0 / 0 / 0 Регистрация: 16.12.2012 Сообщений: 26 |
|
1 |
|
Найти матрицы оператора, обратного оператору08.01.2015, 15:29. Показов 5873. Ответов 2
Помогите решить задачки по алгебре. Ну или хотя бы алгоритм решения напишите. А то в корне не могу понять как их решать
0 |
Programming Эксперт 94731 / 64177 / 26122 Регистрация: 12.04.2006 Сообщений: 116,782 |
08.01.2015, 15:29 |
Ответы с готовыми решениями: Найти матрицы и явный вид оператора Найти матрицу оператора сопряжённого для данного линейного оператора Матрица линейного оператора… Как выделить символы строк от оператора к оператору ?
2 |
3944 / 2858 / 665 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,668 Записей в блоге: 4 |
|
08.01.2015, 18:48 |
2 |
РешениеОбратную матрицу ищите.
1 |
Модератор 35578 / 19476 / 4073 Регистрация: 12.02.2012 Сообщений: 32,511 Записей в блоге: 13 |
|
09.01.2015, 18:51 |
3 |
Выпишем матрицу этого линейного оператора: Ее определитель равен 1*3-1*2=1, что облегчает прямое нахождение обратной матрицы. Она равна: В том, что матрица действительно обратная исходной, можно убедиться прямым умножением:
0 |
Линейные операторы.[править]
Оператор называется линейным, если:
— нулевой оператор.
-тождественный оператор.
— сумма двух операторов.
— степень оператора.
— умножение операторов.
Матрица линейного оператора.[править]
Возьмём базис в X,,
базис в Y.
Покажем, что если известны результаты действия оператора А на базис, то оператор А полностью определён:
Матрица оператора
Утверждение. Если матрица осуществляет действие оператора А, то В является матрицей оператора А.
Доказательство. в базисе
первый столбец В совпадает с первым столбцом
, аналогично все остальные тоже совпадают
Утверждение. Если оператор \
, то
(матрица оператора С равна сумме матриц оператора А и В)
Доказательство.
Обратный оператор[править]
Если А — изоморфизм, то: возникает некоторое отображение
Покажем, что линейный оператор:
1)
2)
Условие обратимости: — оператор обратим
оператор А осуществляет изоморфизм.
Матрица обратного оператора
осуществляет изоморфизм (Ограниченный линейный оператор
между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число
такое, что
для всех векторов
)
тогда
.
Возьмём — базис в L,
— базис в M, тогда:
матрица
осуществляет действие оператора
— матрица обратного оператора.
Единичный
(тождественный) оператор I
действует
по правилу I(x)
= x ∀x
∈
V.
Л.О.(Лин.Оператор)
f−1
называется обратным по отношению к
Л.О. f,
если
=f*
=I
(или можно
Е).
Теорема: для
существования обратного оператора f
необходимо и достаточно, чтобы f
был взаимооднозначен.
Теорема: если А —
матрица линейного оператора в некотором
базисе, то
— матрица обратного оперетора в том же
базисе.
14.Собственные векторы л.О., собств. Значения, характерист. Уравнение.
Пусть f:Vn->Vn
.
Опр.
Ненулевой вектор х
Vn
наз-ся
собственным
вектором
оператора f,
если fx=λx(1),
где λ–некоторое
число (λ
P),
то λ
наз-ся собственным значением.
Св-ва:1)Всякому
собств. вектору отвечает одно собств.
значение.
2)Собств.
векторы, отвечающие собственным значениям
— лин. независимы.
3)Мн-во всех
собств. векторов, отвечающих одному
собств. значению, дополненное нулевым
вектором, образует лин-ые подпространства
пространства Zn.
Если в
некотором базисе оператор f
имеет матрицу А и
в том же базисе вектор x имеет
коорд. столбец X,
то AX= λX
или (A—
λE)X=0.
Можно записать
в матричной форме:
AX— λX,
где X—
матрица-столбец из коорд. вектора x.
Характ-им
многочленом
оператора f:Vn->Vn
называется характеристический
многочлен (xf
(λ)=det(λE—Af))
его матрицы
в некотором базисе. Характ-кий мн-н лин.
оператора f не
зависит от выбора базиса, в котором
представлена его матрица. Уравнение
Xf(λ)=0 называется характ-ким
уравнением оператора f.
Хар. ур-ние: (-1)nλn+an-1λn-1+…+a1λ+
a0=0
—
Многочлен
в левой части уравнения называется
характ-ким
мн-м. Характ.
многочлен явл-ся многочленом
n—ой
степени. Теорема.
Подобные
матрицы имеют один и тот же характ.
многочлен.
15.Правило нахождения собств. Векторов и собств. Значений
Выберем некоторый
базис e1,e2,e3,…,en
(1), тогда в этом базисе оператор f
будет иметь некоторую матрицу А,
и Х–координатный
столбец вектора. Тот факт, что х–собств.
значения, а
–собств.
вектор оператора f,
то АХ= λХ;
(А– λE)X=0
(2). Система (2)–система линейных однородных
уравнений. Det(A–
λE)=0
(3). Решив ур-ние (3), получим характерист.
числа матрицы А.
Для нахождения собств. векторов, решим
систему: (A—
λE)X=0
.
16 Модель бездефецитной торговли
Пусть n
стран торгуют
между собой. Обозначим через
нац-ный
доход i-той
страны;
– это часть нац. дохода, которую j-тая
страна тратит на закупку товаров из
i-той
страны.
+
+ … +
=
=
— это доля нац. дохода j-той
страны, кот-я тратится на закупку товаров
в i-той
стране.
= 1
C
элементами
составим матрицу:А =
– структурная матрица международной
торговли
Сумма элементов
по столбцам равна 1
Сумма элементов
по строкам:
+
+ … +
=
– все то, что покупают у i-той
страны => выручка i-той
страны в этой торговле.
.
не может
быть больше, чем
(доход)
=> АХ
= Х Х =
Для бездефицитности
торговли нац. доходы стран должны быть
коорд-ми собственного вектора структурной
матрицы с собственным значением
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
5
Занятие 4 (Фдз 5).
Действия с линейными операторами. Образ, ядро, ранг, дефект линейного оператора.
4.1. Умножение линейного оператора на число, сложение линейных операторов, перемножение линейных операторов. Связь указанных действий с соответствующими операциями над матрицами линейных операторов.
4.2. Условие существования обратного отображения к линейному оператору, его свойства. Матрица обратного оператора, ее нахождение по матрице оператора.
4.3. Ядро и образ линейного оператора, их свойства. Ранг и дефект линейного оператора. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа, ранга, дефекта.
4.1. Пусть даны два линейных оператора , действующие в одном и том же конечномерном линейном пространстве размерности
.
По определению.
1) При умножении линейного оператора на число
получается линейный оператор
, действующий по правилу:
, где
.
2) При сложении линейных операторов и
получается линейный оператор
, действующий по правилу:
, где
.
3) Произведение линейных операторов
и
также дает линейный оператор
, действующий по правилу
.
Аналогично определяется произведение :
, где
.
Отметим, что и
(в общем случае).
Пусть — базис пространства
и
— матрицы линейных операторов
,
в базисе
.
Тогда матрицы операторов ,
,
,
в базисе
находятся так:
— матрица оператора
в базисе
;
— матрица оператора
в базисе
;
— матрица оператора
в базисе
;
— — матрица оператора
в базисе
.
Пример 1. Даны два линейных оператора и
:
— оператор поворота векторов на декартовой плоскости
(вокруг начала координат против часовой стрелки) на угол
;
— оператор проектирования векторов на ось
.
Найти матрицы операторов в базисе
, где
— единичные векторы на осях
.
Решение.
Сначала найдем матрицы операторов
в базисе
.
— первый столбец матрицы
,
второй столбец матрицы
. Следовательно,
.
— первый столбец матрицы
,
второй столбец матрицы
. Следовательно,
.
Обозначим — матрицы операторов
в базисе
.
Найдем эти матрицы с помощью матриц .
.
.
.
4.2. В случае, когда линейный оператор осуществляет взаимно однозначное отображение линейного пространства
на себя, то существует обратный линейный оператор
. Если
— матрица оператора
в базисе
пространства
, то матрица оператора
в этом базисе равна
. Следовательно, линейный оператор
обратим (имеет обратный оператор
) тогда и только тогда, когда матрица
оператора
не вырождена (т.е.
).
Пример 2. Выяснить, какие из линейных операторов ,
примера 1 являются обратимыми?
Решение.
Матрица оператора (в базисе
) равна
.
.
Следовательно, матрица не вырождена (отсюда сразу же вытекает, что в любом другом базисе матрица оператора
также не вырождена). Оператор
обратим, и матрица обратного оператора
в базисе
равна
.
Матрица оператора (в базисе
) равна
.
.
Следовательно, матрица вырождена (отсюда сразу же вытекает, что в любом другом базисе матрица оператора
также вырождена). Оператор
не обратим, и обратного оператора
не существует.
4.3. Ядром линейного оператора называется множество всех
, для которых
. Для ядра линейного оператора
принято обозначение
. Ядро не может быть пустым множеством, т.к.
для любого линейного оператора
и, значит, нулевой элемент линейного пространства
всегда принадлежит множеству
.
Образ линейного оператора
и ядро
этого оператора являются линейными подпространствами в пространстве
.
Рангом линейного оператора
называется размерность образа этого оператора. Дефектом
линейного оператора называется размерность ядра этого оператора. Если
, то
.
Если известна матрица линейного оператора
в каком-нибудь базисе
, то ранг этого оператора можно найти по рангу матрицы
:
.
Пример 3. Найти ядро, образ, а также ранг и дефект линейного оператора , где
, и оператор
действует по правилу
.
Решение.
. Базис пространства
состоит из четырех многочленов. Например, многочлены
,
,
,
образуют базис
.
Найдем образ оператора
.
.
— линейная оболочка трех многочленов
. Эти многочлены представляют полную линейно независимую систему в
. Следовательно,
— базис
. Значит,
— ранг оператора
.
— дефект оператора
.
Найдем ядро оператора
. Ядро состоит из тех многочленов
, для которых
.
.
Многочлен тождественно равен нулю (т.е. для всех ) тогда и только тогда, когда коэффициенты при всех степенях
равны нулю.
Следовательно, .
Таким образом, ядро образует множество всех постоянных многочленов.
— одномерное линейное пространство (его базисом служит
)
. Этот результат подтверждает ранее найденное значение дефекта оператора.
Ранг оператора
можно получить другим способом. Найдем матрицу
оператора
в базисе
,
,
,
пространства
.
— первый столбец матрицы
.
— второй столбец матрицы
.
— третий столбец матрицы
.
— четвертый столбец матрицы
.
. Ранг этой матрицы равен трем. Следовательно,
.
Пример 4. Найти образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора , где
, и оператор
действует по правилу
, где
.
Решение.
Стандартным базисом пространства служит система матриц
.
Найдем образ оператора
.
, где
— произвольное число (в силу произвольности чисел
). Следовательно,
— одномерная линейная оболочка с базисом
.
— ранг
,
— дефект
.
Найдем ядро оператора
. Нулевым элементом пространства
является нулевая матрица.
.
Общее решение полученной системы из одного уравнения с четырьмя неизвестными (если считать
свободными неизвестными) записать в виде
, где
.
— линейная оболочка с базисом
.
Вычислим теперь ранг оператора по матрице этого оператора. Матрицу
оператора
проще всего найти в базисе
пространства
.
— первый столбец матрицы
.
— второй столбец матрицы
.
— третий столбец матрицы
.
— четвертый столбец матрицы
.
.
Матрица получена из матрицы
так: ко 2-й строке матрицы
прибавили 3-ю строку.
Ранги матриц и
одинаковы.
.
___________________________________________________________________________
Домашнее задание.
1. Даны два линейных оператора , действующие в пространстве
.
— оператор поворота векторов плоскости
против часовой стрелки вокруг начала координат на угол
.
— оператор проектирования векторов плоскости
на прямую
.
Найти матрицы операторов в базисе
. Указать, какие из операторов
имеют обратный оператор?
2. Найти ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора
,
.
Допускает ли данный оператор обратный оператор ?
3. Найти ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора ,
действующего в линейном пространстве .