Как найти математическое ожидание в квадрате

Числовые характеристики распределения вероятностей. Математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение

Решение типовых примеров:

Пример
1. Найти
математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение
случайной величины Х, имеющей следующий
закон распределения:

Х	1	2	3	4	5
Р	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Решение:
Находим
математическое ожидание случайной
величины Х и ее квадрата:

Отсюда,
по формуле дисперсии находим:

Среднее
квадратическое отклонение случайной
величины Х равно:

.

Ответ:

.

Пример
2. Математическое
ожидание и дисперсия случайной величины
Х равны:

Найти
математическое ожидание и дисперсию
величины

Решение:
Согласно
свойствам 1-3 математического ожидания,
мы имеем:

Согласно
свойствам 1-3 дисперсии:

Ответ:

Задания для закрепления:

1.
Строительная инвестиционная компания
в настоящий момент продает акции по 16
условных денежных единиц за штуку.
Инвестор планирует покупку пакета акций
и предполагает хранение их в течении
года. Пусть Х — случайная величина,
означающая цену одной акции спустя год.
Ряд распределения Х задан в таблице:

цена акции — Х	Р(Х)
16 17 18 19 20	0,35 0,25 0,25 0,10 0,05

а)
Показать, что заданное распределение
обладает всеми свойствами ряда
распределения.

б)
Чему равно ожидаемое среднее значение
цены акции спустя один год?

в)
Чему равен ожидаемый средний выигрыш
от акции спустя год? Чему равен процент
возврата инвестиций, отражаемый этим
ожидаемым значением?

г)
Определите дисперсию цены акции спустя
год.

Ответ:
б) 17,25; в) 1,25; г) 1,3875.

2.
Два строительных контракта случайным
образом распределяются среди трех фирм:
I,
II,
III.
Любая фирма может получить или один или
оба контракта. С каждого полученного
контракта прибыль фирмы составит 90000
условных денежных единиц.

а)
Найдите ожидаемую прибыль фирмы I.

б)
Если фирмы I
и II
принадлежат одному владельцу, то какова
ожидаемая общая прибыль владельца?

Ответ:
М(средняя прибыль)=60000; М(общая прибыль)=
120000.

3.
Некоторое предприятие планирует
реконструкцию и расширение производства
для выпуска новой продукции. Руководство
предприятия должно определить стратегию
реконструкции и выбрать один из двух
проектов, предусматривающих большие и
умеренные капиталовложения. Неопределенность
заключается в том, что спрос на новою
продукцию, которую собирается выпускать
предприятие неизвестен. Будущий спрос
может быть низким, умеренным и высоким.
Вероятности оцениваются как 0,20, 0,50 и
0,30 соответственно. Пусть Х означает
ежегодный доход 1000 условных денежных
единиц. Предприятие планирует следующий
доход для проектов с большими и умеренными
капиталовложениями:

	доход при значительных вложениях	доход при умеренных вложениях
спрос	Х	Р(Х)	Х	Р(Х)
низкий умеренный высокий	0 100 300	0,20 0,50 0,30	50 150 200	0,20 0,50 0,30

а)
вычислите
ожидаемое среднее значение дохода при
двух альтернативных типах реконструкции
предприятия. Какое решение предпочтительнее
для максимизации ожидаемого дохода?

б)
вычислите
дисперсию дохода для двух альтернативных
проектов. Какое решение Вы предпочтете
для минимизации риска и неопределенности?

Ответ:
а) М(Х) = 145; 140; б) D(Х)
= 2725; 12400.

4.
Доход от некоторого рискованного бизнеса
составляет сумму около 1000 условных
денежных единиц с заданным рядом
распределения:

xi	-2000	-1000	0	1000	2000	3000
P(X=xi)=pi	0,1	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1

Замечание:
-2000, -1000 означают убыток.

а)
какой
наиболее вероятностный денежный доход
рискованного бизнеса?

б)
является
ли этот риск вероятностно успешным?
Объясните.

в)
чему равен на длительный период средний
доход от этого бизнеса?

Ответ:
в) 800.

5.
Найти математическое ожидание, дисперсию,
стандартное отклонение случайной
величины Х для условия задачи 7 предыдущего
параграфа.

Ответ:

6.
Для закона распределения задачи 5
предыдущего параграфа определить
ожидаемую среднюю сумму штрафа, если
предположить, что штраф, предъявляемый
машинистке за ошибки, исчисляется как
корень квадратный из числа ошибок на
страницу,
и каждая единица приравнивается к 1
условной денежной единице.

Ответ:
1,73 усл. ден. ед.

7.
Исходя из закона распределения ежедневных
продаж автомобилей, соответствующего
данным,
условия задачи 8 предыдущего параграфа,
определить ожидаемую среднюю сумму
заработка продавца, если предположить,
что он зарабатывает сумму, которая
рассчитывается как корень квадратный
из числа проданных автомобилей, умноженный
на 300 условных денежных единиц.

Ответ:
465,85797 усл. ден. ед.

8.
Чему равен ожидаемый процент людей,
откликнувшихся
на рекламу, если ряд распределения такой
же,
как и в задаче 6 из предыдущего параграфа?
Чему равны дисперсия и среднее
квадратическое отклонение?

Ответ:

9.
По данным условия задачи 4 предыдущего
параграфа определить чему равна
вероятность того, что в какой-то
определенный день число прибывающих
судов превысит ожидаемое среднее.

Ответ:
0,3.

1. Найти
   математическое ожидание дискретной
   случайной величины Х, заданной законом
   распределения :

Х
0,21 0,54 0,61

р 0,1 0,5 0,4

Ответ:
MХ=0,535.

11.
Найти математическое ожидание случайной
величины Z=3Х+4Y,
если известно, что МХ=2 и МY=6.

Ответ: MZ=30.

12.
Случайные величины X
и Y
независимы. Найти дисперсию случайной
величины Z=2Х+3Y,
если известно, что DХ=4
и DY=5.

Ответ:
DZ=61.

13.
Дан перечень возможных значений
дискретной случайной величины Х: ,

а
так же даны математическое ожидание
этой величины и ее квадрата: МХ=2,3
и МХ²=5,9.
Найти вероятности, соответствующие
возможным значениям Х.

Ответ:

.

14.
Дискретная случайная величина Х имеет
только три значения:
,
причем
.
Вероятности того, что Х примет значения
х₁
и х₂
, соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти
закон распределения величины Х, зная
ее математическое ожидание МХ=2,2 и
дисперсию DХ=
0,76.

Ответ:
Х 1 2 3

р
0,3 0,2 0,5.

15.
Брошены n
игральных костей. Найти дисперсию суммы
числа очков, которые могут появится на
всех выпавших гранях.

Ответ:
DХ=35n/12.

16.
Отдел технического контроля проверяет
изделия на стандартность. Вероятность
того, что изделие стандартно, равна 0,9.
В каждой партии содержится 5 изделий.
Найти математическое ожидание дискретной
случайной величины Х — числа партий, в
каждой из которых окажется ровно 4
стандартных изделия; если проверке
подлежит 50 партий.

Ответ:
.

1. Бросают
   n
   игральных костей. Найти математическое
   ожидание числа таких бросаний, в каждом
   из которых выпадет ровно m
   шестерок, если общее число бросаний
   равно N.

Ответ:
.

9-Занятие.
Моменты
высокого порядка. Коэффициент корреляции
и свойства

Начальный
момент порядка k
непрерывной
случайной величины Х, возможные значения
которой принадлежат всей оси ОХ,
определяется равенством: .

Центральный
момент порядка k
непрерывной
случайной величины Х, возможные значения
которой принадлежат всей оси ОХ,
определяется равенством:

.

Очевидно,
что если k=1,
то
.

Центральные
моменты выражаются через начальные
моменты по следующим формулам:

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание — это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины — срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i}.
$$
Получаем:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx.
$$
Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^2-x^3) cdot x dx = int_{0}^{1} 12(x^3-x^4) dx = \
=left.(3x^4-frac{12}{5}x^5) right|_0^1=3-frac{12}{5} = frac{3}{5}=0.6.
$$

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку «Вычислить».
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала — еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Содержание:

Числовые характеристики случайных величин:

Как мы уже выяснили, закон распределения полностью характеризует случайную величину, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с этой случайной величиной. Однако, во-первых, закон распределения не всегда известен, а, во-вторых, для решения многих практических задач совсем необязательно знать закон распределения. Достаточно знать отдельные числовые характеристики, которые в сжатой, компактной форме выражают наиболее существенные черты распределения.

Например, можно составить законы распределения двух случайных величин – числа очков, выбиваемых двумя стрелками, – и выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Однако, даже не зная законов распределения, можно сказать, что лучше стреляет тот, кто в с р е д н е м выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является математическое ожидание.

Математическое ожидание случайной величины

Определение: Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) д и с к р е т н о й случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся

Рассмотрим свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С) = С. (5.3)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M(СX) = С·M(X). (5.4)
3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т.е
4. Математическое ожидание произведений конечного числа случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(XY) = M(X)·M(Y). (5.6)
5. Если все значения случайной величины увеличить (или уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (или уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:
6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

Пример:

Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим

Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.

Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).

Дисперсия случайной величины

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид:

Для непрерывной случайной величины: На практике для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: Для непрерывной случайной величины:

Рассмотрим свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т.е.
3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.

Пример №1

Найти дисперсию случайной величины Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что D(X) = 1, D(Y) = 2.

Решение:

Используя свойства дисперсии, находим

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину

Определение: Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) σ(Х) случайной величины Х называют значение квадратного корня из ее дисперсии:

Свойства среднего квадратического отклонения вытекают из свойств дисперсии.

Мода и медиана. Квантили

Кроме математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Определение: Модой Мо(Х) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности f(x) достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Определение: Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее медианы или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме(Х), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке х = Ме(Х) функция распределения равна 1/2.

Пример №2

Найти моду, медиану случайной величины Х с плотностью вероятности

Решение:

Кривая распределения представлена на рис. 5.1 Очевидно, что плотность вероятности максимальна при х= Мо(Х) = 1. Медиану Ме(Х) = найдем из условия или откуда

Наряду с модой и медианой для описания случайной величины используется понятие квантиля.

Определение: Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение хq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е.

Пример №3

По данным примера 5.3 найти квантиль

Решение:

Находим функцию распределения

Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс

Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.

Определение: Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины: Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид: Для непрерывной случайной величины:

Определение: Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания:

Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:

Для непрерывной случайной величины: Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожиданиепри k = 2 второй центральный момент – дисперсия

Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.

Третий центральный момент μ3 служит для характеристики ассиметрии (т.е. скошенности ) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на , где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины: Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.

На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А < 0).

Четвертый центральный момент μ4 служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом случайной величины называется число (Число 3 вычитается из отношения потому, что для нормального распределения, которое встречается наиболее часто, отношение Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

Числовые характеристики независимых испытаний

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (т.е. повторные независимые испытания). В этом случае математическое ожидание числа появлений события А в n испытаниях находится по формуле M(X) = np, (5.30) а дисперсия по формуле D(X) = npq. (5.31)

Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.). Наибольший интерес представляют числовые характеристики среднего арифметического этих величин.

Обозначим среднее арифметическое n взаимно независимых случайных величин через

Сформулируем положения, устанавливающие связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:
2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии D каждой из величин:
3. Среднее квадратическое отклонение n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин:

Пример:

По данному распределению выборки (табл. 2.1) найти эмпирическую функцию распределения.

Решение. Определяем объем выборки: 
Определяем относительные частоты вариант (табл. 2.2):  

Так  как  значение    есть  сумма  относительных  частот вариант попадающих в интервал  запишем эмпирическую функцию распределения:

График примет вид: 

Математикам прошлого не сиделось на месте, дай волю, как они опять что-нибудь придумают и накатают очередной, наскоро состряпанный, фундаментальный манифест. А нам потом разгребать. Сегодня это будет математическое ожидание. Как гласит вики, это одно из важнейших понятий в теории вероятностей, означающее среднее (взвешенное по вероятностям возможных значений) значение случайной величины

Математическое ожидание

Для дискретной случайной величины X с таблицей распределения

Математическим ожиданием (или средним значением) называется число E[X], которое вычисляется по формуле

Для непрерывный случайной величины X с плотностью f(u) математическим ожиданием (или средним значением) называется число E[X], которое вычисляется по формуле

Математическое ожидание тоже подходит для правила перехода из дискретного случая в непрерывному. Сумму меняем на интеграл, a_i меняем на аргумент функции плотности, P_i меняем на f(u)du. Формула следующая:

Как интерпретировать математическое ожидание?

Математическое ожидание это, в некотором смысле, среднее значение случайной величины. Окей, мы перемножили значения на вероятности из таблички. Мы получили какое-то число. Допустим, пять. Что оно значит?

Физический смысл: если на отрезке, распределить единичную массу согласно распределению (в дискретном случае поместив в точки a_i массу p_i , а в непрерывном — согласно плотности f), то точка E[X] будет координатой «центра масс» отрезка.

Вероятностный смысл: при многократном повторении эксперимента, ассоциированного с X, среднее арифметическое получившихся значений X1, X2, X3, . . . будет стремиться к E[X], т.е. эксперимент мы повторяем бесконечное количество раз и записываем результат (X1, X2, X3…X_n). Если мы посчитаем среднее арифметическое результата n-экспериментов, то это число и будет математическим ожиданием случайной величины, при n стремящемуся к бесконечности

Этот факт называется «Законом больших чисел»

Давайте решим задачку.

Пусть случайная величина X равна числу очков, выпадающих при одном подбрасывании игральной кости. Найти математическое ожидание E[X]

Как мы помним, вероятность выпадения каждой стороны кубика у нас 1/6

Как мы помним по формуле в начале статьи, нам нужна сумма всех возможных значений случайной величины перемноженных на вероятность их наступления (a_i x p_i):

E[X] = 1*1/6, 2*1/6, 3*1/6, 4*1/6, 5*1/6, 6*1/6 = 21/6 = 3,5

По науке формула будет выглядеть так:

Давайте найдем математическое ожидание (E[X]) равномерного распределения на отрезке от 0 до 1 (Unif[0, 1]). Тут даже без решения понятно, что «центр массы» у нас будет ровно посередине отрезка. С формулой это выглядит так:

Свойства математического ожидания:

• E[c] = c для любого c ∈ R (математическое ожидание для константы будет равно константе)
• E[cX] = cE[X] для любого c ∈ R (константу можно выносить из мат. ожидания)
• E[X + Y ] = E[X] + E[Y] для любых X и Y (мат. ожидание суммы это всегда сумма мат. ожиданий)
• E[X · Y ] = E[X] · E[Y], если X и Y независимы (мат. ожидание произведений — это произведение мат. ожиданий, если случайные величины независимы)
• Если X ≥ 0, то E[X] ≥ 0 (если случайная величина у нас не отрицательна, соотв. мат. ожидание тоже не отрицательно)

Преобразование случайной величины

Очень часто другие характеристики случайных величин тоже вычисляются как математическое ожидание (не обычное, а от некоторого преобразования случайной величины X). Для этого мы будем использовать произвольную функцию g, т.е. в итоге нам нужно будет найти E[g(X)].

В дискретном случае распределение g(X) будет следующим:

Как это будет выглядеть: если у нас математическое ожидание принимает вид E[x²], то случайная величина X примет значение (а₁)² . Заметим, что вероятность (p) остаётся точно такой же

Формула для дискретного распределения:

Формула для непрерывного распределения:

Дисперсия

Если математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины, дисперсия, наоборот, показывает разброс значения случайной величины относительно её математического ожидания. Дисперсия обозначается, как Var(X) и вычисляется по формуле ниже, т.е. дисперсия — это математическое ожидание от формулы случайная величина минус математическое ожидание X в квадрате:

Второй вариант формулы (после второго равно) получается, если применить свойство мат. ожидания. По первому варианту формулы удобней интерпретировать понятие дисперсии. По второму варианту — считать

Стоит заметить, что определение для дискретных и непрерывных распределений — оно одинаковое, однако, мат. ожидание будет считаться в этих случаях по-разному

Как интерпретировать математическое ожидание?

Дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг её мат. ожидания

Задача

Задача 1. Пусть случайная величина имеет равномерное распределение X ∼ Unif[0, 1]. Найти дисперсию Var(X).

Для решения будем использовать формулу Var(X) = E[X²] − (EX)²

Чтобы найти E[X²], заметим, что это E[g(X)] для g(u) = u² . Из этого следует, что:

Если E[X] = 1/2, мы получим

Свойства дисперсии

• Var(c) = 0 для любого c ∈ R (дисперсия константы равна нулю)
• Var(cX) = c² Var(X) для любого c ∈ R (константа тоже выносится с квадратом
• Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ), если X и Y независимы (дисперсия суммы —
• это сумма дисперсий для независимых случайных величин)
• Var(X + c) = Var(X) для любого c ∈ R (Если мы к случайной величине добавляем константу, то дисперсия никак не учитывает, т.к. это не влияет на сам разброс)
• Var(X) ≥ 0 (дисперсия не может быть отрицательной)

Итого:

Математическое ожидание и дисперсия являются «базовыми» числовыми характеристиками распределений.

Дисперсия для распределение Бернулли: вероятность успеха умноженная на вероятность неуспеха

Дисперсия для биномиального распределения: Все характеристики умножаются на n

Дисперсия для равномерного распределения: 

Дисперсия для нормального распределения: Сигма в квадрате

Базовые операции для случайных величин

Центрирование: вычитание из X ее мат. ожидания EX. Это операция позволяет сделать так, чтобы у случайной величины было мат. ожидание, которое равно нулю

E[X − EX] = E[X] − E[X] = 0

Нормирование: деление X на p Var(X). Дисперсию приводим к единице.

Стандартизация: центрирование + нормирование

Среднеквадратическое отклонение (или стандартное отклонение) — это квадратный корень из дисперсии случайной величины:

Разделив случайную величину X на σ, мы получим случайную величину с дисперсией Var(X/σ) = 1. Эта операция называется нормировкой.

Характеристики среднего значения случайной величины

Теоретическая медиана случайной величины X — это число x_1/2, удовлетворяющее неравенствам

Медиана — некоторая точка x_1/2, которая делит функцию плотности пополам с точки зрения  площади под графиком

Теоретическая мода:

• В дискретном случае — значение, которое принимаются с наибольшей вероятностью.
• В непрерывном случае — точка максимума функции плотности

Моменты старших порядков

• E[X^k] — k-ый момент (или момент порядка k)
• E[|X|^k] — абсолютный k-ый момент X
• E[(X − EX)^k] — центральный k-ый момент X
• E[|X − EX|^k] — абсолютный центральный k-ый момент X

Все вышеприведенные моменты характеризуют распределение случайной величины. Они часто появляются в задачах концентрации

Коэффициент асимметрии (Skewness). Коэффициент асимметрии — величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины. Он показывает, если ли у нас скошенность в какую-либо сторону.

Например, вы работаете с выборкой и хотите проверить является ли она «нормальной» —  там могут быть ошибки, но если они распределены нормально, то теоретические свойства модели будут хорошими. Чтобы проверить выборку можно использовать коэффициент асимметрии.

Если значение γ₁ по модулю большое, то в выборке есть скошенность. Если значение близко к нулю, то ваша выборка нормальная.

γ₁ — нормированный центральный момент порядка 3

Коэффициент эксцесса (Kurtosis)  — величина, которая характеризуют кривизну функции плотности около точки максимума. По научному — это мера остроты пика плотности
распределения случайной величины.

γ₂ — нормированный центральный момент порядка 4. Если мы получим коэффициент эксцесса больше трёх, то это означает, что около точки максимума функция плотность имеет более острый пик, если меньше — функция плотности имеет меньшую кривизну