Как найти математическое ожидание выигрыша

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Ставки на спорт, как и почти все в нашем мире, неразрывно связаны с математикой – царицей всех наук. Особенно, с ее разделом теория вероятностей и с понятием математического ожидания. Попробуем разобраться. Не беспокойся, мы не станем грузить тебя тяжелыми лекциями и формулами. Рассмотрим только то, что применимо к беттингу и несет практическую пользу.

Матожидание в ставках на спорт

Матожидание – это близкий родственник value, только поданный чуть с другой стороны. Эта величина в разрезе ставок показывает, является ли ставка выгодной при ее многократном повторении на дистанции. 

Формула расчета очень простая:

(Вероятность выигрыша * Сумма чистого выигрыша) – (Вероятность проигрыша * сумма чистого проигрыша)

Самый банальный и понятный пример – подбрасывание монетки. Допустим, мы будем подбрасывать монетку 10 раз и всегда ставить на орла по 10 рублей, получая при выигрыше 20 рублей. Какое матожидание нас ждет?

Финансовый результат на столь короткой дистанции может быть любым – может не выпасть вообще ни одного орла, может выпасть два, пять, девять или даже десять. Но по сути эта информация ничего нам не дает.

Расчеты матожидания

Смысл математического ожидания в том, чтобы рассчитать, сколько мы будем выигрывать вдолгую от этих манипуляций. Очевидно, что вероятность выпадения орла и решки одинакова и равна 50%. 

• Подставляем значения в формулу:

(0,5 х 10) – (0,5 x 10) = 0 рублей

Мы получаем нулевое матожидание и сразу становится ясно, что заниматься подобной ерундой в перспективе нет никакого смысла – на дистанции 1, 5, 10 тысяч повторений мы неизбежно придем к нулевой отметке в деньгах.

• Но что будет, если найдется странный человек, готовый платить нам за выпадение орла 22 рубля? Хотя вероятности остались теми же, ситуация в корне меняется:

(0,5 х 12) — (0,5 х 10) = 1 рубль

Это уже игра с положительным математическим ожиданием, и у нас есть все основания играть в нее как можно чаще и больше. Ведь с каждого выпадения орла на дистанции мы в среднем будем зарабатывать 1 рубль гарантированной прибыли!

• То же самое произойдет, если тот же странный человек согласится принимать у нас на ставку по 5 рублей, а выплачивать будет по 10 рублей выигрыша, то есть по 15 рублей выплаты с каждого орла:

(0,5 х 10) — (0,5 х 5) = 2,5 рубля

Такие условия еще выгоднее, чем в предыдущий раз, теперь мы зарабатываем по 2,5 рубля с каждого выпавшего на дистанции орла!

Математическое ожидание в беттинге

В ставках на спорт тоже все завязано на вероятностях и, соответственно, математическом ожидании. Вообще говоря, азартные игры сами по себе имеют отрицательное математическое ожидание почти всегда. Это происходит из-за комиссии игорных заведений. В БК это маржа, в игровых аппаратах – процент выплаты, в рулетке – выпадения зеро.

Например, рассмотрим ставки на равновероятные исходы. В принципе, любые, но для чистоты эксперимента возьмем рынок “какая команда начнет с центра поля”. Ведь это определяется монеткой, вероятности выпадения которой всем понятны и известны. Мы нигде не увидим коэффициентов на этот рынок 2+, они всегда будут меньше двойки. Допустим, кф 1.90, сумма ставки 1 000 рублей.

(0,5 х 900) — (0,5 х 1 000) = -50 рублей

Это пример отрицательного матожидания, ставки на подобные исходы неминуемо будут вести нас к убытку на дистанции. И чем дольше мы играем, тем больше будет расти убыток.

То же самое происходит в рулетке при ставке на цвет, половину поля или чет/нечет. Шансы их выпадения не 50/50, ведь в игре есть еще поле зеро. Оно не относится ни к одному из перечисленных спектров, и забирает на себя вероятность около 2,7%.

(0,486 х 1 000) — (0,514 х 1 000) = -28 рублей

Можно удвоиться на рулетке за раз, можно много выиграть за один вечер, можно даже месяц быть в плюсе. Но на бесконечной дистанции мы неизбежно будем проигрывать 28 рублей с каждой поставленной тысячи в этой игре. В казино вместо термина мат. ожидание используется отдача (RTP – Return-to-Player).

Теперь рассмотрим не равновероятные исходы. Допустим, П1 и П2 в теннисе оцениваются коэффициентами 1.40 и 2.50. Из материала про коэффициенты ты уже знаешь, что в них зашифрована вероятность. По версии букмекеров шансы на победу первого теннисиста 100/1,4 = 71,4%, а второго – 100/2,5 = 40% (“лишние” 11,4% – маржа). 

• Если мы рассчитаем матожидание при ставке на П1 в 1 000 рублей по этим вероятностям, то получим следующую картину:

(0,714 х 400) — (0,4 х 1 000) = -114 рублей

• При ставке на П2:

(0,4 х 1 500) — (0,714 х 1 000) = -114 рублей

Итого, при таких вероятностях, это игра с отрицательным математическим ожиданием, на кого ни поставь.

А бывает ли положительное математическое ожидание в ставках на спорт?

И вот тут мы подходим к самому главному, к связи матожидания и вэлью. Если наша расчетная вероятность на исходы этого матча будет отличаться от букмекерской, мы можем получить совсем другие цифры. Допустим, мы оцениваем шансы тех же теннисистов как плюс-минус равные, то есть около 50%.

• При ставке на П1 матожидание равно:

(0,5 х 400) — (0,5 х 1 000) = -300 рублей

• При ставке на П2:

(0,5 х 1 500) — (0,5 х 1 000) = 250 рублей

Бинго! Мы видим положительное математическое ожидание ставки, которая будет приносить нам 250 рублей с тысячи с каждой победой. Положительный результат мы получим и при определении вэлью по формуле “вероятность * коэффициент” – результат выше единицы, value присутствует.

Единственная загвоздка заключается в том, чтобы научиться правильно определять вероятности и находить действительно выгодные коэффициенты в букмекерской линии. Но это приходит только с опытом и глубоким пониманием спорта, в этом материале мы тебя этому не научим.

Еще один пример ставок с положительным матожиданием – букмекерские вилки. Если мы возьмем вероятности 50% и коэффициенты по 2.1, образующие вилку, то легко можем подсчитать матожидание:

(0,5 х 1 100) — (0,5 х 1 000) = 50 рублей

По сути, вэлью-беттинг и вилки – это единственные разновидности ставок на спорт с положительным матожиданием. 

Если ты глубоко освоишь одну из этих тем (или даже обе), то научишься зарабатывать в конторе на дистанции, а не постоянно увеличивать свой общий минус априори невыгодными ставками.

И почему без его оценки не достичь успеха на большой дистанции.

Один из основополагающих принципов ставок на спорт гласит, что дистанция — важнейший показатель успешности: конкретный подход может казаться профитным после десяти совершённых ставок, но уже после 100 пари игрок может залезть в солидный минус. 

Для оценки профитности каждой конкретной ставки на дистанции на помощь приходит математика, а точнее один из её важнейших разделов — статистика: математическое ожидание позволяет игроку оценить жизнеспособность ставки на дистанции без необходимости «обкатывать» её на практике.

Остановимся подробнее на математическом ожидании и на том, как оно помогает грамотно распределять банк. 

Математическое ожидание: инструкция к применению 

Математическое ожидание — это величина, указывающая на среднее значение случайной величины. То есть как раз математическое ожидание указывает на то, насколько профитным окажется выбранный исход на дистанции, отталкиваясь от его вероятности.

Для расчёта математического ожидания в ставках используют формулу M = (S*K–S)*W–S*L, где S — это размер ставки, K — коэффициент на выбранный исход, W — вероятность выигрыша и L — вероятность проигрыша.

Иначе говоря, чистый размер выигрыша необходимо умножить на процент вероятности и отнять от полученного числа произведение суммы ставки и обратной вероятности. Сложно?! Разберёмся на конкретном примере. 

Беттор собирается ставить на ТБ 2,5 в матчах Уэльса, который как раз совсем скоро встретится в квалификации к чемпионату мира-2022 с Австрией. Коэффициент на выбранный исход в предстоящем матче 2.54, то есть вероятность его свершения составляет около 39%, а поставить игрок планирует 1000 рублей.

Подставляем значения в формулу: 1540*0,39–1000*0,61 = –9,4. Это говорит о том, что, исходя из теории вероятностей, на дистанции подобный подход неизменно приведёт игрока в минус. 

Сразу оговоримся: отрицательное математическое ожидание не означает, что Уэльс с Австрией в очном противостоянии не забьют больше трёх мячей — шанс на это 39%, а значит, соперники вполне могут выдать результативную встречу. 

Отрицательный результат лишь указывает на тот факт, что на длительной дистанции подход обязательно приведёт в минус. Именно поэтому использовать формулу математического ожидания целесообразно по отношению лишь к тем исходам, на которые беттор решил ставить систематически.

Математическое ожидание наиболее эффективно показывает себя для оценки смолл-маркетов: статистика — вещь достаточно постоянная, потому от матча к матчу отмечаются относительно небольшие колебания как значений, так и коэффициентов букмекерских контор. 

На вероятность больших и средних рынков влияет слишком большое количество факторов, в том числе тех, которые трудно выразить математически: атмосфера в команде, форма отдельных исполнителей и так далее. Однако при наличии системного подхода оценка математического ожидания поможет игроку грамотно оценить риски и отбросить заведомо минусовые варианты. 

Дисперсия и банкролл-менеджмент

Дисперсия — это мера разброса случайной величины относительно её математического ожидания на конкретном отрезке. Иными словами, даже при положительном математическом ожидании на отдельных отрезках игрок может уходить в минус, причём чем больше сумма флэта и количество ставок, тем сильнее может просесть результат. 

Именно поэтому большинство профессиональных игроков и советуют ограничить свой флэт 3-5% от банкролла, иначе просадка может заметно ударить и по кошельку, и по морали игрока. Именно эта зависимость дисперсии от банкролла открывает перед беттором два варианта игры — с низкой и высокой дисперсией. 

В первом случае ставочник играет максимально аккуратно: не задирает размер флэта, ставит только на те исходы, в которых максимально уверен, а при малейших сомнениях отказывается от пари. Количество ставок в этом случае заметно уменьшается, а небольшая относительно общего банка сумма флэта позволяет сравнительно безболезненно проходить через любые просадки.

Игра с низкой дисперсией характеризуется минимальными разбросами в результатах, потому профит подобного подхода стабилен и мало отличается от математического ожидания. 

Игра с высокой дисперсией подразумевает заключение пари на откровенно рискованные исходы с целью получения большего профита, однако обратной стороной медали являются риск проигрыша весомой части банка и попадание в тильт, от чего не застрахованы даже опытные игроки. 

Математическое ожидание — не гарант успеха

Математическое ожидание не может служить гарантом успеха сразу по двум причинам. О первой мы уже поговорили — это дисперсия, которая при агрессивном подходе к банкролл-менеджменту может привести игрока к потере банка даже при положительном ожидании подхода. 

Вторая причина заключается в том, что спорт — система непостоянная и очень динамичная, поэтому подход, показывавший себя с лучшей стороны ещё вчера, завтра способен оказаться нежизнеспособным ввиду ряда причин: будь то изменение регламента соревнования, тренерские перестановки и многое-многое другое. 

Однако расчёт математического ожидания может быть полезен каждому беттору, как минимум потому что: 

1. Позволяет заранее отмести заведомо минусовые подходы к ставкам.

2. Даёт возможность оценить профитность каждого подхода — не ожидать большого плюса там, где его быть не может.

3. Помогает грамотно распределить банк. 

Математическое ожидание, как и в целом статистика, — один из главных помощников беттора на пути к успеху. Важно лишь не забывать о дисперсии и дисциплинированно переживать просадки.

Читайте также: 

Заложенное в ставке математическое ожидание (МО) является отображением ожидаемого (среднего) размера выигрыша по этой ставке, а потому вычисление этого показателя представляет огромную важность для игрока при сравнении коэффициентов букмекеров.

Как вычислять математическое ожидание ставок на спорт для прогнозирования выигрышей? Читайте дальше и узнайте ответ на этот вопрос.

Математическое ожидание.

Это сумма, которую игрок может выиграть или проиграть при многократном размещении ставки с одинаковым коэффициентом. Для ее расчета используется простая формула: необходимо умножить значение вероятности выигрыша на сумму, которую можно выиграть по ставке, и вычесть вероятность проигрыша, умноженную на сумму, которую можно проиграть на одной ставке.

Вот простой практический пример математического ожидания. Если вы ставите 1000 руб на выпадение орла при броске монеты и каждый раз в случае выигрыша будете получать 1100 руб, то математическое ожидание будет равняться 0,5.

Это означает, что если вы все время будете ставить на орла, то, как ожидается, в среднем размер вашего выигрыша по каждой ставке в 1000 руб составит 50 руб.

Как вычислить математическое ожидание?

Формула вычисления математического ожидания сравнительно проста. Умножьте вероятность выигрыша на сумму, которую можно выиграть по ставке, и вычтите вероятность проигрыша, умноженную на сумму, которую можно проиграть на одной ставке.

МО = (Вероятность выигрыша) × (сумма выигрыша по ставке) − (вероятность проигрыша) × (сумма проигрыша по ставке).

Для вычисления математического ожидания спортивных ставок в эту формулу можно подставлять десятичные коэффициенты и выполнить следующие расчеты.

1. Посмотрите десятичные коэффициенты для каждого варианта исхода (победа, поражение или ничья).
2. Вычислите размер потенциальных выигрышей для каждого результата. Для этого умножьте сумму ставки на десятичный коэффициент и вычтите сумму ставки.
3. Чтобы вычислить вероятность того или иного результата, разделите 1 на коэффициент этого исхода.
4. Подставьте эти данные в формулу выше.

Например, если бы команда Зенит (1,40) играла против команды Химки (7,45) с коэффициентом на ничью 4,84, то ставка в размере 1000 руб на победу Химки принесла бы игроку 1000 × 7,45 − 1000 = 6450 руб, а вероятность выигрыша ставки составила бы 1 ⁄ 7,45 = 0,1342 или 13,4 %.

Вероятность иного исхода составляет сумму вероятностей победы Зенит и ничьей, или 0,714 + 0,207 = 0,921. Сумма проигрыша по каждой ставке равна первоначальной ставке (1000 руб). Следовательно, итоговая формула будет выглядеть так:

(0,134 × 6450) − (0,921 x 1000) = −56,7 руб.

Математическое ожидание для этой ставки является отрицательным, а из этого следует, что в среднем размер проигрыша по каждой ставке 1000 руб составит 56,7 руб.

В чем польза математического ожидания?

Помните: отрицательное математическое ожидание ставки не означает, что она проиграет. В отличие от примера с подбрасыванием монеты, коэффициенты ставок субъективны по своей сути. Если вы будете умнее букмекера, то вам, возможно, удастся заработать.

Если вычисленная вами вероятность того или иного результата игры отличается от предполагаемой вероятности, заложенной в коэффициенты, вы сможете определить ставку с положительным математическим ожиданием и повысить шансы на выигрыш.

Например, коэффициенты указывают на то, что вероятность победы команды Химки составляет всего 13,4 %. Если результаты ваших вычислений (для которых вы, возможно, использовали систему, похожую на распределение Пуассона) указывают на то, что вероятность победы Химок равна 15 %, то математическое ожидание для ставки на эту команду увеличивается до 118 руб.

Математическое ожидание является идеальным средством сравнения коэффициентов арбитражных ставок (вилок).

Благодаря вычислению математического ожидания ставок игроки получают дополнительную информацию о ценности коэффициентов своего букмекера. Математическое ожидание у букмекеров с низкой маржой гораздо выше, чем с высокой.