Как найти мат ожидание функции случайной величины - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание — это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины — срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

Понравилось? Добавьте в закладки

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Получаем:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^3-x^4) dx = \
=left.(3x^4-frac{12}{5}x^5) right|_0^1=3-frac{12}{5} = frac{3}{5}=0.6.
$$

Другие задачи с решениями по ТВ

Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

Введите число значений случайной величины К.
Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
Нажмите на кнопку «Вычислить».
Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Понравилось? Добавьте в закладки

Полезные ссылки

А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала — еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Источник

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение

Эти величины определяют некоторое
среднее значение, вокруг которого
группируются значения случайной
величины, и степень их разбросанности
вокруг этого среднего значения.

Математическое ожидание Mдискретной случайной величины — это
среднее значение случайной величины,
равное сумме произведений всех возможных
значений случайной величины на их
вероятности.

Свойства математического ожидания:

Математическое ожидание постоянной
величины равно самой постоянной .
Постоянный множитель можно выносить
за знак математического ожидания .
Математическое ожидание произведения
двух независимых случайных величин
равно произведению их математических
ожиданий .
Математическое ожидание суммы двух
случайных величин равно сумме
математических ожиданий слагаемых

Для описания многих практически важных
свойств случайной величины необходимо
знание не только ее математического
ожидания, но и отклонения возможных ее
значений от среднего значения.

Дисперсия случайной величины— мера разброса случайной величины,
равная математическому ожиданию квадрата
отклонения случайной величины от ее
математического ожидания.

Принимая во внимание свойства
математического ожидания, легко показать
что

Казалось бы естественным рассматривать
не квадрат отклонения случайной величины
от ее математического ожидания, а просто
отклонение. Однако математическое
ожидание этого отклонения равно нулю.
Это объясняется тем, что одни возможные
отклонения положительны, другие
отрицательны, и в результате их взаимного
погашения получается ноль. Можно было
бы принять за меру рассеяния математическое
ожидание модуля отклонения случайной
величины от ее математического ожидания,
но как правило, действия связанные с
абсолютными величинами, приводят к
громоздким вычислениям.

Свойства дисперсии:

Дисперсия постоянной равна нулю.
Постоянный множитель можно выносить
за знак дисперсии, возводя его в квадрат.
Если x и y независимые случайные величины
, то дисперсия суммы этих величин равна
сумме их дисперсий.

Средним квадратическим отклонением
случайной величины(иногда применяется
термин «стандартное отклонение случайной
величины») называется число равное.

Среднее квадратическое отклонение,
является, как и дисперсия, мерой рассеяния
распределения, но измеряется, в отличие
от дисперсии, в тех же единицах, которые
используют для измерения значений
случайной величины.

Решение задач:

1)Дана случайная величина Х:

x_i	-3	-2	0	1	2
p_i	0,1	0,2	0,05	0,3	0,35

Найти М(х), D(X).

Решение:

=9=2,31.

2) Известно, что М(Х)=5, М(Y)=2.
Найти математическое ожидание случайной
величиныZ=6X-2Y+9-XY.

Решение:М(Z)=6М(Х)-2М(Y)+9-M(X)M(Y)=30-4+9-10=25.

Пример:Известно, чтоD(Х)=5,D(Y)=2. Найти
математическое ожидание случайной
величиныZ=6X-2Y+9.

Решение:D(Z)=6²D(Х)-2²D(Y)+0=180-8=172.

Тема 7. Непрерывные случайные величины

Задача 14

Случайная
величина, значения которой заполняют
некоторый промежуток, называется
непрерывной.

Плотностью распределениявероятностей непрерывной случайной
величины Х называется функцияf(x)– первая производная от функции
распределенияF(x).

Плотность
распределения также называют
дифференциальной
функцией.
Для описания дискретной случайной
величины плотность распределения
неприемлема.

Зная плотность распределения, можно
вычислить вероятность того, что некоторая
случайная величина Х примет значение,
принадлежащее заданному интервалу.

Вероятность того, что непрерывная
случайная величина Х примет значение,
принадлежащее интервалу (a,
b), равна определенному
интегралу от плотности распределения,
взятому в пределах от a
до b.

Функция распределения может быть легко
найдена, если известна плотность
распределения, по формуле:

Свойства плотности распределения.

1) Плотность распределения – неотрицательная
функция.

2) Несобственный интеграл
от плотности распределения в пределах
от -доравен единице.

Решение задач.

1.Случайная величина подчинена
закону распределения с плотностью:

Требуется найти коэффициент а,
определить вероятность того, что
случайная величина попадет в интервал
от 0 до.

Решение:

Для нахождения коэффициента авоспользуемся свойством.

2 .Задана непрерывная случайная
величинахсвоей функцией распределенияf(x).

Требуется определить
коэффициент А, найти функцию распределения,
определить вероятность того, что
случайная величинахпопадет в
интервал.

Решение:

Найдем коэффициент А.

Найдем функцию распределения:

1) На участке
:

2) На участке

3) На участке

Итого:

Найдем вероятность попадания случайной
величины в интервал
.

Ту же самую вероятность можно искать
и другим способом:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Математическое ожидание — это ожидаемый результат от какого-то действия.

Например, можно рассчитать ожидаемую стоимость инвестиции в определённый момент в будущем. Рассчитывая математическое ожидание перед тем, как инвестировать, можно выбрать наилучший сценарий который, по мнению инвестора, даст наилучший результат.

Случайная величина может быть двух типов:

Дискретной: число возможных значений X — это числимое конечное или бесконечное множество точек; пример: количество дефектных устройств в производстве фабрики.
Непрерывной: X может принимать любое значение в заданном диапазоне; пример: концентрация углекислого газа в воде.

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается этой формулой:

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитать формула: M(X)=∑ Xi×Pi

M(X) = ∑ xi × pi
Где:
М — математическое ожидание,
X — случайная величина,
p — вероятность появления случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается:
1. Сначала нужно умножить каждое из возможных результатов на свою вероятность (например: вероятность, что выпадет «1» — 1/6, «2» — 1/3, значит умножаем 1 на 1/6, 2 на 1/3, и т.д.),
2. Затем суммируем все эти значения (1 × 1/6 + 2 × 1/3 и т.д.).

Для непрерывной случайной величины используется эта формула:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины рассчитать формула: M(X) = -∞+∞f(x) × x.dx

M(X) = ∫ f(x) × x.dx
Где:
М — математическое ожидание
f (x) — функция (которая будет предоставлена в условии задачи)
x — случайная величина
dx — элемент интегрирования

В этом случае рассчитывается интеграл в заданном интервале.

Примеры вычисления математического ожидания

Кратко:

если в задаче даётся таблица с данными, то перемножаем каждое событие на его вероятность и потом всё складываем;
если в задаче дают функцию с заданным интервалом, то вычисляем интеграл с этим интервалом.

Пример 1

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	−1	1	2	3	4
pi	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = −1×0,1+ 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,3 = −0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,3 + 1,2 = 2,2

Пример 2

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = 2x, при x∈(0,1) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Пример 3

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	1	2	3	4	5
pi	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = 1×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,2 = 0,3 + 0,6 + 0,3 + 0,4 + 1 = 2,6

Пример 4

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = (1/10).(3x²+1), при x∈(0,2) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Узнайте больше про Интегралы.

Основные свойства математического ожидания

Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: М(c)=c.
Математическое ожидание сложения/вычитания двух случайных величин равно сумме/вычитанию их математических ожиданий: пусть X и Y — две случайные величины, значит М (X ± Y) = М (X) ± М (Y).
Если умножить случайную величину X на c, её среднее значение также умножается на эту константу (c): М (cX) = cМ (X).
Если добавить или вычесть c из случайной величины X, то произойдёт та же операция (сложение или вычитание константы) с её средним значением: М (X ± c) = М (X) ± c.
Если X и Y — две независимые случайные величины, значит: М(XY)=М(X)×М(Y).

Узнайте больше про Теорию вероятностей.

Источник

Математическое ожидание случайной величины и его свойства

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Математическим ожиданием
дискретной случайной величины
, множество возможных значений которой
конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на
соответствующие вероятности:

Если множество возможных
значений счетное, то

Причем математическое
ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.

Математическое ожидание
приближенно равно среднему значению случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

,
возможные значения которой принадлежат всей оси

,
определяется равенством:

где

– плотность распределения случайной величины

.
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу

,
то:

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Свойства математического ожидания

Свойство 1.

Математическое ожидание
константы равно этой константе:

Свойство 2.

Постоянный множитель
можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3.

Математическое ожидание
суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Свойство 4.

Математическое ожидания
произведения случайных величин:

где

–
ковариация случайных величин

В частности, если

независимы, то

И вообще, для независимых случайных величин
математическое ожидание их произведения равно произведению математических
ожиданий сомножителей:

Смежные темы решебника:

Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
Дискретная случайная величина
Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

Пример 1

Производится
3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p₁=0,4; p₂=0,3 и p₃=0,6. Найти математическое
ожидание общего числа попаданий.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Число
попаданий при первом выстреле есть случайная величина

, которая может принимать
только два значения:

1 –
попадание с вероятностью

0 –
промах с вероятностью

Математическое
ожидание числа попаданий при первом выстреле:

Аналогично
находим математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:

Общее
число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в
каждом из трех выстрелов:

Искомое
математическое ожидание:

Ответ:

Пример 2

Для случайных величин X,Y известны
характеристики M(X)=3, M(Y)=7, D(X)=16, D(Y)=49, ρ_XY=0.35

Найдите математическое ожидание M(XY).

Решение

Коэффициент корреляции:

Искомое математическое ожидание:

Ответ:

Пример 3

Даны законы распределения двух независимых
случайных величин X и Y:

Требуется:

—
составить закон распределения случайной величины Z=3X-Y;

— найти
числовые характеристики случайных величин X, Y, Z;

—
проверить свойство M(Z)=3M(X)-M(Y);

—
построить функцию распределения для

Z и построить ее график.

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Составим закон распределения

или

Проверка:

Закон
распределения величины

Найдем математические
ожидания:

Проверим
свойство:

– выполняется

Найдем
дисперсии:

Средние
квадратические отклонения:

Запишем
функцию распределения:

График функции распределения

Пример 4

Найти
математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании
двух игральных костей.

Решение

Обозначим
число очков, которое может выпасть на первой кости, через

, и на второй – через

Возможные
значения этих величин одинаковы и равны: 1,2,3,4,5 и 6.

При этом
вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Математическое
ожидание числа очков, выпавших на первой кости:

Аналогично
математическое ожидание числа очков, выпавших на второй кости:

Искомое
математическое ожидание:

Ответ:

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

Найти
математическое ожидание случайной величины Z=6X-9Y+7XY-10, если известно, что
M(X)=2; M(Y)=3.

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 2

Случайные
величины X и Y независимы и распределены
равномерно: X – в интервале (a,b), Y

– в интервале (c,d).
Найти математическое ожидание случайной величины Z.

a=-3, b=4, c=3, d=6, Z=6XY, M(Z)-?

Задача 3

Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3+2.2X-Y, где X и Y –
независимые случайные величины, если известны M(X)=1, D(X)=0.5,
M(Y)=2, D(Y)=2.

Задача 4

Независимые
случайные величины заданы законами распределения:

Построить ряд распределения F(Z), где Z=X-Y.
Проверить свойства:

M(Z)=M(X)-M(Y)

D(Z)=D(X)+D(Y)

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 5

Независимые
случайные величины X и Y заданы следующими законами
распределения:

Найти
математическое ожидание случайной величины XY

Задача 6

Дискретная
случайная величина X принимает три возможных значения: x₁=4 с вероятностью p₁=0.5; x₂=6 c вероятностью p₂=0.3 и x₃ с вероятностью p₃. Найти x₃ и p₃, зная, что M(X)=8.

Задача 7

Дан
перечень возможных значений случайной величины X: x₁=-1, x₂=0, x₃=1, а также известны
математические ожидания этой величины и ее квадрата:

M(X)=0.1, M(X²)=0.9.

Найти
вероятности p₁, p₂, p₃ соответствующие возможным
значениям x₁, x₂, x₃.

Задача 8

Дан
перечень возможных значений дискретной случайной величины X:

x₁=1, x₂=2, x₃=3

А также
известны математические ожидания этой величины и ее квадрата:

M(X)=2.3

M(X²)=5.9

Найти вероятности, соответствующие
возможным значениям X.

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

Функции случайных величин

Определение функции случайных величин. Функция дискретного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функция непрерывного случайного аргумента и ее числовые характеристики. Функции двух случайных аргументов. Определение функции распределения вероятностей и плотности для функции двух случайных аргументов.

Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины

При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.

Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.

Дана система случайных величин (X_1,X_2,ldots,X_n) , закон распределения которой известен. Рассматривается некоторая случайная величина Y как функция данных случайных величин:

Y=varphi(X_1,X_2,ldots,X_n).

(6.1)

Требуется определить закон распределения случайной величины , зная вид функций (6.1) и закон совместного распределения ее аргументов.

Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента

Y=varphi(X).

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{X}&x_1&x_2&cdots&x_n\hline{P}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Тогда Y=varphi(X) также дискретная случайная величина с возможными значениями y_1=varphi(x_1),y_2=varphi(x_2),ldots,y_n=varphi(x_n) . Если все значения y_1,y_2,ldots,y_n различны, то для каждого k=1,2,ldots,n события ${X=x_k}$ и ${Y=y_k=varphi(x_k)}$ тождественны. Следовательно,

$P{Y=y_k}=P{X=x_k}=p_k$

и искомый ряд распределения имеет вид

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{Y}&y_1=varphi(x_1)&y_2=varphi(x_2)&cdots&y_n=varphi(x_n)\hline{P}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Если же среди чисел y_1=varphi(x_1),y_2=varphi(x_2),ldots,y_n=varphi(x_n) есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений y_k=varphi(x_k) нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.

Для непрерывных случайных величин задача ставится так: зная плотность распределения f(x) случайной величины , найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=varphi(X) . При решении поставленной задачи рассмотрим два случая.

Предположим сначала, что функция y=varphi(x) является монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой на интервале (a;b) , на котором лежат все возможные значения величины . Тогда обратная функция x=psi(y) существует, при этом являясь также монотонно возрастающей, непрерывной и дифференцируемой. В этом случае получаем

g(y)=fbigl(psi(y)bigr)cdot |psi'(y)|.

(6.2)

Пример 1. Случайная величина распределена с плотностью

$f(x)=frac{1}{sqrt{2pi}}e^{-x^2/2}$

Найти закон распределения случайной величины , связанной с величиной зависимостью Y=X^3 .

Решение. Так как функция y=x^3 монотонна на промежутке (-infty;+infty) , то можно применить формулу (6.2). Обратная функция по отношению к функции varphi(x)=x^3 есть psi(y)=sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y} , ее производная $psi'(y)=frac{1}{3sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y^2}}$ . Следовательно,

$g(y)=frac{1}{3sqrt{2pi}}e^{-sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y^2}/2}frac{1}{sqrt[LARGE{LARGE{3}}]{y^2}}$

Рассмотрим случай немонотонной функции. Пусть функция y=varphi(x) такова, что обратная функция x=psi(y) неоднозначна, т. е. одному значению величины соответствует несколько значений аргумента , которые обозначим x_1=psi_1(y),x_2=psi_2(y),ldots,x_n=psi_n(y) , где — число участков, на которых функция y=varphi(x) изменяется монотонно. Тогда

$g(y)=sumlimits_{k=1}^{n}fbigl(psi_k(y)bigr)cdot |psi'_k(y)|.$

(6.3)

Пример 2. В условиях примера 1 найти распределение случайной величины Y=X^2 .

Решение. Обратная функция x=psi(y) неоднозначна. Одному значению аргумента соответствуют два значения функции

$begin{gathered}x_1=psi_1(y)=+sqrt{y};\x_2=psi_2(y)=-sqrt{y}.end{gathered}$

Применяя формулу (6.3), получаем:

$begin{gathered}g(y)=f(psi_1(y))|psi'_1(y)|+f(psi_2(y))|psi'_2(y)|=\\=frac{1}{sqrt{2pi}},e^{-left(-sqrt{y^2}right)^2/2}!left|-frac{1}{2sqrt{y}}right|+frac{1}{sqrt{2pi}},e^{-left(sqrt{y^2}right)^2/2}!left|frac{1}{2sqrt{y}}right|=frac{1}{sqrt{2pi{y}}},e^{-y/2}.end{gathered}$

Закон распределения функции двух случайных величин

Пусть случайная величина является функцией двух случайных величин, образующих систему (X_1;X_2) , т. е. Y=varphi(X_1;X_2) . Задача состоит в том, чтобы по известному распределению системы найти распределение случайной величины .

Пусть f(x_1;x_2) — плотность распределения системы случайных величин . Введем в рассмотрение новую величину Y_1 , равную X_1 , и рассмотрим систему уравнений

$left{!begin{gathered}y=varphi(x_1;x_2);hfill\y_1=x_1.hfillend{gathered}right.$

Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно x_1,x_2

$left{!begin{gathered}x_2=psi(y;y_2);hfill\x_1=y_1.hfillend{gathered}right.$

и удовлетворяет условиям дифференцируемости.

Плотность распределения случайной величины

$g_1(y)=intlimits_{-infty}^{+infty}f(x_1;psi(y;x_1))!left|frac{partialpsi(y;x_1)}{partial{y}}right|dx_1.$

Заметим, что рассуждения не изменяются, если введенную новую величину Y_1 положить равной X_2 .

Математическое ожидание функции случайных величин

На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.

Пусть случайная величина является функцией случайного аргумента с заданным законом распределения

Y=varphi(X).

Требуется, не находя закона распределения величины , определить ее математическое ожидание

M(Y)=M[varphi(X)].

Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{x_i}&x_1&x_2&cdots&x_n\hline{p_i}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Составим таблицу значений величины и вероятностей этих значений:

$begin{array}{|c|c|c|c|c|}hline{y_i=varphi(x_i)}&y_1=varphi(x_1)&y_2=varphi(x_2)&cdots&y_n=varphi(x_n)\hline{p_i}&p_1&p_2&cdots&p_n\hlineend{array}$

Эта таблица не является рядом распределения случайной величины , так как в общем случае некоторые из значений могут совпадать между собой и значения в верхней строке не обязательно идут в возрастающем порядке. Однако математическое ожидание случайной величины можно определить по формуле

$M[varphi(X)]=sumlimits_{i=1}^{n}varphi(x_i)p_i,$

(6.4)

так как величина, определяемая формулой (6.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.

Формула (6.4) не содержит в явном виде закон распределения самой функции varphi(X) , а содержит только закон распределения аргумента . Таким образом, для определения математического ожидания функции Y=varphi(X) вовсе не требуется знать закон распределения функции , а достаточно знать закон распределения аргумента .

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле

$M[varphi(X)]=intlimits_{-infty}^{+infty}varphi(x)f(x),dx,$

где f(x) — плотность распределения вероятностей случайной величины .

Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.

Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

$M(XY)=M(X)M(Y)+mu_{xy}.$

Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Дисперсия функции случайных величин

По определению дисперсии имеем D[Y]=M[(Y-M(Y))^2]. . Следовательно,

D[varphi(x)]=M[(varphi(x)-M(varphi(x)))^2] , где M(varphi(x))=M[varphi(X)] .

Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента Y=varphi(X) дисперсия выражается формулой

$D[varphi(x)]=intlimits_{-infty}^{+infty}(varphi(x)-M(varphi(x)))^2f(x),dx,$

(6.5)

где M(varphi(x))=M[varphi(X)] — математическое ожидание функции ; f(x) — плотность распределения величины .

Формулу (6.5) можно заменить на следующую:

$D[varphi(x)]=intlimits_{-infty}^{+infty}varphi^2(x)f(x),dx-M^2(X)$

Рассмотрим теоремы о дисперсиях, которые играют важную роль в теории вероятностей и ее приложениях.

Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:

$D!left[sumlimits_{i=1}^{n}X_iright]=sumlimits_{i=1}^{n}D[X_i]+2sumlimits_{i<j}mu_{x_ix_j}$

Следствие 6.3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

$D!left[sumlimits_{i=1}^{n}X_iright]=sumlimits_{i=1}^{n}D[X_i]$

Теорема 6.4. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин вычисляется по формуле

D[XY]=D[X]D[Y]+M^2(X)D[Y]+M^2(Y)D[X].

Корреляционный момент функций случайных величин

Согласно определению корреляционного момента двух случайных величин и , имеем

$mu_{xy}=M[(X-M(X))(Y-M(Y))].$

Раскрывая скобки и применяя свойства математического ожидания, получаем

$mu_{xy}=M(XY)-M(X)M(Y).$

(6.6)

Рассмотрим две функции случайной величины

Y_1=varphi_1(X);qquad Y_2=varphi_2(X).

Согласно формуле (6.6)

$mu_{y_1y_2}= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).$

отсюда

$mu_{y_1y_2}=M(varphi_1(X)varphi_2(X))-M(varphi_1(X))M(varphi_2(X)).$

т.е. корреляционный момент двух функций случайных величин равен математическому ожиданию произведения этих функций минус произведение из математических ожиданий.

Рассмотрим основные свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции.

Свойство 1. От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются.

Свойство 2. Для любых случайных величин и абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:

$|mu_{xy}|leqslantsqrt{D[X]cdot D[Y]}=sigma_xcdot sigma_y,$

где sigma_x,sigma_y — средние квадратические отклонения величин и .

Следствие 6.5. Для любых случайных величин и абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы:

$|r_{xy}|leqslant1.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник