Как найти матрицу при умножении матриц

Нами были рассмотрены действия сложения, вычитания и умножения матриц на число. Еще одним действием над ними является умножение. Выполняется оно сложнее, а само правило может показаться немного странным. При его выполнении важно уметь определять размер матриц. Это понятие было рассмотрено в теме «Что такое матрица».

Онлайн-калькулятор

Как умножать матрицы

Приступим к рассмотрению умножения матриц.

Нам известно, что складывать и вычитать можно матрицы, которые имеют одинаковый размер. С умножением дела обстоят немного сложнее.

Какие матрицы можно умножать

Матрицу P можно умножить на матрицу K только в том случае, если число столбцов матрицы P равняется числу строк матрицы K. Матрицы, для которых данное условие не выполняется, умножать нельзя.

Пример 1

Определим, можно ли умножить матрицу

K=(15271810)K=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix} на матрицу L=(3516)L=begin{pmatrix}35\16end{pmatrix}.

Матрица KK состоит из 2 строк и 2 столбцов, а матрица LL — из 2 строк и 1 столбца. Число столбцов матрицы KK равно числу строк матрицы LL, значит, матрицу KK можно умножить на матрицу LL.

Пример 2

Переставим матрицы местами и определим, можно ли умножить матрицу

F=(3516)F=begin{pmatrix}35\16end{pmatrix} на матрицу C=(15271810)C=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix}.

Матрица FF состоит из 2 строк и 1 столбца, а матрица CC — из 2 строк и 2 столбцов. Число столбцов матрицы FF не равно числу строк матрицы CC, значит, матрицу FF нельзя умножить на матрицу CC.

Правило умножения матриц

Произведение матрицы AA размера m×nmtimes n и матрицы BB размера n×kntimes k — это матрица CC размера m×kmtimes k, в которой элемент cijc_{ij} равен сумме произведений элементов ii строки матрицы AA на соответствующие элементы jj столбца матрицы B:cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnjB: c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+…+a_{in}b_{nj}.

Умножение матриц осуществляется путем умножения строки на столбец. Находятся произведения первого элемента строки и первого элемента столбца, второго элемента строки и второго элемента столбца и т.д. Затем полученные произведения суммируются.

Алгоритм нахождения произведения матриц

1. определить размеры матриц;
2. если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то выполнять умножение.

Рассмотрим пример умножения матрицы

A=(a11a12a21a22a31a32a41a42)A=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}\a_{41}&a_{42}end{pmatrix}

на матрицу

B=(b11b12b13b21b22b23)B=begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}end{pmatrix}.

Матрица AA состоит из 4 строк и 2 столбцов, а матрица BB — из 2 строк и 3 столбцов. Число столбцов матрицы AA равно числу строк матрицы BB, значит, можно найти произведение C=A⋅BC=Acdot B. Причем матрица CC будет иметь размер 4×34times 3. Найдем элементы c12c_{12} (выделен красными стрелками) и c33c_{33} (выделен синими стрелками):

Для того чтобы найти элемент c12c_{12} нужно перемножать соответствующие элементы 1 строки матрицы AA и 2 столбца матрицы B:c12=a11⋅b12+a12⋅b22B: c_{12}=a_{11}cdot b_{12}+a_{12}cdot b_{22}. Для того чтобы найти элемент c33c_{33} нужно перемножать соответствующие элементы 3 строки матрицы AA и 3 столбца матрицы BB: c33=a31⋅b13+a32⋅b23c_{33}=a_{31}cdot b_{13}+a_{32}cdot b_{23}. Так находят все элементы.

Таким образом, матрица CC может быть найдена следующим образом:

A⋅B=(a11a12a21a22a31a32a41a42)⋅(b11b12b13b21b22b23)=Acdot B=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}\a_{41}&a_{42}end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}end{pmatrix}=

=(a11⋅b11+a12⋅b21a11⋅b12+a12⋅b22a11⋅b13+a12⋅b23a21⋅b11+a22⋅b21a21⋅b12+a22⋅b22a21⋅b13+a22⋅b23a31⋅b11+a32⋅b21a31⋅b12+a32⋅b22a31⋅b13+a32⋅b23a41⋅b11+a42⋅b21a41⋅b12+a42⋅b22a41⋅b13+a42⋅b23)=begin{pmatrix}a_{11}cdot b_{11}+a_{12}cdot b_{21}&a_{11}cdot b_{12}+a_{12}cdot b_{22}&a_{11}cdot b_{13}+a_{12}cdot b_{23}\a_{21}cdot b_{11}+a_{22}cdot b_{21}&a_{21}cdot b_{12}+a_{22}cdot b_{22}&a_{21}cdot b_{13}+a_{22}cdot b_{23}\a_{31}cdot b_{11}+a_{32}cdot b_{21}&a_{31}cdot b_{12}+a_{32}cdot b_{22}&a_{31}cdot b_{13}+a_{32}cdot b_{23}\a_{41}cdot b_{11}+a_{42}cdot b_{21}&a_{41}cdot b_{12}+a_{42}cdot b_{22}&a_{41}cdot b_{13}+a_{42}cdot b_{23}end{pmatrix}

Произведение B⋅ABcdot A нельзя найти, поскольку число столбцов матрицы BB неравно числу строк матрицы AA.

Пример 1

Найти произведение матрицы C=(15271810)C=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix} на матрицу F=(3516)F=begin{pmatrix}35\16end{pmatrix}.

Матрица CC имеет размер 2×22times 2, матрица FF имеет размер 2×12times 1, значит, размер матрицы произведения будет 2×12times 1.

C⋅F=(15271810)⋅(3516)=(15⋅35+27⋅1618⋅35+10⋅16)=(957790)Ccdot F=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}35\16end{pmatrix}=begin{pmatrix}15cdot 35+27cdot 16\18cdot 35+10cdot 16end{pmatrix}=begin{pmatrix}957\790end{pmatrix}.

Как отмечалось выше, произведение матриц F⋅CFcdot C невозможно.

Пример 2

Найти произведение матриц K⋅LKcdot L и L⋅KLcdot K, если K=(12171314)K=begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix} на матрицу L=(18111210)L=begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix}.

Матрица KK имеет размер 2×22times 2, матрица LL имеет размер 2×22times 2, значит, размер матрицы произведения будет 2×22times 2.

K⋅L=(12171314)⋅(18111210)=(12⋅18+17⋅1212⋅11+17⋅1013⋅18+14⋅1213⋅11+14⋅10)=(420302402283)Kcdot L=begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix}=begin{pmatrix}12cdot 18+17cdot 12&12cdot 11+17cdot 10\13cdot 18+14cdot 12&13cdot 11+14cdot 10end{pmatrix}=begin{pmatrix}420&302\402&283end{pmatrix}

Произведение L⋅KLcdot K существует и его размер — 2×22times 2.

L⋅K=(18111210)⋅(12171314)=(18⋅12+11⋅1318⋅17+11⋅1412⋅12+10⋅1312⋅17+10⋅14)=(359460274344)Lcdot K=begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix}=begin{pmatrix}18cdot 12+11cdot 13&18cdot 17+11cdot 14\12cdot 12+10cdot 13&12cdot 17+10cdot 14end{pmatrix}=begin{pmatrix}359&460\274&344end{pmatrix}

Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, т.е. оно некоммутативно: A⋅B≠B⋅AAcdot Bneq Bcdot A.

Так, для матриц K=(12171314)K=begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix} и L=(18111210)L=begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix} из рассмотренного примера K⋅L≠L⋅KKcdot L neq Lcdot K.

Перестановочные матрицы

Перестановочные, или коммутирующие, матрицы – матрицы, для которых выполняется равенство A⋅B=B⋅AAcdot B=Bcdot A. Они обязательно квадратные.

Пример 1

Проверить, являются ли перестановочными матрицы CC и DD, если C=(2342)C=begin{pmatrix}2&3\4&2end{pmatrix}, D=(3343)D=begin{pmatrix}3&3\4&3end{pmatrix}.

Найдем произведения этих матриц C⋅DCcdot D и D⋅CDcdot C.

C⋅D=(2342)⋅(3343)=(2⋅3+3⋅42⋅3+3⋅34⋅3+2⋅44⋅3+2⋅3)=(18152018)Ccdot D=begin{pmatrix}2&3\4&2end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}3&3\4&3end{pmatrix}=begin{pmatrix}2cdot 3+3cdot 4&2cdot 3+3cdot 3\4cdot 3+2cdot 4&4cdot 3+2cdot 3end{pmatrix}=begin{pmatrix}18&15\20&18end{pmatrix},

D⋅C=(3343)⋅(2342)=(3⋅2+3⋅43⋅3+3⋅24⋅2+3⋅44⋅3+3⋅2)=(18152018)Dcdot C=begin{pmatrix}3&3\4&3end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}2&3\4&2end{pmatrix}=begin{pmatrix}3cdot 2+3cdot 4&3cdot 3+3cdot 2\4cdot 2+3cdot 4&4cdot 3+3cdot 2end{pmatrix}=begin{pmatrix}18&15\20&18end{pmatrix}.

Таким образом, для заданных матриц выполняется равенство C⋅DCcdot D и D⋅CDcdot C, поэтому они являются перестановочными.

Пример 2

Проверить, являются ли перестановочными матрицы FF и HH, если F=(3421)F=begin{pmatrix}3&4\2&1end{pmatrix}, H=(0593)H=begin{pmatrix}0&5\9&3end{pmatrix}.

Найдем произведения этих матриц F⋅HFcdot H и H⋅FHcdot F.

F⋅H=(3421)⋅(0593)=(3⋅0+4⋅93⋅5+4⋅32⋅0+1⋅92⋅5+1⋅3)=(3627913)Fcdot H=begin{pmatrix}3&4\2&1end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}0&5\9&3end{pmatrix}=begin{pmatrix}3cdot 0+4cdot 9&3cdot 5+4cdot 3\2cdot 0+1cdot 9&2cdot 5+1cdot 3end{pmatrix}=begin{pmatrix}36&27\9&13end{pmatrix},

H⋅F=(0593)⋅(3421)=(0⋅3+5⋅20⋅4+5⋅19⋅3+3⋅29⋅4+3⋅1)=(1053339)Hcdot F=begin{pmatrix}0&5\9&3end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}3&4\2&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}0cdot 3+5cdot 2&0cdot 4+5cdot 1\9cdot 3+3cdot 2&9cdot 4+3cdot 1end{pmatrix}=begin{pmatrix}10&5\33&39end{pmatrix}.

Таким образом, для заданных матриц не выполняется равенство F⋅HFcdot H и H⋅FHcdot F, поэтому они не являются перестановочными.

Контрольные работы на заказ онлайн от практикующих исполнителей!

Умножение матриц

21 мая 2018

• Домашняя работа
• Ответы

Итак, в предыдущем уроке мы разобрали правила сложения и вычитания матриц. Это настолько простые операции, что большинство студентов понимают их буквально с ходу.

Однако вы рано радуетесь. Халява закончилась — переходим к умножению. Сразу предупрежу: умножить две матрицы — это вовсе не перемножить числа, стоящие в клеточках с одинаковыми координатами, как бы вы могли подумать. Тут всё намного веселее. И начать придётся с предварительных определений.

Согласованные матрицы

Одна из важнейших характеристик матрицы — это её размер. Мы уже сто раз говорили об этом: запись $A=left[ mtimes n right]$ означает, что в матрице ровно $m$ строк и $n$ столбцов. Как не путать строки со столбцами, мы тоже уже обсуждали. Сейчас важно другое.

Определение. Матрицы вида $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$, в которых количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.

Ещё раз: количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй! Отсюда получаем сразу два вывода:

1. Нам важен порядок матриц. Например, матрицы $A=left[ 3times 2 right]$ и $B=left[ 2times 5 right]$ являются согласованными (2 столбца в первой матрице и 2 строки во второй), а вот наоборот — матрицы $B=left[ 2times 5 right]$ и $A=left[ 3times 2 right]$ — уже не согласованы (5 столбцов в первой матрице — это как бы не 3 строки во второй).
2. Согласованность легко проверить, если выписать все размеры друг за другом. На примере из предыдущего пункта: «3 2 2 5» — посередине одинаковые числа, поэтому матрицы согласованы. А вот «2 5 3 2» — не согласованы, поскольку посередине разные числа.

Кроме того, капитан очевидность как бы намекает, что квадратные матрицы одинакового размера $left[ ntimes n right]$ согласованы всегда.

В математике, когда важен порядок перечисления объектов (например, в рассмотренном выше определении важен порядок матриц), часто говорят об упорядоченных парах. Мы встречались с ними ещё в школе: думаю, и ежу понятно, что координаты $left( 1;0 right)$ и $left( 0;1 right)$ задают разные точки на плоскости.

Так вот: координаты — это тоже упорядоченные пары, которые составляются из чисел. Но ничто не мешает составить такую пару из матриц. Тогда можно будет сказать: «Упорядоченная пара матриц $left( A;B right)$ является согласованной, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй».

Ну и что с того?

Определение умножения

Рассмотрим две согласованные матрицы: $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$. И определим для них операцию умножения.

Определение. Произведение двух согласованных матриц $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$ — это новая матрица $C=left[ mtimes k right]$, элементы которой считаются по формуле:

[begin{align} & {{c}_{i;j}}={{a}_{i;1}}cdot {{b}_{1;j}}+{{a}_{i;2}}cdot {{b}_{2;j}}+ldots +{{a}_{i;n}}cdot {{b}_{n;j}}= \ & =sumlimits_{t=1}^{n}{{{a}_{i;t}}cdot {{b}_{t;j}}} end{align}]

Обозначается такое произведение стандартно: $C=Acdot B$.

По-моему, тут всё очевидно. Дальше можно не читать. [на самом деле нет]

У тех, кто впервые видит это определение, сразу возникает два вопроса:

1. Что это за лютая дичь?
2. А почему так сложно?

Что ж, обо всём по порядку. Начнём с первого вопроса. Что означают все эти индексы? И как не ошибиться при работе с реальными матрицами?

Прежде всего заметим, что длинная строчка для расчёта ${{c}_{i;j}}$ (специально поставил точку с запятой между индексами, чтобы не запутаться, но вообще их ставить не надо — я сам задолбался набирать формулу в определении) на самом деле сводится к простому правилу:

1. Берём $i$-ю строку в первой матрице;
2. Берём $j$-й столбец во второй матрице;
3. Получаем две последовательности чисел. Перемножаем элементы этих последовательностей с одинаковыми номерами, а затем складываем полученные произведения.

Данный процесс легко понять по картинке:

Ещё раз: фиксируем строку $i$ в первой матрице, столбец $j$ во второй матрице, перемножаем элементы с одинаковыми номерами, а затем полученные произведения складываем — получаем ${{c}_{ij}}$. И так для всех $1le ile m$ и $1le jle k$. Т.е. всего будет $mtimes k$ таких «извращений».

На самом деле мы уже встречались с перемножением матриц в школьной программе, только в сильно урезанном виде. Пусть даны вектора:

[begin{align} & vec{a}=left( {{x}_{a}};{{y}_{a}};{{z}_{a}} right); \ & overrightarrow{b}=left( {{x}_{b}};{{y}_{b}};{{z}_{b}} right). \ end{align}]

Тогда их скалярным произведением будет именно сумма попарных произведений:

[overrightarrow{a}times overrightarrow{b}={{x}_{a}}cdot {{x}_{b}}+{{y}_{a}}cdot {{y}_{b}}+{{z}_{a}}cdot {{z}_{b}}]

По сути, в те далёкие годы, когда деревья были зеленее, а небо ярче, мы просто умножали вектор-строку $overrightarrow{a}$ на вектор-столбец $overrightarrow{b}$.

Сегодня ничего не поменялось. Просто теперь этих векторов-строк и столбцов стало больше.

Но хватит теории! Давайте посмотрим на реальные примеры. И начнём с самого простого случая — квадратных матриц.

Умножение квадратных матриц

Задача 1. Выполните умножение:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ -3 & 4 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \ 3 & 1 \end{array} right]]

Решение. Итак, у нас две матрицы: $A=left[ 2times 2 right]$ и $B=left[ 2times 2 right]$. Понятно, что они согласованы (квадратные матрицы одинакового размера всегда согласованы). Поэтому выполняем умножение:

[begin{align} & left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ -3 & 4 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \ 3 & 1 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1cdot left( -2 right)+2cdot 3 & 1cdot 4+2cdot 1 \ -3cdot left( -2 right)+4cdot 3 & -3cdot 4+4cdot 1 \end{array} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 4 & 6 \ 18 & -8 \end{array} right]. end{align}]

Вот и всё!

Ответ: $left[ begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \ 18 & -8 \end{array} right]$.

Задача 2. Выполните умножение:

[left[ begin{matrix} 1 & 3 \ 2 & 6 \end{matrix} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}}9 & 6 \ -3 & -2 \end{array} right]]

Решение. Опять согласованные матрицы, поэтому выполняем действия:[]

[begin{align} & left[ begin{matrix} 1 & 3 \ 2 & 6 \end{matrix} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 9 & 6 \ -3 & -2 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1cdot 9+3cdot left( -3 right) & 1cdot 6+3cdot left( -2 right) \ 2cdot 9+6cdot left( -3 right) & 2cdot 6+6cdot left( -2 right) \end{array} right]= \ & =left[ begin{matrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{matrix} right]. end{align}]

Как видим, получилась матрица, заполненная нулями

Ответ: $left[ begin{matrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{matrix} right]$.

Из приведённых примеров очевидно, что умножение матриц — не такая уж и сложная операция. По крайней мере для квадратных матриц размера 2 на 2.

В процессе вычислений мы составили промежуточную матрицу, где прямо расписали, какие числа входят в ту или иную ячейку. Именно так и следует делать при решении настоящих задач.

Основные свойства матричного произведения

В двух словах. Умножение матриц:

1. Некоммутативно: $Acdot Bne Bcdot A$ в общем случае. Бывают, конечно, особые матрицы, для которых равенство $Acdot B=Bcdot A$ (например, если $B=E$ — единичной матрице), но в абсолютном большинстве случаев это не работает;
2. Ассоциативно: $left( Acdot B right)cdot C=Acdot left( Bcdot C right)$. Тут без вариантов: стоящие рядом матрицы можно перемножать, не переживая за то, что стоит левее и правее этих двух матриц.
3. Дистрибутивно: $Acdot left( B+C right)=Acdot B+Acdot C$ и $left( A+B right)cdot C=Acdot C+Bcdot C$ (в силу некоммутативности произведения приходится отдельно прописывать дистрибутивность справа и слева.

А теперь — всё то же самое, но более подробно.

Умножение матриц во многом напоминает классическое умножение чисел. Но есть отличия, важнейшее из которых состоит в том, что умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно.

Рассмотрим ещё раз матрицы из задачи 1. Прямое их произведение мы уже знаем:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ -3 & 4 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \ 3 & 1 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \ 18 & -8 \end{array} right]]

Но если поменять матрицы местами, то получим совсем другой результат:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \ 3 & 1 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ -3 & 4 \end{array} right]=left[ begin{matrix} -14 & 4 \ 0 & 10 \end{matrix} right]]

Получается, что $Acdot Bne Bcdot A$. Кроме того, операция умножения определена только для согласованных матриц $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$, но никто не гарантировал, что они останутся согласованными, если их поменять местами. Например, матрицы $left[ 2times 3 right]$ и $left[ 3times 5 right]$ вполне себе согласованы в указанном порядке, но те же матрицы $left[ 3times 5 right]$ и $left[ 2times 3 right]$, записанные в обратном порядке, уже не согласованы. Печаль.:(

Среди квадратных матриц заданного размера $n$ всегда найдутся такие, которые дают одинаковый результат как при перемножении в прямом, так и в обратном порядке. Как описать все подобные матрицы (и сколько их вообще) — тема для отдельного урока. Сегодня не будем об этом.:)

Тем не менее, умножение матриц ассоциативно:

[left( Acdot B right)cdot C=Acdot left( Bcdot C right)]

Следовательно, когда вам надо перемножить сразу несколько матриц подряд, совсем необязательно делать это напролом: вполне возможно, что некоторые рядом стоящие матрицы при перемножении дают интересный результат. Например, нулевую матрицу, как в Задаче 2, рассмотренной выше.

В реальных задачах чаще всего приходится перемножать квадратные матрицы размера $left[ ntimes n right]$. Множество всех таких матриц обозначается ${{M}^{n}}$ (т.е. записи $A=left[ ntimes n right]$ и [Ain {{M}^{n}}] означают одно и то же), и в нём обязательно найдётся матрица $E$, которую называют единичной.

Определение. Единичная матрица размера $n$ — это такая матрица $E$, что для любой квадратной матрицы $A=left[ ntimes n right]$ выполняется равенство:

[Acdot E=Ecdot A=A]

Такая матрица всегда выглядит одинаково: на главной диагонали её стоят единицы, а во всех остальных клетках — нули.

Идём далее. Помимо ассоциативности умножение матриц ещё и дистрибутивно:

[begin{align} & Acdot left( B+C right)=Acdot B+Acdot C; \ & left( A+B right)cdot C=Acdot C+Bcdot C. \ end{align}]

Другими словами, если нужно умножить одну матрицу на сумму двух других, то можно умножить её на каждую из этих «двух других», а затем результаты сложить. На практике обычно приходится выполнять обратную операцию: замечаем одинаковую матрицу, выносим её за скобку, выполняем сложение и тем самым упрощаем себе жизнь.:)

Заметьте: для описания дистрибутивности нам пришлось прописать две формулы: где сумма стоит во втором множителе и где сумма стоит в первом. Это происходит как раз из-за того, что умножение матриц некоммутативно (и вообще, в некоммутативной алгебре куча всяких приколов, которые при работе с обычными числами даже не приходят в голову). И если, допустим, вам на экзамене нужно будет расписать это свойство, то обязательно пишите обе формулы, иначе препод может немного разозлиться.

Ладно, всё это были сказки о квадратных матрицах. А что насчёт прямоугольных?

Случай прямоугольных матриц

А ничего — всё то же самое, что и с квадратными.

Задача 3. Выполните умножение:

[left[ begin{matrix} begin{matrix} 5 \ 2 \ 3 \end{matrix} & begin{matrix} 4 \ 5 \ 1 \end{matrix} \end{matrix} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \ 3 & 4 \end{array} right]]

Решение. Имеем две матрицы: $A=left[ 3times 2 right]$ и $B=left[ 2times 2 right]$. Выпишем числа, обозначающие размеры, в ряд:

[3; 2; 2; 2]

Как видим, центральные два числа совпадают. Значит, матрицы согласованы, и их можно перемножить. Причём на выходе мы получим матрицу $C=left[ 3times 2 right]$:

[begin{align} & left[ begin{matrix} begin{matrix} 5 \ 2 \ 3 \end{matrix} & begin{matrix} 4 \ 5 \ 1 \end{matrix} \end{matrix} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \ 3 & 4 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}} 5cdot left( -2 right)+4cdot 3 & 5cdot 5+4cdot 4 \ 2cdot left( -2 right)+5cdot 3 & 2cdot 5+5cdot 4 \ 3cdot left( -2 right)+1cdot 3 & 3cdot 5+1cdot 4 \end{array} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & 41 \ 11 & 30 \ -3 & 19 \end{array} right]. end{align}]

Всё чётко: в итоговой матрице 3 строки и 2 столбца. Вполне себе $=left[ 3times 2 right]$.

Ответ: $left[ begin{array}{*{35}{r}} begin{array}{*{35}{r}} 2 \ 11 \ -3 \end{array} & begin{matrix} 41 \ 30 \ 19 \end{matrix} \end{array} right]$.

Сейчас рассмотрим одно из лучших тренировочных заданий для тех, кто только начинает работать с матрицами. В нём нужно не просто перемножить какие-то две таблички, а сначала определить: допустимо ли такое умножение?

Рекомендую после прочтения задания не смотреть в решение, а сначала попробовать выполнить его самостоятельно. И затем сравнить с ответами.

Задача 4. Найдите все возможные попарные произведения матриц:

[A=left[ begin{array}{*{35}{r}} begin{matrix} 1 \ 1 \end{matrix} & begin{array}{*{35}{r}} -1 \ 1 \end{array} & begin{matrix} 2 \ 2 \end{matrix} & begin{array}{*{35}{r}} -2 \ 2 \end{array} \end{array} right]]; $B=left[ begin{matrix} begin{matrix} 0 \ 2 \ 0 \ 4 \end{matrix} & begin{matrix} 1 \ 0 \ 3 \ 0 \end{matrix} \end{matrix} right]$; $C=left[ begin{matrix}0 & 1 \ 1 & 0 \end{matrix} right]$.

Решение. Для начала запишем размеры матриц:

[A=left[ 2times 4 right]; B=left[ 4times 2 right]; C=left[ 2times 2 right]]

Получаем, что матрицу $A$ можно согласовать лишь с матрицей $B$, поскольку количество столбцов у $A$ равно 4, а такое количество строк только у $B$. Следовательно, можем найти произведение:

[Acdot B=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 & -2 \ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 0 & 1 \ 2 & 0 \ 0 & 3 \ 4 & 0 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}}-10 & 7 \ 10 & 7 \end{array} right]]

Промежуточные шаги предлагаю выполнить читателю самостоятельно. Замечу лишь, что размер результирующей матрицы лучше определять заранее, ещё до каких-либо вычислений:

[A cdot B=left[ 2times 4 right]cdot left[ 4times 2 right]=left[ 2times 2 right]]

Другими словами, мы просто убираем «транзитные» коэффициенты, которые обеспечивали согласованность матриц.

Какие ещё возможны варианты? Безусловно, можно найти $Bcdot A$, поскольку $B=left[ 4times 2 right]$, $A=left[ 2times 4 right]$, поэтому упорядоченная пара $left( B;A right)$ является согласованной, а размерность произведения будет:

[B cdot A=left[ 4times 2 right]cdot left[ 2times 4 right]=left[ 4times 4 right]]

Короче говоря, на выходе будет матрица $left[ 4times 4 right]$, коэффициенты которой легко считаются:

[Bcdot A=left[ begin{array}{*{35}{r}} 0 & 1 \ 2 & 0 \ 0 & 3 \ 4 & 0 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 & -2 \ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}}1 & 1 & 2 & 2 \ 2 & -2 & 4 & -4 \ 3 & 3 & 6 & 6 \ 4 & -4 & 8 & -8 \end{array} right]]

Очевидно, можно согласовать ещё $Ccdot A$ и $Bcdot C$ — и всё. Поэтому просто запишем полученные произведения:

[Ccdot A=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \ 1 & -1 & 2 & -2 \end{array} right]]

[Bcdot C=left[ begin{array}{*{35}{r}}1 & 0 \ 0 & 2 \ 3 & 0 \ 0 & 4 \end{array} right]]

Это было легко.:)

Ответ: $AB=left[ begin{array}{*{35}{r}} -10 & 7 \ 10 & 7 \end{array} right]$; $BA=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \ 2 & -2 & 4 & -4 \ 3 & 3 & 6 & 6 \ 4 & -4 & 8 & -8 \end{array} right]$; $CA=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \ 1 & -1 & 2 & -2 \end{array} right]$; $BC=left[ begin{array}{*{35}{r}}1 & 0 \ 0 & 2 \ 3 & 0 \ 0 & 4 \end{array} right]$.

Вообще, очень рекомендую выполнить это задание самостоятельно. И ещё одно аналогичное задание, которое есть в домашней работе. Эти простые на первый взгляд размышления помогут вам отработать все ключевые этапы умножения матриц.

Но на этом история не заканчивается. Переходим к частным случаям умножения.:)

Вектор-строки и вектор-столбцы

Одной из самых распространённых матричных операций является умножение на матрицу, в которой одна строка или один столбец.

Определение. Вектор-столбец — это матрица размера $left[ mtimes 1 right]$, т.е. состоящая из нескольких строк и только одного столбца.

Вектор-строка — это матрица размера $left[ 1times n right]$, т.е. состоящая из одной строки и нескольких столбцов.

На самом деле мы уже встречались с этими объектами. Например, обычный трёхмерный вектор из стереометрии $overrightarrow{a}=left( x;y;z right)$ — это не что иное как вектор-строка. С точки зрения теории разницы между строками и столбцами почти нет. Внимательными надо быть разве что при согласовании с окружающими матрицами-множителями.

Задача 5. Выполните умножение:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \ 4 & 2 & 0 \ -1 & 1 & 1 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 \ 2 \ -1 \end{array} right]]

Решение. Перед нами произведение согласованных матриц: $left[ 3times 3 right]cdot left[ 3times 1 right]=left[ 3times 1 right]$. Найдём это произведение:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \ 4 & 2 & 0 \ -1 & 1 & 1 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 \ 2 \ -1 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}} 2cdot 1+left( -1 right)cdot 2+3cdot left( -1 right) \ 4cdot 1+2cdot 2+0cdot 2 \ -1cdot 1+1cdot 2+1cdot left( -1 right) \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}} -3 \ 8 \ 0 \end{array} right]]

Ответ: $left[ begin{array}{*{35}{r}}-3 \ 8 \ 0 \end{array} right]$.

Задача 6. Выполните умножение:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \ 4 & -1 & 3 \ 2 & 6 & 0 \end{array} right]]

Решение. Опять всё согласовано: $left[ 1times 3 right]cdot left[ 3times 3 right]=left[ 1times 3 right]$. Считаем произведение:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \end{array} right]cdot left[ begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \ 4 & -1 & 3 \ 2 & 6 & 0 \end{array} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}}5 & -19 & 5 \end{array} right]]

На самом деле мне было в лом считать все эти три числа — посчитайте сами. А я просто запишу ответ.:)

Ответ: $left[ begin{matrix} 5 & -19 & 5 \end{matrix} right]$.

Как видите, при умножении вектор-строки и вектор-столбца на квадратную матрицу на выходе мы всегда получаем строку или столбец того же размера. Этот факт имеет множество приложений — от решения линейных уравнений до всевозможных преобразований координат (которые в итоге тоже сводятся к системам уравнений, но давайте не будем о грустном).

Думаю, здесь всё было очевидно. Переходим к заключительной части сегодняшнего урока.

Возведение матрицы в степень

Среди всех операций умножения отдельного внимания заслуживает возведение в степень — это когда мы несколько раз умножаем один и тот же объект на самого себя. Матрицы — не исключение, их тоже можно возводить в различные степени.

Такие произведения всегда согласованы:

[Acdot A=left[ ntimes n right]cdot left[ ntimes n right]=left[ ntimes n right]]

И обозначаются точно так же, как и обычные степени:

[begin{align} & Acdot A={{A}^{2}}; \ & Acdot Acdot A={{A}^{3}}; \ & underbrace{Acdot Acdot ldots cdot A}_{n}={{A}^{n}}. \ end{align}]

На первый взгляд, всё просто. Посмотрим, как это выглядит на практике:

Задача 7. Возведите матрицу в указанную степень:

${{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}$

Решение. Ну ОК, давайте возводить. Сначала возведём в квадрат:

[begin{align} & {{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{2}}=left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]cdot left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 1cdot 1+1cdot 0 & 1cdot 1+1cdot 1 \ 0cdot 1+1cdot 0 & 0cdot 1+1cdot 1 \end{array} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{array} right] end{align}]

[begin{align} & {{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}={{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}cdot left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{array} right]cdot left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{array} right] end{align}]

Вот и всё.:)

Ответ: $left[ begin{matrix}1 & 3 \ 0 & 1 \end{matrix} right]$.

Задача 8. Возведите матрицу в указанную степень:

[{{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{10}}]

Решение. Вот только не надо сейчас плакать по поводу того, что «степень слишком большая», «мир не справедлив» и «преподы совсем берега потеряли». На самом деле всё легко:

[begin{align} & {{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{10}}={{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}cdot {{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}cdot {{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{3}}cdot left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]= \ & =left( left[ begin{matrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{matrix} right]cdot left[ begin{matrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{matrix} right] right)cdot left( left[ begin{matrix} 1 & 3 \ 0 & 1 \end{matrix} right]cdot left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right] right)= \ & =left[ begin{matrix} 1 & 6 \ 0 & 1 \end{matrix} right]cdot left[ begin{matrix} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{matrix} 1 & 10 \ 0 & 1 \end{matrix} right] end{align}]

Заметьте: во второй строчке мы использовали ассоциативность умножения. Собственно, мы использовали её и в предыдущем задании, но там это было неявно.

Ответ: $left[ begin{matrix} 1 & 10 \ 0 & 1 \end{matrix} right]$.

Как видите, ничего сложного в возведении матрицы в степень нет. Последний пример можно обобщить:

[{{left[ begin{matrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{matrix} right]}^{n}}=left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & n \ 0 & 1 \end{array} right]]

Этот факт легко доказать через математическую индукцию или прямым перемножением. Однако далеко не всегда при возведении в степень можно выловить подобные закономерности. Поэтому будьте внимательны: зачастую перемножить несколько матриц «напролом» оказывается проще и быстрее, нежели искать какие-то там закономерности.

В общем, не ищите высший смысл там, где его нет. В заключение рассмотрим возведение в степень матрицы большего размера — аж $left[ 3times 3 right]$.

Задача 9. Возведите матрицу в указанную степень:

[{{left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]}^{3}}]

Решение. Не будем искать закономерности. Работаем «напролом»:

[{{left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]}^{3}}={{left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]}^{2}}cdot left[ begin{matrix}0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]]

Для начала возведём эту матрицу в квадрат:

[begin{align} & {{left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]}^{2}}=left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]cdot left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2 \end{array} right] end{align}]

Теперь возведём в куб:

[begin{align} & {{left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]}^{3}}=left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2 \end{array} right]cdot left[ begin{matrix} 0 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \end{matrix} right]= \ & =left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & 3 & 3 \ 3 & 2 & 3 \ 3 & 3 & 2 \end{array} right] end{align}]

Вот и всё. Задача решена.

Ответ: $left[ begin{matrix} 2 & 3 & 3 \ 3 & 2 & 3 \ 3 & 3 & 2 \end{matrix} right]$.

Как видите, объём вычислений стал больше, но смысл от этого нисколько не поменялся.:)

На этом урок можно заканчивать. В следующий раз мы рассмотрим обратную операцию: по имеющемуся произведению будем искать исходные множители.

Как вы уже, наверное, догадались, речь пойдёт об обратной матрице и методах её нахождения.

Смотрите также:

1. Определитель
2. Обратная матрица
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
5. Координаты вершин правильного тетраэдра
6. Нестандартная задача B5 на площадь круга

Мы помним, что матрицы – это таблицы взаимосвязанных элементов, которые позволяют упростить математические вычисления и систематизировать определённую информацию. Их можно складывать, вычитать, умножать между собой. В этой статье подробнее остановимся на последнем алгоритме – матричном произведении.

Умножение матриц — определение

Матричное умножение – это одна из основных операций, которая проводится исключительно с согласованными матрицами.

При произведении матриц A и B получается новая матрица C. В математическом виде формула будет выглядеть так:

Но для начала разберёмся, что такое согласованные матрицы.

Согласованные матрицы

Согласованными матрицами называют матрицы вида A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k], где количество столбцов А равно количеству строк В.

Индексы показывают координаты равных элементов.

Для того, чтобы умножить А и В, нужно взять строку в первой матрице и столбец во второй, перемножить одинаковые элементы и сложить полученные произведения.

Основные свойства матричного произведения

Размеры, то есть количество строк (m) и столбцов (n), влияют на особенности матричного произведения. Следовательно, для двух главных видов – квадратных и прямоугольных – действуют разные свойства произведения. Однако умножение любого вида всегда некоммуникативное. Это означает, что матрицы нельзя менять местами (АВ ≠ ВА).

Умножение квадратных матриц

Для квадратных матриц существует единичная матрица Е. В ней элементы по главной диагонали равны единице, а оставшиеся – нулю. Произведение любой квадратной матрицы на неё не влияет на результат.

В математическом виде это выглядит так: ЕА = АЕ = А

Также существует обратная матрица А (-1), при умножении на которую исходная A = [m ☓ n] даёт в результате единичную матрицу E.

Следовательно, формула такова: АА(-1) = Е

Умножение прямоугольных матриц

Существуют четыре основных свойства умножения:

1. Сочетательное свойство, или ассоциативность: (AB)C = A(BC)
2. Распределительное свойство, или дистрибутивность: А(В+С) = АВ + АС / (А+В)С = АС + ВС
3. Умножение на единичную матрицу: ЕА = А
4. Умножение на нулевую матрицу: 0А = 0

Напомним, что у нулевой матрицы все элементы равны нулю.

Произведение трех матриц

Произведение АВС можно получить двумя альтернативными способами:

1. Найти АВ и умножить на С
2. Найти ВС и умножить на А

(АВ) С = А (ВС)

Данное свойство называется ассоциативностью матричного умножения и действует на все виды согласованных матриц. Сами они не переставляются, меняется только порядок их умножения.

Умножение матрицы на число

Для умножения на число необходимо умножить каждый матричный элемент на это число:

Дроби вносить не нужно, поскольку они могут затруднить дальнейшие операции.

Умножение матрицы на вектор

Здесь работает правило «строка на столбец».

При умножении на вектор-столбец важно, чтобы количество столбцов в матрице совпадало с количеством строк в векторе-столбце. Результатом произведения будет вектор-столбец.

При умножении на вектор-строку матрица должна быть только вектором-столбцом. Важно, чтобы количество строк в векторе-столбце совпадало с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом произведения будет квадратная матрица.

Примеры задач на умножение матриц

Задача №1: выполнить умножение и найти С, если A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k] равны.

Решение: 

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 4·3 + 2·(-3) = 12 — 6 = 6

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Ответ: 

Задача №2: вычислить С, если А = [m ☓ n] и вектор-столбец В равны.

Решение: 

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·1 + (-1)·2 + 3·(-1) = -3

c21 = a11·b12 + a12·b22 = 4⋅1 + 2⋅2 + 0⋅2 = 8

c31 = a21·b11 + a22·b21 = −1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅(−1) = 0

Ответ:

Изучение матричных операций очень увлекательное, но сложное занятие. Если у вас нет времени на учёбу, ФениксХэлп может помочь в решении контрольных и самостоятельных работ, написании статей и диссертаций.

Как умножить матрицу на матрицу и как умножить матрицу на число — обсуждаем на примерах с решением и объяснением. Произведение матрицы на число и произведение матрицы на матрицу просто и на примерах.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется такая матрица , каждый элемент которой равен , то есть, если

,

то

.

Рассмотрим умножение матрицы на число на примере:

Пример 1

Умножьте матрицу на число .

Решение: Чтобы умножить матрицу на число 2, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы. Итак, получим:

.

Пример 2

Найдите матрицу, противоположную матрицу .

Решение: Чтобы найти противоположную матрицу надо умножить исходную матрицу на .

.

Пример 3

Даны матрицы и . Вычислите .

Решение:

.

Умножение матрицы на матрицу

Чтобы умножить матрицу на матрицу необходимо умножать последовательно каждый элемент каждой строки первой матрицы на каждый элемент каждого столбца второй матрицы и сумму этих произведений записать в соответствующем элементе матрицы-произведения.

Давайте рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примере. Пусть нам нужно умножить две квадратные матрицы и .

,

Умножением матрицы на матрицу называется матрица:

.

Таким образом, получаем:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Рассмотрим умножение матрицы на матрицу на примерах.

Пример 1

Найдите произведение матриц:

 и .

Решение:

Находим произведение матриц .

Таким образом, для прямоугольных матриц правило умножения матрицы на матрицу такое же, как и для квадратных матриц.

Пример 2

Найдите произведение AB, если

, .

Решение:

.

Мы смогли найти произведение AB, однако, мы не сможем найти произведение BA.

Правила умножения матриц

Не все матрицы можно перемножать, для того, чтобы произведение матриц было возможным, необходимо соблюдение следующих правил:

Умножение матрицы A на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

В результате умножения двух прямоугольных матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

Рассмотрим умножение двух матриц и . Найдем произведение и произведение , а затем сравним эти произведения.

;

.

Очевидно, что . Таким образом, для произведения матриц переместительный закон не выполняется. Однако, два других закона умножения, сочетательный закон и распределительный закон выполняются:

 — сочетательный закон умножения,

 — распределительный закон.

Из школьного курса математики известно, что произведение двух отличных от нуля чисел равно отличному от нуля числу. Однако при умножении двух ненулевых матриц можно получить нулевую матрицу, смотрите:

Возьмем две матрицы и . Найдем произведение этих матриц:

Вот такими удивительными свойствами обладает умножение матриц.

Читайте еще статьи про матрицы:

Умножение матриц.

Определение.

Результатом умножения матриц A_m×n и B_n×k будет матрица C_m×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (c_ij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j + … + a_in · b_nj

Замечание.

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Свойства умножения матриц

• (A · B) · C= A · (B · C) — произведение матриц ассоциативно;
• (z · A) · B= z · (A · B), где z — число;
• A · (B + C) = A · B + A · C — произведение матриц дистрибутивно;
• E_n · A_nm = A_nm · E_m= A_nm — умножение на единичную матрицу;
• A · B ≠ B · A — в общем случае произведение матриц не коммутативно.
• Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Примеры задач на умножение матриц

Пример 1.

Найти матрицу C равную произведению матриц A =

42
90

и
B =

31
-34

Решение:

С = A · B =

42
90

·

31
-34

=

612
279

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 4·3 + 2·(-3) = 12 — 6 = 6

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Пример 2

Найти матрицу C равную произведению матриц A =

21
-30
4-1

и
B =

5-16
-307
.

Решение:

C = A · B =

21
-30
4-1

·

5-16
-307

=

7-219
-153-18
23-417

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 2·5 + 1·(-3) = 10 — 3 = 7

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c₁₃ = a₁₁·b₁₃ + a₁₂·b₂₃ = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c₂₃ = a₂₁·b₁₃ + a₂₂·b₂₃ = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c₃₁ = a₃₁·b₁₁ + a₃₂·b₂₁ = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c₃₂ = a₃₁·b₁₂ + a₃₂·b₂₂ = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c₃₃ = a₃₁·b₁₃ + a₃₂·b₂₃ = 4·6 + (-1)·7 = 24 — 7 = 17