Как найти мат ожидание суммы чисел

22
Апр 2019

Теория вероятностей

Математическое ожидание

Математическое ожидание случайной величины и его свойства

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

---

Математическим ожиданием
дискретной случайной величины
, множество возможных значений которой
конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на
соответствующие вероятности:

Если множество возможных
значений счетное, то

Причем математическое
ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.

Математическое ожидание
приближенно равно среднему значению случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

,
возможные значения которой принадлежат всей оси

,
определяется равенством:

где

 – плотность распределения случайной величины

.
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу

,
то:

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Свойства математического ожидания

Свойство 1.

Математическое ожидание
константы равно этой константе:

Свойство 2.

Постоянный множитель
можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3.

Математическое ожидание
суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Свойство 4.

Математическое ожидания
произведения случайных величин:

где 

 –
ковариация  случайных величин

 и

В частности, если

 и

 независимы, то

И вообще, для независимых случайных величин
математическое ожидание их произведения равно произведению математических
ожиданий сомножителей:

Смежные темы решебника:

• Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

---

Пример 1

Производится
3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p₁=0,4; p₂=0,3 и p₃=0,6. Найти математическое
ожидание общего числа попаданий.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Число
попаданий при первом выстреле есть случайная величина

, которая может принимать
только два значения:

1 –
попадание с вероятностью

0 –
промах с вероятностью

Математическое
ожидание числа попаданий при первом выстреле:

Аналогично
находим математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:

Общее
число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в
каждом из трех выстрелов:

Искомое
математическое ожидание:

Ответ:

---

Пример 2

Для случайных величин X,Y известны
характеристики M(X)=3, M(Y)=7, D(X)=16, D(Y)=49, ρ_XY=0.35

Найдите математическое ожидание M(XY).

Решение

Коэффициент корреляции:

Искомое математическое ожидание:

Ответ:

---

Пример 3

Даны законы распределения двух независимых
случайных величин X и Y:

Требуется:

—
составить закон распределения случайной величины Z=3X-Y;

— найти
числовые характеристики случайных величин X, Y, Z;

—
проверить свойство M(Z)=3M(X)-M(Y);

—
построить функцию распределения для

Z и построить ее график.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Составим закон распределения

:

или

Проверка:

Закон
распределения величины

:

Найдем математические
ожидания:

Проверим
свойство:

 – выполняется

Найдем
дисперсии:

Средние
квадратические отклонения:

Запишем
функцию распределения:

 

График функции распределения

---

Пример 4

Найти
математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании
двух игральных костей.

Решение

Обозначим
число очков, которое может выпасть на первой кости, через

, и на второй – через

.

Возможные
значения этих величин одинаковы и равны: 1,2,3,4,5 и 6.

При этом
вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Математическое
ожидание числа очков, выпавших на первой кости:

Аналогично
математическое ожидание числа очков, выпавших на второй кости:

Искомое
математическое ожидание:

Ответ:

.

Задачи контрольных и самостоятельных работ

---

Задача 1

Найти
математическое ожидание случайной величины Z=6X-9Y+7XY-10, если известно, что
M(X)=2; M(Y)=3.

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 2

Случайные
величины X и Y независимы и распределены
равномерно: X – в интервале (a,b), Y

– в интервале (c,d).
Найти математическое ожидание случайной величины Z.

a=-3, b=4, c=3, d=6, Z=6XY, M(Z)-?

---

Задача 3

Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3+2.2X-Y, где X и Y –
независимые случайные величины, если известны M(X)=1, D(X)=0.5,
M(Y)=2, D(Y)=2.

---

Задача 4

Независимые
случайные величины заданы законами распределения:

и

Построить ряд распределения F(Z), где Z=X-Y.
Проверить свойства:

M(Z)=M(X)-M(Y)

D(Z)=D(X)+D(Y)

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 5

Независимые
случайные величины X и Y заданы следующими законами
распределения:

и

Найти
математическое ожидание случайной величины XY

---

Задача 6

Дискретная
случайная величина X принимает три возможных значения: x₁=4 с вероятностью p₁=0.5; x₂=6 c вероятностью p₂=0.3 и x₃ с вероятностью p₃. Найти x₃ и p₃, зная, что M(X)=8.

---

Задача 7

Дан
перечень возможных значений случайной величины X: x₁=-1, x₂=0, x₃=1, а также известны
математические ожидания этой величины и ее квадрата:

M(X)=0.1, M(X²)=0.9.

Найти
вероятности p₁, p₂, p₃ соответствующие возможным
значениям x₁, x₂, x₃.

---

Задача 8

Дан
перечень возможных значений дискретной случайной величины X:

x₁=1, x₂=2, x₃=3

А также
известны математические ожидания этой величины и ее квадрата:

M(X)=2.3

M(X²)=5.9

Найти вероятности, соответствующие
возможным значениям X.

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Лекция 7.

Основные числовые характеристики
дискретных и непрерывных случайных
величин: математическое ожидание,
дисперсия и среднее квадратическое
отклонение. Их свойства и примеры.

Закон распределения (функция распределения
и ряд распределения или плотность
веро-ятности) полностью описывают
поведение случайной величины. Но в ряде
задач доста-точно знать некоторые
числовые характеристики исследуемой
величины (например, ее среднее значение
и возможное отклонение от него), чтобы
ответить на поставленный во-прос.
Рассмотрим основные числовые характеристики
дискретных случайных величин.

Математическое
ожидание.

Определение 7.1. Математическим
ожиданием дискретной случайной
величины называ-ется сумма произведений
ее возможных значений на соответствующие
им вероятности:

М(Х) = х₁р₁
+ х₂р₂ + … + х_пр_п
. (7.1)

Если число возможных значений случайной
величины бесконечно, то
,
если полученный ряд сходится абсолютно.

Замечание 1. Математическое ожидание
называют иногда взвешенным средним,
так как оно приближенно равно среднему
арифметическому наблюдаемых значений
случайной величины при большом числе
опытов.

Замечание 2. Из определения
математического ожидания следует, что
его значение не меньше наименьшего
возможного значения случайной величины
и не больше наибольше-го.

Замечание 3. Математическое ожидание
дискретной случайной величины есть
неслучай-ная (постоянная) величина.
В дальнейшем увидим, что это же справедливо
и для непре-рывных случайных величин.

Пример 1. Найдем математическое ожидание
случайной величины Х – числа
стандартных деталей среди трех, отобранных
из партии в 10 деталей, среди которых 2
бракованных. Составим ряд распределения
для Х. Из условия задачи следует,
что Х может принимать значения 1, 2,
3.

Тогда

Пример 2. Определим математическое
ожидание случайной величины Х –
числа бросков монеты до первого появления
герба. Эта величина может принимать
бесконечное число значений (множество
возможных значений есть множество
натуральных чисел). Ряд ее распределения
имеет вид:

Х	1	2	…	п	…
р	0,5	(0,5)2	…	(0,5)п	…

Тогда
..+

+
(при вычислении дважды использовалась
формула суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии:
,
откуда
).

Свойства
математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной
   равно самой постоянной:

М(С) = С.
(7.2)

Доказательство. Если рассматривать С
как дискретную случайную величину,
принимающую только одно значение С
с вероятностью р = 1, то М(С)
= С·1 = С.

1. Постоянный множитель можно выносит за
   знак математического ожидания:

М(СХ) = С М(Х).
(7.3)

Доказательство. Если случайная величина
Х задана рядом распределения

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

то ряд распределения для СХ имеет
вид:

Сxi	Сx1	Сx2	…	Сxn
pi	p1	p2	…	pn

Тогда М(СХ) = Сх₁р₁
+ Сх₂р₂ + … + Сх_пр_п
= С( х₁р₁ + х₂р₂
+ … + х_пр_п) =
СМ(Х).

Определение 7.2. Две случайные величины
называются независимыми, если закон
распределения одной из них не зависит
от того, какие значения приняла другая.
В противном случае случайные величины
зависимы.

Определение 7.3. Назовем произведением
независимых случайных величин Х
и Y случайную
величину XY, возможные
значения которой равны произведениям
всех возможных значений Х на все
возможные значения Y,
а соответствующие им вероят-ности равны
произведениям вероятностей сомножителей.

1. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY)
= M(X)M(Y).
(7.4)

Доказательство. Для упрощения вычислений
ограничимся случаем, когда Х и Y
принимают только по два возможных
значения:

xi	x1	x2
pi	p1	p2

уi	у1	у2
gi	g1	g2

Тогда ряд распределения для XY
выглядит так:

ХY	x1y1	x2y1	x1y2	x2y2
p	p1g1	p2 g1	p1g2	p2g2

Следовательно, M(XY)
= x₁y₁·p₁g₁
+ x₂y₁·p₂g₁
+ x₁y₂·p₁g₂
+ x₂y₂·p₂g₂
= y₁g₁(x₁p₁
+ x₂p₂)
+ + y₂g₂(x₁p₁
+ x₂p₂)
= (y₁g₁
+ y₂g₂)
(x₁p₁
+ x₂p₂)
= M(X)·M(Y).

Замечание 1. Аналогично можно доказать
это свойство для большего количества
возможных значений сомножителей.

Замечание 2. Свойство 3 справедливо
для произведения любого числа независимых
случайных величин, что доказывается
методом математической индукции.

Определение 7.4. Определим сумму
случайных величин Х и Y
как случайную величину Х + Y,
возможные значения которой равны суммам
каждого возможного значения Х с
каждым возможным значением Y;
вероятности таких сумм равны произведениям
вероятностей слагаемых (для зависимых
случайных величин – произведениям
вероятности одного слагаемого на
условную вероятность второго).

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или незави-симых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M (X
+ Y) = M
(X) + M
(Y).
(7.5)

Доказательство.

Вновь рассмотрим случайные величины,
заданные рядами распределения,
приведен-ными при доказательстве
свойства 3. Тогда возможными значениями
X + Y
являются х₁ + у₁,
х₁ + у₂, х₂
+ у₁, х₂ + у₂.
Обозначим их вероятности соответственно
как р₁₁, р₁₂, р₂₁
и р₂₂. Найдем М( Х +Y
) = (x₁ + y₁)p₁₁
+ (x₁ + y₂)p₁₂
+ (x₂ + y₁)p₂₁
+ (x₂ + y₂)p₂₂
=

= x₁(p₁₁
+ p₁₂)
+ x₂(p₂₁
+ p₂₂)
+ y₁(p₁₁
+ p₂₁)
+ y₂(p₁₂
+ p₂₂).

Докажем, что р₁₁ + р₂₂
= р₁. Действительно, событие,
состоящее в том, что X
+ Y примет значения
х₁ + у₁ или х₁
+ у₂ и вероятность которого
равна р₁₁ + р₂₂,
совпадает с событием, заключающемся в
том, что Х = х₁ (его вероятность
– р₁). Аналогично дока-зывается,
что p₂₁ + p₂₂
= р₂, p₁₁
+ p₂₁ = g₁,
p₁₂ + p₂₂
= g₂. Значит,

M(X
+ Y) = x₁p₁
+ x₂p₂
+ y₁g₁
+ y₂g₂
= M (X)
+ M (Y).

Замечание. Из свойства 4 следует,
что сумма любого числа случайных величин
равна сумме математических ожиданий
слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание
суммы числа очков, выпавших при броске
пяти игральных костей.

Найдем математическое ожидание числа
очков, выпавших при броске одной кости:

М(Х₁) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
Тому же числу равно математическое
ожидание числа очков, выпавших на любой
кости. Следовательно, по свойству 4
М(Х)=

Дисперсия.

Для того, чтобы иметь представление о
поведении случайной величины, недостаточно
знать только ее математическое ожидание.
Рассмотрим две случайные величины: Х
и Y, заданные рядами
распределения вида

Х	49	50	51
р	0,1	0,8	0,1

Y	0	100
p	0,5	0,5

Найдем М(Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50,
М(Y) = 0·0,5 + 100·0,5 =
50. Как видно, мате-матические ожидания
обеих величин равны, но если для Х
М(Х) хорошо описывает пове-дение
случайной величины, являясь ее наиболее
вероятным возможным значением (при-чем
остальные значения ненамного отличаются
от 50), то значения Y
существенно отсто-ят от М(Y).
Следовательно, наряду с математическим
ожиданием желательно знать, на-сколько
значения случайной величины отклоняются
от него. Для характеристики этого
показателя служит дисперсия.

Определение 7.5. Дисперсией
(рассеянием) случайной величины
называется математи-ческое ожидание
квадрата ее отклонения от ее математического
ожидания:

D(X)
= M (X
– M(X))².
(7.6)

Пример.

Найдем дисперсию случайной величины Х
(числа стандартных деталей среди
отобранных) в примере 1 данной лекции.
Вычислим значения квадрата отклонения
каждого возможно-го значения от
математического ожидания:

(1 – 2,4)² = 1,96; (2 – 2,4)² = 0,16; (3 –
2,4)² = 0,36. Следовательно,

Замечание 1. В определении дисперсии
оценивается не само отклонение от
среднего, а его квадрат. Это сделано для
того, чтобы отклонения разных знаков
не компенсировали друг друга.

Замечание 2. Из определения дисперсии
следует, что эта величина принимает
только неотрицательные значения.

Замечание 3. Существует более удобная
для расчетов формула для вычисления
дисперсии, справедливость которой
доказывается в следующей теореме:

Теорема 7.1. D(X)
= M(X
²) – M ²(X).
(7.7)

Доказательство.

Используя то, что М(Х) – постоянная
величина, и свойства математического
ожидания, преобразуем формулу (7.6) к
виду:

D(X)
= M(X
– M(X))²
= M(X²
— 2X·M(X)
+ M²(X))
= M(X²)
– 2M(X)·M(X)
+ M²(X)
=

= M(X²)
– 2M²(X)
+ M²(X)
= M(X²)
– M²(X),
что и требовалось доказать.

Пример. Вычислим дисперсии случайных
величин Х и Y,
рассмотренных в начале этого раздела.
М(Х) = (49²·0,1 + 50²·0,8 +
51²·0,1) – 50² = 2500,2 – 2500 = 0,2.

М(Y) = (0²·0,5
+ 100²·0,5) – 50² = 5000 – 2500 =
2500. Итак, дисперсия второй случайной
величины в несколько тысяч раз больше
дисперсии первой. Таким образом, даже
не зная законов распределения этих
величин, по известным значениям дисперсии
мы можем утверждать, что Х мало
отклоняется от своего математического
ожидания, в то время как для Y
это отклонение весьма существенно.

Свойства
дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины С
   равна нулю:

D
(C) = 0.
(7.8)

Доказательство. D(C)
= M((C
– M(C))²)
= M((C
– C)²) = M(0)
= 0.

1. Постоянный множитель можно выносить
   за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(CX)
= C²D(X).
(7.9)

Доказательство. D(CX)
= M((CX
– M(CX))²)
= M((CX
– CM(X))²)
= M(C²(X
– M(X))²)
=

= C²D(X).

1. Дисперсия суммы двух независимых
   случайных величин равна сумме их
   дисперсий:

D(X
+ Y) = D(X)
+ D(Y).
(7.10)

Доказательство. D(X
+ Y) = M(X²
+ 2XY +
Y²) –
(M(X)
+ M(Y))²
= M(X²)
+ 2M(X)M(Y)
+

+ M(Y²)
– M²(X)
– 2M(X)M(Y)
– M²(Y)
= (M(X²)
– M²(X))
+ (M(Y²)
– M²(Y))
= D(X)
+ D(Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких
взаимно независимых случайных величин
равна сумме их дисперсий.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной
и случайной величин равна дисперсии
случайной величины.

1. Дисперсия разности двух независимых
   случайных величин равна сумме их
   дисперсий:

D(X
– Y) = D(X)
+ D(Y).
(7.11)

Доказательство. D(X
– Y) = D(X)
+ D(-Y)
= D(X)
+ (-1)²D(Y)
= D(X)
+ D(X).

Дисперсия дает среднее значение квадрата
отклонения случайной величины от
среднего; для оценки самого отклонения
служит величина, называемая средним
квадратическим отклонением.

Определение 7.6. Средним квадратическим
отклонением σ случайной величины Х
называется квадратный корень из
дисперсии:

.
(7.12)

Пример. В предыдущем примере средние
квадратические отклонения Х и Y
равны соответственно

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание — это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины — срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Получаем:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^3-x^4) dx = \
=left.(3x^4-frac{12}{5}x^5) right|_0^1=3-frac{12}{5} = frac{3}{5}=0.6.
$$

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку «Вычислить».
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала — еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Математическое ожидание — это ожидаемый результат от какого-то действия.

Например, можно рассчитать ожидаемую стоимость инвестиции в определённый момент в будущем. Рассчитывая математическое ожидание перед тем, как инвестировать, можно выбрать наилучший сценарий который, по мнению инвестора, даст наилучший результат.

Случайная величина может быть двух типов:

1. Дискретной: число возможных значений X — это числимое конечное или бесконечное множество точек; пример: количество дефектных устройств в производстве фабрики.
2. Непрерывной: X может принимать любое значение в заданном диапазоне; пример: концентрация углекислого газа в воде.

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается этой формулой:

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается:
1. Сначала нужно умножить каждое из возможных результатов на свою вероятность (например: вероятность, что выпадет «1» — 1/6, «2» — 1/3, значит умножаем 1 на 1/6, 2 на 1/3, и т.д.),
2. Затем суммируем все эти значения (1 × 1/6 + 2 × 1/3 и т.д.).

Для непрерывной случайной величины используется эта формула:

В этом случае рассчитывается интеграл в заданном интервале.

Примеры вычисления математического ожидания

Кратко:

• если в задаче даётся таблица с данными, то перемножаем каждое событие на его вероятность и потом всё складываем;
• если в задаче дают функцию с заданным интервалом, то вычисляем интеграл с этим интервалом.

Пример 1

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	−1	1	2	3	4
pi	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = −1×0,1+ 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,3 = −0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,3 + 1,2 = 2,2

Пример 2

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = 2x, при x∈(0,1) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Пример 3

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	1	2	3	4	5
pi	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = 1×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,2 = 0,3 + 0,6 + 0,3 + 0,4 + 1 = 2,6

Пример 4

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = (1/10).(3x²+1), при x∈(0,2) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Узнайте больше про Интегралы.

Основные свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: М(c)=c.
2. Математическое ожидание сложения/вычитания двух случайных величин равно сумме/вычитанию их математических ожиданий: пусть X и Y — две случайные величины, значит М (X ± Y) = М (X) ± М (Y).
3. Если умножить случайную величину X на c, её среднее значение также умножается на эту константу (c): М (cX) = cМ (X).
4. Если добавить или вычесть c из случайной величины X, то произойдёт та же операция (сложение или вычитание константы) с её средним значением: М (X ± c) = М (X) ± c.
5. Если X и Y — две независимые случайные величины, значит: М(XY)=М(X)×М(Y).

Узнайте больше про Теорию вероятностей.