Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение
Эти величины определяют некоторое
среднее значение, вокруг которого
группируются значения случайной
величины, и степень их разбросанности
вокруг этого среднего значения.
Математическое ожидание Mдискретной случайной величины — это
среднее значение случайной величины,
равное сумме произведений всех возможных
значений случайной величины на их
вероятности.
Свойства математического ожидания:
-
Математическое ожидание постоянной
величины равно самой постоянной . -
Постоянный множитель можно выносить
за знак математического ожидания . -
Математическое ожидание произведения
двух независимых случайных величин
равно произведению их математических
ожиданий . -
Математическое ожидание суммы двух
случайных величин равно сумме
математических ожиданий слагаемых
Для описания многих практически важных
свойств случайной величины необходимо
знание не только ее математического
ожидания, но и отклонения возможных ее
значений от среднего значения.
Дисперсия случайной величины— мера разброса случайной величины,
равная математическому ожиданию квадрата
отклонения случайной величины от ее
математического ожидания.
.
Принимая во внимание свойства
математического ожидания, легко показать
что
Казалось бы естественным рассматривать
не квадрат отклонения случайной величины
от ее математического ожидания, а просто
отклонение. Однако математическое
ожидание этого отклонения равно нулю.
Это объясняется тем, что одни возможные
отклонения положительны, другие
отрицательны, и в результате их взаимного
погашения получается ноль. Можно было
бы принять за меру рассеяния математическое
ожидание модуля отклонения случайной
величины от ее математического ожидания,
но как правило, действия связанные с
абсолютными величинами, приводят к
громоздким вычислениям.
Свойства дисперсии:
-
Дисперсия постоянной равна нулю.
-
Постоянный множитель можно выносить
за знак дисперсии, возводя его в квадрат. -
Если x и y независимые случайные величины
, то дисперсия суммы этих величин равна
сумме их дисперсий.
Средним квадратическим отклонением
случайной величины(иногда применяется
термин «стандартное отклонение случайной
величины») называется число равное
.
Среднее квадратическое отклонение,
является, как и дисперсия, мерой рассеяния
распределения, но измеряется, в отличие
от дисперсии, в тех же единицах, которые
используют для измерения значений
случайной величины.
Решение задач:
1)Дана случайная величина Х:
-
xi
-3
-2
0
1
2
pi
0,1
0,2
0,05
0,3
0,35
Найти М(х), D(X).
Решение:
.
=9
=2,31.
.
2) Известно, что М(Х)=5, М(Y)=2.
Найти математическое ожидание случайной
величиныZ=6X-2Y+9-XY.
Решение:М(Z)=6М(Х)-2М(Y)+9-M(X)M(Y)=30-4+9-10=25.
Пример:Известно, чтоD(Х)=5,D(Y)=2. Найти
математическое ожидание случайной
величиныZ=6X-2Y+9.
Решение:D(Z)=62D(Х)-22D(Y)+0=180-8=172.
Тема 7. Непрерывные случайные величины
Задача 14
Случайная
величина, значения которой заполняют
некоторый промежуток, называется
непрерывной.
Плотностью распределениявероятностей непрерывной случайной
величины Х называется функцияf(x)– первая производная от функции
распределенияF(x).
Плотность
распределения также называют
дифференциальной
функцией.
Для описания дискретной случайной
величины плотность распределения
неприемлема.
Зная плотность распределения, можно
вычислить вероятность того, что некоторая
случайная величина Х примет значение,
принадлежащее заданному интервалу.
Вероятность того, что непрерывная
случайная величина Х примет значение,
принадлежащее интервалу (a,
b), равна определенному
интегралу от плотности распределения,
взятому в пределах от a
до b.
Функция распределения может быть легко
найдена, если известна плотность
распределения, по формуле:
Свойства плотности распределения.
1) Плотность распределения – неотрицательная
функция.
2) Несобственный интеграл
от плотности распределения в пределах
от -доравен единице.
Решение задач.
1.Случайная величина подчинена
закону распределения с плотностью:
Требуется найти коэффициент а,
определить вероятность того, что
случайная величина попадет в интервал
от 0 до
.
Решение:
Для нахождения коэффициента авоспользуемся свойством
.
2 .Задана непрерывная случайная
величинахсвоей функцией распределенияf(x).
Требуется определить
коэффициент А, найти функцию распределения,
определить вероятность того, что
случайная величинахпопадет в
интервал
.
Решение:
Найдем коэффициент А.
Найдем функцию распределения:
1) На участке
:
2) На участке
3) На участке
Итого:
Найдем вероятность попадания случайной
величины в интервал
.
Ту же самую вероятность можно искать
и другим способом:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Числовые характеристики распределения вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение
- Закон распределения дискретной случайной величины
- Математическое ожидание
- Дисперсия
- Среднее квадратичное отклонение
- Правило трёх сигм
- Примеры
п.1. Закон распределения дискретной случайной величины
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между полученными на опыте значениями этой величины X= {xi} и их вероятностями pi = P(xi).
При этом сумма всех вероятностей равна 1: (mathrm{sum_{i=1}^n p_i=1})
Закон распределения можно задать таблицей, графиком или аналитически (в виде формулы).
Например:
Закон распределения случайной величины X = {0;1;2;3}, равной числу выпадения орлов при 3 бросках монеты, аналитически задаётся формулой: $$ mathrm{ p_i=P(x_i)=P_3(i)=frac{C_3^{i}}{2^3}, i={0;1;2;3} } $$
В табличном виде:
|
xi |
pi |
|
0 |
1/8 |
|
1 |
3/8 |
|
2 |
3/8 |
|
3 |
1/8 |
В виде графика:
п.2. Математическое ожидание
Математическое ожидание дискретной случайной величины X = {xi} равно сумме произведений всех возможных значений xi на соответствующие вероятности pi: $$ mathrm{ M(X)=x_1p_1+x_2p_2+…+x_{n}p_{n}=sum_{i=1}^n x_{i}p_{i} } $$ Математическое ожидание является средним значением величины X.
Свойства математического ожидания
1) Размерность математического ожидания равна размерности случайной величины.
2) Математическое ожидание может быть любым действительным числом: положительным, равным 0, отрицательным.
3) Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной:
M(C) = C
4) Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме математических ожиданий:
M(X + Y) = M(X) + M(Y)
5) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий:
M(XY) = M(X) · M(Y)
6) Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:
M(CX) = C · M(X)
Например:
Пусть в результате экспериментов получено следующее распределение случайной величины X – числа появления белых шаров (см. пример 1, §40 данного справочника):
| Число белых шаров, xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| pi | (mathrm{C_5^0q^5}) | (mathrm{C_5^1pq^4}) | (mathrm{C_5^2p^2q^3}) | (mathrm{C_5^3p^3q^2}) | (mathrm{C_5^4p^4q}) | (mathrm{C_5^5p^5}) |
| 0,0074 | 0,0618 | 0,2060 | 0,3433 | 0,2861 | 0,0954 |
Найдём математическое ожидание для данного распределения:
M(X) = 0 · 0,0074 + 1 · 0,0618 + … + 5 · 0,0954 = 3,125
п.3. Дисперсия
Дисперсия дискретной случайной величины X = {xi} – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: $$ mathrm{ D(X)=M(X-M(X))^2 } $$ На практике дисперсия рассчитывается по формуле: $$ mathrm{ D(X)=M(X)^2-M^2(X)=sum_{i=1}^n x_i^2p_i-M^2(X) } $$
Свойства дисперсии
1) Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.
2) Дисперсия может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(C) = 0
4) Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:
D(X + Y) = D(X) + D(Y)
5) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии:
D(CX) = C2 · D(X)
Например:
Продолжим исследование и найдём дисперсию для распределения случайной величины X – числа появления белых шаров. Составим расчётную таблицу:
pi
0,0074
0,0618
0,2060
0,3433
0,2861
0,0954
1
xip1
0
0,0618
0,4120
1,0300
1,1444
0,4768
3,125
(mathrm{x_i^2})
0
1
4
9
16
25
–
(mathrm{x_i^2p_i})
0
0,0618
0,8240
3,0899
4,5776
2,3842
10,9375
Получаем: D(X) = 10,9375 – 3,1252 ≈ 1,1719.
п.4. Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение (СКО) дискретной случайной величины X = {xi} – это корень квадратный от дисперсии: $$ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)} } $$ СКО характеризует степень отклонения случайной величины от среднего значения.
Свойства СКО
1) Размерность СКО равна размерности случайной величины.
2) СКО может быть любым неотрицательным действительным числом.
3) СКО постоянной величины равно нулю:
σ(C) = 0
4) Постоянный множитель можно вынести за знак СКО:
σ(CX) = C · σ(X)
п.5. Правило трёх сигм
Большое количество случайных величин, измеряемых в экспериментах (например, в школьных лабораторных работах), имеет так называемое нормальное распределение.
В частности, при больших n, биномиальное распределение можно с хорошей точностью описывать как нормальное с M(X) = np и (mathrm{sigma(X)=sqrt{npq}}).
График плотности нормального распределения p(x) похож на колокол, с максимумом, соответствующим M(X) = Xcp – среднему значению измеряемой величины.
Величина СКО σ(X) характеризует степень отклонения X от среднего значения M(X).
Если величина X имеет нормальное распределение, то в пределах
±σ лежит 68,26% значений, принимаемых этой величиной
±2σ лежит 95,44% значений, принимаемых этой величиной
±3σ лежит 99,72% значений, принимаемых этой величиной
Вероятность того, что нормально распределённая величина примет значение, отклоняющееся от среднего больше, чем на «три сигмы», равна 0,28%, т.е. пренебрежимо мала.
п.6. Примеры
Пример 1. Найдите математическое ожидание, дисперсию и СКО при бросании кубика.
Закон распределения величины X – очки на верхней грани при бросании кубика и расчётная таблица:
pi
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
xip1
1/6
1/3
1/2
2/3
5/6
1
3,5
(mathrm{x_i^2})
1
4
9
16
25
36
–
(mathrm{x_i^2p_i})
(mathrm{frac16})
(mathrm{frac23})
(mathrm{1frac12})
(mathrm{2frac23})
(mathrm{4frac16})
6
(mathrm{15frac16})
Получаем: begin{gather*} mathrm{ M(X)=sum_{i=1}^6 x_ip_i=3,5 }\ mathrm{ D(X)=sum_{i=1}^6 x_i^2p_i-M^2(X)=15frac16-3,5^3=2frac{11}{12} }\ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{2frac{11}{12}}approx 1,7 } end{gather*} Ответ: (mathrm{M(X)=3,5; D(X)=2frac{11}{12}; sigma(X)approx 1,7}).
Пример 2*. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО суммы очков при бросании двух кубиков.
Используем свойства мат.ожиданий и дисперсий.
Пусть X – очки на первом кубике, Y – на втором.
Параметры распределения для каждого из кубиков рассчитаны в примере 1.
(mathrm{M(X)=M(Y)=3,5, D(X)=D(Y)=2frac{11}{12}}).
Для суммы очков получаем:
(mathrm{M(X+Y)=M(X)+M(Y)=3,5+3,5=7})
(mathrm{D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2frac{11}{12}+2frac{11}{12}=5frac56})
(mathrm{sigma(X+Y)=sqrt{D(X+Y)}=sqrt{5frac56}approx 2,4})
Ответ: (mathrm{M(X+Y)=7; D(X+Y)=5frac56; sigma(X+Y)approx 2,4}).
Пример 3*. Докажите, что в опытах по схеме Бернулли математическое ожидание M(X)=np, а дисперсия D(X)=npq.
Проведем один опыт. В нём может быть только два исхода: «успех» и «неудача».
Составим расчётную таблицу:
(mathrm{x_i^2p_i})
0
p
p
Мат.ожидание первого опыта (mathrm{M(X)=sum x_ip_i=p}).
Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. (mathrm{X=X_1+X_2+…+X_n}). Все опыты между собой независимы.
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий: begin{gather*} mathrm{ M(X)=M(X_1+X_2+…+X_n)=M(X_1)+M(X_2)+…+M(X_n)= }\ mathrm{=underbrace{p+p+…+p}_{n text{раз}}=np } end{gather*} Дисперсия первого опыта (mathrm{D(X)=sum x_i^2p_i-M(X)=p-p^2=p(1-p)=pq})
По свойству дисперсии суммы независимых событий: begin{gather*} mathrm{ D(X)=D(X_1+X_2+…+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+…+D(X_n)= }\ mathrm{=underbrace{pq+pq+…+pq}_{n text{раз}}=npq } end{gather*} Что и требовалось доказать.
Пример 4. 100 канцелярских кнопок высыпали на стул. Вероятность, что кнопка упала острием вверх, равна 0,4. Найдите среднее количество, дисперсию и СКО для числа кнопок, упавших острием вверх. Найдите интервал оценки для количества этих кнопок по правилу «трёх сигм».
По условию n = 100, p = 0,4.
Для каждой кнопки может быть два исхода: упасть острием вверх или вниз.
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. begin{gather*} mathrm{ M(X)=np=100cdot 0,4=40 }\ mathrm{D(X)=npq=100cdot 0,4cdot 0,6=24 }\ mathrm{sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{24}approx 4,9} end{gather*} Интервал оценки «три сигмы»: begin{gather*} mathrm{ M(X)-3sigma(X)lt Xlt M(X)+3sigma(X) }\ mathrm{40-3cdot 4,9lt Xlt 40+3cdot 4,9 }\ mathrm{25,3lt Xlt 54,7}\ mathrm{26leq Xleq 54} end{gather*} Скорее всего (99,7%), от 26 до 54 кнопок будут острием вверх.
Ответ: (mathrm{M(X)=40; D(X)=24; sigma(X)approx 4,9; 26leq Xleq 54})
Пример 5*. В тесте 10 задач с 4 вариантами ответов. Ответы выбираются наугад. Постройте распределение величины X = «количество угаданных ответов», найдите числовые характеристики этого распределения.
Найдите интервал оценки для количества угаданных ответов по правилу «трёх сигм».
Какова вероятность угадать хотя бы 1 ответ? Хотя бы 5 ответов? Угадать все 10 ответов?
По условию: (mathrm{n=10, p=frac14, q=frac34}).
Для каждого ответа может быть два исхода: «угадал»/ «не угадал».
Таким образом, это испытание Бернулли с биномиальным распределением случайной величины. $$ mathrm{ P_{10}(k)=C_{10}^kp^kq^{10-k}=C_{10}^kfrac{3^{10-k}}{4^{10}}=left(frac34right)^{10}frac{C_{10}^k}{3^k} } $$ Строим расчётную таблицу. Для (mathrm{C_{10}^k}) используем рекуррентную формулу (см. §36 данного справочника): $$ mathrm{ C_{n}^k=frac{n-k+1}{k}C_n^{k-1} } $$
| (mathrm{x_i=k}) | (mathrm{C_k}) | (mathrm{3^k}) | (mathrm{p_i(x_i)}) | (mathrm{x_icdot p_i}) | (mathrm{x_i^2}) | (mathrm{x_i^2cdot p_i}) |
| 0 | 1 | 1 | 0,0563135 | 0,0000000 | 0 | 0,0000000 |
| 1 | 10 | 3 | 0,1877117 | 0,1877117 | 1 | 0,1877117 |
| 2 | 45 | 9 | 0,2815676 | 0,5631351 | 4 | 1,1262703 |
| 3 | 120 | 27 | 0,2502823 | 0,7508469 | 9 | 2,2525406 |
| 4 | 210 | 81 | 0,1459980 | 0,5839920 | 16 | 2,3359680 |
| 5 | 252 | 243 | 0,0583992 | 0,2919960 | 25 | 1,4599800 |
| 6 | 210 | 729 | 0,0162220 | 0,0973320 | 36 | 0,5839920 |
| 7 | 120 | 2187 | 0,0030899 | 0,0216293 | 49 | 0,1514053 |
| 8 | 45 | 6561 | 0,0003862 | 0,0030899 | 64 | 0,0247192 |
| 9 | 10 | 19683 | 0,0000286 | 0,0002575 | 81 | 0,0023174 |
| 10 | 1 | 59049 | 0,0000010 | 0,0000095 | 100 | 0,0000954 |
| Σ | 1 | 2,5 | 8,125 |
Получаем: begin{gather*} mathrm{ M(X)=sum_{i=0}^{10} x_ip_i=2,5 }\ mathrm{ D(X)=sum_{i=0}^{10} x_i^2p_i-M^2(X)=8,125=2,5^2=1,875 }\ mathrm{ sigma(X)=sqrt{D(X)}=sqrt{1,875}approx 1,37 } end{gather*} 
Интервал оценки «три сигмы»: begin{gather*} mathrm{ M(X)-3sigma(X) lt Xlt M(X)+3sigma(X) }\ mathrm{ 2,5-3cdot 1,37lt X lt 2,5+3cdot 1,37 }\ mathrm{ -1,61lt Xlt 6,61 }\ mathrm{ 0leq Xleq 6 } end{gather*} Скорее всего (по расчетам – 99,65%), вы угадаете от 0 до 6 ответов.
Вероятность угадать хотя бы один ответ: begin{gather*} mathrm{ P(Xgeq 1)=1-p_0approx 1-0,0563=0,9437 }end{gather*} Очень хорошие шансы – 94,37%.
Вероятность угадать хотя бы 5 ответов: begin{gather*} mathrm{ P(Xgeq 5)=1-left(sum_{i=0}^{4}{p_i} right)approx 1-(0,0563+0,1877+…+0,1460)=0,0781 }end{gather*} Шансов мало – 7,81%. Т.е. «средний балл» при сдаче тестов мало достижим методом научного тыка.
Вероятность угадать все 10 ответов: p10≈ 0,000001. Шанс – один из миллиона.
Содержание:
Числовые характеристики случайных величин:
Как мы уже выяснили, закон распределения полностью характеризует случайную величину, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с этой случайной величиной. Однако, во-первых, закон распределения не всегда известен, а, во-вторых, для решения многих практических задач совсем необязательно знать закон распределения. Достаточно знать отдельные числовые характеристики, которые в сжатой, компактной форме выражают наиболее существенные черты распределения.
Например, можно составить законы распределения двух случайных величин – числа очков, выбиваемых двумя стрелками, – и выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Однако, даже не зная законов распределения, можно сказать, что лучше стреляет тот, кто в с р е д н е м выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является математическое ожидание.
Математическое ожидание случайной величины
Определение: Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) д и с к р е т н о й случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности: 
Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся 
Рассмотрим свойства математического ожидания.
- Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С. (5.3)
- Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(СX) = С·M(X). (5.4)
- Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е
- Математическое ожидание произведений конечного числа случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(XY) = M(X)·M(Y). (5.6)
- Если все значения случайной величины увеличить (или уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (или уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:
- Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:
Пример:
Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.
Решение:
Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим 
Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.
Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).
Дисперсия случайной величины
Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: 
Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: 
Для непрерывной случайной величины: 
На практике для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: 
Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: 
Для непрерывной случайной величины: 
Рассмотрим свойства дисперсии.
- Дисперсия постоянной величины равна нулю:
- Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т.е.
- Дисперсия алгебраической суммы конечного числа случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
- Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
Пример №1
Найти дисперсию случайной величины Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что D(X) = 1, D(Y) = 2.
Решение:
Используя свойства дисперсии, находим 
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину
Определение: Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) σ(Х) случайной величины Х называют значение квадратного корня из ее дисперсии: 
Свойства среднего квадратического отклонения вытекают из свойств дисперсии.
Мода и медиана. Квантили
Кроме математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.
Определение: Модой Мо(Х) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности f(x) достигает максимума).
Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.
Определение: Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого 
т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее медианы или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме(Х), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке х = Ме(Х) функция распределения равна 1/2.
Пример №2
Найти моду, медиану случайной величины Х с плотностью вероятности 
Решение:
Кривая распределения представлена на рис. 5.1 Очевидно, что плотность вероятности максимальна при х= Мо(Х) = 1. Медиану Ме(Х) = найдем из условия 
или 
откуда 
Наряду с модой и медианой для описания случайной величины используется понятие квантиля.
Определение: Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение хq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е. 
Пример №3
По данным примера 5.3 найти квантиль 
Решение:
Находим функцию распределения 
Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.
Определение: Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины: 
Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид: 
Для непрерывной случайной величины: 
Определение: Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания: 
Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:
Для непрерывной случайной величины: 
Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожидание
при k = 2 второй центральный момент – дисперсия 
Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.
Третий центральный момент μ3 служит для характеристики ассиметрии (т.е. скошенности ) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на 
, где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины: 
Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.
На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А < 0).
Четвертый центральный момент μ4 служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.
Эксцессом случайной величины называется число 
(Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального распределения, которое встречается наиболее часто, отношение
Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.
Числовые характеристики независимых испытаний
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (т.е. повторные независимые испытания). В этом случае математическое ожидание числа появлений события А в n испытаниях находится по формуле M(X) = np, (5.30) а дисперсия по формуле D(X) = npq. (5.31)
Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин 
которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляют числовые характеристики среднего арифметического этих величин.
Обозначим среднее арифметическое n взаимно независимых случайных величин через 
Сформулируем положения, устанавливающие связь между числовыми характеристиками среднего арифметического 
и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.
- Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:
- Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии D каждой из величин:
- Среднее квадратическое отклонение n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин:
раз меньше дисперсии D каждой из величин: 
Пример:
По данному распределению выборки (табл. 2.1) найти эмпирическую функцию распределения.
Решение. Определяем объем выборки: 
Определяем относительные частоты вариант (табл. 2.2):
Так как значение 
есть сумма относительных частот вариант 
попадающих в интервал 
запишем эмпирическую функцию распределения:
График примет вид:
- Нормальный закон распределения
- Основные законы распределения вероятностей
- Асимптотика схемы независимых испытаний
- Функции случайных величин
- Формула полной вероятности
- Повторные независимые испытания
- Простейший (пуассоновский) поток событий
- Случайные величины
Как найти математическое ожидание?
Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание — это первый начальный момент заданной СВ.
Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины — срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).
Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично
Понравилось? Добавьте в закладки
Формула среднего случайной величины
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Пример нахождения математического ожидания
Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.
Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$
Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Получаем:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.
Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.
Используем для нахождения мат. ожидания формулу:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^3-x^4) dx = \
=left.(3x^4-frac{12}{5}x^5) right|_0^1=3-frac{12}{5} = frac{3}{5}=0.6.
$$
Другие задачи с решениями по ТВ
Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей
Вычисление математического ожидания онлайн
Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.
- Введите число значений случайной величины К.
- Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
- Нажмите на кнопку «Вычислить».
- Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.
Видео. Полезные ссылки
Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)
Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).
Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу
Полезные ссылки
А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.
Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала — еще примеры решений по теории вероятностей.
А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:
Дисперсия и ее свойства.
Среднее квадратическое отклонение
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
Краткая теория
Дисперсия и формула для ее вычисления
На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.
На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. M[X-M(X)], для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие — отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, то есть вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.
Дисперсией называется
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины
от
:
Для того чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.
Для вычисления дисперсии
на практике удобно пользоваться следующей формулой:
Свойства дисперсии
Свойство 1.
Дисперсия равна разности между
математическим ожиданием квадрата случайной величины
и
квадратом ее математического ожидания.
Свойство 2.
Дисперсия константы
равна нулю:
Свойство 3.
Постоянный множитель
выносится из-под знака дисперсии в квадрате:
Свойство 4.
Дисперсия суммы
случайных величин:
где
–
ковариация случайных величин
и
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Следствия из свойств дисперсии.
В частности, если
и
независимы, то
Прибавление константы
в
случайной величине не меняет ее дисперсии:
Дисперсия разности равна сумме дисперсий:
Среднеквадратическое отклонение
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.
Стандартное (среднее
квадратичное) отклонение случайной величины
определяется
как корень из дисперсии и обозначается
Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то ее размерность совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то среднее квадратичное отклонение X будет выражаться также в линейных метрах, a дисперсия X — в квадратных метрах.
Смежные темы решебника:
- Математическое ожидание и его свойства
- Дискретная случайная величина
- Непрерывная случайная величина
Примеры решения задач
Пример 1
В коробке 20 конфет, из которых 4 с
вареньем. Х – число конфет с вареньем среди двух случайно выбранных. Найти
дисперсию случайной величины Х.
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Случайная
величина
– число конфет с вареньем, может принимать
значения 0,1,2
Найдем
соответствующие вероятности:
Проверка:
Получаем
следующий закон распределения СВ
:
Математическое
ожидание:
Дисперсию
можно вычислить по формуле:
Искомая
дисперсия:
Пример 2
Даны
законы распределения независимых случайных величин X и Y:
и
Найти
закон распределения суммы (X+Y). Проверить равенство D(X+Y)=D(X)+D(Y).
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Распределение суммы
:
Окончательно получаем:
|
|
2 | 3 | 4 | Итого |
|
|
0.2 | 0.5 | 0.3 | 1 |
Вычислим математические ожидания:
Вычислим
дисперсии:
Проверим
равенство
:
Равенство
выполняется.
Пример 3
Вероятность
изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на втором
станке 5%. На первом станке было изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.
Решение
Математическое
ожидание биномиального распределения:
Дисперсия:
Математическое
ожидание величины
– числа бракованных деталей на 1-м станке:
Дисперсия:
Математическое
ожидание величины
– числа бракованных деталей на 2-м станке:
Дисперсия:
Математическое
ожидание числа бракованных деталей:
Дисперсия
числа бракованных деталей:
Ответ:
;
.
Пример 4
Случайные
величины X,Y распределены по закону
Пуассона. Найдите M{(X+Y)2}, если M(X)=40 и
M(Y)=70, а коэффициент корреляции X и Yравен 0,8.
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Поскольку
случайные величины
и
распределены по закону Пуассона и известны их
математические ожидания, соответствующие дисперсии равны:
Пользуясь
свойствами математического ожидания и дисперсии:
Подставляя
числовые значения, получаем:
Ответ:
.
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Независимые случайные величины X и Y
заданы следующими законами:
| x | 2.3 | 2.5 | 2.7 | 2.9 |
| p | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
Укажите
законы распределения случайной величины X+Y, X-Y и найдите их
математическое ожидание и дисперсию.
Задача 2
Найти
дисперсию, математическое ожидания, среднекваратическое отклонение ДСВ X,
заданной законом распределения.
| x | -5 | 2 | 3 | 4 |
| p | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Написать F(x) и построить ее график.
Задача 3
Случайная
величина X имеет плотность вероятности
Требуется
найти дисперсию Dx.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 4
Вероятность
того, что прибор исправен, равна 0,8. X – число исправных приборов
из двух выбранных. Найти дисперсию случайной величины X.
Задача 5
Случайные
величины X и Y независимы. Найти
дисперсию случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что D(X)=4, D(Y)=5.
Задача 6
Найти
дисперсию дискретной случайной величины X – числа отказов элемента
некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа
элемента в каждом опыте равна 0,9.
Задача 7
Дискретная
случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x2>x1. Вероятность того, что X
примет значение x1, равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если
математическое ожидание и дисперсия известны: M(X)=1,4; D(X)=0,24.
Задача 8
Закон
распределения случайной величины ξ имеет вид:
| ξ | -1 | 2 | 3 | 5 |
| P | 1/4 | 1/2 | 1/8 | 1/8 |
Найти функцию распределения случайной величины ξ,
вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение. Вычислить вероятность P{5⁄2<ξ<5}.
Задача 9
Дискретная
случайная величины X принимает лишь два значения. Большее из значений 3
она принимает с вероятностью 0,4. Кроме того, известна дисперсия случайной
величины D(X)=6. Найти математическое
ожидание случайной величины.
Задача 10
Найти
дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины X,
заданному плотностью вероятности
при
и
в остальных точках.
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ