Как найти математическое ожидание числа бросаний

Условие. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины (X) — числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.

Решение. Воспользуемся формулой
                             [M(X)=nP,] 
где n — общее число испытаний (бросаний пяти костей); (X) — число появлений интересующего нас события (на двух костях из пяти появится по одному очку) в n испытаниях; (P) — вероятность появления рассматриваемого события в одном испытании.
По условию, (n=20). Остается найти (P) — вероятность того, что на гранях двух из пяти костей появится по одному очку. Эту вероятность вычислим по формуле Бернулли, учитывая, что вероятность появления одного очка на грани одной кости (p=1/6) и, 
следовательно, вероятность непоявления (q=1-1/6=5/6:)
                                     [P=P_{5}(2)=C_{5}^{2}cdotleft(frac{1}{6}right)^{2}cdotleft(frac{5}{6}right)^{3}=frac{5cdot4cdot5^{3}}{1cdot2cdot6^{5}}=frac{5^{4}}{3cdot6^{4}}.]
Искомое математическое ожидание 
                              [M(X)=nP=20cdotfrac{5^{4}}{3cdot6^{4}}simeq3.]

---

2017-12-21 • Просмотров [ 654 ]

22
Апр 2019

Теория вероятностей

Математическое ожидание

б)
Так как число испытаний велико, а
вероятность р появления со-

бытия
в каждом испытании очень мала, то
воспользуемся законом Пуассона.

По
определению математического ожидания
для

случая,
когда число возможных значений X
есть счетное множество,

Учитывая,
что при к=0 первый член суммы равен нулю,
при-

примем
в качестве наименьшего значения k
единицу:

Положив
k—l=m, получим

Принимая
во внимание, что

получим:

А
так как λ=np
то получим M(x)=np
что и требовалось доказать.

#196

Найти математическое ожидание дискретной
случайной величины Х – числа таких
бросаний пяти игральных костей, в каждом
из которых на двух костях появится по
одному очку, если общее число бросаний
равно двадцати.

Решение

Воспользуемся формулой

,

Где
n – общее число испытаний
(бросаний пяти костей); Х – число появлений
интересующего нас события (на двух
костях из пяти появится по одному очку)
в n испытаниях; Р –
вероятность появления рассматриваемого
события в одном испытании.

По
условию, n = 20. Остаётся
найти Р – вероятность того, что на гранях
двух из пяти костей появится по одному
очку. Эту вероятность вычислим по формуле
Бернулли, учитывая, что вероятность
появления одного очка на грани одной
кости p = 1/6, следовательно
q = 5/6:

.

Искомое
математическое ожидание

Ответ: 3

#197

Задание:
Устройство состоит из

элементов. Вероятность отказа любого
элемента за время опыта равна
.
Найти математическое ожидание числа
таких опытов, в каждом из которых откажет
ровно

элементов, если всего произведено

опытов. Предполагается, что опыты
независимы один от другого.

Решение:
Обозначим через

число опытов, в которых откажет ровно

элементов. Так как опыты независимы и
вероятности интересующего нас события
(в одном опыте откажет ровно

элементов) в этих опытах одинаковы, то
применима формула

где

—общее
число опытов;
—вероятность
того, что в одном опыте откажет ровно

элементов. Найдем вероятность

по формуле Бернулли:

Подставив (**) в (*), получим искомое
математическое ожидание:

198…..

#199

Обозначим
через

сумму числа очков, которые выпадут на
всех гранях, через

– число выпавших очков на грани
-й
кости. Тогда, очевидно,

Следовательно,

Очевидно,
все величины

имеют одинаковое распределение, а
следовательно одинаковые числовые
характеристики и, в частности, одинаковые
математические ожидания, т.е.
.

В силу (*) получим

(**)

Таким
образом, достаточно вычислить
математическое ожидание величины
,т.е.
математическое ожидание числа очков,
которые могут выпасть на первой кости.
Для этого напишем закон распределения
:

	1	2	3	4	5	6
	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Найдем

(***)

Подставив
(***) в (**), окончательно получим

#200

Математическое
ожидание дискретной случайной величины
X равно произведению числа
испытаний на вероятность появления
события.

В данном случае можно использовать
формулу Бернулли

В
данной задаче, по условию, k=4,
n=5, p=0,9, q=0,1

Находим
вероятность

Так как проверяется 50 партий, то найденную
вероятность нужно умножить на 50

Получаем
М(Х)=50*=16,4025≈16

201.
Доказать: 1) М(Y)=аМ(Х)+b,
если Y=аХ+b;
2) М(Y)= i=1n∑аiМ(Хi)+b,
если Y= i=1n∑(аiХi)+b.

Решение:

1) М(Y)=М(аХ+b)=(ах1+b)р1+
(ах2+b)р2+…+ (ахn+b)рn=ах1р1+
ах2р2+…+ ахnрn+bр1+
bр2+…+ bрn=

=а(х1р1+
х2р2+…+ хnрn)+b(р1+
р2+…+ рn)= а(х1р1+ х2р2+…+
хnрn)+b=аМ(Х)+b.

Что и требовалось доказать.

2) М(Y)=М(i=1n∑(аiХi)+b)=
i=1n∑(аiХi
1)*р1+ i=1n∑(аiХi
2)*р2+…+ i=1n∑(аiХi
n)*рn+М(b)=

=
i=1n∑аi*( i=1n∑Хi 1*р1+ i=1n∑Хi 2*р2+…+ i=1n∑Хi
n*рn)+b= i=1n∑ai* i=1n∑M(Xi)+b= i=1n∑аiМ(Хi)+b

Что и требовалось доказать.

#202

События
A1,A2,…,An
несовместны и образуют полную группу;
вероятности появления этих событий
соответственно равны p1,p2,…,pn.
Если в итоге испытания появляется
событие Aii=1,…,n,
то дискретная случайная величина X
принимает возможное значение xi,
равное вероятности pi
появления события Ai.
Доказать, что математическое ожидание
случайной величины Х имеет наименьшее
значение, если вероятности всех событий
одинаковы.

Решение:
Возможные значения величины Х по условию
равны вероятности pi
событий Ai; вероятность
возможного значения pi,
очевидно, также равна pi.
Таким образом, X имеет следующее
распределение:

X	p1	p2	…	pn
P	p1	p2	…	pn

Найдем
математическое ожидание:

MX=p12+p22+…+pn2.
(*)

Рассматриваемые события образуют
полную группу, поэтому:

p1+p2+…+pn=1.

Из
дифференциального исчисления известно,
что если сумма независимых переменных
постоянна, то сумма квадратов этих
переменных имеет наименьшее значение
в случае равенства переменных.
Применительно к рассматриваемой задаче
это означает: сумма (*), т. е. математическое
ожидание М (X), имеет
наименьшее значение, если вероятности
всех событий, образующих полную группу,
равны между собой, что и требовалось
доказать.

#203

Доказать, что математическое ожидание
дискретной случайной величины заключено
между наименьшим и наибольшим ее
возможными знаениями.

Решение: Пуст Х – дискретная случайная
величина, заданная законом распределения:

X	x1	x2	x3	…	xn
p	p1	p2	p3	…	pn

Обозначим
наименьшее и наибольшее значения X
соответственно через m и
M. Тогда

Итак,

Аналогично
можно вывести, что

Объединяя,
получим

Ч.Т.Д.

#204

Дискретная
случайная величина X
принимает k положительных
значений
,

,
…,

с вероятностями, равными соответственно

,

,
…,
.
Предполагая, что возможные значения
записаны в возрастающем порядке,
доказать, что

Решение:
Принимая во внимание, что

и
,
получим

Так
как по условию возможные значения X
записаны в возрастающем порядке, т. е.

,
то

и
.

Следовательно,

Предположение доказано.

#205

Доказать,
что если случайные величины Х1, Х2,…Хn
независимы, положительны и одинаково
распределены, то

MX1X1+X2+…+Xn=1n

Решение.

Введем в расмотрение случайные величины

Y1=X1X1+X2+…+Xn,
Y2=X2X1+X2+…+Xn,
…,Yn=XnX1+X2+…+Xn
. *

Заметим,
что знаменатели этих дробей не могут
быть равными нулю, поскольку величины
Yi также одинаково
распределены и, следовательно, имеют
одинаковые числовые характеристики, в
частности, одинаковые математические
ожидания:

MY1=MY2=…=MYn.
**

Легко
видеть, что Y1+Y2+…+Yn=1,
следовательно,

M(Y1+Y2+…+Yn)=M1=1.

Математическое ожидание суммы равно
сумме математических ожиданий слагаемых,
поэтому

MY1+MY2+…+MYn=1.

В
силу (**) имеем nM(Y1)=1.
Отсюда M(Y1)=1/n.

Учитывая (*), окончательно получим

MX1X1+X2+…+Xn=1n.

Что и требовалось доказать.

#206

Доказать, что если случайные величины
Х1, Х2, Х3, Х4, Х5 независимы, положительны
и одинаково распределены, то

MX1+X2+X3X1+X2+X3+X4+X5=35.

Указание. Представить дробь, стоящую
под знаком математического ожидания,
в виде суммы трех дробей и воспользоваться
решением задачи 205.

Решение.

Введем в расмотрение случайные величины

Y1=X1X1+X2+X3+X4+X5,
Y2=X2X1+X2+X3+X4+X5,Y3=X3X1+X2+X3+X4+X5 . *

Заметим,
что знаменатели этих дробей не могут
быть равными нулю, поскольку величины
Yi также одинаково
распределены и, следовательно, имеют
одинаковые числовые характеристики, в
частности, одинаковые математические
ожидания:

MY1=MY2=MY3.
**

Легко
видеть, что Y1+Y2+Y3=1,
следовательно,

M(Y1+Y2+Y3)=M1=1.

Математическое ожидание суммы равно
сумме математических ожиданий слагаемых,
поэтому

MY1+MY2+…+MYn=1.

В
силу (**) имеем 5M(Y1)=1.
Отсюда M(Y1)=1/5.

Учитывая (*), окончательно получим

MX1+X2+X3X1+X2+X3+X4+X5=35.

Что и требовалось доказать.

#207

Найти
математическое ожидание дискретной
случайной величины X,
распределенной по закону Пуассона:

X	0	1	2	…	k	…
P		λ	λ2	…	λk	…

Решение.

По
определению математического ожидания
для случая, когда число возможных
значений X есть счетное
множество,

M(X)
=*
λk
.

Учитывая,
что при k=0 первый член
суммы равен нулю, примем в качестве
наименьшего значения k
единицу:

M(X)
=*
λk
=λ

*

Положив
k-1=m, получим

M(X)=λ

*

Принимая
во внимание, что
*=,
окончательно имеем

M(X)=
λ*e-λ*eλ=
λ.

Итак,

М(X)=
λ,

Т.е.
математическое ожидание распределения
Пуассона равно параметру этого
распределения λ.

#208

Случайные
величины X и Y
независимы. Найти

дисперсию
случайной величины Z = 3X
+ 2Y, если из-

известно,
что D(Х) = 5, D(Y)
= 6.

Решение.
Так как величины X и Y
независимы, то незави-

независимы
также и величины ЗА» и 2Y.
Используя свойства дисперсии

(дисперсия суммы независимых случайных
величин равна сумме

дисперсий слагаемых; постоянный множитель
можно вынести за знак

дисперсии, возведя его в квадрат), получим

D
(Z) = D {ZX+2Y) = D CX)+?> BY) = 9D (X) + W (К)=9• 5+4.6=69.

#209

Случайные
величины X и Y
независимы. Найти дисперсию случайной
величины Z=2X+3Y,
если известно, что D(X)=4,
D(Y)=5.

Решение.
Так как величины X и Y
независимы, то независимы также и
величины 2X и 3Y.
Используя свойства дисперсии получим:

D(Z)=D(2X+3Y)=D(2X)+D(3Y)=4D(X)+9D(Y)=4*4+9*5=61.

#210

Найти
дисперсию и среднее квадратическое
отклонение дискретной случайной величины
X, заданной законом
распределения:

X	-5	2	3	4
p	0,4	0,3	0,1	0,2

РЕШЕНИЕ.

Найдем
искомую дисперсию:
.

Найдем
искомое отклонение:
.

#211

Условие:

Найти
дисперсию и среднее квадратическое
отклонение дискретной случайной величины

,
заданной законом распределения:

a)

б)

Решение:

Для вычисления дисперсии воспользуемся
формулой:

Найдем
математическое ожидание

а)

б)

Напишем
закон распределения для
:

a)

б)

Найдем
математическое ожидание

а)

б)

Найдем искомую дисперсию:

а)

б)

Найдем искомое среднее квадратическое
отклонение:

a)

б)

#212

Дискретная случайная величина Х имеет
только два возможных значения х1 и х2,
причем равновероятных. Доказать, что
дисперсия величины Х равна квадрату
полуразности возможных значений;

.

Решение: найдем математическое ожидание
Х, учитывая, что вероятности возможных
значений х1 и х2 и, следовательно, каждая
из них равна ½;

.

Найдем
математическое ожидание
;

,

Найдем дисперсию Х:

.

#213

Найти
дисперсию дискретной случайной величины
X—числа
появлений события А в пяти независимых
испытаниях, если вероятность появления
событий А в каждом испытании равна 0,2.

Решение.

Дисперсия
числа появлений события в независимых
испытаниях (с одинаковой вероятностью
появления события в каждом испытании)
равна произведению числа испытаний на
вероятности появления и непоявления
события:

D(X)
= npq.

По
условию, n
= 5; р = 0,2; q
= 1—0,2 = 0,8.

Искомая
дисперсия

D(X)
= npq
= 5-0,2- 0,8 = 0,8.

Ответ:0,8

#214

Найти дисперсию дискретной случайной
величины Х – числа отказов элемента
некоторого устройства в десяти независимых
опытах, если вероятность отказа элемента
в каждом опыте равна 0,9.

Решение

Дисперсия числа появлений события в
независимых испытаниях(с одинаковой
вероятностью появления события в каждом
испытании) равна произведению числа
испытаний на вероятности появления и
непоявления события:

.

По
условию, n = 10, p
= 0,9, q = 0,1.

Искомая
дисперсия

Ответ: 0,9

#215

Задание:
Найти дисперсию дискретной случайной
величины
—числа
появлений события
в
двух независимых испытаниях, если
вероятности появления события в этих
испытаниях одинаковы и известно, что

.

Решение.
Первый способ: Возможные значения
величины

таковы:

(событие не появилось),

(событие появилось один раз) и

(событие появилось два раза).

Найдем вероятности возможных значений
по формуле Бернулли:

Напишем закон распределения
:

Возможные значения	0	1	2
вероятности		2pq

Найдём

В
силу условия
,
т. е.
.
Отсюда

и, сле-

следовательно,

.

Искомая дисперсия

Второй
способ: Воспользуемся формулой
.
По условию,
;

.
Следовательно,
.
Отсюда

и, значит,
.

Найдем искомую дисперсию:

#216

Найти дисперсию дискретной случайной
величины Х – числа появлений события
А в двух независимых испытаниях, если
вероятности появления события в этих
испытаниях одинаковы и известно, что
М(Х)=0.9.

Решение.

D(X)=npq

M(X)=np,
n=2 => p=0.45.

q=1-p=0.55

D(X)=2*0.45*0.55=0.495

Ответ: 0.495.

#217

Производятся независимые испытания с
одинаковой вероятностью появления
события А в каждом испытании. Найти
вероятность появления события А, если
дисперсия числа появлений события в
трех независимых испытаниях равна 0,63.

Решение:

Дисперсия равна:

D(X)=npq=3*pq=0,63

pq=0,21

q=1-p

p-p2=0,21

p2-p+0,21=0

Решим квадратное уравнение.

Искомая вероятность появления события
А равна:

p1=0,7

p2=0,3

#218

Сумма вероятностей всех возможных
значений дискретной случайной величины
равна единице, поэтому вероятность
того, что Х примет значение х2, равна
1-0,6=0,4

Напишем закон распределения Х:

X x1 x2

P
0,6 0,4 {1}

Для
отыскания x1 и x2
надо составить два уравнения, связывающие
эти числа. С этой целью выразим известные
математическое ожидание и дисперсию
через x1 и x2

Найдём М(Х)

М(Х)=0,6*x1+0,4*x2

По условию, М(Х)=1,4, следовательно

0,6*x1+0,4*x2=1,4
{2}

Для
того, чтобы получить второе уравнение,
выразим известную дисперсию через x1
и x2

Напишем закон распределения Х2

Х2

p
0,6 0,4

найдём М(Х2)

М(Х2)=0,6*+
0,4*

Найдём дисперсию

D(X)=
М(Х2)-[ М(Х)]2=0,6*+
0,4*
-1,42

Подставляя
D(X)=0,24, после
элементарных преобразований получим
0,6*+
0,4*=2,2
{3}

Объединяя
{2} и {3}, получим систему уравнений

Решив эту систему, найдём 2 решения

x1=1,
x2=2; x1=1,8,
x2=0,8

По
условию x2>x1,поэтому
задаче удовлетворяет лишь первое решение
x1=1, x2=2 {4}

Подставив {4} в {1}, получим искомый закон
распределения

X 1 2

P
0,6 0,4

#219

Дискретная
случайная величина X имеет
только два возможных значения: x1
и x2, причем x1
< x2. Вероятность того,
что X примет значение x1,
равна 0,2. Найти закон распределения X,
зная математическое ожидание M(X)=2,6
и среднее квадратическое отклонение
σ(X)=0,8.

Решение: Напишем закон распределения
Х (вероятность х2 получим из формулы о
сумме вероятностей всех возможных
значений дискретной случайной величины):

X	x1	x2
p	0,2	0,8

Нам известно математическое ожидание,
тогда:

Так
как

Т.е.
,
отсюда

Объединяя, получим систему уравнений
(умножим каждое на 5):

Математическое ожидание случайной величины и его свойства

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

---

Математическим ожиданием
дискретной случайной величины
, множество возможных значений которой
конечно, называется сумма произведений всех ее возможных значений на
соответствующие вероятности:

Если множество возможных
значений счетное, то

Причем математическое
ожидание существует, если ряд в правой части сходится абсолютно.

Математическое ожидание
приближенно равно среднему значению случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

,
возможные значения которой принадлежат всей оси

,
определяется равенством:

где

 – плотность распределения случайной величины

.
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу

,
то:

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Свойства математического ожидания

Свойство 1.

Математическое ожидание
константы равно этой константе:

Свойство 2.

Постоянный множитель
можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3.

Математическое ожидание
суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Свойство 4.

Математическое ожидания
произведения случайных величин:

где 

 –
ковариация  случайных величин

 и

В частности, если

 и

 независимы, то

И вообще, для независимых случайных величин
математическое ожидание их произведения равно произведению математических
ожиданий сомножителей:

Смежные темы решебника:

• Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
• Дискретная случайная величина
• Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

---

Пример 1

Производится
3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными p₁=0,4; p₂=0,3 и p₃=0,6. Найти математическое
ожидание общего числа попаданий.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Число
попаданий при первом выстреле есть случайная величина

, которая может принимать
только два значения:

1 –
попадание с вероятностью

0 –
промах с вероятностью

Математическое
ожидание числа попаданий при первом выстреле:

Аналогично
находим математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах:

Общее
число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в
каждом из трех выстрелов:

Искомое
математическое ожидание:

Ответ:

---

Пример 2

Для случайных величин X,Y известны
характеристики M(X)=3, M(Y)=7, D(X)=16, D(Y)=49, ρ_XY=0.35

Найдите математическое ожидание M(XY).

Решение

Коэффициент корреляции:

Искомое математическое ожидание:

Ответ:

---

Пример 3

Даны законы распределения двух независимых
случайных величин X и Y:

Требуется:

—
составить закон распределения случайной величины Z=3X-Y;

— найти
числовые характеристики случайных величин X, Y, Z;

—
проверить свойство M(Z)=3M(X)-M(Y);

—
построить функцию распределения для

Z и построить ее график.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Составим закон распределения

:

или

Проверка:

Закон
распределения величины

:

Найдем математические
ожидания:

Проверим
свойство:

 – выполняется

Найдем
дисперсии:

Средние
квадратические отклонения:

Запишем
функцию распределения:

 

График функции распределения

---

Пример 4

Найти
математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании
двух игральных костей.

Решение

Обозначим
число очков, которое может выпасть на первой кости, через

, и на второй – через

.

Возможные
значения этих величин одинаковы и равны: 1,2,3,4,5 и 6.

При этом
вероятность каждого из этих значений равна 1/6.

Математическое
ожидание числа очков, выпавших на первой кости:

Аналогично
математическое ожидание числа очков, выпавших на второй кости:

Искомое
математическое ожидание:

Ответ:

.

Задачи контрольных и самостоятельных работ

---

Задача 1

Найти
математическое ожидание случайной величины Z=6X-9Y+7XY-10, если известно, что
M(X)=2; M(Y)=3.

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 2

Случайные
величины X и Y независимы и распределены
равномерно: X – в интервале (a,b), Y

– в интервале (c,d).
Найти математическое ожидание случайной величины Z.

a=-3, b=4, c=3, d=6, Z=6XY, M(Z)-?

---

Задача 3

Найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3+2.2X-Y, где X и Y –
независимые случайные величины, если известны M(X)=1, D(X)=0.5,
M(Y)=2, D(Y)=2.

---

Задача 4

Независимые
случайные величины заданы законами распределения:

и

Построить ряд распределения F(Z), где Z=X-Y.
Проверить свойства:

M(Z)=M(X)-M(Y)

D(Z)=D(X)+D(Y)

---

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 5

Независимые
случайные величины X и Y заданы следующими законами
распределения:

и

Найти
математическое ожидание случайной величины XY

---

Задача 6

Дискретная
случайная величина X принимает три возможных значения: x₁=4 с вероятностью p₁=0.5; x₂=6 c вероятностью p₂=0.3 и x₃ с вероятностью p₃. Найти x₃ и p₃, зная, что M(X)=8.

---

Задача 7

Дан
перечень возможных значений случайной величины X: x₁=-1, x₂=0, x₃=1, а также известны
математические ожидания этой величины и ее квадрата:

M(X)=0.1, M(X²)=0.9.

Найти
вероятности p₁, p₂, p₃ соответствующие возможным
значениям x₁, x₂, x₃.

---

Задача 8

Дан
перечень возможных значений дискретной случайной величины X:

x₁=1, x₂=2, x₃=3

А также
известны математические ожидания этой величины и ее квадрата:

M(X)=2.3

M(X²)=5.9

Найти вероятности, соответствующие
возможным значениям X.

• Краткая теория
• Примеры решения задач
• Задачи контрольных и самостоятельных работ