Как найти математическое ожидание при нормальном распределении

1. Нормальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия.

Случайная
величина  называется
распределенной по нормальному закону,
если ее плотность вероятности имеет
вид:

Здесь  математическое
ожидание,  дисперсия,  среднее
квадратическое отклонение. Как и
ранее, ,
однако, этот интеграл вычисляется
численными методами. Чтобы упростить
эту процедуру, пользуются преобразованием
случайной величины  и
правилом сохранения элемента вероятности ,
где  плотность
распределения вероятности случайной
величины :

.

Как
видим, индивидуальные числовые
характеристики распределения
(математическое ожидание и дисперсия)
в последнее выражение не входят, т.е.
вышеуказанным преобразованием нормальная
случайная величина  приведена
к нормальной стандартной случайной
величине  с
параметрами 0 (математическое ожидание)
и 1 (дисперсия). Дифференциальная и
интегральная функции стандартного
нормального распределения табулированы
(имеются таблицы), что существенно
облегчает вычисления. Интегральная
функция распределения обозначается ,

Часто
используют функцию Лапласа:

Очевидны
следующие свойства:

где .

Пример.
 Нормальная
случайная величина  задана
математическим ожиданием  и
средним квадратическим отклонением .
Записать соответствующую дифференциальную
функцию, схематично изобразить ее
график, вычислить вероятность попадания
случайной величины  в
интервал 

Решение:
Записать дифференциальную функцию
нормальной случайной величины  с
заданными значениями математического
ожидания и дисперсии значит в общее
выражение для дифференциальной функции
нормальной случайной величины подставить
заданные  и .
Например, если ,
то получим

.

При
изображении этой функции на схематичном
графике следует учесть, что эта функция
имеет максимум при ,
симметрична относительно  (это
видно непосредственно из приведенной
выше формулы) и стремится к нулю при .
Однако правило (вероятность
того, что случайная величина примет
значение, по модулю отличающееся от
математического ожидания на или
более, пренебрежимо мала – составляет
всего около 0,0027) позволяет нам закончить
правую ветвь в точке  а
левую – в точке  Высота
максимума в точке  составит  Дополнительно
надо учесть, что перегибы ветвей будут
иметь место в точках 

Вероятность
попадания случайной величины  в
интервал  вычислим
так:

При
этом следует воспользоваться таблицами
функции стандартного нормального
распределения  или
функции Лапласа .

36. Нормальная кривая.

Центральная
предельная теорема. Если
случайная величина Х представляет собой
сумму очень большого числа взаимно
независимых случайных величин, влияние
каждой из которых на всю сумму ничтожно
мало, то Х имеет распределение, близкое
к нормальному.

Говорят,
что случайная величина Х распределена
по нормальному
закону с
параметрами а и ,
если плотность распределения вероятностей
имеет вид:

,
–¥<t<¥.

Вероятностный
смысл параметров а и  таков: а –
математическое ожидание случайной
величины Х, s –
среднее квадратическое отклонение
величины.

Иногда
такой закон распределения
называют Гауссовским. График плотности
нормального распределения называют
нормальной кривой (кривой Гаусса). На
рисунке изображены нормальные кривые
с параметрами а=1
и  , , .

 Из
рисунка видно, что положение пика кривых
определяется параметром а=1,
а параметр s (среднее квадратическое отклонение)
характеризует форму нормальной кривой.
При увеличении s уменьшается
максимум кривой распределения, сама
кривая становится более пологой,
растягиваясь вдоль оси абсцисс. И,
наоборот, при уменьшении s  возрастает
максимум кривой распределения, сама
кривая становится более «островершинной».
Площадь, ограниченная любой нормальной
кривой и осью абсцисс, равна единице.
Параметр а(математическое
ожидание величины) определяет положение
максимума на оси абсцисс, не влияя на
форму кривой. На рисeyrt
ниже показаны нормальные кривые с
одинаковым средним квадратическим отклонением  и
разными математическими
ожиданиями а=–1, а=0, а=1.

         Нормальное
распределение с параметрами а=0
и  называется нормированным. 

1. Вероятность
   попадания в заданный интервал нормальной
   случайной величины.

Вероятность
того, что Х примет значение, принадлежащее
интервалу (α,β)

P(α<X<β)=Ф((β-a)/σ)-Ф((α-a)/σ),
где

– функция Лапласа.

1. Ф(-∞)=0

2. Ф(+∞)=1

3. Ф(-х)=1-Ф(х)

P(mx-l<x<mx+l)=Ф(l/σ)-Ф(-l/σ)=2Ф(l/σ)-1

38.
Вычисление вероятности заданного
отклонения.

Часто
требуется вычислить вероятность того,
что отклонение нормально распределенной
случайной вели­чины Х по
абсолютной величине меньше заданного
положительного числа d, т.
е. требуется найти вероятность
осуществления неравенства |x —а|<d.

Заменим
это неравенство равносильным ему двойным
неравенством

Тогда
получим:

Приняв
во внимание равенство:

(функция
Лапласа—нечетная), окончательно имеем

 Вероятность
заданного отклонения равна

На
рисунке наглядно показано, что если две
случайные величины нормально распределены
и а = 0,
то вероятность принять значение,
принадлежащее интервалу (-d,d),больше
у той величины, которая имеет меньшее
значение d. Этот
факт полностью соответствует вероятностному
смыслу параметра s .

Пример.
Случайная величина Х распределена
нормально. Математическое ожидание и
среднее квадратическое
отклонение Х соответственно
равны 20 и 10. Найти вероятность того, что
отклонение по абсолютной величине будет
меньше трех.

Решение: Воспользуемся
формулой

  

 По
условию ,

тогда

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Примеры с решением
2. Нормальное распределение и его числовые характеристики
3. Логарифмически-нормальное распределение

Нормальное распределение является наиболее распространенным типом распределения, предполагаемым в техническом анализе фондового рынка и в других видах статистического анализа. Стандартное нормальное распределение имеет два параметра: среднее значение и стандартное отклонение . Для нормального распределения 68% наблюдений находятся в пределах +/- одно стандартное отклонение от среднего значения, 95% находятся в пределах +/- два стандартных отклонения, а 99,7% находятся в пределах + — три стандартных отклонения.

Определение:

Общим нормальным распределением вероя тностей непрерывной случайной величины называется распределение с плотностью

Нормальное распределение задается двумя параметрами: и .

По определениям математического ожидания и дисперсии после выполнения соответствующих интегрирований можно вывести, что для нормального распределения справедливы формулы:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Определение:

Нормальное распределение с параметрами и называется нормированным; его плотность

Поскольку функция является четной, неопределенный интеграл от нее — нечетная функция, и потому вместо функции распределения используется функция Лапласа Функции табулированы Графики плотности нормального распределения для разных значений показаны на рис. 2.6.

Пусть случайная величина X задана плотностью нормального распределения ; тогда вероятность того, что примет значение на интервале согласно формулам равна: Преобразование этой формулы путем введения новой переменной интегрирования приводит к удобной вычислительной формуле где — функция Лапласа, определенная по формуле.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Модель нормального распределения мотивирована центральной предельной теоремой.

Теория утверждает, что средние значения, рассчитанные из независимых идентично распределенных случайных величин, имеют приблизительно нормальные распределения, независимо от типа распределения, из которого выбираются переменные (при условии, что они имеют конечную дисперсию). Нормальное распределение иногда путают с симметричным распределением. Симметричное распределение — это то, где разделительная линия создает два зеркальных изображения, но фактические данные могут быть двумя горбами или серией холмов в дополнение к кривой колокола, которая указывает на нормальное распределение.

Примеры с решением

Пример 1.

Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 10 и 5. Найти вероятность того, что примет значение на интервале (20, 30).

Решение:

Воспользуемся формулой . По условию Следовательно, По табл. 2 приложения находим соответствующие значения функции Лапласа и окончательно получаем:

Пример 2.

Магазин продает мужские костюмы. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равным 48 и 2. Определить процент спроса на костюмы 50-го размера при условии разброса значений этого размера в интервале (49, 51).

Решение:

По условию задачи Используя формулу (2.66), получаем, что вероятность спроса на костюмы 50-го размера в заданном интервале равна:

Следовательно, спрос на костюмы 50-го размера составит около 24%, и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.

Нормальное распределение и его числовые характеристики

ДСВ — дискретная случайная величина

НСВ — непрерывная случайная величина.

В этом подразделе мы создадим функцию распределения для каждого типа НСВ и создадим график, выясним числовые свойства этого типа НСВ и узнаем тип НСВ в реальных ситуациях из содержания задачи. вы будете учиться. Наиболее распространенным в природе, экономике, социологии и других науках является нормальное распределение непрерывных случайных величин.

Используя нормальное распределение, вы можете описать плотность вероятности НСВ, когда появляются отклонения от среднего случайного значения из-за различных явлений, действующих независимо друг от друга, но в одинаковой степени.

Чем больше случайных случайных величин добавлено, тем точнее результат. Все эти явления не зависят друг от друга, но, воздействуя на процесс изготовления примерно с одинаковой силой, обусловливают то, что закон, по которому изменяется НСВ (например, размер конкретной детали), описывается нормальным распределением.

Самое точное изготовление детали с заданными размерами — «эталон» — будет соответствовать математическому ожиданию т, разброс фактических значений случайной величины размера детали — понятию дисперсии (точнее — среднеквадратическому отклонению ). Случайная величина с нормальным распределением существует в интервале и описывается законами: плотности вероятности называемой «кривой Гаусса» (рис. 2.9, а) где и — параметры нормального распределения, причем функции распределения (рис. 2.9, б):

Рис. 2.9

Подстановкой интеграл приводится к виду

Поэтому для удобства вводится нечетная функция называемая функцией Лапласа. Функцию Лапласа называют также «интегралом вероятности», или «функцией ошибок». Очевидно, что

Математическое ожидание случайной величины распределенной нормааьно, равно дисперсия равна поэтому параметр — среднеквадратическое отклонение.

Случайную величину распределенную нормально с параметрами и обозначают На практике для вычисления значений функции Лапласа используются таблицы, которые приводятся в справочной литературе (табл. П. 3). Вероятность попадания в интервал НСВ, распределенной по нормальному закону, можно найти с помощью функции Лапласа по формуле

Величины параметров нормального распределения СВ непосредственно влияют на форму кривой при она принимает максимальное значение, равное Поэтому с увесил личением (уменьшением) максимальная ордината убывает (возрастает) и кривая становится более пологой, приближаясь к оси

Величина математического ожидания влияет на расположение кривой относительно оси ординат: при возрастании (убывании) кривая смещается вправо (влево). Поэтому с помощью подстановки можно получить функцию плотности вероятности, график которой симметричен относительно оси Такая кривая соответствует нормированному закону нормального распределения с параметрами и Величину называют стандартно нормальной. Ее функция распределения имеет вид

Логарифмически-нормальное распределение

Определение. Непрерывная случайная величина имеет логарифмически-нормальное (сокращенно логнормальное распределение), если ее логарифм подчинен нормальному закону. Так как при неравенства равносильны, то функция распределения логнормального распределения совпадает с функцией нормального распределения для случайной величины т.е. в соответствии с

Дифференцируя по получим выражение плотности вероятности для логнормального распределения

(рис. 4.14).

Можно доказать, что числовые характеристики случайной величины распределенной по логнормальному закону, имеют вид: математическое ожидание дисперсия мода медиана Очевидно, чем меньше тем ближе друг к другу значения моды, медианы и математического ожидания, а кривая распределения — ближе к симметрии.

Если в нормальном законе параметр а выступает в качестве среднего значения случайной величины, то в логнормальном — в качестве медианы. Логнормальное распределение используется для описания распределения доходов, банковских вкладов, цен активов, месячной заработной платы, посевных площадей под разные культуры, долговечности изделий в режиме износа и старения и др.

Нормальное распределение, также известное как распределение Гаусса, является распределением вероятностей , симметричным относительно среднего значения, показывающим, что данные около среднего значения встречаются чаще, чем данные, далекие от среднего значения.

Пример 3.

Проведенное исследование показало, что вклады населения в данном банке могут быть описаны случайной величиной распределенной по логнормальному закону с параметрами Найти: а) средний размер вклада; б) долю вкладчиков, размер вклада которых составляет не менее 1000 ден. ед.; в) моду и медиану случайной величины и пояснить их смысл.

Решение:

а) Найдем средний размер вклада, т.е.

б) Доля вкладчиков, размер вклада которых составляет не менее 1000 ден. ед., есть

При определении воспользуемся тем, что функция логнормального распределения случайной величины совпадает с функцией нормального распределения случайной величины т.е. с учетом имеем:

Теперь

(рис. 4.15).

в) Вычислим моду случайной величины т.е. наиболее часто встречающийся банковский вклад равен 280 ден. ед. (точнее, наиболее часто встречающийся элементарный интервал с центром 280 ден. ед., т.е. интервал ( Если исходить из вероятностного смысла параметра логнормального распределения, то медиана т.е. половина вкладчиков имеют вклады до 530 ден. ед., а другая половина — сверх 530 ден. ед.

Содержание:

Нормальный закон распределения:

Нормальный закон распределения имеет плотность вероятности

где

График функции плотности вероятности (2.9.1) имеет максимум в точке а точки перегиба отстоят от точки на расстояние При функция (2.9.1) асимптотически приближается к нулю (ее график изображен на рис. 2.9.1).

Помимо геометрического смысла, параметры нормального закона распределения имеют и вероятностный смысл. Параметр равен математическому ожиданию нормально распределенной случайной величины, а дисперсия Если т.е. X имеет нормальный закон распределения с параметрами и то 

где – функция Лапласа

Значения функции можно найти по таблице (см. прил., табл. П2). Функция Лапласа нечетна, т.е. Поэтому ее таблица дана только для неотрицательных График функции Лапласа изображен на рис. 2.9.2. При значениях  она практически остается постоянной. Поэтому в таблице даны значения функции только для При значениях можно считать, что

Если то

Пример:

Случайная величина X имеет нормальный закон распределения Известно, что а  Найти значения параметров и

Решение. Воспользуемся формулой (2.9.2):

Так как  По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что   Поэтому или

Аналогично  Так как то По таблице функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что Поэтому или Из системы двух уравнений и находим, что а   т.е. Итак, случайная величина X имеет нормальный закон распределения N(3;4).

График функции плотности вероятности этого закона распределения изображен на рис. 2.9.3.

Ответ.

Пример:

Ошибка измерения X имеет нормальный закон распределения, причем систематическая ошибка равна 1 мк, а дисперсия ошибки равна 4 мк². Какова вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет по модулю 2 мк?

Решение. По условиям задачи Вычислим сначала вероятность того, что в одном измерении ошибка не превзойдет 2 мк. По формуле (2.9.2)

Вычисленная вероятность численно равна заштрихованной площади на рис. 2.9.4.

Каждое измерение можно рассматривать как независимый опыт. Поэтому по формуле Бернулли (2.6.1) вероятность того, что в трех независимых измерениях ошибка ни разу не превзойдет 2 мк, равна

Ответ. 

Пример:

Функция плотности вероятности случайной величины X имеет вид

Требуется определить коэффициент найти и определить тип закона распределения, нарисовать график функции вычислить вероятность

Замечание. Если каждый закон распределения из некоторого семейства законов распределения имеет функцию распределения , где – фиксированная функция распределения, a  то говорят, что эти законы распределения принадлежат к одному виду или типу распределений. Параметр называют параметром сдвига, – параметром масштаба.

Решение. Так как (2.9.4) функция плотности вероятности, то интеграл от нее по всей числовой оси должен быть равен единице:

Преобразуем выражение в показателе степени, выделяя полный квадрат:

Тогда (2.9.5) можно записать в виде

Сделаем замену переменных так, чтобы  т.е. Пределы интегрирования при этом останутся прежними. Тогда (2.9.6) преобразуется к виду

Умножим и разделим левую часть равенства на Получим равенство 

Так как   как интеграл по всей числовой оси от функции плотности вероятности стандартного нормального закона распределения N(0,1), то приходим к выводу, что

Поэтому

Последняя запись означает, что случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами и График функции плотности вероятности этого закона изображен на рис. 2.9.5. Распределение случайной величины X принадлежит к семейству нормальных законов распределения. По формуле (2.9.2)

Ответ. 

Пример:

Цех на заводе выпускает транзисторы с емкостью коллекторного перехода  Сколько транзисторов попадет в группу  если в нее попадают транзисторы с емкостью коллекторного перехода от 1,80 до 2,00 пФ. Цех выпустил партию в 1000 штук.

Решение.

Статистическими исследованиями в цеху установлено, что  можно трактовать как случайную величину, подчиняющуюся нормальному закону.

Чтобы вычислить количество транзисторов, попадающих в группу  необходимо учитывать, что вся партия транзисторов имеет разброс параметров, накрывающий всю (условно говоря) числовую ось. То есть кривая Гаусса охватывает всю числовую ось, центр ее совпадает с  (т. к. все установки в цеху настроены на выпуск транзисторов именно с этой емкостью). Вероятность попадания отклонений параметров всех транзисторов на всю числовую ось равна 1. Поэтому нам необходимо фактически определить вероятность попадания случайной величины  в интервал  а затем пересчитать количество пропорциональной вероятности.

Для расчета этой вероятности надо построить математическую модель. Экспериментальные данные говорят о том, что нормальное распределение можно принять в качестве математической модели. Эмпирическая оценка (установлена статистическими исследованиями в цеху) среднего значения 

дает  оценка среднего квадратического отклонения 

Обозначая  подставим приведенные значения в (6.3):

Тогда количество транзисторов  попавших в интервал [1,8; 2,0] пФ, можно найти так:  Таким образом можно планировать и рассчитывать количество транзисторов, попадающих в ту или иную группу.

Нормальное распределение и его свойства

Если выйти на улицу любого города и случайным образом выбранных прохожих спросить о том, какой у них рост, вес, возраст, доход, и т.п., а потом построить график любой из этих величин, например, роста… Но не будем спешить, сначала посмотрим, как можно построить такой график.

Сначала, мы просто запишем результаты своего исследования. Потом, мы отсортируем всех людей по группам, так чтобы каждый попал в свой диапазон роста, например, «от 180 до 181 включительно».

После этого мы должны посчитать количество людей в каждой подгруппе-диапазоне, это будет частота попадания роста жителей города в данный диапазон. Обычно эту часть удобно оформить в виде таблички. Если затем эти частоты построить по оси у, а диапазоны отложить по оси х, можно получить так называемую гистограмму, упорядоченный набор столбиков, ширина которых равна, в данном случае, одному сантиметру, а длина будет равна той частоте, которая соответствует каждому диапазону роста. Если

Вам попалось достаточно много жителей, то Ваша схема будет выглядеть примерно так:

Дальше можно уточнить задачу. Каждый диапазон разбить на десять, жителей рассортировать по росту с точностью до миллиметра. Диаграмма станет глаже, но уменьшится по высоте, «оплывет» вниз, т.к. в каждом маленьком диапазоне количество жителей уменьшается. Чтобы избежать этого, просто увеличим масштаб по вертикальной оси в 10 раз. Если гипотетически повторить эту процедуру несколько раз, будет вырисовываться та знаменитая колоколообразная фигура, которая характерна для нормального (или Гауссова) распределения. В результате, относительная частота встречаемости каждого конкретного диапазона роста может быть посчитана как отношение площади «ломтика» кривой, приходящегося на этот диапазон к площади подо всей кривой. Стандартизированные кривые нормального распределения, значения функций которых приводятся в таблицах книг по статистике, всегда имеют суммарную площадь под кривой равную единице. Это связано с тем, что, как Вы помните из курса теории вероятности, вероятность достоверного события всегда равна 100% (или единице), а для любого человека иметь хоть какое-то значение роста — достоверное событие. А вот вероятность того, что рост произвольного человека попадет в определенный выбранный нами диапазон, будет зависеть от трех факторов.

Во-первых, от величины такого диапазона — чем точнее наши требования, тем меньше вероятности, что нам повезет.

Во-вторых, от того, насколько «популярен» выбранный нами рост. Напомним, что мода — самое часто встречающееся значение роста. Кстати для нормального распределения мода, медиана и среднее значение совпадают. Кривая нормального распределения симметрична относительно среднего значения.

И, в-третьих, вероятность попадания роста в определенный диапазон зависит от характеристики рассеивания случайной величины. Отчасти это связано с единицами измерения (представьте, что мы бы измеряли людей в дюймах, а не в миллиметрах, но сами люди и их рост были бы теми же). Но дело не только в этом. Просто некоторые процессы кучнее группируются возле среднего значения, в то время как другие более разбросаны.

Например, рост собак и рост домашних кошек имеют разный разброс значений, их кривые нормального распределения будут выглядеть по-разному (напомним еще раз, что площадь под обеими кривыми будет единичной).

Так, кривая для роста кошек будет более узкой и высокой, а для роста собак кривая будет ниже и шире. Для характеристики разброса конечного ряда данных в прошлом разделе мы использовали величину среднего квадратического отклонения. Аналогичная величина используется для характеристики кривой нормального распределения. Она обозначается буквой s и называется в этом случае стандартным отклонением. Это очень важная величина для кривой нормального распределения. Кривая нормального распределения полностью задана, если известно среднее значение и отклонение s. Кроме того, любой житель города с вероятностью 68% попадет в диапазон роста с вероятностью 95% — в диапазон и с вероятностью 99,7% — в диапазон

Для вычисления других значений вероятности, которые могут Вам понадобиться, можно воспользоваться приведенной таблицей:

Таблица вероятности попадания случайной величины в отмеченный (заштрихованный) диапазон

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения случайных величин, который иногда называют законом Гаусса или законом ошибок, занимает особое положение в теории вероятностей, так как 95 % изученных случайных величин подчиняются этому закону. Природа этих случайных величин такова, что их значение в проводимом эксперименте связано с проявлением огромного числа взаимно независимых случайных факторов, действие каждого из которых составляет малую долю их совокупного действия. Например, длина детали, изготавливаемой на станке с программным управлением, зависит от случайных колебаний резца в момент отрезания, от веса и толщины детали, ее формы и температуры, а также от других случайных факторов. По нормальному закону распределения изменяются рост и вес мужчин и женщин, дальность выстрела из орудия, ошибки различных измерений и другие случайные величины.

Определение: Случайная величина X называется нормальной, если она подчиняется нормальному закону распределения, т.е. ее плотность распределения задается формулой — средне-квадратичное отклонение, a m = М[Х] — математическое ожидание.

Приведенная дифференциальная функция распределения удовлетворяет всем свойствам плотности вероятности, проверим, например, свойство 4.:

Выясним геометрический смысл параметров Зафиксируем параметр и будем изменять параметр m. Построим графики соответствующих кривых (Рис. 8).

Рис. 8. Изменение графика плотности вероятности в зависимости от изменения математического ожидания при фиксированном значении средне-квадратичного отклонения. Из рисунка видно, кривая получается путем смещения кривой вдоль оси абсцисс на величину m, поэтому параметр m определяет центр тяжести данного распределения. Кроме того, из рисунка видно, что функция достигает своего максимального значения в точке Из этой формулы видно, что при уменьшении параметра значение максимума возрастает. Так как площадь под кривой плотности распределения всегда равна 1, то с уменьшением параметра кривая вытягивается вдоль оси ординат, а с увеличением параметра кривая прижимается к оси абсцисс. Построим график нормальной плотности распределения при m = 0 и разных значениях параметра (Рис. 9):

Рис. 9. Изменение графика плотности вероятности в зависимости от изменения средне-квадратичного отклонения при фиксированном значении математического ожидания.

Интегральная функция нормального распределения имеет вид:

График функции распределения имеет вид (Рис. 10):

Рис. 10. Графика интегральной функции распределения нормальной случайной величины.

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал

Пусть требуется определить вероятность того, что нормальная случайная величина попадает в интервал Согласно определению пересчитаем пределы интегрирования Следовательно,

Рассмотрим основные свойства функции Лапласа Ф(х):

1. Ф(0) = 0 — график функции Лапласа проходит через начало координат.
2. Ф (-х) = — Ф(х) — функция Лапласа является нечетной функцией, поэтому
3. таблицы для функции Лапласа приведены только для неотрицательных значений аргумента.
4. — график функции Лапласа имеет горизонтальные асимптоты

Следовательно, график функции Лапласа имеет вид (Рис. 11):

Рис. 11. График функции Лапласа.

Пример №1

Закон распределения нормальной случайной величины X имеет вид: Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал (-1;8).

Решение:

Согласно условиям задачи Поэтому искомая вероятность равна: 0,4772 + 0,3413 = 0,8185.

Вычисление вероятности заданного отклонения

Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило .

Если интервал, в который попадает нормальная случайная величина X, симметричен относительно математического ожидания то, используя свойство нечетности функции Лапласа, получим

Данная формула показывает, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания на заданную величину l равна удвоенному значению функции Лапласа от отношения / к среднему квадратичному отклонению. Если положить случаях нормальная случайная величина X отличается от своего математического ожидания на величину равную среднему квадратичному отклонению. Если то вероятность отклонения равна Наконец, в случае то вероятность отклонения равна

Из последнего равенства видно, что только приблизительно в 0.3 % случаях отклонение нормальной случайной величины X от своего математического ожидания превышает Это свойство нормальной случайной величины X называется правилом “трех сигм”. На практике это правило применяется следующим образом: если отклонение случайной величины X от своего математического ожидания не превышает то эта случайная величина распределена по нормальному закону.

Показательный закон распределения

Определение: Закон распределения, определяемый фу нкцией распределения:

называется экспоненциальным или показательным.

График экспоненциального закона распределения имеет вид (Рис. 12):

Рис. 12. График функции распределения для случая экспоненциального закона.

Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) имеет вид: а ее график показан на (Рис. 13):

Рис. 13. График плотности вероятности для случая экспоненциального закона.

Пример №2

Случайная величина X подчиняется дифференциальной функции распределения Найти вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (2; 4), математическое ожидание M[Х], дисперсию D[X] и среднее квадратичное отклонение Проверить выполнение правила “трех сигм” для показательного распределения.

Решение:

Интегральная функция распределения следовательно, вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал (2; 4), равна: Математическое ожидание Вычислим значение величины М тогда дисперсия случайной величины X равна а средне-квадратичное

отклонение Для проверки правила “трех сигм” вычислим вероятность заданного отклонения:

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины

, плотность которого имеет вид:

где

 –
математическое ожидание,

 –
среднее квадратическое отклонение

.

Вероятность того, что

 примет
значение, принадлежащее интервалу

:

где  

 – функция Лапласа:

Вероятность того, что абсолютная
величина отклонения меньше положительного числа

:

В частности, при

 справедливо
равенство:

Асимметрия, эксцесс,
мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

,  где

Правило трех сигм

Преобразуем формулу:

Положив

. В итоге получим

если

, и, следовательно,

, то

то есть вероятность того, что
отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонение, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того,
что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна
0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие
события исходя из принципа невозможности маловероятных
событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит
сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то
абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит
утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм
применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но
условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание
предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае
она не распределена нормально.

Смежные темы решебника:

• Таблица значений функции Лапласа
• Непрерывная случайная величина
• Показательный закон распределения случайной величины
• Равномерный закон распределения случайной величины

Пример 2

Ошибка
высотометра распределена нормально с математическим ожиданием 20 мм и средним
квадратичным отклонением 10 мм.

а) Найти
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего ее значения не превзойдет 5
мм по абсолютной величине.

б) Какова
вероятность, что из 4 измерений два попадут в указанный интервал, а 2 – не
превысят 15 мм?

в)
Сформулируйте правило трех сигм для данной случайной величины и изобразите
схематично функции плотности вероятностей и распределения.

Решение

а) Вероятность того, что случайная величина, распределенная по
нормальному закону, отклонится от среднего не более чем на величину

:

В нашем
случае получаем:

б) Найдем
вероятность того, что отклонение ошибки от среднего значения не превзойдет 15
мм:

Пусть событие

 – ошибки 2
измерений не превзойдут 5 мм и ошибки 2 измерений не превзойдут 0,8664 мм

 – ошибка не
превзошла 5 мм;

 – ошибка не
превзошла 15 мм

в)
Для заданной нормальной величины получаем следующее правило трех сигм:

Ошибка высотометра будет лежать в интервале:

Функция плотности вероятностей:

График плотности распределения нормально распределенной случайной величины

Функция распределения:

График функции
распределения нормально распределенной случайной величины

Задача 1

Среднее
количество осадков за июнь 19 см. Среднеквадратическое отклонение количества
осадков 5 см. Предполагая, что количество осадков нормально-распределенная
случайная величина найти вероятность того, что будет не менее 13 см осадков.
Какой уровень превзойдет количество осадков с вероятностью 0,95?

---

Задача 2

Найти
закон распределения среднего арифметического девяти измерений нормальной
случайной величины с параметрами m=1.0 σ=3.0. Чему равна вероятность того, что
модуль разности между средним арифметическим и математическим ожиданием
превысит 0,5?

Указание:
воспользоваться таблицами нормального распределения (функции Лапласа).

---

Задача 3

Отклонение
напряжения в сети переменного тока описывается нормальным законом
распределения. Дисперсия составляет 20 В. Какова вероятность при изменении
выйти за пределы требуемых 10% (22 В).

---

Задача 4

Автомат
штампует детали. Контролируется длина детали Х, которая распределена нормально
с математическим ожиданием (проектная длинна), равная 50 мм. Фактическая длина
изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что
длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.

---

Задача 5

Случайная
величина X распределена нормально с математическим ожиданием a=10и средним
квадратическим отклонением  σ=5. Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с
вероятностью 0,9973 попадает величина Х в результате испытания.

---

Задача 6

Заданы
математическое ожидание a_x=19 и среднее квадратическое отклонение σ=4
нормально распределенной случайной величины X. Найти: 1) вероятность
того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α=15;
β=19); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения значения
величины от математического ожидания окажется меньше δ=18.

---

Задача 7

Диаметр
выпускаемой детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с
математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно 10 см и 0,16 см².
Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от
математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

---

Задача 8

Ошибка
прогноза температуры воздуха есть случайная величина с m=0,σ=2℃. Найти вероятность
того, что в течение недели ошибка прогноза трижды превысит по абсолютной
величине 4℃.

---

Задача 9

Непрерывная
случайная величина X распределена по нормальному 
закону: X∈N(a,σ).

а) Написать
плотность распределения вероятностей и функцию распределения.

б) Найти
вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение
из интервала (α,β).

в) Определить
приближенно минимальное и максимальное значения случайной величины X.

г) Найти
интервал, симметричный относительно математического ожидания a, в котором с
вероятностью 0,98 будут заключены значения X.

a=5; σ=1.3; 
α=4; β=6

---

Задача 10

Производится измерение вала без
систематических ошибок. Случайные ошибки измерения X
подчинены нормальному закону с σ_x=10.  Найти вероятность того, что измерение будет
произведено с ошибкой, превышающей по абсолютной величине 15 мм.

---

Задача 11

Высота
стебля озимой пшеницы — случайная величина, распределенная по нормальному закону
с параметрами a = 75 см, σ = 1 см. Найти вероятность того, что высота стебля:
а) окажется от 72 до 80 см; б) отклонится от среднего не более чем на 0,5 см.

---

Задача 12

Деталь,
изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого
размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей
характеризуется средним квадратическим отклонением, при данной технологии
равным 5 мм.

а)
Считая, что отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная
случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых автоматом.

б) Какой
должна быть точность изготовления, чтобы процент годных деталей повысился до
98?

в)
Написать выражение для функции плотности вероятности и распределения случайной
величины.

---

Задача 13

Диаметр
детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по
нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001 см, а математическое ожидание –
2,5 см. Найдите границы, симметричные относительно математического ожидания, в
которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали. Какова
вероятность того, что в серии из 1000 испытаний размер диаметра двух деталей
выйдет за найденные границы?

---

Задача 14

Предприятие
производит детали, размер которых распределен по нормальному закону с
математическим ожиданием 20 см и стандартным отклонением 2 см. Деталь будет
забракована, если ее размер отклонится от среднего (математического ожидания)
более, чем на 2 стандартных отклонения. Наугад выбрали две детали. Какова вероятность
того, что хотя бы одна из них будет забракована?

---

Задача 15

Диаметры
деталей распределены по нормальному закону. Среднее значение диаметра равно d=14 мм
, среднее квадратическое
отклонение σ=2 мм
. Найти вероятность того,
что диаметр наудачу взятой детали будет больше α=15 мм и не меньше β=19 мм; вероятность того, что диаметр детали
отклонится от стандартной длины не более, чем на Δ=1,5 мм.

---

Задача 16

В
электропечи установлена термопара, показывающая температуру с некоторой
ошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим
ожиданием и средним квадратическим отклонением σ=10℃. В момент когда термопара
покажет температуру не ниже 600℃, печь автоматически отключается. Найти
вероятность того, что печь отключается при температуре не превышающей 540℃ (то
есть ошибка будет не меньше 30℃).

---

Задача 17

Длина
детали представляет собой нормальную случайную величину с математическим
ожиданием 40 мм и среднеквадратическим отклонением 3 мм. Найти:

а)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали будет больше 34 мм и меньше 43
мм;

б)
Вероятность того, что длина взятой наугад детали отклонится от ее
математического ожидания не более, чем на 1,5 мм.

---

Задача 18

Случайное
отклонение размера детали от номинала распределены нормально. Математическое
ожидание размера детали равно 200 мм, среднее квадратическое отклонение равно
0,25 мм, стандартами считаются детали, размер которых заключен между 199,5 мм и
200,5 мм. Из-за нарушения технологии точность изготовления деталей уменьшилась
и характеризуется средним квадратическим отклонением 0,4 мм. На сколько
повысился процент бракованных деталей?

---

Задача 19

Случайная
величина X~N(1,2²). Найти P{2

---

Задача 20

Заряд пороха для охотничьего ружья
должен составлять 2,3 г. Заряд отвешивается на весах, имеющих ошибку
взвешивания, распределенную по нормальному закону со средним квадратическим
отклонением, равным 0,2 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально
допустимый вес заряда составляет 2,8 г.

---

Задача 21

Заряд
охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднеквадратическую ошибку
взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить
вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового
заряда 2,5 г.

---

Задача 21

Найти
вероятность попадания снарядов в интервал (α₁=10.7; α₂=11.2).
Если случайная величина X распределена по
нормальному закону с параметрами m=11; 
σ=0.2.

---

Задача 22

Плотность
вероятности распределения случайной величины имеет вид

Найти
вероятность того, что из 3 независимых случайных величин, распределенных по
данному закону, 3 окажутся на интервале (-∞;5).

---

Задача 23

Непрерывная
случайная величина имеет нормальное распределение. Её математическое ожидание
равно 12, среднее квадратичное отклонение равно 2. Найти вероятность того, что
в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (8,14)

---

Задача 24

Вероятность
попадания нормально распределенной случайной величины с математическим
ожиданием m=4 в интервал (3;5) равна 0,6. Найти дисперсию данной случайной
величины.

---

Задача 25

В
нормально распределенной совокупности 17% значений случайной величины X
 меньше 13% и 47% значений случайной величины X
больше 19%. Найти параметры этой совокупности.

---

Задача 26

Студенты
мужского пола образовательного учреждения были обследованы на предмет
физических характеристик и обнаружили, что средний рост составляет 182 см, со
стандартным отклонением 6 см. Предполагая нормальное распределение для роста,
найдите вероятность того, что конкретный студент-мужчина имеет рост более 185
см.