Все проще, чем может показаться.
Любители статистики прекрасно знают, что главное в вопросе точных подсчетов – это дистанция. На коротких отрезках любые численные показатели могут дать весомое отклонение от предполагаемой нормы, но на более внушительной дистанции они нивелируются. Для явления в теории вероятностей есть даже свое определение – математическое ожидание.
Математическое ожидание применимо и в ставках на спорт: аналитика хоть и может основываться на достаточно субъективных факторах, вроде готовности команды к матчу или атмосфере в раздевалке, но без конкретных цифр анализ любого спортивного события представить достаточно сложно.
Разбираемся, как работает математическое ожидание в ставках и насколько метрика из теории вероятностей может быть полезна для игрока на ставках.
Как применить математическое ожидание к ставкам
Если максимально упростить и адаптировать понятие к ставкам на спорт, то математической ожидание – это оценка потенциальной прибыльности каждой отдельной ставки, которая опирается на три фактора: сумма ставки, вероятность исхода и коэффициент. Да, в этом случае лучше отделять вероятность и коэффициент букмекера из-за маржи – без нее расчеты будут чуть более верными.
Рассчитать математическое ожидание можно по формуле M = (S*K – S)*W – S*L, где S – размер ставки, K – коэффициент на выбранный исход, W — вероятность выигрыша, а L – вероятность проигрыша. Если чуть проще, то математическое ожидание – это отношение суммы потенциального выигрыша к вероятности исхода в сравнении с вероятностью проигрыша ставки.
Для закрепления обратимся к конкретному примеру: возьмем линию «Фонбета» на предстоящий матч КХЛ «Ак Барс» – «Спартак». Рассчитаем математическое ожидание от ставки на ТМ 4,5 в игре при ставке в 1000 рублей: (1000*1.83 – 1000)*52% – 1000*48% = – 48,4. У исхода отрицательное математическое ожидание, а значит на дистанции подобные пари непременно приведут игрока в минус.
Оговоримся, что отрицательное математическое ожидание не означает, что «Ак Барс» со «Спартаком» сыграют на ТБ 4,5. Это лишь оценка перспектив подхода на дистанции.
Математическое ожидание больше про ставки на статистику
Чем более субъективные оценки лежат в основе определения вероятности и коэффициентов на матч, тем больше погрешности в расчетах математического ожидания. При анализе больших рынков (исходы, тоталы и форы) необходимо опираться не только на численные показатели, но и на околоспортивные факторы, вроде тех же погодных условий, а потому оценки вероятности достаточно относительны.
А вот в ставках на статистику все намного проще: сухие цифры легче анализировать, а потому математическое ожидание выглядит максимально объективно. Если клуб в среднем подает по пять угловых за матч, а на индивидуальный тотал больше 3,5 коренров дают 1.95 – это очевидный перевес в пользу игрока.
Математическое ожидание наиболее полезно именно для любителей ставок на статистику по нескольким причинам:
- Когда речь идет о сухих цифрах легче найти валуйные варианты. Безусловно варианты с очевидным вэлью могут быть в любой линии, но для биг-маркетов поиск ошибок аналитиков достаточно субъективен, потому как практически невозможно учесть все факторы.
- Статистика легче поддается счету. Не обязательно быть экспертом в хоккее, чтобы оценить какая из команд выиграет больше вбрасываний.
Да, не стоит забывать и о дисперсии, то есть отклонении значений от математического ожидания на короткой дистанции. Подход с положительным ожиданием может показать отрицательный результат после нескольких десятков ставок, но на более длительном отрезке он обязательно выйдет в плюс – так работает статистика.
Но и с дисперсией можно бороться. Самый очевидный способ – придерживаться строгого банкролл-менеджмента. Если вкратце, то ставя 3-5% от банка даже в момент явной просадки игрок может обойтись от больших финансовых потерь. Если чуть подробнее, то читайте наш материал про финансовую грамотность в ставках.
Оценка математического ожидания – одна из составляющих ответственной игры
Резюмируем: математическое ожидание – это достаточно простой способ отказаться от заведомо минусового подхода в ставках. К тому же, это не требует каких-то временных затрат: подставили коэффициенты и вероятности в формулу и оценили перспективы выбранного подхода.
Таким образом рецепт ответственной игры выглядит примерно так:
- грамотный банкролл-менеджмент;
- обдуманный анализ ставок;
- оглядка на теорию вероятностей, а в частности математическое ожидание интересующего исхода;
- анализ собственных пари.
Играйте ответственно и помните: ставки – это лишь развлечение, а не способ заработка.
Фото: unsplash.com/John Schnobrich, Thomas T, Chris Liverani, Emanuel Ekström
5243
15:42, 14 октября 2021
•
Max Value
Математическое ожидание в ставках на спорт
Понятие математического ожидания в ставках и в букмекерских конторах. Как посчитать математическое ожидание ставки?
Ставки на спорт, как и почти все в нашем мире, неразрывно связаны с математикой – царицей всех наук. Особенно, с ее разделом теория вероятностей и с понятием математического ожидания. Попробуем разобраться. Не беспокойся, мы не станем грузить тебя тяжелыми лекциями и формулами. Рассмотрим только то, что применимо к беттингу и несет практическую пользу.
Матожидание в ставках на спорт
Матожидание – это близкий родственник value, только поданный чуть с другой стороны. Эта величина в разрезе ставок показывает, является ли ставка выгодной при ее многократном повторении на дистанции.
Формула расчета очень простая:
(Вероятность выигрыша * Сумма чистого выигрыша) – (Вероятность проигрыша * сумма чистого проигрыша)
Самый банальный и понятный пример – подбрасывание монетки. Допустим, мы будем подбрасывать монетку 10 раз и всегда ставить на орла по 10 рублей, получая при выигрыше 20 рублей. Какое матожидание нас ждет?
Финансовый результат на столь короткой дистанции может быть любым – может не выпасть вообще ни одного орла, может выпасть два, пять, девять или даже десять. Но по сути эта информация ничего нам не дает.
Расчеты матожидания
Смысл математического ожидания в том, чтобы рассчитать, сколько мы будем выигрывать вдолгую от этих манипуляций. Очевидно, что вероятность выпадения орла и решки одинакова и равна 50%.
- Подставляем значения в формулу:
(0,5 х 10) – (0,5 x 10) = 0 рублей
Мы получаем нулевое матожидание и сразу становится ясно, что заниматься подобной ерундой в перспективе нет никакого смысла – на дистанции 1, 5, 10 тысяч повторений мы неизбежно придем к нулевой отметке в деньгах.
- Но что будет, если найдется странный человек, готовый платить нам за выпадение орла 22 рубля? Хотя вероятности остались теми же, ситуация в корне меняется:
(0,5 х 12) — (0,5 х 10) = 1 рубль
Это уже игра с положительным математическим ожиданием, и у нас есть все основания играть в нее как можно чаще и больше. Ведь с каждого выпадения орла на дистанции мы в среднем будем зарабатывать 1 рубль гарантированной прибыли!
- То же самое произойдет, если тот же странный человек согласится принимать у нас на ставку по 5 рублей, а выплачивать будет по 10 рублей выигрыша, то есть по 15 рублей выплаты с каждого орла:
(0,5 х 10) — (0,5 х 5) = 2,5 рубля
Такие условия еще выгоднее, чем в предыдущий раз, теперь мы зарабатываем по 2,5 рубля с каждого выпавшего на дистанции орла!
Математическое ожидание в беттинге
В ставках на спорт тоже все завязано на вероятностях и, соответственно, математическом ожидании. Вообще говоря, азартные игры сами по себе имеют отрицательное математическое ожидание почти всегда. Это происходит из-за комиссии игорных заведений. В БК это маржа, в игровых аппаратах – процент выплаты, в рулетке – выпадения зеро.
Например, рассмотрим ставки на равновероятные исходы. В принципе, любые, но для чистоты эксперимента возьмем рынок “какая команда начнет с центра поля”. Ведь это определяется монеткой, вероятности выпадения которой всем понятны и известны. Мы нигде не увидим коэффициентов на этот рынок 2+, они всегда будут меньше двойки. Допустим, кф 1.90, сумма ставки 1 000 рублей.
(0,5 х 900) — (0,5 х 1 000) = -50 рублей
Это пример отрицательного матожидания, ставки на подобные исходы неминуемо будут вести нас к убытку на дистанции. И чем дольше мы играем, тем больше будет расти убыток.
То же самое происходит в рулетке при ставке на цвет, половину поля или чет/нечет. Шансы их выпадения не 50/50, ведь в игре есть еще поле зеро. Оно не относится ни к одному из перечисленных спектров, и забирает на себя вероятность около 2,7%.
(0,486 х 1 000) — (0,514 х 1 000) = -28 рублей
Можно удвоиться на рулетке за раз, можно много выиграть за один вечер, можно даже месяц быть в плюсе. Но на бесконечной дистанции мы неизбежно будем проигрывать 28 рублей с каждой поставленной тысячи в этой игре. В казино вместо термина мат. ожидание используется отдача (RTP – Return-to-Player).
Теперь рассмотрим не равновероятные исходы. Допустим, П1 и П2 в теннисе оцениваются коэффициентами 1.40 и 2.50. Из материала про коэффициенты ты уже знаешь, что в них зашифрована вероятность. По версии букмекеров шансы на победу первого теннисиста 100/1,4 = 71,4%, а второго – 100/2,5 = 40% (“лишние” 11,4% – маржа).
- Если мы рассчитаем матожидание при ставке на П1 в 1 000 рублей по этим вероятностям, то получим следующую картину:
(0,714 х 400) — (0,4 х 1 000) = -114 рублей
- При ставке на П2:
(0,4 х 1 500) — (0,714 х 1 000) = -114 рублей
Итого, при таких вероятностях, это игра с отрицательным математическим ожиданием, на кого ни поставь.
А бывает ли положительное математическое ожидание в ставках на спорт?
И вот тут мы подходим к самому главному, к связи матожидания и вэлью. Если наша расчетная вероятность на исходы этого матча будет отличаться от букмекерской, мы можем получить совсем другие цифры. Допустим, мы оцениваем шансы тех же теннисистов как плюс-минус равные, то есть около 50%.
- При ставке на П1 матожидание равно:
(0,5 х 400) — (0,5 х 1 000) = -300 рублей
- При ставке на П2:
(0,5 х 1 500) — (0,5 х 1 000) = 250 рублей
Бинго! Мы видим положительное математическое ожидание ставки, которая будет приносить нам 250 рублей с тысячи с каждой победой. Положительный результат мы получим и при определении вэлью по формуле “вероятность * коэффициент” – результат выше единицы, value присутствует.
Единственная загвоздка заключается в том, чтобы научиться правильно определять вероятности и находить действительно выгодные коэффициенты в букмекерской линии. Но это приходит только с опытом и глубоким пониманием спорта, в этом материале мы тебя этому не научим.
Еще один пример ставок с положительным матожиданием – букмекерские вилки. Если мы возьмем вероятности 50% и коэффициенты по 2.1, образующие вилку, то легко можем подсчитать матожидание:
(0,5 х 1 100) — (0,5 х 1 000) = 50 рублей
По сути, вэлью-беттинг и вилки – это единственные разновидности ставок на спорт с положительным матожиданием.
Если ты глубоко освоишь одну из этих тем (или даже обе), то научишься зарабатывать в конторе на дистанции, а не постоянно увеличивать свой общий минус априори невыгодными ставками.
Есть азартная игра — рулетка. Правила такие:
- Есть круг, поделённый на 38 частей.
- Из них 18 чёрные.
- 18 — красные.
- Одно или два «зеро» зелёного цвета.
- Игрок ставит деньги на что-то из этого круга.
- Крупье запускает шарик. Шарик крутится по рулетке и выпадает на одно из полей.
- Если игрок угадал, куда упадёт шарик, он забирает свою ставку и сколько-то денег сверху.
- Если не угадал, его ставка уходит в казино.
Комбинаций ставок очень много, поэтому мы рассмотрим самую популярную ставку на красное или чёрное. Все остальные виды ставок и их результаты считаются по этой же схеме.
Если игрок ставит на цвет — красное или чёрное, — то получает назад удвоенную сумму ставки. Если ставит на конкретное число — получает в 35 раз больше, чем поставил.
Кажется, что с такими выплатами можно постоянно оказываться в плюсе: ведь достаточно угадать цвет, а он выпадает почти в половине случаев. Но всё наоборот: гораздо чаще люди проигрывают, чем выигрывают. Давайте разберёмся, почему так происходит.
🤔 Такое уже было
Мы уже говорили про математическое ожидание, когда решали задачу про футболиста. Вкратце так:
- Мы рассматриваем какие-то вероятные события в будущем.
- Вероятность этих событий описывается числом. Например, 1 — вероятность 100%, событие точно произойдёт. 0,5 — событие происходит в среднем в половине случаев.
- Если событие связано с каким-то выигрышем или проигрышем, мы используем несложную математику, чтобы оценить прибыльность той или иной игры.
- Вот это число, которое описывает прибыльность, — называется математическим ожиданием.
Теперь разберёмся чуть глубже.
Вероятность событий
Допустим, мы кидаем обычный игральный кубик с числами от 1 до 6. Вероятность выпадения единицы — ⅙, потому что все стороны кубика одинаковые и выпадают случайным образом.
Это можно представить в виде простой математики:
👉 Если у нас есть несколько равновозможных и одинаковых событий, то вероятность наступления любого из них равна 1/n, где n — количество таких событий.
Математическое ожидание
Если взять строгое определение и написать его простыми словами, получится так:
Математическое ожидание — это когда мы складываем произведения вероятностей каждого события на их результат.
Это значит, что математическое ожидание — это усреднённый результат, который мы получим при каждой попытке сыграть в игру. Чем больше будет таких попыток, тем ближе наш результат к математическому ожиданию.
Поясним на примере с игральным кубиком.
Мы знаем, что вероятность выпадения каждой грани — ⅙, а числа на кубике идут от 1 до 6. Мы выбросили в первый раз: выпала 6. Второй раз — 1. Потом 4. Потом 2. Потом 5. И так далее Можно ли предугадать, какой будет средний результат после сотни-другой игр?
Оказывается, можно. Зная только вероятность и число очков на каждой стороне кубика, мы можем заранее сказать, каков будет средний результат выбрасывания этого кубика, если бросать его достаточно долго. Это считается по формуле:
( ⅙ × 1) + ( ⅙ × 2) + ( ⅙ × 3) + ( ⅙ × 4) + ( ⅙ × 5) + ( ⅙ × 6) = 21/6 = 3,5
Чем больше раз мы кинем кубик, тем ближе к этому числу будет наше среднее значение.
👉 Получается, что математическое ожидание показывает, какой результат мы получим в среднем, если будем играть в игру достаточно долго.
Бросаем кубик за деньги
Знание математического ожидания может помочь нам принять правильное решение во всевозможных азартных играх, спорах и финансовых делах.
Представьте такую игру: вам предлагают бросить игральный кубик и получить столько рублей, сколько выпало на кубике. Цена одного броска — три рубля. Стоит играть в такую игру или нет?
С точки зрения матожидания — да, стоит, и вот почему:
- Мы знаем, что матожидание при каждом броске кубика — 3,5. В нашей игре это значит, что средний выигрыш за бросок после условных 1000 бросков будет 3,5 рубля.
- Так как матожидание выше, чем стоимость одного броска, то нам нужно не просто соглашаться на такую игру, а играть в эту игру как можно дольше, чтобы со временем выйти на средние значения прибыли 0,5 рубля за бросок.
Можно кинуть кубик 10 раз подряд так, что на нём выпадут только 1, 2 или 3 — и тогда мы как будто в минусе. Но если мы будем играть в эту игру достаточно долго, мы будем в выигрыше.
👉 Главное, что нужно запомнить: математическое ожидание не гарантирует, что мы получим именно этот результат с первой попытки. Может, и с десятой не получим. Но если мы будем продолжать эти попытки достаточно долго, то вот тогда мы точно приблизимся к нужному результату.
❌ Только для честных
Матожидание имеет смысл обсуждать, только если мы знаем, что события действительно происходят случайным образом. Если против нас играет шулер с несбалансированным кубиком, то какие-то числа будут выпадать на нём чаще, а другие — реже, и тогда математика намного сложнее, а всё написанное выше и далее неприменимо.
Матожидание и рулетка
Теперь, когда мы знаем теорию, то можем посчитать матожидание для игры в рулетку и ставок на ней.
Многие думают, что если ставить на красное или на чёрное, то шансы выиграть или проиграть равные — 50 на 50. Но это не так. Всё дело в зеро — оно создаёт отрицательное математическое ожидание для игрока, и проиграть получается проще, чем выиграть. Сейчас внимательно следите за цифрами.
Если у нас одно зеро, то всего получается 18 чёрных + 18 красных + зеро = 37 ячеек в рулетке. Допустим, мы ставим на красное, тогда наш шанс на победу — 18/37 = 48,6%. Выходит, что шанс проиграть у нас выше — 51,4%. Разница — 2,8%.
Если при каждой ставке мы ставим тысячу рублей, то такая разница в шансах даёт нам отрицательное математическое ожидание в 28 рублей не в нашу пользу. Это значит, что в среднем при каждой ставке мы теряем 28 рублей с каждой тысячи.
Интересно то, что теряем мы их не каждый раз: нет такого, что после каждой ставки кто-то залез нам в карман и достал оттуда 28 рублей. Но если какая-то масса людей сделает какую-то массу ставок, то в итоге, по сумме денег, которая у них останется на руках, они увидят убыток 2,8%. Но так как они не будут считать деньги друг друга, они этого не узнают.
Казино зарабатывают именно за счёт зеро, которое создаёт отрицательное матожидание для игрока. Если в рулетке секторов зеро два, это в два раза увеличивает матожидание в пользу казино.
👉 Чтобы зарабатывать, казино не нужно мухлевать, заряжать рулетку, изготавливать намагниченные шарики и т. д. Достаточно просто иметь один шальной сектор, который создаёт отрицательное матожидание.
Ставка на число
Для ясности рассмотрим ещё один вариант ставок, когда игрок ставит на конкретное число или даже на зеро и при выигрыше получает в 35 раз больше, чем поставил.
Скорее всего, вы уже видите, в чём тут подвох: ставка больше в 35 раз, а секторов — как минимум 37. Это значит, что при ставке в тысячу рублей матожидание будет равно 35/37 × 1000 рублей = 945 рублей. Выходит, в этом случае игрок теряет даже больше, чем просто при выборе цвета — 55 рублей против 28.
👉 Если играть в рулетку долго, то из-за отрицательного матожидания игрок постепенно будет терять деньги, пока они не закончатся. Чем дольше играет, тем больше потеряет.
Но кто-то же иногда выигрывает?
Выигрыши в казино бывают, но это случайные события, которые невозможно гарантированно повторить. Например, можно поставить большую сумму на число и случайно выиграть в 35 раз больше и уйти. Именно в надежде на такой случай люди и ходят в казино.
Но при менее крупных выигрышах люди хотят увеличить прибыль, и в погоне за следующей удачей теряют на ставках все деньги, включая выигранные. А всё потому, что чем больше ставок делает игрок, тем сильнее работает матожидание в пользу казино и тем быстрее он проиграет всё, с чем пришёл.
А вот казино зарабатывает всегда, пока в его зале много людей. Много людей — много ставок. При отрицательном матожидании казино зарабатывает предсказуемо и всегда, а его клиенты — случайным образом.
Вспомнилась сцена из «Волка с Уолл-стрит»
В начале фильма герой Ди Каприо сидит в ресторане с героем Макконахи, старым прожжёным брокером. И Макконахи говорит Дикаприо что-то в таком духе: «Наши клиенты покупают ценные бумаги и думают, что они богачи. Но это как рулетка, эти бумаги могут завтра же обесцениться. А мы с тобой забираем нашу гарантированную комиссию».
И ещё одно: матожидание и бюджет
Матожидание — красивая картинка, но есть подвох. Считать результаты сотен и тысяч игр имеет смысл, если у вас неограниченный бюджет. Если у вас бюджет ограничен, вам может его не хватить, чтобы воспользоваться матожиданием.
Допустим, вы пришли в единственное в мире казино, которое даёт вам положительное матожидание. Но есть ограничение: минимальная ставка — 10 тысяч рублей. Что дальше:
- Если у вас в кармане 100 тысяч рублей, то после 10 проигранных ставок подряд у вас закончатся деньги. Или, что более вероятно, вы успеете немножко воспользоваться матожиданием, и сыграете около 50 игр, но, в итоге, всё равно проиграете.
- Если у вас в кармане миллион, вам хватит на 100 проигранных ставок подряд. Сто — это уже более весомо. Вы начнёте ощущать эффект от матожидания, и, возможно, после 1000 игр будете в некотором плюсе. Но если будете продолжать играть, то после, примерно, 3000 игр, вы тоже всё проиграете. Но зато играть будете намного дольше, чем в первом случае.
- Для уверенности вам нужно прийти в казино с 10 миллионами в кармане. Но даже в таком случае при матожидании +2% в вашу пользу, после 1000 игр вы уйдёте из казино с прибылью примерно в 300 тысяч. Если бы вы положили те же 10 млн на вклад, вы бы при нынешних ставках получили те же 300 тысяч, но с меньшим риском.
- И это — в несуществующем казино с положительным для вас матожиданием. В природе таких нет.
Короче: храните деньги в сберегательных кассах. Казино всегда зарабатывает. Матожидание — бессердечная сволочь.
Так что, можно ли обыграть казино?
Выиграть в казино можно. Вероятности выигрыша здесь выше, чем в лотерее, но всё равно они исчисляются единицами и долями процента. Главное правило — идти в казино с теми деньгами, которые не жалко потерять, и если выиграл — остановиться.
А вот обыграть казино нельзя.
Что дальше
Сделаем виртуальную рулетку с виртуальными ставками и попробуем смоделировать игру в казино. Посмотрим, как работает наше матожидание на практике.
Иллюстратор
Даня Берковский