим ускорение в формулу для нахождения силы, действующей на первое тело:
Ответ: б
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18920
На вертикальной оси укреплена гладкая горизонтальная штанга, по которой могут перемещаться два груза массами m1 = 200 г и m2 = 300 г, связанные нерастяжимой невесомой нитью длиной l = 20 см. Нить закрепили на оси так, что грузы располагаются по разные стороны от оси и натяжение нити с обеих сторон от оси при вращении штанги одинаково (см. рисунок). Определите модуль силы натяжения Т нити, соединяющей грузы, при вращении штанги с частотой 600 об/мин.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные. Перевести их в СИ.
2.Сделать чертеж, обозначив все силы, действующие на систему тел, их направления. Выбрать систему координат.
3.Записать второй закон Ньютона в векторной форме для каждого из тел.
4.Записать второй закон Ньютона для каждого из грузов в виде проекций на ось ОХ.
5.Вывести формулу для радиуса окружности, по которой движется любой из грузов.
6.Вывести формулу для вычисления силы натяжения нити, подставить известные данные и произвести вычисления.
Решение
Запишем исходные данные, сразу переведя их в СИ:
• Масса первого груза m1 = 200 г = 0,2 кг.
• Масса первого груза m2 = 300 г = 0,3 кг.
• Длина нити l = 20 см = 0,2 м.
• Натяжение нити с обеих сторон одинаково, следовательно: T1 = T2 = T.
• Частота вращения штанги ν = 600 об./мин. = 10 об./с.
Сделаем чертеж, обозначив все силы. Учтем, что сила натяжения нити равна с обеих сторон. Выберем систему координат, в которой ось ОУ параллельна оси вращения.
Запишем второй закон Ньютона для первого и второго груза соответственно:
Запишем проекции на ось ОХ для каждого из тел:
T = m1aц.с.1
T = m2aц.с.2
Центростремительное ускорение также определяется формулой:
aц.с. = ω2R
Угловая скорость определяется формулой:
ω = 2πν
Следовательно, центростремительное ускорение равно:
aц.с. = 4π2ν2R
Применим эту формулу для обоих грузов:
aц.с.1 = 4π2ν2R1
aц.с.2 = 4π2ν2R2
Сумма радиусов окружностей, по которым вращаются грузы, есть длина нити:
R1 + R2 = l
Выразим радиус окружности, по которой вращается второй груз:
R2 = l – R1
Так как грузы связаны между собой, и ни один из них не перевешивает другой:
m1gR1 = m2gR2
Ускорение свободного падения взаимоуничтожается. Получаем:
Подставим радиус второй окружности и выразим радиус первой окружности:
Следовательно, центростремительное ускорение первого груза равно:
Теперь возьмем проекцию на ось ОХ для первого тела и вставим в формулу найденное центростремительное ускорение для первого тела:
Подставим известные данные и вычислим силу натяжения нити:
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17647
По горизонтальному столу из состояния покоя движется брусок массой 0,9 кг, соединённый с грузом массой 0,3 кг невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок (см. рисунок). Коэффициент трения бруска о поверхность стола равен 0,2. Натяжение вертикальной части нити равно:
а) 2,25 Н
б) 2,7 Н
в) 3 Н
г) 3,6 Н
Алгоритм решения
• Записать исходные данные.
• Сделать чертеж. Указать все силы, действующие на тела, и их направление. Выбрать систему отсчета.
• Записать второй закон Ньютона для бруска и подвешенного к нити груза в векторной форме.
• Записать второй закон Ньютона для обоих тел в виде проекций на оси.
• Вывести формулу для вычисления искомой величины.
• Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса первого тела (движущегося по плоскости) равна: m1 = 0,9 кг.
• Масса второго тела (подвешенного к нити) равна: m2 = 0,3 кг.
• Коэффициент трения первого тела о поверхность плоскости равна: μ = 0,2.
Выполним чертеж и укажем все силы, которые действуют на брусок и груз на нити. Выберем систему координат так, чтобы направление оси ОХ совпадало с направлением движения бруска.
Так как тела связаны, силы натяжения нити на обоих концах равны. Будем обозначать их без индекса. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и второго тела соответственно:
Теперь запишем проекции на ось ОХ и ось ОУ соответственно для бруска:
Запишем проекцию на ось ОУ для груза на нити:
Выразим из этого выражения ускорение и получим:
Из проекции на ось ОХ сил, действующих на брусок, тоже выразим ускорение:
Приравняем правые части уравнений и получим:
Произведем вычисления:
Ответ: б
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22698
Два груза, связанные нерастяжимой и невесомой нитью, движутся по гладкой горизонтальной поверхности под действием постоянной горизонтальной силы F, приложенной к грузу М1 = 2 кг (см. рисунок). Нить обрывается при значении силы натяжения нити 4 Н, при этом модуль силы F равен 12 H. Чему равна масса второго груза М2?
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Выполнить чертеж, указав все силы, действующие на каждый из грузов.
3.Записать второй закон Ньютона для обоих тел.
4.Записать второй закон Ньютона в проекциях на ось ОХ.
5.Применить третий закон Ньютона.
6.Выразить массу второго груза (найти общее решение).
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса первого груза равна: m1 = 2 кг.
• Сила натяжения нити равна: T = 4 Н.
• Модуль силы, которая действует на систему тел: F = 12 Н.
Выполним чертеж:
Запишем второй закон Ньютона для 1 и 2 тела соответственно:
Запишем второй закон Ньютона для 1 и 2 тела в проекции на ось ОХ:
F – T1 = m1a
T2 = m2a
Отсюда масса второго тела равна:
Согласно третьему закону Ньютона, тела действуют друг на друга с равными по модулю, но противоположными по направлению силами. Следовательно, силы натяжения нити равны на обоих концах:
T1 = T2 = T
Поэтому:
T = F – m1a
Из первого выражения выразим ускорение и подставим его во второе:
Подставим в формулу и получим:
Ответ: 1
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 5k
№31634
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Физика, Механика, Динамика, Движение связанных сил, Блоки,
Задача в следующих классах: 7 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Сборник задач для подготовки к олимпиадам по физике. 7 класс: Основы механики (под ред. Замятнина М.Ю.) 2019
Условие
Определите массу тела, подвешенного к системе, состоящей из блоков и нитей (см. рисунок). Сила натяжения нити (T=20) Н. Ответ дать в кг и округлить до целых.
Ответ
8
Решение № 31623:
(m=4T/g)
К
пробковому поплавку массой 1 кг привязан на нити свинцовый груз так, что
поплавок целиком опущен в воду. Определите массу груза и силу упругости нити,
если плотность пробки равна 200 кг/м3 .
Решение.
Систему
отсчета свяжем с поверхностью Земли и будем считать ее инерциальной. Ось OX направим вертикально вниз.
В
качестве физических систем будем по очереди рассматривать поплавок и груз. Обе
системы находятся в состоянии равновесия относительно выбранной инерциальной
системы отсчета.
Допустим, что поплавок и груз можно считать материальными
точками. Нить будем считать невесомой и нерастяжимой.
Действующие
силы на поплавок и груз схематично показаны на рисунке. Запишем условия
равновесия поплавка и груза.
T1
и T2 – силы упругости нити, F1 и F2 – выталкивающие силы, действующие на
поплавок и груз соответственно. Если спроецировать векторные величины на ось OX, получим систему уравнений.
(ρ0 , ρ1
, ρ2 – плотность воды, пробки и свинца соответственно). Поскольку
нить невесома, то T1 = T2 = T , поэтому получаем.
Решаем
эту систему относительно T
и m2 и получаем.
После
подстановки числовых значений физических величин получим: T = 40 H, m = 4,1 кг.
Ответ:
T = 40 H, m = 4,1 кг.
Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ. Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.
Два тела связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, подвешенный на пружинных весах (динамометре). Найти массы тел, их ускорения и силу натяжения нити, если известно, что масса первого тела в 2 раза меньше массы второго, а показание пружинных весов — 56 Н.
Оцените сложность задачи:
0 голосов, средняя сложность: 0.0000
Решения задачи
Данные задачи: Два тела связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, подвешенный на пружинных весах (динамометре)
| Масса первого тела | $m_{1}$ | ||
|---|---|---|---|
| Масса второго тела | $m_{2}$ | {2m_{1}} | |
| Показание пружинных весов | F | 56 | Н |
| Ускорение тел | $a$ | ? | |
| Сила натяжения нити 1 | $T_{1}$ | ? | |
| Сила натяжения нити 2 | $T_{2}$ | ? |
Изобразим на рисунке условия задачи
На тело массой m1 действует сила тяжести
$ vect{m_{1}g} $
и сила натяжения нити
$ vect{T_{1}} $
На тело массой m2 действует сила тяжести
$ vect{m_{2}g} $
и сила натяжения нити
$ vect{T_{2}} $
На блок действует силы натяжения нитей
$ vect{T_{1}} и vect{T_{2}} $
и сила упругости пружины динамометра
$ vect{F} $
Направим ось x вертикально вниз и запишем уравнение движения каждого тела в проекциях на данную ось
$ m_{1}g — T_{1} = — m_{1}a_{1} $
$ m_{2}g — T_{2} = m_{2}a_{2} $
$ T_{1} + T_{2} — F = 0 $
Если принять массу блока равной нулю, а нить невесомой и не растяжимой, то
$ |vect{T_{1}}| = |vect{T_{2}}|=T $
и
$ a_{1} = a_{2} = a $
Тогда уравнения примут вид
$ m_{1}g — T = — m_{1}a $
$ 2m_{1}g — T = 2m_{1}a $
$ 2T — F = 0 $
Откуда находим
$ T = frac{F}{2} = frac{56}{2} = 28 Н $
Приравняв
$ m_{1}(g+a) = 2m_{1}(g-a) $
Откуда, раскрыв скобки, находим
$ a = frac{g}{3} = frac{9,81}{3} = 3,3 frac{м}{с^{2}} $
и
$ m_{1} = frac{T}{g+a} = frac{T}{g+frac{g}{3}} = frac{3T}{4g} = frac{3×28}{4×9,81} = 2,14 кг $
$ m_{2} = 2m_{1} =2×2,14 =4,28 кг $
Ответ:
$ Ускорение тел 3,3 frac{м}{с^{2}}, масса тел 2,14 кг и 4,28 кг $
Чтобы предложить решение пожалуйста войдите или зарегистрируйтесь
Определение и формула силы натяжения нити
Силу натяжения определяют как равнодействующую сил 
, приложенных к нити, равную ей по модулю, но противоположно направленную. Устоявшегося символа (буквы), обозначающего силу натяжения нет. Ее обозначают и просто 
и 
, и 
. Математически определение для силы натяжения нити можно записать как:
где 
= векторная сумма всех сил, которые действуют на нить. Сила натяжения нити всегда направлена по нити (или подвесу).
Чаще всего в задачах и примерах рассматривают нить, массой которой можно пренебречь. Ее называют невесомой.
Еще одним важной характеристикой нити при расчете силы натяжения является ее растяжимость. Если исследуется невесомая и нерастяжимая нить, то такая нить считается просто проводящей через себя силу. В том случае, когда необходимо учитывать растяжение нити, применяют закон Гука, при этом:
где k – коэффициент жесткости нити, 
– удлинение нити при растяжении.
Единицы измерения силы натяжения нити
Основной единицей измерения силы натяжения нити (как и любой силы) в системе СИ является: [T]=Н
Примеры решения задач
Задание. Невесомая, нерастяжимая нить выдерживает силу натяжения T=4400Н. С каким максимальным ускорением можно поднимать груз массой m=400 кг, который подвешивают на эту нить, чтобы она не разорвалась?
Решение. Изобразим на рис.1 все силы, действующие на груз, и запишем второй закон Ньютона. Тело будем считать материальной точкой, все силы приложенными к центру масс тела.
где – сила натяжения нити. Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:
Из выражения (1.2) получим ускорение:
Все данные в задаче представлены в единицах системы СИ, проведем вычисления:
м/с 2
Ответ. a=1,2м/с 2
Задание. Шарик, имеющий массу m=0,1 кг прикрепленный к нити (рис.2) движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Найдите модуль силы натяжения нити, если длина нити l=5 м, радиус окружности R=3м.
Решение. Запишем второй закон Ньютона для сил, приложенных к шарику, который вращается по окружности с центростремительным ускорением:
Найдем проекции данного уравнения на обозначенные на рис.2 оси X и Y:
Из уравнения (2.3) получим формулу для модуля силы натяжения нити:
Из рис.2 видно, что:
Подставим (2.5) вместо 
в выражение (2.4), получим:
Так как все данные в условиях задачи приведены в единицах системы СИ, проведем вычисления:
Сила натяжения нити равна сумме сил, действующих на резьбу, и напротив их в направлении.
Здесь сила растяжения нити является векторной суммой сил, действующих на нить.
Единицей измерения силы является Н (Ньютон).
Эта формула является следствием третьего закона Ньютона применительно к нити. Если некоторый вес подвешен на нитях, которые находятся в состоянии покоя, то модуль натяжения на резьбе будет равен весу этой нагрузки. Обычно в задачи входят невесомые нерастяжимые нити, которые просто тянут власть через себя, но есть задачи, когда нить растягивается под действием силы. Однако он ведет себя как весна, подчиняясь закону Гука:
Где k — жесткость резьбы, — удлинение нити.
Примеры решения проблем на тему «Натяжная сила нити»
Корпус весом 5 Н подвешен на невесомой растягивающей нити, жесткость которой . Найдите растягивающуюся нить.
Согласно условию, сила натяжения нити равна массе тела, что означает:
Протяженность нити метров.
Два стержня соединены невесомой растягивающей нитью. Сила F действует на первый стержень, приводя оба стержня в направлении, противоположном направлению от первого стержня ко второму. Силы трения, действующие на первый и второй бруски соответственно: и . Жесткость резьбы: k. Найдите удлинение нити.
Обратите внимание, что силы трения действуют на стержни в направлениях, противоположных направлению движения. Нам нужно найти значение сил, растягивающих нить, которая соединена с стержнями. Со стороны первого стержня сила действует на резьбу , поскольку направлена на сжатие нити, а F — при растяжении. Со стороны второго стержня действует сила F. Следовательно:
В любой механической системе присутствует ограниченный набор сил и взаимодействий.
Основные силы в механике:
1. Закон всемирного тяготения (рис. 1):
Рис. 1. Закон всемирного тяготения
Или в случае модуля силы:
- где
- — сила взаимодействия между телами, обладающими массу
- , — массы взаимодействующих тел
- — расстояние между центрами взаимодействующих тел.
Направление: по линии, соединяющей взаимодействующие тела.
Возникает: данная сила возникает при взаимодействии любых массовых частиц (рис. 1).
Используется: в задачах, в которых одно из тел (или оба) являются планетами и/или спутниками.
2. Сила тяжести в рамках Земли (рис. 2).
Рис. 2. Сила тяжести
Представим себе, что в законе всемирного тяготения (1) взаимодействуют Земля и тело вблизи поверхности Земли.
- — масса Земли
- — масса тела вблизи поверхности Земли
- — средний радиус Земли
Тогда . Т.к. масса Земли, средний радиус Земли и гравитационная постоянная — величины известные, то посчитаем:
м/ . Давайте назовём эту константу через м/ . Мы аналитически получили ускорение свободного падения.
Таким образом, сила гравитационного притяжения для тела на Земле мы можем представить как:
Направление: всегда к центру Земли.
Возникает: при взаимодействии любого тела вблизи поверхности Земли и самой Земли.
Используется: в задачах, в которых тело находится вблизи поверхности Земли.
Рис. 3. Сила нормальной реакции опоры
3. Сила нормальной реакции опоры. Данная сила возникает при взаимодействии тела с опорой (тело лежит или движется по опоре). Обычно обозначается . Направление данной силы — перпендикуляр к опоре (рис. 3).
Направление: всегда перпендикулярно опоре.
Возникает: при касании тела любой поверхности (стол, стена).
Используется: в задачах, в которых тело движется или покоится, взаимодействуя с опорой.
Рис. 4. Сила трения
4. Сила трения (рис. 4). Сила трения — сила, возникающая при движении (скольжении) одного тела относительно другого. Физически, данная сила возникает в связи с механическими «цепляниями» неоднородностей (шероховатостей) поверхностей одного тела за неоднородности другого. Данная сила всегда направлена против текущего движения (против скорости).
Для описания силы трения вводят коэффициент трения . Данный коэффициент описывает степень взаимодействия системы тело-подложка. Коэффициент имеет ограничения: . При сила трения отсутствует.
Также в задаче могут быть фразы «силы трения нет», «гладкая поверхность», «силами трения пренебречь». Всё это говорит об отсутствии силы трения.
Нахождению силы трения способствует соотношение:
Направление: против скорости.
Возникает: при скольжении тела относительно негладкой (шероховатой) поверхности.
Используется: в задачах, в которых тело движется (увлекается в движение) относительно поверхности (сама поверхность при этом негладкая).
Рис. 5. Сила натяжения нити
5. Сила натяжения нити. Сила натяжения нити — сила, действующая на тело со стороны привязанной к нему нити (рис. 5). Направлена всегда вдоль нити.
Направление: по линии нити.
Возникает: данная сила возникает при наличии в задаче нити.
Используется: в задачах, в которых присутствует нить (при этом за неё обычно тянут). В большинстве таких задач несколько тел связаны невесомой нерастяжимой нитью.
6. Сила растяжения/сжатия (закон Гука, сила упругости). Возникает в деформированном теле, стремится возвратить тело в изначальную форму. Направлена против деформации. Пусть тело под действием некой силы удлинилось на величину (рис. 6).
Рис. 6. Сила упругости
Тогда сила упругости, возникшая в теле:
- где
- — модуль Юнга (табличная величина, характеризующая материал тела)
- — площадь поперечного сечения тела
- — начальная длина тела.
Направление: против деформации тела.
Возникает: при деформации тела.
Используется: в задачах, где тело (пружина) деформирована. Часто деформация задаётся удлинением тела.
7. Силы, заданные задачей. В задаче может присутствовать ряд сил, которые будут описаны в тексте. Чаще всего это силы, вызывающие движение (сила тяги мотора) или тормозящие (силы сопротивления воздуха, воды).
Вывод: для огромного ряда задач на динамику, при использовании второго закона Ньютона, необходимо знать, какие силы действуют на выбранное тело. Анализируя приведенные силы, условия их возникновения и направление действия, можно легко решить поставленную задачу.