Как найти матрицу грама по векторам

Оглавление — Линейная алгебра

---

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения

Определение матрицы Грама

Квадратная симметрическая матрица [math]G(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n)[/math], составленная из скалярных произведений системы векторов [math]mathbf{e}_1,mathbf{e}_2, ldots, mathbf{e}_n[/math] называется матрицей Грама

[math]G(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n)= begin{pmatrix} langle mathbf{e}_1,mathbf{e}_1rangle& langle mathbf{e}_1,mathbf{e}_2rangle &cdots&langle mathbf{e}_1, mathbf{e}_nrangle\ langle mathbf{e}_2,mathbf{e}_1rangle& langle mathbf{e}_2, mathbf{e}_2rangle &cdots&langle mathbf{e}_2,mathbf{e}_nrangle\ vdots&vdots&ddots&vdots\ langle mathbf{e}_n,mathbf{e}_1rangle& langle mathbf{e}_n,mathbf{e}_2rangle &cdots&langle mathbf{e}_n,mathbf{e}_nrangle end{pmatrix}!.[/math]

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf{e})=(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)[/math] и [math](mathbf{f})= (mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb{E}[/math], a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf{e})[/math] к базису [math](mathbf{f})colon, (mathbf{f})=(mathbf{e})S[/math]. Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf{e})[/math] и [math](mathbf{f})[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] в разных базисах:

[math]langle mathbf{x},mathbf{y}rangle= {mathop{x}limits_{(mathbf{e})}}^Tcdot, G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{e})}= {mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot, G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})},[/math]

где [math]mathop{x}limits_{(mathbf{e})},, mathop{x}limits_{(mathbf{f})}[/math] и [math]mathop{y}limits_{(mathbf{e})},, mathop{y}limits_{(mathbf{f})}[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf{x}[/math] и [math]mathbf{y}[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathop{x}limits_{(mathbf{e})}= S mathop{x}limits_{(mathbf{f})},[/math] [math]mathop{y}limits_{(mathbf{e})}= S mathop{y}limits_{(mathbf{f})}[/math], получаем тождество

[math]{mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot S^Tcdot, G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot Scdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})}= {mathop{x}limits_{(mathbf{f})}}^Tcdot, G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)cdot mathop{mathbf{y}}limits_{(mathbf{f})}.[/math]

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому:

[math]G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)= S^Tcdot G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)cdot S.[/math]

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf{e})[/math] и [math](mathbf{f})[/math], получаем [math]E=S^TES[/math], так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf{e}_1,ldots,mathbf{e}_n)= G(mathbf{f}_1,ldots,mathbf{f}_n)=E[/math]. Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^{-1}=S^T[/math].

---

Определитель Грама и его свойства

Определитель матрицы [math]G(mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,ldots, mathbf{e}_n)[/math] называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math], не равные нулю одновременно, что

[math]x_1cdot mathbf{v}_1+x_2cdot mathbf{v}_2+ldots+ x_kcdot mathbf{v}_k= mathbf{o}.[/math]

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf{v}_1[/math], затем на [math]mathbf{v}_2[/math] и т.д. на [math]mathbf{v}_k[/math], получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)x=o[/math], которая имеет нетривиальное решение [math]x=begin{pmatrix}x_1&cdots&x_k end{pmatrix}^T[/math]. Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf{v}_1, mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det{G (mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k)}[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math]. Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k[/math] получены векторы [math]mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k[/math], то

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots,mathbf{w}_k)= langle mathbf{w}_1,mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldotscdot langle mathbf{w}_k,mathbf{w}_krangle.[/math]

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] последовательно строятся векторы

[math]mathbf{w}_1=mathbf{v}_1,quad mathbf{w}_2= mathbf{v}_2- alpha_{21} mathbf{w}_1,quad ldots,quad mathbf{w}_k= mathbf{v}_k- sum_{j=1}^{k-1}alpha_{kj} mathbf{w}_j.[/math]

После первого шага определитель Грама не изменяется

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k).[/math]

Выполним с определителем [math]det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_{21})[/math], а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_{21})[/math]. Получим определитель

[math]det G(mathbf{w}_1,mathbf{v}_2-alpha_{21}mathbf{w}_1,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2, mathbf{v}_3, ldots,mathbf{v}_k).[/math]

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2,mathbf{v}_3, ldots,mathbf{v}_k).[/math]

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots,mathbf{w}_k).[/math]

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots, mathbf{w}_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots,mathbf{v}_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf{w}_i,mathbf{w}_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math]. Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

[math]det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k)= langle mathbf{w}_1, mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldots langle mathbf{w}_k, mathbf{w}_krangle.[/math]

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

[math]0leqslant det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots,mathbf{v}_k) leqslant langle mathbf{v}_1, mathbf{v}_1ranglecdot langle mathbf{v}_2,mathbf{v}_2ranglecdot ldots langle mathbf{v}_k, mathbf{v}_krangle.[/math]

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf{w}_1,mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_k[/math], для которых по свойству 2:

[math]det G(mathbf{v}_1,mathbf{v}_2,ldots, mathbf{v}_k)= det G(mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_k)= |mathbf{w}_1|^2cdot |mathbf{w}_2|^2cdot ldotscdot |mathbf{w}_k|^2>0.[/math]

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf{v}_j,mathbf{w}_jrangle[/math]. Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf{v}_j= mathbf{w}_j+ alpha_{j,1}mathbf{w}_1+ ldots+ alpha_{j,j-1}mathbf{w}_{j-1}[/math]. Отсюда

[math]langle mathbf{v}_j,mathbf{w}_jrangle= langle mathbf{w}_j,mathbf{w}_jrangle+ sum_{i=1}^{j-1}alpha_{i,i}^2 langle mathbf{w}_j,mathbf{w}_jrangle geqslant langle mathbf{w}_j, mathbf{w}_jrangle.[/math]

Следовательно, по свойству 2 имеем

[math]langle mathbf{v}_1,mathbf{v}_1ranglecdot langle mathbf{v}_2,mathbf{v}_2 ranglecdot ldotscdot langle mathbf{v}_k,mathbf{v}_kranglegeqslant langle mathbf{w}_1, mathbf{w}_1ranglecdot langle mathbf{w}_2,mathbf{w}_2ranglecdot ldotscdot langle mathbf{w}_k, mathbf{w}_krangle= det G(mathbf{w}_1,mathbf{w}_2,ldots,mathbf{w}_k).[/math]

---

Замечания

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

---

Метрические приложения определителя Грама

Пусть [math]boldsymbol{v}_1,boldsymbol{v}_2, ldots,boldsymbol{v}_k[/math] — линейно независимая система векторов n-мерного евклидова пространства [math](kleqslant n)[/math]. Определим по индукции понятие многомерного объема. Обозначим через [math]boldsymbol{h}_j[/math] — перпендикуляр, опущенный из конца вектора [math]boldsymbol{v}_j[/math] на подпространство [math]operatorname{Lin} (boldsymbol{v}_1, ldots,boldsymbol{v}_{j-1}),[/math] [math]j=2,ldots,k[/math].

Обозначим

[math]V_{ast boldsymbol{v}_1}=|boldsymbol{v}_1|[/math] — одномерный объем — длина вектора [math]boldsymbol{v}_1[/math];

[math]V_{ast boldsymbol{v}_1,boldsymbol{v}_2}= V_{ast boldsymbol{v}_1}cdot |boldsymbol{h}_2|= |boldsymbol{v}_1|cdot|boldsymbol{h}_2|[/math] — двумерный объем — площадь параллелограмма, построенного на векторах [math]boldsymbol{v}_1,,boldsymbol{v}_2[/math];

[math]V_{ast boldsymbol{v}_1,boldsymbol{v}_2, boldsymbol{v}_3}= V_{ast boldsymbol{v}_1, boldsymbol{v}_2}cdot |boldsymbol{h}_3|= |boldsymbol{v}_1|cdot |boldsymbol{h}_2|cdot |boldsymbol{h}_3|[/math] — трехмерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]boldsymbol{v}_1,,boldsymbol{v}_2,, boldsymbol{v}_3[/math];

[math]V_{ast boldsymbol{v}_1,ldots,boldsymbol{v}_{k}}= V_{ast boldsymbol{v}_1, ldots, boldsymbol{v}_{k-1}}cdot |boldsymbol{h}_k|= |boldsymbol{v}_1|cdot|boldsymbol{h}_2|cdot ldotscdot |boldsymbol{h}_k|[/math] — k-мерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]boldsymbol{v}_1, boldsymbol{v}_2, ldots,boldsymbol{v}_k[/math].

Проводя ортогонализацию системы векторов [math]boldsymbol{v}_1,boldsymbol{v}_2, ldots, boldsymbol{v}_k[/math], получаем, согласно пункту 4 замечаний 8.14, перпендикуляры [math]boldsymbol{h}_1= boldsymbol{v}_1,boldsymbol{h}_2, ldots,boldsymbol{h}_k[/math]. Тогда по свойству 2 определителя Грама имеем

т.е. определитель Грама векторов [math]boldsymbol{v}_1, boldsymbol{v}_2, ldots, boldsymbol{v}_k[/math] равен квадрату k-мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом заключается геометрический смысл определителя Грама.

Расстоянием от конца вектора [math]boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L[/math] называется наименьшее значение длин векторов [math](boldsymbol{v}-boldsymbol{l})[/math], где [math]boldsymbol{l}in L[/math], т.е.

[math]d=min_{boldsymbol{l}in L}|boldsymbol{v}-boldsymbol{l}|.[/math]

Аналогично определяется расстояние от конца вектора до многообразия.

Углом между ненулевым вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и подпространством [math]L[/math] называется наименьший угол [math]varphi[/math] между вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и ненулевыми векторами подпространства, т.е.

[math]varphi= min_{boldsymbol{l}in L}!left(arccosfrac{langle boldsymbol{v}, boldsymbol{l}rangle}{|boldsymbol{v}|cdot|boldsymbol{l}|}right)!.[/math]

Аналогично определяется угол между вектором и многообразием, как угол между вектором и однородной частью многообразия.

Из неравенств пункта 1 замечаний 8.14 следует, что

1) расстояние [math]d[/math] от конца вектора [math]boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L[/math] равно длине перпендикуляра [math]boldsymbol{h}[/math], опущенного из конца вектора [math]boldsymbol{v}[/math] на подпространство [math]L[/math], т.е. [math]d=|boldsymbol{h}|[/math];

2) угол между ненулевым вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и подпространством [math]L[/math] равен углу между вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и его ортогональной проекцией на подпространство [math]L[/math].

Для нахождения расстояний и углов можно использовать формулу (8.37).

Пусть задан вектор [math]boldsymbol{v}[/math] и подпространство [math]L=operatorname{Lin} (boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_r)[/math], причем векторы [math]boldsymbol{e}_1, ldots, boldsymbol{e}_r[/math] линейно независимы. Тогда [math]V_{ast boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_r, boldsymbol{v}}= V_{ast boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_r}cdot |boldsymbol{h}|[/math], где [math]boldsymbol{h}[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]boldsymbol{v}[/math] относительно подпространства [math]L[/math]. Отсюда, [math]boldsymbol{h}= frac{V_{ast boldsymbol{e}_1,ldots, boldsymbol{e}_r, boldsymbol{v}}}{V_{ast boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_r}}[/math]. Используя (8.37) для вычисления объемов, получаем, что длина [math]|boldsymbol{h}|[/math] ортогональной составляющей (расстояние от конца вектора [math]boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L=operatorname{Lin}( boldsymbol{e}_1,ldots,boldsymbol{e}_r)[/math] находится по формуле

а угол [math]varphi[/math] между ненулевым вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и подпространством находится по формуле

---

Пример 8.22. В пространстве [math]mathbb{R}^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор [math]v=begin{pmatrix}-3&2&0&0end{pmatrix}^T[/math] и подпространство [math]L[/math] — множество [math]{Ax=o}[/math] решений однородной системы:

[math]begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. end{cases}[/math]

Требуется найти расстояние [math]|h|[/math] от конца вектора [math]boldsymbol{v}[/math] до подпространства [math]L[/math] и угол между вектором [math]boldsymbol{v}[/math] и подпространством [math]L[/math].

Решение. Базис подпространства был найден в примере 8.9:

[math]L=operatorname{Lin}(varphi_1,varphi_2),[/math] где [math]varphi_1=begin{pmatrix}-6&4&1&0end{pmatrix}^T,quad varphi_2=begin{pmatrix}-2&1&0&1end{pmatrix}^T.[/math]

Составляем определители Грама [math]Bigl(langle boldsymbol{v}, boldsymbol{v}_1rangle= (-3)^2+ 2^2+0^2+0^2=13Bigr)[/math], остальные скалярные произведения векторов найдены в примере 8.20):

[math]det G(varphi_1,varphi_2,v)= begin{vmatrix}53&16&26\ 16&6&8\ 26&8&13 end{vmatrix}=14,quad det G(varphi_1,varphi_2)= begin{vmatrix}53&16\ 16&6 end{vmatrix}=62.[/math]

Тогда [math]|h|=sqrt{frac{14}{62}}=sqrt{frac{7}{31}}[/math], а [math]varphi= arcsinsqrt{frac{7}{403}}[/math]. В найдены ортогональная проекция [math]l=begin{pmatrix}dfrac{-92}{31}&dfrac{60}{31}&dfrac{14}{31}&dfrac{4}{31}end{pmatrix}^T[/math] и ортогональная составляющая [math]h=begin{pmatrix}dfrac{-1}{31}& dfrac{2}{31}&dfrac{-14}{31}& dfrac{-4}{31} end{pmatrix}^T[/math]. Вычисляя длину вектора [math]h[/math], получаем [math]|h|=sqrt{frac{7}{31}}[/math]. Результаты совпадают.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

§

Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

---

Матрица и определитель Грама

Линейная независимость векторов

Свойства определителя Грама

Расстояние до линейного многообразия

Объемы параллелепипедов

Задачи

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

Матрица и определитель Грама

Пусть в евклидовом пространстве $ mathbb E_<> $ известным образом задано скалярное произведение $ langle X_<>,Y rangle $. Матрицей Грама системы векторов $ ,dots,X_m > $ называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов: $$ G(X_1,dots,X_m)= left( begin langle X_1,X_1 rangle & langle X_1,X_2 rangle & dots & langle X_1,X_m rangle \ langle X_2,X_1 rangle & langle X_2,X_2 rangle & dots & langle X_2,X_m rangle \ dots & & & dots \ langle X_m,X_1 rangle & langle X_m,X_2 rangle & dots & langle X_m,X_m rangle end right) = left[ langle X_j,X_k rangle right]_^m . $$ Матрица Грама является симметричной матрицей. Ее определитель называется определителем Грама (или грамианом) системы векторов $ ,dots,X_m > $: $$ <mathfrak G>(X_1,dots,X_m)=left| begin langle X_1,X_1 rangle & langle X_1,X_2 rangle & dots & langle X_1,X_m rangle \ langle X_2,X_1 rangle & langle X_2,X_2 rangle & dots & langle X_2,X_m rangle \ dots & & & dots \ langle X_m,X_1 rangle & langle X_m,X_2 rangle & dots & langle X_m,X_m rangle end right| = det left[ langle X_j,X_k rangle right]_^m . $$

Пример. Если в пространстве $ mathbb R^ < n >$ строк, состоящих из $ n_<> $ вещественных чисел, скалярное произведение определяется по правилу 1)

$$ langle X,Y rangle=x_1y_1+x_2y_2+dots+x_ny_n quad npu quad X=(x_1,x_2,dots,x_n), Y=(y_1,y_2,dots,y_n) , $$ то матрица Грама строк $$ X_1=left(x_<11>,x_<12>,dots, x_<1n>right),dots,X_m=left(x_,x_,dots, x_right) $$ вычисляется перемножением матриц: $$ G(X_1,dots,X_m)=Xcdot X^ <top>quad npu quad X= left(begin x_ <11>& x_ <12>&dots & x_ <1n>\ dots & & & dots \ x_& x_ & dots & x_ end right) $$ и при $ ^<top>_<> $ означающем транспонирование. Из теоремы Бине-Коши немедленно следует, что при $ m>n_<> $ (числе строк превышающем размерность пространства) определитель Грама равен нулю. Этот результат обобщен НИЖЕ для произвольных евклидовых пространств.

Пример. Если в пространстве полиномов с вещественными коэффициентами скалярное произведение задано формулой

$$ langle p(x),q(x) rangle =int_0^1 p(t) q(t) d,t ,$$ то $$ G(1,x,x^2)= left( begin int_0^1 1 d,t & int_0^1 t d,t & int_0^1 t^2 d,t \ & & \ int_0^1 t d,t & int_0^1 t^2 d,t & int_0^1 t^3 d,t \ & & \ int_0^1 t^2 d,t & int_0^1 t^3 d,t & int_0^1 t^4 d,t end right)= left( begin 1 & 1/2 & 1/3 \ 1/2 & 1/3 & 1/4 \ 1/3 & 1/4 & 1/5 end right) . $$ Обобщение получившейся матрицы известно как матрица Гильберта.

Если система векторов $ ,dots,X_n > $ образует базис пространства $ mathbb E_<> $ (т.е. пространство $ mathbb E_<> $ является $ n_<> $-мерным), то задание матрицы Грама $ G(X_<1>,dots,X_n) $ позволяет свести вычисление скалярного произведения произвольных векторов из $ mathbb E_<> $ к действиям над их координатами: $$ X=x_1X_1+x_2X_2+dots+x_nX_n, Y=y_1X_1+y_2X_2+dots+y_nX_n Rightarrow $$ $$ langle X,Y rangle=left(x_1,x_2,dots,x_n right) left( begin langle X_1,X_1 rangle & langle X_1,X_2 rangle & dots & langle X_1,X_n rangle \ langle X_2,X_1 rangle & langle X_2,X_2 rangle & dots & langle X_2,X_n rangle \ dots & & & dots \ langle X_n,X_1 rangle & langle X_n,X_2 rangle & dots & langle X_n,X_n rangle end right) left( begin y_1 \ y_2 \ vdots \ y_n end right) . $$

Линейная независимость векторов

Теорема. $ <mathfrak G>(X_<1>,dots,X_m)=0 $ тогда и только тогда, когда система векторов $ ,dots,X_m > $ линейно зависима.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Если какой-то главный минор матрицы Грама обращается в нуль, то и все главные миноры бóльших порядков обращаются в нуль.

Свойства определителя Грама

Теорема. $ <mathfrak G>(X_<1>,dots,X_m) ge 0 $ для любой системы векторов $ ,dots,X_m > $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

При $ m=2_<> $ получаем неравенство Коши-Буняковского: $$ langle X_1,X_1 rangle cdot langle X_2,X_2 rangle ge langle X_1,X_2 rangle^2 . $$

Матрица Грама линейно независимой системы векторов является положительно определенной.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

Величина определителя Грама не превосходит его главного члена, т.е. произведения элементов его главной диагонали:

$$mathfrak(X_1,dots,X_,X_m)le left|X_1 right|^2 times dots times left|X_ right|^2 left|X_m right|^2 . $$

Для произвольной квадратной вещественной матрицы

$$A=left( begin a_ <11>& a_ <12>& dots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& dots & a_ <2n>\ dots & & & dots \ a_ & a_ & dots & a_ end right) $$ справедливо неравенство Адамара 2) : $$ left| det A right| le sqrt< sum_^n a_<1j>^2> sqrt< sum_^n a_<2j>^2> times dots times sqrt< sum_^n a_^2> . $$ Иными словами: модуль определителя матрицы не превосходит произведения длин его строк. Аналогичное утверждение справедливо и относительно столбцов матрицы.

Доказательство. Обозначим $ j_<> $-ю строку матрицы $ A_<> $ через $ A^ <[j]>$. Тогда, поскольку $ det A= det A^ <top>$ (см. свойство 1 ☞ ЗДЕСЬ ), имеем: $$left( det A right)^2= det left(Acdot A^ <top>right)= det left[ begin langle A^<[1]>,A^ <[1]>rangle & langle A^<[1]>,A^ <[2]>rangle & dots & langle A^<[1]>,A^ <[n]>rangle \ langle A^<[2]>,A^ <[1]>rangle & langle A^<[2]>,A^ <[2]>rangle & dots & langle A^<[2]>,A^ <[n]>rangle \ dots & & & dots \ langle A^<[n]>,A^ <[1]>rangle & langle A^<[n]>,A^ <[2]>rangle & dots & langle A^<[n]>,A^ <[n]>rangle end right]= $$ $$ =mathfrakleft(A^<[1]>,A^<[2]>,dots,A^ <[n]>right) $$ при задании скалярного произведения в $ mathbb R^n $ стандартным способом. На основании предыдущего следствия, имеем: $$ le left|A^ <[1]>right|^2 left|A^ <[2]>right|^2 times dots times left|A^ <[n]>right|^2 . $$ Равенство возможно тогда и только тогда, когда либо все строки попарно ортогональны, либо хотя бы одна строка — нулевая. ♦

Пример.

$$ left|detleft( begin -47 & 40 & -81 \ 91 & 68 & -10 \ 31 & -51 & 77 end right) right| le $$ $$ le left< begin sqrt <(47^2+40^2+81^2)(91^2+68^2+10^2)(31^2+51^2+77^2)>&le 1131360 \ & \ sqrt <(47^2+91^2+31^2)(40^2+68^2+51^2)(81^2+10^2+77^2)>& le 1127957 end right. $$ при точной величине определителя $ 31867 $.

Теорема. Величина определителя Грама не изменится, если к системе векторов применить алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. В обозначениях этого алгоритма имеет место равенство:

Расстояние до линейного многообразия

Теорема. Расстояние $ d_<> $ от точки $ X_ <0>in <mathbb E>$ до линейного многообразия в $ mathbb E_<> $

Доказательство для случая $ Y_0=mathbb O_<> $ ☞ ЗДЕСЬ. Случай $ Y_<0>ne mathbb O $ сводится к предыдущему сдвигом пространства на вектор $ (- Y_<0>) $: см. комментарии к теореме $ 3_<> $ ☞ ЗДЕСЬ. ♦

Другие применения определителя Грама в задачах вычисления расстояний между поверхностями в $ <mathbb R>^ $ ☞ ЗДЕСЬ.

Объемы параллелепипедов

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Если параллелограмм построен на векторах $ X_ <1>$ и $ X_2 $ из $ mathbb R^2 $, то за основание можно принять длину вектора $ X_ <1>$, а за высоту — длину перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_2 $ на ось вектора $ X_ <1>$.

Аналогично, объем параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,X_3 $ из $ mathbb R^ <3>$, равен произведению площади основания на высоту; площадь основания — это площадь параллелограмма, построенного на векторах $ X_1,X_2 $, а высота — длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_3 $ на плоскость векторов $ X_1,X_2 $.

Объем $ k_<> $-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве $ mathbb E_<> $ определим по индукции. Если этот параллелепипед построен на векторах $ X_1,X_2,dots,X_,X_k $, то за его объем примем произведение объема $ (k-1) $-мерного параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,dots,X_ $ на длину перпендикуляра, опущенного из точки $ X_ $ на линейную оболочку векторов $ X_1,X_2,dots,X_ $ (т.е. на длину ортогональной составляющей $ X_k $ относительно $ mathcal L ( X_1,X_2,dots,X_) $): $$mathbf V(X_1,X_2,dots,X_,X_k)=left|X_k^ <bot>right| mathbf V(X_1,X_2,dots,X_) . $$

Теорема. Квадрат объема параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,dots,X_k $, совпадает с величиной определителя Грама от той же системы векторов: $$[V(X_1,X_2,dots,X_k)]^2= mathfrak G (X_1,X_2,dots,X_k) .$$

Доказательство следует из представления длины ортогональной составляющей $ X_k^<^<bot>> $ через определители Грама (см. теорему $ 2_<> $ и следствие к ней ☞ ЗДЕСЬ ).

Модуль определителя вещественной матрицы

$$ A= left( begin a_ <11>& a_ <12>& dots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& dots & a_ <2n>\ dots & & & dots \ a_ & a_ & dots & a_ end right) $$ равен объему параллелепипеда в пространстве $ mathbb R^_<> $, построенного на вершинах с координатами $$ (0,0,dots, 0), (a_<11>,a_<12>, dots , a_<1n>),(a_<21>,a_<22>, dots , a_<2n>), dots, (a_,a_, dots, a_) $$ (т.е. «построенного на строках матрицы») и равен объему параллелепипеда построенного на вершинах с координатами $$ (0,0,dots, 0), (a_<11>,a_<21>, dots , a_),(a_<12>,a_<22>, dots , a_), dots, (a_<1n>,a_<2n>, dots, a_) $$ (т.е. «построенного на столбцах матрицы»).

Доказательство фактически совпадает с доказательством неравенства Адамара: $$ left(det A right)^2 = left< begin det left(A cdot A^<top>right)=mathfrak G (A^<[1]>,A^<[2]>,dots,A^<[n]>) &= left[mathbf V(A^<[1]>,A^<[2]>,dots,A^<[n]>)right]^2 \ & \ det left(A^ <top>cdot A right) = mathfrak G (A_<[1]>,A_<[2]>,dots,A_<[n]>) & = left[mathbf V(A_<[1]>,A_<[2]>,dots,A_<[n]>)right]^2 end right. $$ ♦

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения

Определение матрицы Грама

Квадратная симметрическая матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] , составленная из скалярных произведений системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_n[/math] называется матрицей Грама

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] и [math](mathbf)= (mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf)[/math] к базису [math](mathbf)colon, (mathbf)=(mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в разных базисах:

где [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] и [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>,[/math] [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)= G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^<-1>=S^T[/math] .

Определитель Грама и его свойства

Определитель матрицы [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf_1[/math] , затем на [math]mathbf_2[/math] и т.д. на [math]mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=beginx_1&cdots&x_k end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] получены векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]det G(mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_<21>)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_<21>)[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf_i,mathbf_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf_j,mathbf_jrangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf_j= mathbf_j+ alpha_mathbf_1+ ldots+ alpha_mathbf_[/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

Метрические приложения определителя Грама

Пусть [math]boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots,boldsymbol_k[/math] — линейно независимая система векторов n-мерного евклидова пространства [math](kleqslant n)[/math] . Определим по индукции понятие многомерного объема. Обозначим через [math]boldsymbol_j[/math] — перпендикуляр, опущенный из конца вектора [math]boldsymbol_j[/math] на подпространство [math]operatorname (boldsymbol_1, ldots,boldsymbol_),[/math] [math]j=2,ldots,k[/math] .

[math]V_<ast boldsymbol_1>=|boldsymbol_1|[/math] — одномерный объем — длина вектора [math]boldsymbol_1[/math] ;

[math]V_<ast boldsymbol_1,boldsymbol_2>= V_<ast boldsymbol_1>cdot |boldsymbol_2|= |boldsymbol_1|cdot|boldsymbol_2|[/math] — двумерный объем — площадь параллелограмма, построенного на векторах [math]boldsymbol_1,,boldsymbol_2[/math] ;

[math]V_<ast boldsymbol_1,boldsymbol_2, boldsymbol_3>= V_<ast boldsymbol_1, boldsymbol_2>cdot |boldsymbol_3|= |boldsymbol_1|cdot |boldsymbol_2|cdot |boldsymbol_3|[/math] — трехмерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]boldsymbol_1,,boldsymbol_2,, boldsymbol_3[/math] ;

[math]V_<ast boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_>= V_<ast boldsymbol_1, ldots, boldsymbol_>cdot |boldsymbol_k|= |boldsymbol_1|cdot|boldsymbol_2|cdot ldotscdot |boldsymbol_k|[/math] — k-мерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]boldsymbol_1, boldsymbol_2, ldots,boldsymbol_k[/math] .

Проводя ортогонализацию системы векторов [math]boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots, boldsymbol_k[/math] , получаем, согласно пункту 4 замечаний 8.14, перпендикуляры [math]boldsymbol_1= boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots,boldsymbol_k[/math] . Тогда по свойству 2 определителя Грама имеем

т.е. определитель Грама векторов [math]boldsymbol_1, boldsymbol_2, ldots, boldsymbol_k[/math] равен квадрату k-мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом заключается геометрический смысл определителя Грама.

Расстоянием от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] называется наименьшее значение длин векторов [math](boldsymbol-boldsymbol)[/math] , где [math]boldsymbolin L[/math] , т.е.

Аналогично определяется расстояние от конца вектора до многообразия.

Углом между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] называется наименьший угол [math]varphi[/math] между вектором [math]boldsymbol[/math] и ненулевыми векторами подпространства, т.е.

Аналогично определяется угол между вектором и многообразием, как угол между вектором и однородной частью многообразия.

Из неравенств пункта 1 замечаний 8.14 следует, что

1) расстояние [math]d[/math] от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] равно длине перпендикуляра [math]boldsymbol[/math] , опущенного из конца вектора [math]boldsymbol[/math] на подпространство [math]L[/math] , т.е. [math]d=|boldsymbol|[/math] ;

2) угол между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] равен углу между вектором [math]boldsymbol[/math] и его ортогональной проекцией на подпространство [math]L[/math] .

Для нахождения расстояний и углов можно использовать формулу (8.37).

Пусть задан вектор [math]boldsymbol[/math] и подпространство [math]L=operatorname (boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r)[/math] , причем векторы [math]boldsymbol_1, ldots, boldsymbol_r[/math] линейно независимы. Тогда [math]V_<ast boldsymbol_1,ldots, boldsymbol_r, boldsymbol>= V_<ast boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r>cdot |boldsymbol|[/math] , где [math]boldsymbol[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]boldsymbol[/math] относительно подпространства [math]L[/math] . Отсюда, [math]boldsymbol= frac_1,ldots, boldsymbol_r, boldsymbol>>_1,ldots,boldsymbol_r>>[/math] . Используя (8.37) для вычисления объемов, получаем, что длина [math]|boldsymbol|[/math] ортогональной составляющей (расстояние от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L=operatorname( boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r)[/math] находится по формуле

а угол [math]varphi[/math] между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством находится по формуле

Пример 8.22. В пространстве [math]mathbb^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор [math]v=begin-3&2&0&0end^T[/math] и подпространство [math]L[/math] — множество [math][/math] решений однородной системы:

Требуется найти расстояние [math]|h|[/math] от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] и угол между вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] .

Решение. Базис подпространства был найден в примере 8.9:

Составляем определители Грама [math]Bigl(langle boldsymbol, boldsymbol_1rangle= (-3)^2+ 2^2+0^2+0^2=13Bigr)[/math] , остальные скалярные произведения векторов найдены в примере 8.20):

Тогда [math]|h|=sqrt<frac<14><62>>=sqrt<frac<7><31>>[/math] , а [math]varphi= arcsinsqrt<frac<7><403>>[/math] . В найдены ортогональная проекция [math]l=begindfrac<-92><31>&dfrac<60><31>&dfrac<14><31>&dfrac<4><31>end^T[/math] и ортогональная составляющая [math]h=begindfrac<-1><31>& dfrac<2><31>&dfrac<-14><31>& dfrac<-4> <31>end^T[/math] . Вычисляя длину вектора [math]h[/math] , получаем [math]|h|=sqrt<frac<7><31>>[/math] . Результаты совпадают.

33. Матрица Грама в евклидовом пространстве

Пусть Еn – N-Мерное евклидово пространство и пусть Е = (Е1, Е2, . , Еn ) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Г = (41)

Матрица Г Называется Матрицей Грама Скалярного произведения для базиса Е.

Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов,

Пусть в базисе Е заданы векторы А = Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn , В = У1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn . Тогда (А, в) = (Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn)×( у1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn) = = Х Т×Г×У, где Х Т– строка координат вектора А, У – Столбец координат вектора В . Итак, (А, в) = Х Т×Г×У (42).

Свойства матрицы Грама.

10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что Ек ¹ 0 и, следовательно, (Ек, ек ) > 0.

30. Для матрицы Грама и любого N-Мерного столбца Х Выполняется условие Х Т×Г×Х > 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, Удовлетворяющую условию Х Т×А×Х > 0 для любого

Ненулевого столбца Х, Называют Положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама Положительно определённая.

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (43) следует ú Г1ú =ú ТТú ×úГú ×úТú = úГú ×úТú 2. Так как |Тú 2> 0, то ú Г1ú и ú Гú имеют одинаковые знаки.

60. Все главные миноры матрицы Грама строго положительны.

1. Во множестве М2 Квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе Е1 = , Е2 = , Е3 = , Е4 = .

Г = .

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Вспомогательная страница к разделу ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

Матрица и определитель Грама

Пусть в евклидовом пространстве $ mathbb E_<> $ известным образом задано скалярное произведение $ langle X_<>,Y rangle $. Матрицей Грама системы векторов $ ,dots,X_m > $ называется квадратная матрица, состоящая из всевозможных скалярных произведений этих векторов: $$ G(X_1,dots,X_m)= left( begin langle X_1,X_1 rangle & langle X_1,X_2 rangle & dots & langle X_1,X_m rangle \ langle X_2,X_1 rangle & langle X_2,X_2 rangle & dots & langle X_2,X_m rangle \ dots & & & dots \ langle X_m,X_1 rangle & langle X_m,X_2 rangle & dots & langle X_m,X_m rangle end right) = left[ langle X_j,X_k rangle right]_^m . $$ Матрица Грама является симметричной матрицей. Ее определитель называется определителем Грама (или грамианом) системы векторов $ ,dots,X_m > $: $$ <mathfrak G>(X_1,dots,X_m)=left| begin langle X_1,X_1 rangle & langle X_1,X_2 rangle & dots & langle X_1,X_m rangle \ langle X_2,X_1 rangle & langle X_2,X_2 rangle & dots & langle X_2,X_m rangle \ dots & & & dots \ langle X_m,X_1 rangle & langle X_m,X_2 rangle & dots & langle X_m,X_m rangle end right| = det left[ langle X_j,X_k rangle right]_^m . $$

Пример. Если в пространстве $ mathbb R^ < n >$ строк, состоящих из $ n_<> $ вещественных чисел, скалярное произведение определяется по правилу 1)

$$ langle X,Y rangle=x_1y_1+x_2y_2+dots+x_ny_n quad npu quad X=(x_1,x_2,dots,x_n), Y=(y_1,y_2,dots,y_n) , $$ то матрица Грама строк $$ X_1=left(x_<11>,x_<12>,dots, x_<1n>right),dots,X_m=left(x_,x_,dots, x_right) $$ вычисляется перемножением матриц: $$ G(X_1,dots,X_m)=Xcdot X^ <top>quad npu quad X= left(begin x_ <11>& x_ <12>&dots & x_ <1n>\ dots & & & dots \ x_& x_ & dots & x_ end right) $$ и при $ ^<top>_<> $ означающем транспонирование. Из теоремы Бине-Коши немедленно следует, что при $ m>n_<> $ (числе строк превышающем размерность пространства) определитель Грама равен нулю. Этот результат обобщен НИЖЕ для произвольных евклидовых пространств.

Пример. Если в пространстве полиномов с вещественными коэффициентами скалярное произведение задано формулой

$$ langle p(x),q(x) rangle =int_0^1 p(t) q(t) d,t ,$$ то $$ G(1,x,x^2)= left( begin int_0^1 1 d,t & int_0^1 t d,t & int_0^1 t^2 d,t \ & & \ int_0^1 t d,t & int_0^1 t^2 d,t & int_0^1 t^3 d,t \ & & \ int_0^1 t^2 d,t & int_0^1 t^3 d,t & int_0^1 t^4 d,t end right)= left( begin 1 & 1/2 & 1/3 \ 1/2 & 1/3 & 1/4 \ 1/3 & 1/4 & 1/5 end right) . $$ Обобщение получившейся матрицы известно как матрица Гильберта.

Если система векторов $ ,dots,X_n > $ образует базис пространства $ mathbb E_<> $ (т.е. пространство $ mathbb E_<> $ является $ n_<> $-мерным), то задание матрицы Грама $ G(X_<1>,dots,X_n) $ позволяет свести вычисление скалярного произведения произвольных векторов из $ mathbb E_<> $ к действиям над их координатами: $$ X=x_1X_1+x_2X_2+dots+x_nX_n, Y=y_1X_1+y_2X_2+dots+y_nX_n Rightarrow $$ $$ langle X,Y rangle=left(x_1,x_2,dots,x_n right) left( begin langle X_1,X_1 rangle & langle X_1,X_2 rangle & dots & langle X_1,X_n rangle \ langle X_2,X_1 rangle & langle X_2,X_2 rangle & dots & langle X_2,X_n rangle \ dots & & & dots \ langle X_n,X_1 rangle & langle X_n,X_2 rangle & dots & langle X_n,X_n rangle end right) left( begin y_1 \ y_2 \ vdots \ y_n end right) . $$

Линейная независимость векторов

Теорема. $ <mathfrak G>(X_<1>,dots,X_m)=0 $ тогда и только тогда, когда система векторов $ ,dots,X_m > $ линейно зависима.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Если какой-то главный минор матрицы Грама обращается в нуль, то и все главные миноры бóльших порядков обращаются в нуль.

Свойства определителя Грама

Теорема. $ <mathfrak G>(X_<1>,dots,X_m) ge 0 $ для любой системы векторов $ ,dots,X_m > $.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

При $ m=2_<> $ получаем неравенство Коши-Буняковского: $$ langle X_1,X_1 rangle cdot langle X_2,X_2 rangle ge langle X_1,X_2 rangle^2 . $$

Матрица Грама линейно независимой системы векторов является положительно определенной.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ

Величина определителя Грама не превосходит его главного члена, т.е. произведения элементов его главной диагонали:

$$mathfrak(X_1,dots,X_,X_m)le left|X_1 right|^2 times dots times left|X_ right|^2 left|X_m right|^2 . $$

Для произвольной квадратной вещественной матрицы

$$A=left( begin a_ <11>& a_ <12>& dots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& dots & a_ <2n>\ dots & & & dots \ a_ & a_ & dots & a_ end right) $$ справедливо неравенство Адамара 2) : $$ left| det A right| le sqrt< sum_^n a_<1j>^2> sqrt< sum_^n a_<2j>^2> times dots times sqrt< sum_^n a_^2> . $$ Иными словами: модуль определителя матрицы не превосходит произведения длин его строк. Аналогичное утверждение справедливо и относительно столбцов матрицы.

Доказательство. Обозначим $ j_<> $-ю строку матрицы $ A_<> $ через $ A^ <[j]>$. Тогда, поскольку $ det A= det A^ <top>$ (см. свойство 1 ☞ ЗДЕСЬ ), имеем: $$left( det A right)^2= det left(Acdot A^ <top>right)= det left[ begin langle A^<[1]>,A^ <[1]>rangle & langle A^<[1]>,A^ <[2]>rangle & dots & langle A^<[1]>,A^ <[n]>rangle \ langle A^<[2]>,A^ <[1]>rangle & langle A^<[2]>,A^ <[2]>rangle & dots & langle A^<[2]>,A^ <[n]>rangle \ dots & & & dots \ langle A^<[n]>,A^ <[1]>rangle & langle A^<[n]>,A^ <[2]>rangle & dots & langle A^<[n]>,A^ <[n]>rangle end right]= $$ $$ =mathfrakleft(A^<[1]>,A^<[2]>,dots,A^ <[n]>right) $$ при задании скалярного произведения в $ mathbb R^n $ стандартным способом. На основании предыдущего следствия, имеем: $$ le left|A^ <[1]>right|^2 left|A^ <[2]>right|^2 times dots times left|A^ <[n]>right|^2 . $$ Равенство возможно тогда и только тогда, когда либо все строки попарно ортогональны, либо хотя бы одна строка — нулевая. ♦

Пример.

$$ left|detleft( begin -47 & 40 & -81 \ 91 & 68 & -10 \ 31 & -51 & 77 end right) right| le $$ $$ le left< begin sqrt <(47^2+40^2+81^2)(91^2+68^2+10^2)(31^2+51^2+77^2)>&le 1131360 \ & \ sqrt <(47^2+91^2+31^2)(40^2+68^2+51^2)(81^2+10^2+77^2)>& le 1127957 end right. $$ при точной величине определителя $ 31867 $.

Теорема. Величина определителя Грама не изменится, если к системе векторов применить алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта. В обозначениях этого алгоритма имеет место равенство:

Расстояние до линейного многообразия

Теорема. Расстояние $ d_<> $ от точки $ X_ <0>in <mathbb E>$ до линейного многообразия в $ mathbb E_<> $

Доказательство для случая $ Y_0=mathbb O_<> $ ☞ ЗДЕСЬ. Случай $ Y_<0>ne mathbb O $ сводится к предыдущему сдвигом пространства на вектор $ (- Y_<0>) $: см. комментарии к теореме $ 3_<> $ ☞ ЗДЕСЬ. ♦

Другие применения определителя Грама в задачах вычисления расстояний между поверхностями в $ <mathbb R>^ $ ☞ ЗДЕСЬ.

Объемы параллелепипедов

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. Если параллелограмм построен на векторах $ X_ <1>$ и $ X_2 $ из $ mathbb R^2 $, то за основание можно принять длину вектора $ X_ <1>$, а за высоту — длину перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_2 $ на ось вектора $ X_ <1>$.

Аналогично, объем параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,X_3 $ из $ mathbb R^ <3>$, равен произведению площади основания на высоту; площадь основания — это площадь параллелограмма, построенного на векторах $ X_1,X_2 $, а высота — длина перпендикуляра, опущенного из конца вектора $ X_3 $ на плоскость векторов $ X_1,X_2 $.

Объем $ k_<> $-мерного параллелепипеда в евклидовом пространстве $ mathbb E_<> $ определим по индукции. Если этот параллелепипед построен на векторах $ X_1,X_2,dots,X_,X_k $, то за его объем примем произведение объема $ (k-1) $-мерного параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,dots,X_ $ на длину перпендикуляра, опущенного из точки $ X_ $ на линейную оболочку векторов $ X_1,X_2,dots,X_ $ (т.е. на длину ортогональной составляющей $ X_k $ относительно $ mathcal L ( X_1,X_2,dots,X_) $): $$mathbf V(X_1,X_2,dots,X_,X_k)=left|X_k^ <bot>right| mathbf V(X_1,X_2,dots,X_) . $$

Теорема. Квадрат объема параллелепипеда, построенного на векторах $ X_1,X_2,dots,X_k $, совпадает с величиной определителя Грама от той же системы векторов: $$[V(X_1,X_2,dots,X_k)]^2= mathfrak G (X_1,X_2,dots,X_k) .$$

Доказательство следует из представления длины ортогональной составляющей $ X_k^<^<bot>> $ через определители Грама (см. теорему $ 2_<> $ и следствие к ней ☞ ЗДЕСЬ ).

Модуль определителя вещественной матрицы

$$ A= left( begin a_ <11>& a_ <12>& dots & a_ <1n>\ a_ <21>& a_ <22>& dots & a_ <2n>\ dots & & & dots \ a_ & a_ & dots & a_ end right) $$ равен объему параллелепипеда в пространстве $ mathbb R^_<> $, построенного на вершинах с координатами $$ (0,0,dots, 0), (a_<11>,a_<12>, dots , a_<1n>),(a_<21>,a_<22>, dots , a_<2n>), dots, (a_,a_, dots, a_) $$ (т.е. «построенного на строках матрицы») и равен объему параллелепипеда построенного на вершинах с координатами $$ (0,0,dots, 0), (a_<11>,a_<21>, dots , a_),(a_<12>,a_<22>, dots , a_), dots, (a_<1n>,a_<2n>, dots, a_) $$ (т.е. «построенного на столбцах матрицы»).

Доказательство фактически совпадает с доказательством неравенства Адамара: $$ left(det A right)^2 = left< begin det left(A cdot A^<top>right)=mathfrak G (A^<[1]>,A^<[2]>,dots,A^<[n]>) &= left[mathbf V(A^<[1]>,A^<[2]>,dots,A^<[n]>)right]^2 \ & \ det left(A^ <top>cdot A right) = mathfrak G (A_<[1]>,A_<[2]>,dots,A_<[n]>) & = left[mathbf V(A_<[1]>,A_<[2]>,dots,A_<[n]>)right]^2 end right. $$ ♦

33. Матрица Грама в евклидовом пространстве

Пусть Еn – N-Мерное евклидово пространство и пусть Е = (Е1, Е2, . , Еn ) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Г = (41)

Матрица Г Называется Матрицей Грама Скалярного произведения для базиса Е.

Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления скалярного произведения векторов,

Пусть в базисе Е заданы векторы А = Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn , В = У1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn . Тогда (А, в) = (Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn)×( у1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn) = = Х Т×Г×У, где Х Т– строка координат вектора А, У – Столбец координат вектора В . Итак, (А, в) = Х Т×Г×У (42).

Свойства матрицы Грама.

10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что Ек ¹ 0 и, следовательно, (Ек, ек ) > 0.

30. Для матрицы Грама и любого N-Мерного столбца Х Выполняется условие Х Т×Г×Х > 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, Удовлетворяющую условию Х Т×А×Х > 0 для любого

Ненулевого столбца Х, Называют Положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама Положительно определённая.

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (43) следует ú Г1ú =ú ТТú ×úГú ×úТú = úГú ×úТú 2. Так как |Тú 2> 0, то ú Г1ú и ú Гú имеют одинаковые знаки.

60. Все главные миноры матрицы Грама строго положительны.

1. Во множестве М2 Квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе Е1 = , Е2 = , Е3 = , Е4 = .

Г = .

Матрица и определитель Грама: определение, свойства, приложения

Определение матрицы Грама

Квадратная симметрическая матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] , составленная из скалярных произведений системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_n[/math] называется матрицей Грама

Изменение матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому

Пусть [math](mathbf)=(mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] и [math](mathbf)= (mathbf_1,ldots,mathbf_n)[/math] — два базиса евклидова пространства [math]mathbb[/math] , a [math]S[/math] — матрица перехода от базиса [math](mathbf)[/math] к базису [math](mathbf)colon, (mathbf)=(mathbf)S[/math] . Требуется найти связь матриц Грама систем векторов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math]

По формуле (8.32) вычислим скалярное произведение векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в разных базисах:

где [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] и [math]mathoplimits_<(mathbf)>,, mathoplimits_<(mathbf)>[/math] — координатные столбцы векторов [math]mathbf[/math] и [math]mathbf[/math] в соответствующих базисах. Подставляя в последнее равенство связи [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>,[/math] [math]mathoplimits_<(mathbf)>= S mathoplimits_<(mathbf)>[/math] , получаем тождество

Отсюда следует формула изменения матрицы Грама при переходе от одного базиса к другому :

Записав это равенство для ортонормированных базисов [math](mathbf)[/math] и [math](mathbf)[/math] , получаем [math]E=S^TES[/math] , так как матрицы Грама ортонормированных базисов единичные: [math]G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)= G(mathbf_1,ldots,mathbf_n)=E[/math] . Поэтому матрица [math]S[/math] перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной: [math]S^<-1>=S^T[/math] .

Определитель Грама и его свойства

Определитель матрицы [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_n)[/math] называется определителем Грама. Рассмотрим свойства этого определителя.

1. Критерий Грама линейной зависимости векторов: система векторов [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

Действительно, если система [math]mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] линейно зависима, то существуют такие числа [math]x_1,x_2,ldots,x_k[/math] , не равные нулю одновременно, что

Умножая это равенство скалярно на [math]mathbf_1[/math] , затем на [math]mathbf_2[/math] и т.д. на [math]mathbf_k[/math] , получаем однородную систему уравнений [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k)x=o[/math] , которая имеет нетривиальное решение [math]x=beginx_1&cdots&x_k end^T[/math] . Следовательно, ее определитель равен нулю. Необходимость доказана. Достаточность доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Следствие. Если какой-либо главный минор матрицы Грама равен нулю, то и определитель Грама равен нулю.

Главный минор матрицы Грама системы [math]mathbf_1, mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] представляет собой определитель Грама подсистемы векторов. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

2. Определитель Грама [math]det_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k)>[/math] не изменяется в процессе ортогонализации системы векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] . Другими словами, если в процессе ортогонализации векторов [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] получены векторы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots,mathbf_k[/math] , то

Действительно, в процессе ортогонализации по векторам [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] последовательно строятся векторы

После первого шага определитель Грама не изменяется

Выполним с определителем [math]det G(mathbf_1, mathbf_2, ldots,mathbf_k)[/math] следующие преобразования. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на число [math](-alpha_<21>)[/math] , а затем ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на [math](-alpha_<21>)[/math] . Получим определитель

Так как при этих преобразованиях определитель не изменяется, то

Значит, после второго шага в процессе ортогонализации определитель не изменяется. Продолжая аналогично, получаем после [math]k[/math] шагов:

Вычислим правую часть этого равенства. Матрица [math]G(mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k)[/math] Грама ортогональной системы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots,mathbf_k[/math] векторов является диагональной, так как [math]langle mathbf_i,mathbf_jrangle=0[/math] при [math]ine j[/math] . Поэтому ее определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

3. Определитель Грама любой системы [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] векторов удовлетворяет двойному неравенству

Докажем неотрицательность определителя Грама. Если система [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] линейно зависима, то определитель равен нулю (по свойству 1). Если же система [math]mathbf_1,mathbf_2,ldots, mathbf_k[/math] линейно независима, то, выполнив процесс ортогонализации, получим ненулевые векторы [math]mathbf_1,mathbf_2, ldots, mathbf_k[/math] , для которых по свойству 2:

Оценим теперь скалярный квадрат [math]langle mathbf_j,mathbf_jrangle[/math] . Выполняя процесс ортого-1нализации, имеем [math]mathbf_j= mathbf_j+ alpha_mathbf_1+ ldots+ alpha_mathbf_[/math] . Отсюда

Следовательно, по свойству 2 имеем

1. Матрица Грама любой системы векторов является неотрицательно определенной, так как все ее главные миноры также являются определителями Грама соответствующих подсистем векторов и неотрицательны в силу свойства 3.

2. Матрица Грама любой линейно независимой системы векторов является положительно определенной, так как все ее угловые миноры положительны (в силу свойств 1,3), поскольку являются определителями Грама линейно независимых подсистем векторов.

Метрические приложения определителя Грама

Пусть [math]boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots,boldsymbol_k[/math] — линейно независимая система векторов n-мерного евклидова пространства [math](kleqslant n)[/math] . Определим по индукции понятие многомерного объема. Обозначим через [math]boldsymbol_j[/math] — перпендикуляр, опущенный из конца вектора [math]boldsymbol_j[/math] на подпространство [math]operatorname (boldsymbol_1, ldots,boldsymbol_),[/math] [math]j=2,ldots,k[/math] .

[math]V_<ast boldsymbol_1>=|boldsymbol_1|[/math] — одномерный объем — длина вектора [math]boldsymbol_1[/math] ;

[math]V_<ast boldsymbol_1,boldsymbol_2>= V_<ast boldsymbol_1>cdot |boldsymbol_2|= |boldsymbol_1|cdot|boldsymbol_2|[/math] — двумерный объем — площадь параллелограмма, построенного на векторах [math]boldsymbol_1,,boldsymbol_2[/math] ;

[math]V_<ast boldsymbol_1,boldsymbol_2, boldsymbol_3>= V_<ast boldsymbol_1, boldsymbol_2>cdot |boldsymbol_3|= |boldsymbol_1|cdot |boldsymbol_2|cdot |boldsymbol_3|[/math] — трехмерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]boldsymbol_1,,boldsymbol_2,, boldsymbol_3[/math] ;

[math]V_<ast boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_>= V_<ast boldsymbol_1, ldots, boldsymbol_>cdot |boldsymbol_k|= |boldsymbol_1|cdot|boldsymbol_2|cdot ldotscdot |boldsymbol_k|[/math] — k-мерный объем — объем параллелепипеда, построенного на векторах [math]boldsymbol_1, boldsymbol_2, ldots,boldsymbol_k[/math] .

Проводя ортогонализацию системы векторов [math]boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots, boldsymbol_k[/math] , получаем, согласно пункту 4 замечаний 8.14, перпендикуляры [math]boldsymbol_1= boldsymbol_1,boldsymbol_2, ldots,boldsymbol_k[/math] . Тогда по свойству 2 определителя Грама имеем

т.е. определитель Грама векторов [math]boldsymbol_1, boldsymbol_2, ldots, boldsymbol_k[/math] равен квадрату k-мерного объема параллелепипеда, построенного на этих векторах. В этом заключается геометрический смысл определителя Грама.

Расстоянием от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] называется наименьшее значение длин векторов [math](boldsymbol-boldsymbol)[/math] , где [math]boldsymbolin L[/math] , т.е.

Аналогично определяется расстояние от конца вектора до многообразия.

Углом между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] называется наименьший угол [math]varphi[/math] между вектором [math]boldsymbol[/math] и ненулевыми векторами подпространства, т.е.

Аналогично определяется угол между вектором и многообразием, как угол между вектором и однородной частью многообразия.

Из неравенств пункта 1 замечаний 8.14 следует, что

1) расстояние [math]d[/math] от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] равно длине перпендикуляра [math]boldsymbol[/math] , опущенного из конца вектора [math]boldsymbol[/math] на подпространство [math]L[/math] , т.е. [math]d=|boldsymbol|[/math] ;

2) угол между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] равен углу между вектором [math]boldsymbol[/math] и его ортогональной проекцией на подпространство [math]L[/math] .

Для нахождения расстояний и углов можно использовать формулу (8.37).

Пусть задан вектор [math]boldsymbol[/math] и подпространство [math]L=operatorname (boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r)[/math] , причем векторы [math]boldsymbol_1, ldots, boldsymbol_r[/math] линейно независимы. Тогда [math]V_<ast boldsymbol_1,ldots, boldsymbol_r, boldsymbol>= V_<ast boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r>cdot |boldsymbol|[/math] , где [math]boldsymbol[/math] — ортогональная составляющая вектора [math]boldsymbol[/math] относительно подпространства [math]L[/math] . Отсюда, [math]boldsymbol= frac_1,ldots, boldsymbol_r, boldsymbol>>_1,ldots,boldsymbol_r>>[/math] . Используя (8.37) для вычисления объемов, получаем, что длина [math]|boldsymbol|[/math] ортогональной составляющей (расстояние от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L=operatorname( boldsymbol_1,ldots,boldsymbol_r)[/math] находится по формуле

а угол [math]varphi[/math] между ненулевым вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством находится по формуле

Пример 8.22. В пространстве [math]mathbb^4[/math] со стандартным скалярным произведением (8.27) заданы: вектор [math]v=begin-3&2&0&0end^T[/math] и подпространство [math]L[/math] — множество [math][/math] решений однородной системы:

Требуется найти расстояние [math]|h|[/math] от конца вектора [math]boldsymbol[/math] до подпространства [math]L[/math] и угол между вектором [math]boldsymbol[/math] и подпространством [math]L[/math] .

Решение. Базис подпространства был найден в примере 8.9:

Составляем определители Грама [math]Bigl(langle boldsymbol, boldsymbol_1rangle= (-3)^2+ 2^2+0^2+0^2=13Bigr)[/math] , остальные скалярные произведения векторов найдены в примере 8.20):

Тогда [math]|h|=sqrt<frac<14><62>>=sqrt<frac<7><31>>[/math] , а [math]varphi= arcsinsqrt<frac<7><403>>[/math] . В найдены ортогональная проекция [math]l=begindfrac<-92><31>&dfrac<60><31>&dfrac<14><31>&dfrac<4><31>end^T[/math] и ортогональная составляющая [math]h=begindfrac<-1><31>& dfrac<2><31>&dfrac<-14><31>& dfrac<-4> <31>end^T[/math] . Вычисляя длину вектора [math]h[/math] , получаем [math]|h|=sqrt<frac<7><31>>[/math] . Результаты совпадают.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In linear algebra, the Gram matrix (or Gramian matrix, Gramian) of a set of vectors in an inner product space is the Hermitian matrix of inner products, whose entries are given by the inner product .^[1] If the vectors are the columns of matrix then the Gram matrix is in the general case that the vector coordinates are complex numbers, which simplifies to for the case that the vector coordinates are real numbers.

An important application is to compute linear independence: a set of vectors are linearly independent if and only if the Gram determinant (the determinant of the Gram matrix) is non-zero.

It is named after Jørgen Pedersen Gram.

Examples[edit]

For finite-dimensional real vectors in with the usual Euclidean dot product, the Gram matrix is , where is a matrix whose columns are the vectors and is its transpose whose rows are the vectors . For complex vectors in , , where is the conjugate transpose of .

Given square-integrable functions on the interval , the Gram matrix is:

where is the complex conjugate of .

For any bilinear form on a finite-dimensional vector space over any field we can define a Gram matrix attached to a set of vectors by . The matrix will be symmetric if the bilinear form is symmetric.

Applications[edit]

• In Riemannian geometry, given an embedded -dimensional Riemannian manifold and a parametrization for , the volume form on induced by the embedding may be computed using the Gramian of the coordinate tangent vectors:

  

  This generalizes the classical surface integral of a parametrized surface for :

  

• If the vectors are centered random variables, the Gramian is approximately proportional to the covariance matrix, with the scaling determined by the number of elements in the vector.
• In quantum chemistry, the Gram matrix of a set of basis vectors is the overlap matrix.
• In control theory (or more generally systems theory), the controllability Gramian and observability Gramian determine properties of a linear system.
• Gramian matrices arise in covariance structure model fitting (see e.g., Jamshidian and Bentler, 1993, Applied Psychological Measurement, Volume 18, pp. 79–94).
• In the finite element method, the Gram matrix arises from approximating a function from a finite dimensional space; the Gram matrix entries are then the inner products of the basis functions of the finite dimensional subspace.
• In machine learning, kernel functions are often represented as Gram matrices.^[2] (Also see kernel PCA)
• Since the Gram matrix over the reals is a symmetric matrix, it is diagonalizable and its eigenvalues are non-negative. The diagonalization of the Gram matrix is the singular value decomposition.

Properties[edit]

Positive-semidefiniteness[edit]

The Gram matrix is symmetric in the case the real product is real-valued; it is Hermitian in the general, complex case by definition of an inner product.

The Gram matrix is positive semidefinite, and every positive semidefinite matrix is the Gramian matrix for some set of vectors. The fact that the Gramian matrix is positive-semidefinite can be seen from the following simple derivation:

The first equality follows from the definition of matrix multiplication, the second and third from the bi-linearity of the inner-product, and the last from the positive definiteness of the inner product.
Note that this also shows that the Gramian matrix is positive definite if and only if the vectors are linearly independent (that is, for all ).^[1]

Finding a vector realization[edit]

Given any positive semidefinite matrix , one can decompose it as:

,

where is the conjugate transpose of (or in the real case).

Here is a matrix, where is the rank of . Various ways to obtain such a decomposition include computing the Cholesky decomposition or taking the non-negative square root of .

The columns of can be seen as n vectors in (or k-dimensional Euclidean space , in the real case). Then

where the dot product is the usual inner product on .

Thus a Hermitian matrix is positive semidefinite if and only if it is the Gram matrix of some vectors . Such vectors are called a vector realization of . The infinite-dimensional analog of this statement is Mercer’s theorem.

Uniqueness of vector realizations[edit]

If is the Gram matrix of vectors in then applying any rotation or reflection of (any orthogonal transformation, that is, any Euclidean isometry preserving 0) to the sequence of vectors results in the same Gram matrix. That is, for any orthogonal matrix , the Gram matrix of is also .

This is the only way in which two real vector realizations of can differ: the vectors are unique up to orthogonal transformations. In other words, the dot products and are equal if and only if some rigid transformation of transforms the vectors to and 0 to 0.

The same holds in the complex case, with unitary transformations in place of orthogonal ones.
That is, if the Gram matrix of vectors is equal to the Gram matrix of vectors in then there is a unitary matrix (meaning ) such that for .^[3]

Other properties[edit]

Gram determinant[edit]

The Gram determinant or Gramian is the determinant of the Gram matrix:

If are vectors in then it is the square of the n-dimensional volume of the parallelotope formed by the vectors. In particular, the vectors are linearly independent if and only if the parallelotope has nonzero n-dimensional volume, if and only if Gram determinant is nonzero, if and only if the Gram matrix is nonsingular. When m < n the determinant and volume are zero. When m = n, this reduces to the standard theorem that the absolute value of the determinant of n n-dimensional vectors is the n-dimensional volume. The Gram determinant is also useful for computing the volume of the simplex formed by the vectors; its volume is Volume(parallelotope) / n!.

The Gram determinant can also be expressed in terms of the exterior product of vectors by

When the vectors are defined from the positions of points relative to some reference point ,

then the Gram determinant can be written as the difference of two Gram determinants,

where each is the corresponding point supplemented with the coordinate value of 1 for an -st dimension.^{[citation needed]} Note that in the common case that n = m, the second term on the right-hand side will be zero.

Constructing an orthonormal basis[edit]

Given a set of linearly independent vectors with Gram matrix , one can construct an orthonormal basis

The matrix is guaranteed to exist. Indeed, is Hermitian, and so can be decomposed as with a unitary matrix and a real diagonal matrix. Additionally, the are linearly independent if and only if is positive definite, which implies that the diagonal entries of are positive. is therefore uniquely defined by . One can check that these new vectors are orthonormal:

where we used .

See also[edit]

• Controllability Gramian
• Observability Gramian

References[edit]

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6.

External links[edit]

• «Gram matrix», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Volumes of parallelograms by Frank Jones