Как найти математическое ожидание числа промахов

Дискретная случайная
величина
называется распределенной побиномиальному
закону, если ее возможные значения 0, 1,
…, n
, а вероятность того, что
,
выражается формулой

,

где
.

Математическое
ожидание случайной величины
,
распределенной по биномиальному закону,
равно,
а дисперсия.

Дискретная случайная
величина
называется распределенной по законуПуассона,
если ее возможные значения 0, 1, …, m,
…, а вероятность того, что
выражается формулой

,

где
— параметр закона Пуассона.

Математическое
ожидание и дисперсия случайной величины,
распределенной по закону Пуассона,
равны параметру
.

Непрерывная
случайная величина
называетсяравномерно
распределенной в интервале
,
если ее плотность распределения в этом
интервале постоянна.

Математическое
ожидание и дисперсия случайной величины,
распределенной равномерно на участке
,
равны соответственно

.

Непрерывная
случайная величина
называется распределенной попоказательному
закону, если ее плотность распределения

где
— параметр показательного закона.

Для случайной
величины
,
распределенной по показательному
закону,

.

Функция распределения
имеет вид

Непрерывная
случайная величина
называется распределенной понормальному
закону, если ее плотность распределения

.

Математическое
ожидание случайной величины
,
распределенной по нормальному закону,
равно,
а дисперсия.

Вероятность
попадания случайной величины
,
распределенной по нормальному закону,
в интервалравна

,

где
— табулирована,

отсюда
.

Типовые задачи для решения в аудитории

1. Стрелок делает
по мишени три выстрела. Вероятность
попадания в мишень при каждом выстреле
равна 0,3. Построить ряд распределения
числа попаданий и вычислить математическое
ожидание и дисперсию указанной случайной
величины.

Решение.
Случайная величина
— число попаданий в мишень при 3-х
выстрелах, распределена по биномиальному
закону, ее возможные значения 0, 1, 2, 3.

;

;

;

.

Ряд распределения
случайной величины
:

	0	1	2	3
	0,343	0,441	0,189	0,027

;

.

2. Длина заготовляемой
автоматом детали представляет собой
случайную величину, распределенную по
нормальному закону с параметрами
,.
Найти вероятность брака, если допускаемые
размеры детали должны быть.
Какую точность длины можно гарантировать
с вероятностью 0,97?

Решение.
а)
.

.

Вероятность брака

.

б)

.

Следовательно, с
вероятностью 0,97 можно гарантировать
размеры
.

3. Снайпер стреляет
по замаскированному противнику до
первого попадания. Вероятность промаха
при отдельном выстреле равна
.
Найти математическое ожидание числа
промахов.

Решение.
Возможные значения случайной величины
— числа промахов:.

Ряд распределения
случайной величины
:

	0	1	2	…	k	…
				…		…

Полученное
распределение носит название
геометрического
распределения.

.

Для вычисления
суммы полученного ряда рассмотрим ряд

.

Отсюда
.

Тема 31-32: «Математическое ожидание
и его свойства»

Цель: рассмотреть числовые характеристики дискретной
случайной величины, вывести формулы и обозначения, учить решать задачи.

   Функция распределения случайной дискретной величины
позволяет наиболее полно охарактеризовать рассматриваемую случайную величину.
Однако при решении многих задач проще указать числовые характеристики случайной
величины, чем соответствующий закон распределения. К важнейшим числовым
характеристикам случайной величины относятся: мода, медиана, математическое
ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

1)     
Модой ДСВ называется такое
значение дискретной случайной величины, вероятность которого наибольшая.

Обозначается: Мо(х)

Значение случайной величины,
вероятность которой минимальная. Называется антимодой.

Пример 1. Закон распределения СВ задан таблицей

х	2	3	4	5	6	7	8	9	10
р

Наибольшая вероятность р =  , следовательно мода Мо(х) = 7, антимода равна 2.

Пример 2. При подбрасывании одного игрального  кубика
составить ряд выпадения граней

х	1	2	3	4	5	6
р

Мода
не может быть указана, так как вероятность выпадения каждой грани одинакова.

Пример
3. По наблюдениям метрологов, среднесуточная температура в первой половине
февраля имела следующий ряд распределения: -18, -15, -18, -18, -15, -12. -12.
-5, -10, -7, -12, -18, -20,-15, -12. Составить закон распределения ДСВ –
среднесуточной температуры и найти моду.

Решение:
Составим закон распределения ДСВ — среднесуточной  температуры, ранжируя ее
значения в порядке возрастания:

х	-20	-18	-15	-12	-10	-7	-5
р

В
данном случае наибольшую вероятность р =  имеют два значения ДСВ: х=-18 и х=-12. Значит мода ДСВ х равна
Мо(х)=-12 и Мо(х)=-18.

 
Моду как характеристику ДСВ часто используют в социологических исследованиях,
например при определении рейтинга популярности того или иного политического
деятеля или певца. При этом в качестве ДСВ выступает число голосов, отданных,
например, за любимого певца при социологическом опросе .

2)     
Медианой
ДСВ
называется среднее по положению в пространстве событий значение ДСВ.

Обозначается  Ме(х)

Пример:
Учет производительности труда станочников цеха №3 за смену задан рядом
распределений:

Номер по списку	1	2	3	4	5	6	7	8
производительность	52	52	53	54	56	57	57	57

Найти
моду и медиану ДСВ х.

Решение:
мода Мо(х) = 57 (самая «модная» производительность труда)

т.к.
число столбиков четное то медиану вычисляем как среднее арифметическое ДСВ 
Ме(х)=

Для
нахождения медианы ранжирование ряда распределения является обязательным
условием.

 
Одна из самых важных характеристик ДСВ – математическое ожидание.

3)     
Математическим
ожиданием ДСВ
называется сумма произведений значений случайной величины на их вероятности.

Обозначается М(Х).

Не
любая ДСВ может имеет математическое ожидание.

Свойства математического ожидания.

1)     
Математическое
ожидание постоянной величины равно этой постоянной М(С)=С=const

2)     
Постоянный
множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(kX)=kМ(Х), k—const;

3)     
Математическое
ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(х +
у)=М(х) +М(у);

4)     
Математическое
ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их
математических ожиданий: М(ху)=М(х)М(у).

Математическое ожидание можно найти всегда, если задан
закон распределения ДСВ.

Задача
1. Найти математическое ожидание произведения двух независимых случайных
величин  Х и У, если известны их законы распределения.

у	1	2	3	4
р	0.3	0,1	0,25	0,35

М(х)
= 3*0,3 + 5*0,5 + 7*0,2 =4,8

М(у)
= 1*0,3 +2*0,1 + 3*0,25 + 4*0,35 = 2,65

М(ху)=М(х)М(у)=4,8*2,65=12,72.

Ответ:
12,72

Задача
2. Из 100 лотерейных билетов в тридцати выигрыш составляет 100 тыс. р., в
десяти – 200 тыс. р., в пяти – 300 тыс.р., в одном -1 млн.р.  Найти числовые
характеристики выигрыша.

Решение:
СВ х –выигрыш – принимает значения х₁=0, х₂=100 тыс.р, х₃=200
тыс.р., х₄=300 тыс.р., х₅=1 млн.р.

Вычислим
вероятности р₁==0.54;  р₂ =  =0.3;  р₃ = =0,1;  р₄ = =0,05;

Р₅
= =0,01. Составим закон распределения этой ДСВ

х	0	100тыс.	200 тыс.	300 тыс.	1 млн.
р	0,54	0,30	0,10	0,05	0,01

Мо(х)
= 0 ( т. К. наибольшая вероятность 0,54 )

Ме(х)
=200 тыс.

М(х)
= 0*0,54 + 100 тыс.р.*0,3 + 200 тыс.р.*0,1 +300 тыс.р.*0,05 + 1 млн.р*0,01=75
тыс.р.

Задача
3. Найти математическое ожидание случайной величины у = 5х + 9, если известно,
что М(х) =2,5

Решение:
зная свойства математического ожидания, имеем:

М(у)
= М(5х +9) = М(5х) +М(9) = 5М(х) +9 = 5*2,5 +9 =7,5 +9=16,5.

Решить
самостоятельно:

1.     
Найти
математическое ожидание дискретной случайной величины, имеющей следующее
распределение:

А)

Б)

В)

2.     
Дискретная
случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁=4 с
вероятностью р₁=0,5; х₂=6 с вероятностью р₂=0,3
и х₃ с вероятностью р₃. Найти х₃ и р₃,
зная, что М(х) = 8.

3.     
Дискретная
случайная величина имеет следующий закон распределения:

Математическое ожидание равно 3. Найти х₁ и р₃.
Построить многоугольник распределения.

4.     
Найти
математическое ожидание величины Z, если:

А)  Z = 3х +4 у; М(х)=2; М(у)=6;

Б)  Z = 12х +3у; М(х)=0; М(у)=4.

Тема 33-34: «Дисперсия.
Среднеквадратическое отклонение»

Цель:
дать определения, ввести обозначение дисперсии и среднеквадратического
отклонения, учить вычислять эти величины.

 
Математического ожидания недостаточно для описания случайной величины. Для
более полной характеристики случайной величины надо оценивать рассеивание ее
возможных значений. Для характеристики рассеивания случайной величины и
предназначена дисперсия.

Дисперсией случайной величины Х
называется математическое  ожидание квадрата отклонения ее возможных значений
от ее среднего значения.

Обозначается:
Д(х).

Д(х)=
М((х – М(х))²)  или

Д(х)
= М(х²) – М²(х).

Дисперсия
числа появлений в n независимых испытаниях ( с
одинаковой вероятностью появления р события в каждом испытании и вероятности не
появления q) вычисляется по формуле Д(х)
= npq.

Пример1. Найти Д(х) случайной
величины, заданной следующим законом распределения:

х	3	4	6	7
р	0.2	0,25	0,35	0,2

Решение:
вычислим М(х) = 3*0,2 +4*0,25 + 6*0,35 + 7*0,2 = 5,1

Составим
закон распределения случайной величины х²

Х2	32=9	16	36	49
р	0,2	0,25	0.35	0,2

М(х²)
= 9*0,2 + 16*0,25 + 36*0,35 +49*0,2 = 28,2

Д(х)
= М(х²) – М²(х) = 28,2 – 5,1² = 28,2 – 26,01 =
2,19

Ответ:
Д(х) =2,19

Пример
2. Найти
дисперсию ДСВ х – числа отказов элемента некоторого устройства в десяти
независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

Решение:
по условию  n = 10;     q =0.9 ;    p = 0.1

D(x) = nqp = 10*0,9*0,1 = 0,9

Ответ:
Д(х) = 0,9

Свойства дисперсии.

1.  
Д(х)  0 дисперсия любой случайной величины есть величина
неотрицательная.

2.     
Дисперсия
постоянной величины С равна 0.  Д(С) =0.

3.     
Постоянный
множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат. Д(Сх) = С²Д(х).

4.     
Дисперсия
не меняется от смещения случайной величины Д(х – С)=Д(х).

5.     
Дисперсия
суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин  Д( х₁
+ х₂ + х₃ +…+ х_n) = Д(х₁)+Д(х₂)+Д(х₃)+ …
+Д(х_n)

 Т.к. дисперсия имеет размерность квадрата случайной
величины, то это очень неудобно для наглядного представления степени
рассеивания случайной величины Х. Чтобы устранить этот недостаток, вводится
показатель степени рассеивания случайной величины Х, имеющий с ней одинаковую
размерность. Этот показатель называется среднеквадратическим отклонением и обозначается
σ.

 квадратный из дисперсии этой
ДСВ.

σ=

Пример 3. Найти дисперсию и среднеквадратическое
отклонение, если ДСВ задана законом распределения.

Решение: Д(х) = М(х²) – М²_(Х)
;  М(х) = 4*0,2 + 5*0,3 + 10*0,5 =7,3

Составим таблицу для х²     

х	16	25	100
р	0,2	0,3	0,5

М(х²) = 16*0,2 + 25*0,3 + 100*0,5 = 60,7

Д(х) = 60,7 – 7,3² =7,41;        σ =  =2,72

Ответ: 7,41; 2,72

Пример 4. Составить закон распределения ДСВ х,
принимающей значения х₁ =1, х₂ =3, Х₃=4, если
известно, что М(х) = 2,3; Д(х) =1,21.

Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Р₁ + 3р₂ + 4р₃ =2,3;

Р₁ +9р₂ + 16р₃ = 1,21
+2,3²;

Р_{1 +} р_{2 +} р₃ = 1

Решим систему и найдем р₁ =0,4; р_2
=0,5; р₃ =0,1

Решить задачи самостоятельно:

1.     
Найти М(х²)
дискретной случайной величины, заданной законом распределения:

А)

Б)

х	0,2	0,5	0,6
р	0,1	0,5	0,4

2.     
Дан
перечень возможных значений дискретной значений величины: х₁ = -1, х₂
=0, х₃ =1, а также известны М(х) = 0,1 и М(х²) =0,9.
Найти вероятности р₁, р₂. Р₃.

3.     
Найти
дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины, имеющей
следующее распределение:

А)

х	-5	2	3	4
р	0,4	0,3	0.1	0,2

Б)

В)

4.  
Дискретная
случайная величина имеет только два возможных значения х₁ и х₂,
причем х₁х₂. Вероятность того, что Х принимает значение х₁,
равно 0,6.

Найти закон распределения величины Х,
если М(х) = 1,4; Д(х) = 0,24.

Тема: Характеристики
непрерывной случайной величины.

Основные числовые характеристики: мода, медиана,
математическое ожидание, дисперсия.

1.     
Модой
НСВ Х
называется такое ее значение, при котором плотность вероятности максимальная.
Случайная вероятность может иметь несколько мод.

С геометрической точки зрения мода –
значение аргумента Х, при котором график функции плотности распределения
принимает максимальное значение.

( находят моду через производную.
Надо исследовать функцию на интервале и  найти точки максимума функции и
сравнить их со значением f(x) на границах интервала).

2.     
Медианой
НСВ Х называют
такое ее значение µ, для которого равновероятно что случайная величина Х больше
или меньше µ.

Р(хµ) = р(хµ) = 0,5

Т.е. медиана есть корень
алгебраического уравнения F(x) = 0,5 или

Интегрального уравнения 

C геометрической точки зрения медиана делит
площадь под графиком функции плотности вероятности на две равные части.

3.     
Математическим
ожиданием НСВ называется интеграл

М(Х) =   в том случае если он существует.

С геометрической точки зрения
математическое ожидание случайной величины равно абсциссе центра тяжести
площади, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс.

     В случае, когда кривая
распределения симметрична относительно прямой

X = m математическое ожидание совпадает с этой абсциссой, и
математическое ожидание, мода и медиана равны между собой.

М(х) =Мо=Ме=µ.

4.  
Дисперсию
НСВ х находят
по формуле  D(x) =    или

D(x)

Примеры:

Тема: «Теорема сложения совместных
событий»

Пусть в некотором испытании
рассматриваются два совместных случайных  А и В, вероятности которых известны
ли могут быть найдены.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного
из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без
вероятности их совместного появления, т. е.  р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ)

Эту формулу можно применить и для двух несовместных
событий т. к. р(АВ) = 0.

Если А и В независимые  р(а + В) = р(А) + р(В) –
р(А)*р(В)

Если А и В зависимые р(А + В) = р(А) + р(В) – р(А)* р_а(в).

Пример 1: Два футболиста делают независимо друг от
друга по одному удару по воротам. Вероятность попадания первого футболиста
равна 0,8; второго – 0,9. Найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно
попадание.

Решение: событие А- попадание первым футболистом

Событие В – попадание вторым футболистом

А + В – произойдет хотя бы одно попадание.

По теореме р(А + В) = 0.8 + 0, 9 – 0,8*0,9 =

Ответ:

Эту задачу можно решить другим способом:

Р() = 1 – р(А) = 1 – 0,8 =0,2

Р() = 1 – р(В) = 1 – 0,9 = 0,1

Р(А + В) = 1 – 0,2*0,1 =

 Ответ:

 Существует более общая формула для нахождения
вероятности суммы трех и большего числа совместных событий.  А, В, С – события,
тогда

Р(А + В +С) = р(А) +р(В) + р(С) – р(АВ) – р (АС) –
р(ВС) + р(АВС), но решать задачу таким образом очень сложно, легче решать через
противоположные события.

Пример 2: Каждый из четырех стрелков независимо друг
от друга производит по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания равны:
0,7; 0,6; 0,8; 0,4. Определить вероятность того, что произойдет хотя бы одно
попадание.

Решение: пусть события А₁ –попадет  первый
стрелок, А₂ – второй стрелок, А₃ – третий стрелок, А₄
– четвертый стрелок.

Для событий А₁ +А₂ +А₃
+А₄  противоположными являются события _{1 234} – все промахнутся.

Р(₁) = 1 – р(А₁) = 1 – 0,7 = 0.3

Р(₂) = 1 – р(А₂) = 1 – 0,6 = 0,4

Р(₃) = 1 – р(А₃) = 1 – 0,8 = 0,2

Р(₄) 1 – р(А₄) = 1 – 0,4 = 0,6

Р(А₁+А₂ +А₃ + А₄)
= 1 – 0,3*0,4*0,2*0,6 =

Ответ:

Таким способом решаются задачи в которых есть слова
«хотя бы».

Решить задачи самостоятельно:

1.     
Стрелок
производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух
концентрических колец. Вероятность попадания в круг и кольца соответственно
равны 0,1; 0,3; 0,4. Определить вероятность попадания в мишень.

2.     
В
двух группах имеется по 25 студентов; в первой – 5 отличников. Во второй -8. Из
каждой группы выбирается по одному студенту. Какова вероятность того, что они
отличники?

3.     
Вероятности
вынуть белый шар из двух ящиков равны соответственно 0,8; 0,6. Из обоих ящиков
вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что хотя бы один из вынутых
шаров белый?

4.     
В
двух коробках лежат по 20 одинаковых по форме карточек. Из них в первой – 5
карточек зеленого цвета, во второй -10. Наугад выбирают из каждой коробки по
одной карточке. Какова вероятность того, что хотя бы одна  карточка будет не
зеленого цвета?

5.     
Из
колоды в 32 карты наугад выбирают 4 карты. Найдите вероятность того, что среди
отобранных карт окажется хотя бы один туз.

6.     
На
стеллаже в библиотеке стоят 15 учебников, причем 5 из них в переплете.
Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы
один из взятых  учебников  будет в переплете.

Тема: « Формула полной вероятности.
Формула Байеса».

  
Чтобы вывести формулу полной вероятности рассмотрим задачу:

Задача
1. В трех одинаковых ящиках находятся: в первом – 3 белых и 2 черных шара; во
втором – 6 белых и 4 черных шара; в третьем – 2 белых и 3 черных. Из случайно
выбранного ящика наугад вынимают шар. Какова вероятность того, что этот шар
белый?

Решение: 
А – вынутый белый шар.

В₁
– шар вынут из первого ящика;

В₂
–шар вынут из второго ящика;

В₃
– шар вынут из третьего ящика.

Р(В₁)
=р(В₂) =р(В₃) =   Событие А должно произойти с одним из событий В₁,
В₂  или  В₃.

Р(А)
= р(В₁)р_В1(А) + р(В₂) р_В2(А) + р(В₃)
р_В3(А);    

Р_в1(А)
=;   р_в2(А) = ;   р_в3(А) =

Р(А)
=

Ответ:             
при решении этой задачи была использована формула полной вероятности.

Теорема: (формула полной вероятности)

Пусть
В₁, В₂, … В_n – полная группа событий для некоторого испытания, и событие
А может произойти вместе с одним из событий полной группы. Тогда справедлива
формула:

Р(А)
= р(В₁) р_в1(А) + р(В₂) р_в2р(А) + …
+ р(В_n) р_вnр(А),   В₁, В₂,
…  В_n  -называются   гипотезами.

Решить
задачу:  Для приема зачета преподаватель приготовил 50 задач: 20 по
дифференциальному и 30 по интегральному исчислению. Для получения зачета
студент должен должен решить первую попавшуюся ему задачу. Какова вероятность
для студента получить зачет, если он знает решение 18 задач по
дифференциальному и 15 по интегральному исчислению.

Решение:
А – студент сдаст зачет;  В₁ – попадет задача по дифференциальному
исчислению;   В₂ – по интегральному исчислению.

Р(В₁)
=  = 0,4       р(В₂) =  = 0,6;    р_в1(А) =  = 0,9;    р_в2(А) =  = 0,5;

Р(А)
= 0,4

Ответ:
0,66

Решим
задачу 1. С измененным условием: Предположим, что шар вынут и известно, что он
оказался  белым, т. е. событие А произошло. Какова вероятность того, что шар
был вынут из первого ящика?

Р(В₁)
– это вероятность события вычисленная до испытания;

Р_в1(А)
– вероятность события В₁ вычисленная при условии, что событие А уже
произошло.

Для
решения задачи использовали формулу:

Р_вi(А ) = ;    i =
1, 2, … , n.    Формула Байеса.  ( применяется, когда
известно, что событие А уже произошло).

Решить
задачу: Из имеющихся на складе кинескопов 30 % изготовлены на заводе №1,
остальные на заводе №2. Вероятность того, что кинескоп, изготовленный на заводе
№1 не выйдет из строя в течении гарантийного срока службы, равна 0.9, для
кинескопов с завода №2 эта вероятность равна 0,8. Случайным образом для поверки
со склада выбирают кинескоп, который выдержал гарантийный срок. Определить
вероятность того, что его изготовили на заводе №2.

Решение: 
А – кинескоп  выдержавший  гарантийный срок;

В₁
– завод №1;      В₂ – завод №2;

р(В₁)
= 0,3;   р(В₂) = 0,7;   р_в1(А) = 0,9;    р_в2(А)
= 0,8.

Р(А)
= 0,3

Р_в2(А)
=  =     ( если надо найти р_в1(А)  = 1 – 0,67 = 0,33)

Ответ:
0,67

Решить
задачи самостоятельно:

1.     
Имеется
два набора открыток. В первом наборе имеется 13 стандартных и 2 не стандартных
по размеру открытки; во втором – 8 стандартных и 2 нестандартных открытки.
Определить вероятность того, что взятая наудачу открытка (из случайно
выбранного набора ) стандартная.

2.     
В магазин
поступили две партии костюмов. В первой партии – 20 синих и 15 черных, во
второй -15 синих и 10 черных. Первая партия изготовлена  заводом №1, вторая 
-заводом   №2. Покупатель купил синий костюм. Определить вероятность того, что
костюм изготовлен заводом №2.

3.     
Представитель
фирмы при приеме двух партий некоторой продукции для контроля случайным образом
выбирает по одному изделию из каждой партии. Вероятность выбора бракованного
изделия из первой партии равна 0,1; из  второй – 0,05.  Найдите вероятность
того, что: а) оба выбранных изделия будут без брака; б) хотя бы одно выбранное
изделие без брака.

Схема Бернулли. Локальная и
интегральная формулы Муавра-Лапласа в схеме Бернулли.

  На практике часто приходится иметь дело с многократным
повторением одного и того же испытания по возможности в одних и тех же
условиях. Например, 10 выстрелов по мишени при неизменных условиях стрельбы –
это десятикратное повторение одного испытания – выстрела по мишени.

  Допустим, что выполняется n независимых одинаковых испытаний.  Испытания независимы  в
том смысле, что результаты одних испытаний не влияют на результаты других.

  Одинаковые независимые испытания называются испытаниями
Бернулли, если в каждом испытании возможны только два исхода («успех» и
«неудача») и вероятности каждого из этих исходов постоянны.

Введем обозначения: р – вероятность «успеха», появления
события А.

q – вероятность
«неудачи», непоявление события А, тогда р + q = 1.

  Пусть проводят n испытаний в которых событие А встречается   m   раз, и не встречается (n – m), то искомую вероятность можно вычислить по формуле Бернулли:

Рn(А = m) =                 

Пример:
Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет только два
раза?

Решение:
 n = 6;  m = 2;    p =  ( только два исхода орел и решка)

q = 1 – p =
1 – 0.5 = 0.5      p₆(A = 2) =

Ответ:

Решить
самостоятельно: Вероятность попадания в цель для стрелка равна 0,6. Какова
вероятность из 10 выстрелов попасть ровно 4 раза.  (ответ: 0,11)

 
Чем больше число n в задачах тем сложнее ее
вычислить. Это обстоятельство было отмечено еще в 18 веке математиками
занимающимися демографическими проблемами. Возникла необходимость получения
приближенной формулы для нахождения соответственно вероятности. Эта задача была
успешно решена для частного случая при р = 0,5 в 1730 году английским
математиком Абрахамом де Муавром и обобщена в1783 году французским математиком
Пьером Лапласом.

Локальная
теорема Муавра-Лапласа.

 
Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна Р и
отлична от нуля и единицы, а число испытаний велико, то вероятность того, что
в  n испытаниях событие А
наступит ровно m раз, приближенно равна
значению функции

Р_n (А = m)  ,     где — находим в таблице П2 учебник Спирина стр.265-267.

 Пример:
Вероятность того, что сошедшая с конвейра  деталь окажется бракованной, равна
0,1. Найти вероятность того, что 600 деталей, сошедших с конвеера, 87 деталей
будут бракованными.

Решение: 
р = 0,1, n = 600  m = 87

q = 1 – 0.1 = 0.9   P₆₀₀(A =87)  

Ответ:
0,000068

Решить
самостоятельно: Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле 0,7.
Найти вероятность того, что при 20 выстрелах стрелок поразит мишень 15 раз.

Теорема
Пуассона: Если
вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, но близка к
нулю, число независимых испытаний Бернулли достаточно велико, то вероятность
того, что в этих n испытаниях событие А
наступит ровно m раз, приближенно
равна:

Р_n(А = m) =      формула Пуассона.

Пример:
Завод отправил в магазин 5000 исправных телевизоров. Вероятность того, что во
время пути произойдет повреждение телевизора, равна 0,0002. Какова вероятность
того, что во время пути произойдет повреждение у трех телевизоров.

Решение: 
n = 5000   m = 3   p = 0.0002       λ = 5000

Р₅₀₀₀(А
=3) =

Ответ:
0,062

Интегральная
теорема Лапласа.

Вероятность
того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления
события А равна  р. Событие А наступит не менее m₁ раз и не более m₂ раз, приближенна равна:

Р_n(m₁

Пример:
Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,1. Найти
вероятность того, что среди  случайно отобранных 500 деталей проверку не
пройдут от 70 до 100 деталей.

Решение:
 n = 500  m₁=70    m₂=100      p = 0.1

q =1 – p = 1
– 0.1 = 0.9 

   P₅₀₀(        (  Ф(7,45) и Ф(2,98) находят
в таблице стр. 267 Спирина)

 Ответ:
0,0013

Решить
самостоятельно: Производится 600 выстрелов. Вероятность промаха при одном
выстреле равна 0,015. Найти вероятность того, что число промахов будет не
меньше 7 и не больше 9.

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание — это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины — срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Получаем:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^3-x^4) dx = \
=left.(3x^4-frac{12}{5}x^5) right|_0^1=3-frac{12}{5} = frac{3}{5}=0.6.
$$

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку «Вычислить».
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала — еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Дискретная случайная величина: примеры решений задач

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач о дискретных случайных величинах. Это довольно обширный раздел: изучаются разные законы распределения (биномиальный, геометрический, гипергеометрический, Пуассона и другие), свойства и числовые характеристики, для каждого ряда распределения можно строить графические представления: полигон (многоугольник) вероятностей, функцию распределения.

Ниже вы найдете примеры решений о дискретных случайных величинах, в которых требуется применить знания из предыдущих разделов теории вероятностей для составления закона распределения, а затем вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, построить функцию распределения, дать ответы на вопросы о ДСВ и т.п.

Примеры для популярных законов распределения вероятностей:

• Биномиальный закон распределения
• Гипергеометрический закон распределения
• Геометрический закон распределения
• Закон распределения Пуассона

Калькуляторы на характеристики ДСВ

• Как найти математическое ожидание случайной величины?
• Как найти дисперсию случайной величины?
• Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения ДСВ.

Решенные задачи о ДСВ

Распределения, близкие к геометрическому

Задача 1. На пути движения автомашины 4 светофора, каждый из которых запрещает дальнейшее движение автомашины с вероятностью 0,5. Найти ряд распределения числа светофоров, пройденных машиной до первой остановки. Чему равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?

Задача 2. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти дисперсию этой случайной величины.

Задача 3. Стрелок, имея 3 патрона, стреляет в цель до первого попадания. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $xi$ — число оставшихся патронов. Составить ряд распределения случайной величины, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение с.в., построить функцию распределения с.в., найти $P(|xi-m| le sigma$.

Задача 4. В ящике содержится 7 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают детали последовательно до появления стандартной, не возвращая их обратно. $xi$ — число извлеченных бракованных деталей.
Составить закон распределения дискретной случайной величины $xi$, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, начертить многоугольник распределения и график функции распределения.

Задачи с независимыми событиями

Задача 5. На переэкзаменовку по теории вероятностей явились 3 студента. Вероятность того, что первый сдаст экзамен, равна 0,8, второй — 0,7, третий — 0,9. Найдите ряд распределения случайной величины $xi$ числа студентов, сдавших экзамен, постройте график функции распределения, найдите $М(xi), D(xi)$.

Задача 6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и С.К.О. этой случайной величины. Построить график функции распределения.

Задача 7. По цели производится 4 выстрела. Вероятность попадания при этом растет так: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Найти закон распределения случайной величины $X$ — числа попаданий. Найти вероятность того, что $X ge 1$.

Задача 8. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина $X$- число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины $X$, найти ее математическое ожидание.

Другие задачи и законы распределения ДСВ

Задача 9. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания для первого баскетболиста равна 0,6, для второго – 0,7. Пусть $X$ — разность между числом удачных бросков первого и второго баскетболистов. Найти ряд распределения, моду и функцию распределения случайной величины $X$. Построить многоугольник распределения и график функции распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Найти вероятность события $(-2 lt X le 1)$.

Задача 10. Число иногородних судов, прибывающих ежедневно под погрузку в определенный порт – случайная величина $X$, заданная так:

0 1 2 3 4 5

0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
А) убедитесь, что задан ряд распределения,
Б) найдите функцию распределения случайной величины $X$,
В) если в заданный день прибывает больше трех судов, то порт берет на себя ответственность за издержки вследствие необходимости нанимать дополнительных водителей и грузчиков. Чему равна вероятность того, что порт понесет дополнительные расходы?
Г) найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины $X$.

Задача 11. Бросают 4 игральные кости. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Задача 12. Двое поочередно бросают монету до первого появления герба. Игрок, у которого выпал герб, получает от другого игрока 1 рубль. Найти математическое ожидание выигрыша каждого игрока.

Решебник по терверу

Нужны еще решения? Найди в решебнике свое (от 30 рублей и мгновенная доставка):

22
Апр 2019

Теория вероятностей

Математическое ожидание