Как найти математическое ожидание показательного распределения

Непрерывная
случайная величина Х,
функция плотности которой задается
выражением

называется случайной величиной,
имеющей показательное,
или экспоненциальное, распределение.
В отличие от нормального
распределения, показательный закон
определяется только одним параметром λ.
В этом его преимущество, так как обычно
параметры распределения заранее не
известны и их приходится оценивать
приближенно. Понятно, что оценить один
параметр проще, чем несколько.

Найдем
функцию распределения показательного
закона:  

Теперь
можно найти вероятность попадания
показательно распределенной случайной
величины в интервал (а, b):
    
.       Значения
функции е^-х можно
найти из таблиц.

Математическое
ожидание

Проводя
интегрирование по частям и учитывая,
что при x→∞ e^—x стремиться
к нулю быстрее, чем возрастает любая
степень x ,
находим:

29) Показательное распределение. Дисперсия.

Непрерывная
случайная величина Х,
функция плотности которой задается
выражением

называется случайной величиной,
имеющей показательное,
или экспоненциальное, распределение.
В отличие от нормального
распределения, показательный закон
определяется только одним параметром λ.
В этом его преимущество, так как обычно
параметры распределения заранее не
известны и их приходится оценивать
приближенно. Понятно, что оценить один
параметр проще, чем несколько.

Найдем
функцию распределения показательного
закона:  

Теперь
можно найти вероятность попадания
показательно распределенной случайной
величины в интервал (а, b):
    

 Значения
функции е^-х можно
найти из таблиц.

Дисперсию
случайной
величины определяем по формуле:

30) Функции случайных величин. Примеры.

Примеры
одномерных величин. Число сокращений сердца за
одну минуту, полученное при регистрации,
— дискретная одномерная величина. Артериальное
давление крови,
зарегистрированное в данный момент времени,
— значение одномерной непрерывной
случайной величины.

Если
каждому возможному значению случ.величины Х
соответствует
одно возможное значение случ.
величины Y,то Y  называют функцией
случайного аргумента Х:               Y =
φ(X).

Выясним,
как найти закон распределения функции
по известному закону распределения
аргумента.

1) Пусть
аргумент Х –
дискретная случайная величина, причем
различным значениям Х
соответствуют
различные значения Y.
Тогда вероятности соответствующих
значений Х и Y
равны.

Пример
1.
Ряд распределения для Х имеет
вид:  
Х   
5       6     
7      8

                                                                               
   р   
0,1     0,2   0,3   0,4

Найдем
закон распределения функции Y = 2X²
— 3:     
Y      47    
69     95     125

                                                      
р   
0,1     0,2    0,3     0,4

(при
вычислении значений Y в
формулу, задающую функцию, подставляются
возможные значения Х).

2) Если
разным значениям Х могут
соответствовать одинаковые значения Y,
то вероятности значений аргумента, при
которых функция принимает одно и то же
значение, складываются.

Пример
2.
Ряд распределения для Х имеет
вид:  
Х   
0       1     
2      3

                                                                                
 р   
0,1     0,2   0,3   0,4

Найдем
закон распределения функции Y = X²
— 2Х:   
  Y      -1      
0       3

                                                                                           
 р   
0,2     0,4    0,4    

(так
как Y =
0 при Х
= 0
и Х
= 2,
то р(Y = 0)
= р( Х =
0) + р(Х =
2) = 0,1 + 0,3 = 0,4 ).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Показательное распределение
2. Задача с решением

Во многих теоретических и практических вероятностных задачах, связанных, например, с анализом надежности технических систем, исследовании случайных промежутков времени между редкими событиями и др., используется показательный (экспоненциальный) закон распределения.

Показательный закон распределения непрерывной случайной величины описывается плотностью вида

Здесь — постоянный коэффициент, определяющий как начальное значение плотности вероятности так и темп изменения в зоне определения аргумента.

В соответствии с определением (4.6) найдем функцию распределения показательного закона:

Функция распределения (5.27) имеет характер восходящей экспоненты, которая стремится к 1 при и имеет нулевое начальное значение.

Вероятность попадания экспоненциально распределенной случайной величины заданный интервал на основании (4.11), (5.27) равна:

Определим теперь числовые характеристики показательного распределения.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

На основании (4.19) математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью (5.26) равно:

Применяя к (5.29) интегрирование по частям при получим:

Для получения дисперсии воспользуемся выражением (4.29):

Интегрирование по частям позволяет преобразовать это выражение к виду:

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия экспоненциально распределенной случайной величины определяются обратной величиной и квадратом обратной величины параметра При этом значения и средне-квадратического отклонения совпадают.

Легко убедиться в том, что и моменты высших порядков также являются функциями от Выполненные преобразования позволяют записать выражения для следующих интегралов:

которые могут быть использованы для нахождения значений первых четырех начальных моментов показательного распределения. Согласно (4.37) эти значения равны:

Из (5.32) следует, что начальный момент показательного распределения сеть отношение факториала степени

Центральные моменты показательного распределения могут быть получены с помощью выражений (4.41), связывающих центральные и начальные моменты. Применяя (5.32) к (4.41), получим

Значения центральных моментов (5.33) позволяют найти коэффициенты асимметрии (4.32) и эксцесса (4.33):

Возможно вам будут полезны данные страницы:

В среде Mathcad показательному закону распределения соответствуют встроенные функции, в названии имеющие корневое слово и начинающиеся с символов

— выводит значения плотности распределения

— выводит значения функции распределения

— выводит значение квантили порядка

— выводит массив (вектор-столбсц) из значений экспоненциально распределенных независимых случайных чисел с параметром На рис. 5.4 приведены плотности и функции показательного распределения для (плотность и функция распределения

Рис. 5.4. Вид плотностей и функции показательного распределения

Плотность (5.26) имеет характер ниспадающей кривой (экспоненты), асимптотически приближающейся к оси Начальное значение равно (см. рис. 5.4). В практических приложениях можно считать, что «достигает» установившегося значения (нуля) при

Функция показательного распределения практически достигает установившегося значения (единицы) также при

Показательное распределение

В этом подразделе будет рассмотрено показательное распределением времени , которое встречается, когда имеют дело с распределением времени совершенно случайных событий.

Задача с решением

Найти закон распределения времени перегорания лампочки, если вероятность ее перегорания не зависит от предыдущей работы лампочки, а зависит только от будущей работы.

Решение:

Введем обозначение событий:

— лампочка не перегорела до момента времени вероятность того, что лампочка не перегорела до момента времени

лампочка перегорит в следующие единиц времени;

лампочка перегорит в промежуток времени

Очевидно, что

Пусть время замены лампочки. Очевидно, что момент перегорания лампочки может быть абсолютно произвольным, начиная с некоторого момента начала отсчета времени: сделаем его равным нулю.

Таким образом, Тогда . Обозначим ее функцию распределения а плотность вероятности — С учетом возможности произвольного выбора начала отсчета Поэтому далее будем рассматривать плотность вероятности и функцию распределения только при

Тогда

При малых вероятность должна быть пропорциональна самому интервалу, т.е.

Разделим части уравнения на и вычислим предел при

Вспомнив, что получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

которое легко интегрируется: Постоянную интефирования найдем из условия Тогда и получим

Итак, показательным (экспоненциальным) называют распределение непрерывной случайной величины которое описывается функцией распределения: Тогда плотность вероятности показательного распределения равна

где — постоянная положительная величина.

Графики плотности вероятности (рис. 2.13, и функции распределения (рис. 2.13, б) приведены на рис. 2.13.

Показательное распределение, обозначаемое широко применяется в приложениях, в частности, в теории надежности,

одним из основных понятий которой является функция надежности.

Также закон показательного распределения используется в системах массового обслуживания.

В частности, по показательному закону изменяется промежуток времени между двумя последовательными событиями или соседними заявками для простейших потоков в теории массового обслуживания (см. подразд. 2.4).

Пусть непрерывная случайная величина распределена по показательному закону. Найдем ее математическое ожидание:

Таким образом, математическое ожидание показательного распределения равно величине, обратной параметру Поэтому, если переменная время некоего процесса, то имеет смысл времени релаксации этого процесса, когда плотность вероятности уменьшается в раз. Тогда вероятность, что событие произойдет (например, лампочка перегорит) за время равна

Найдем дисперсию:

откуда

Получили, что показательное распределение определяется всего одним параметром

Действительно, замеченная нами особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и в математической статистике приходится находить их оценки (приближенные значения). Очевидно, проще оценить один параметр, чем два, три и т.д.

Найдем вероятность попадания распределенной по показательному закону, на интервал Воспользуемся общей формулой вероятности попадания на заданный интервал:

Тогда имеем

2.5.2. Показательное распределение вероятностей

Показательным или экспоненциальным называют распределение, которое характеризуется следующей функцией плотности:

, где

Убедимся в том, что перед нами не «подделка». Поскольку  и несобственный интеграл:

, то функция

 действительно

задаёт закон распределения непрерывной случайной величины.

Используя стандартный алгоритм, легко найти функцию распределения данной случайной величины:

,

и опять же через общие формулы нетрудно получить числовые характеристики

экспоненциального распределения:

Большим достоинством показательного распределения является тот факт, что оно определяется всего лишь одним параметром. Всего лишь

одним, Карл! И по этой причине нам достаточно разобрать одну-единственную задачу, проще всего для . Как-то так получилось, что во всех примерах параграфа Равномерное распределение мы начинали с функции , и поэтому для разнообразия зайдём в лес с другой

стороны:

Задача 117
Непрерывная случайная величина  задана своей функцией распределения:

Требуется:
1) определить коэффициент ;
2) найти плотность распределения вероятностей ;
3) схематично построить графики функций  и ;
4) вычислить математическое ожидание и дисперсию ;
5) определить вероятность того, что  примет значение из интервала .

Одним словом, обычная задача на НСВ, бессмысленная и беспощадная, заметьте, кстати,

что в условии ничего не сказано о том, что эта величина распределена по экспоненциальному закону.

Решаем:

1) В силу непрерывности функции распределения:
 –

при этом и только при этом значении предложенная функция задаёт закон распределения  непрерывной случайной величины:

, что

соответствует шаблону  для , таким образом, мы имеем дело с экспоненциальным

распределением.

2) Найдём функцию плотности распределения:
, что

полностью соответствует шаблону.

На всякий случай производная сложной функции: .

3) Условие допускает схематическое построение графиков, но зачем занижать планку? Даже при их ручном построении

не составляет никакого труда найти пару дополнительных точек и проявить маломальскую аккуратность.

Вычислим пару опорных значений: ,  и простенький предел . Таким образом, прямая  (изображена пунктиром) является

горизонтальной асимптотой для графика  при :

Показательное распределение нашло широкое применение в прикладных задачах, и пока чертёж не уехал вверх, приведу конкретный пример.

Пусть на промежутке  переменная «икс» обозначает время и в момент

времени  начинает

эксплуатироваться некий прибор, например, обычная лампочка. Тогда экспоненциальная случайная величина  характеризует время  работы лампочки до

перегорания. И тогда функция  описывает вероятность того, что лампочка проработает

МЕНЬШЕ, чем прошедшее время . По понятным причинам при увеличении  эта вероятность стремится к

единице, что хорошо иллюстрирует вышеприведённый график.

Кстати, о чём идёт речь в 5-м пункте условия? В контексте рассматриваемого примера, нам нужно найти  – вероятность того, что лампочка проработает

более 2 тыс. часов (значения, естественно, условные). Давайте сразу и вычислим эту вероятность:

5)
Ситуацию наглядно иллюстрирует чертёж ПЛОТНОСТИ распределения вероятностей:

Площадь между графиком  и осью абсцисс равна единице (проверено в начале

параграфа), и значительная часть этой площади (а именно, ) сосредоточена на промежутке от 0 до 2.
Применительно к «ламповому» примеру, определённый интеграл  равен вероятности того, что лампочка проработает от 0 до  тыс. часов. В

частности, как раз:
.
Соответственно, несобственный интеграл  – есть вероятность того, что лампочка проработает более  тыс. часов, и

Пункт 5) можно решить вторым способом:

4) Вычислим математическое ожидание и дисперсию.

Несмотря на то, что существуют готовые формулы для расчёта этих характеристик, решать, конечно же, будем подробно. По формуле математического ожидания:
 

Сначала удобно найти неопределенный интеграл:

Вспоминаем интегрирование по частям:

 –

произвольную константу приплюсовывать не надо, т.к. она всё равно сократится.

Таким образом:

Примечание: , т.к. знаменатель более высокого порядка роста.

Дисперсию вычислим по формуле , и из избушки на курьих ножках появляется следующий

интеграл:

Как и в случае с матожиданием, сначала проясним первообразную:

По канонам жанра тут нужно дважды интегрировать по частям, но решение облегчается тем, что после 1-го применения формулы  мы сталкиваемся с только

что решённым интегралом:

Таким образом, несобственный интеграл:

Примечание:   по той же самой причине.

Таким образом:

Проверим полученные результаты с помощью готовых формул:

Готово.

Показательное распределение нашло широкое применение в теории надёжности, этой теме, в частности, посвящены отдельные главы

учебного пособия В.Е. Гмурмана. Помимо лампочек и более грустных примеров существуют и другие приложения. Так, например, в простейшем потоке событий время ожидания каждого последующего события распределено именно по экспоненциальному закону.

Ну а сейчас пришло время зажечь новые огни и перейти к кульминационному параграфу под названием:

2.5.3. Нормальное распределение вероятностей

2.5.1. Равномерное распределение вероятностей

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин