Как найти матрицу проектирования на плоскость

Обозначим через {e1,e2 ,e3} и {u1,u2} канонические базисы пространств R3 и R2 соответственно. Тогда

Отсюда находим матрицы перехода от канонических базисов

{e1,e2 ,e3} и {u1, u2} к новым базисам {a1,a2 ,a3}, {b1,b2} :

Задача 253. Доказать, что проектирование вектора на плоскость есть линейное отображение.

Решение. Пусть V3 – пространство векторов как на-

правленных отрезков и σ – произвольная плоскость. Введем понятие проекции вектора на плоскость.

Определение. Пусть AB – произвольный вектор и A′, B′ –

проекции на плоскость σ точек А и В. Тогда вектор A′B′ 41

называется проекцией вектора AB на плоскость σ и обо-

значается прσ AB .

В

А

σ

A′

B′

Рис. 1.

Итак, по определению, прσ AB = A′B′. Можно доказать, что

при параллельном переносе вектора AB его проекция на плоскость σ не изменится, поэтому мы можем обозначить

AB = a и прσ AB = прσ a .

Обозначим через Vσ – векторное пространство векто-

ров, как направленных отрезков, лежащих на плоскости σ или параллельных ей, и устроим отображение

f : V3 → Vσ

по правилу: a V3 положим по определению f (a) = прσ a .

Теорема. Отображение проектирования вектора на плоскость является линейным отображением, т.е.

a, b V3 , λR выполняются равенства:

прσ (a + b) = прσ a +прσ b и прσ (λa) = λпрσ a . Доказательство. Теорему можно доказать, используя чисто геометрические средства и методы, но мы докажем

42

ее с помощью метода координат, опираясь на то, что свойство линейности не зависит от выбора базиса.

Введем в пространстве прямоугольную декартовую систему координат Охуz так, чтобы плоскость σ совпала с координатной плоскостью Оху. Тогда проекция вектора на плоскость σ будет совпадать с его проекцией на коорди-

натную плоскость Оху: прσ a = прOxy a .

Пусть i, j,k – орты координатных осей Ох, Оу и Oz со-

ответственно. Разложим вектор a по базису {i, j,k}. z

zk

a = xi + yj + zk

Рис. 2.

Пусть a = xi + yj + zk . Тогда, как легко видеть из рисунка 2,

прOxy a = xi + yj.

Так как вектор однозначно определяется своими координатами, мы можем отождествить вектор с упорядоченным набором его координат. Теперь, отображение проектирования вектора на данную плоскость можно определить как отображение пространства столбцов высоты 3 в пространство столбцов высоты 2:

прxy : R3 → R2 ,

задаваемое правилом:

43

Легко видеть, что это отображение задается умножением

Следовательно, матрица Р и есть искомая матрица отображения проектирования на плоскость Оху относительно ба-

зиса {i, j,k} пространства векторов и базиса {i, j} пространства векторов координатной плоскости Оху.

динатную плоскость Оху.

Замечание. Отображение проектирования вектора на плоскость можно рассматривать как линейный оператор

прσ : V3 → V3 .

В частности, проекция вектора координатного пространства на координатную плоскость Оху прxy : R3 → R3 можно

Задача 255. Доказать, что симметрия вектора координатного пространства относительно одной из координатных плоскостей есть линейный оператор, и найти его матрицу.

Решение. Пусть Oxyz координатное пространство с ортонормированным базисом {i, j,k}. Устроим отображение

Рис. 3.

Отождествляя вектор со столбцом его координат, можно отображение симметрии Sxy задать как отображение

46

Замечание. Матрицу симметрии S относительно координатной плоскости Оху можно найти, используя определение матрицы линейного оператора. Найдем векторы

Sxy (i), Sxy (j), Sxy (k) и разложим их по базису { i, j,k}. Их координаты будут столбцами искомой матрицы:

Sxy (i) = i =1 i +0 j +0 k , Sxy (j) = j = 0 i +1 j +0 k ,

Sxy (k) = −k = 0 i +0 j −1 k .

Задача 256. Найдите матрицу оператора симметрии координатного пространства относительно плоскости, проходящей через одну из координатных осей.

Решение. Пусть Sσ : V3 → V3 есть оператор симметрии относительно плоскости σ: y −z = 0 .

z

z = y

k

у

j

i

хσ

Рис. 4.

Нетрудно видеть, что при симметрии относительно данной плоскости σ, вектор i остается на месте, а векторы j и k переходят друг в друга: Sσ (i) =1 i +0 j +0 k ,

Sσ ( j) = 0 i +0 j +1 k , Sσ (k) = 0 i +1 j +0 k . 48

Задача 257. Найдите матрицу оператора проектирования вектора координатного пространства на плоскость, проходящую через одну из координатных осей.

Решение. Пусть Pσ : V3 → V3 есть оператор проектирования на плоскость σ: y −z = 0 . Воспользуемся рисунком 4. Ясно, что при проектировании на данную плоскость, вектор i остается на месте, а векторы j и k проектируются на прямую y = z в плоскости Oyz:

z

k

прσ j = прσ k

у

j

Рис. 5.

Легко видеть, что прσ j = прσ k = 12 (j + k) . Таким образом,

столбцам, получаем матрицу проектирования на данную плоскость.

49

Задача 258. Найдите матрицу оператора проектирования вектора координатной плоскости на прямую, проходящую через начало координат.

Решение. Пусть в ПДСК Oxy дано каноническое уравнение прямой, проходящей через начало координат

L : mx = ny .

Пусть so = (cos α,cosβ) есть единичный направляющий вектор данной прямой. Находим проекции базисных векто-

ров i, j на данную прямую:

прs i = i so = cos α, прs j = j so = cosβ.

уβ

j so

α

х

i

Рис. 6.

Обозначим оператор проектирования на данную прямую через PL : V2 → V2 . Тогда

50

PL (i) = (cos α) so = (cos2 α,cosα cosβ) ,

PL (j) = (cosβ) so = (cosβ cos α,cos2 β) .

Координаты этих векторов образуют столбцы матрицы оператора PL :

Задача 259. Найдите матрицу оператора проектирования вектора координатного пространства на прямую, проходящую через начало координат.

Решение. Пусть в ПДСК Oxyz дано уравнение прямой, проходящей через начало координат:

L : mx = ny = pz .

Пусть, далее, (cos α,cosβ,cos γ) – направляющие косинусы направляющего вектора прямой s = (m,n,p) . Тогда вектор

so = (cos α,cosβ,cos γ) – единичный направляющий вектор данной прямой. Находим проекции базисных векторов

i, j,k на данную прямую:

прs i = i so = cos α, прs j = j so = cosβ, прs k = k so = cos γ .

Обозначим оператор проектирования на данную прямую через PL : V3 → V3 . Тогда

Координаты этих векторов образуют столбцы матрицы оператора PL .

51

Задача 260. Доказать, что дифференцирование многочленов есть линейное отображение, и найти его матрицу, если степени многочленов не превышают числа n.

Решение. Пусть Kn [x] – векторное пространство мно-

гочленов над полем K, степень которых не превышает натурального числа n. Легко видеть, что система многочле-

нов {1, x, x2 ,…, xn } является базисом пространства Kn [x] , так что dim Kn [x] = n +1 . Устроим отображение

D : Kn [x] → Kn−1[x]

по правилу:

f (x) = ao +a1x +a2 x2 +…+an xn Kn

положим по определению

D(f (x)) = a1 + 2a2 x +… + nan xn−1 Kn−1[x] .

Отображение D называется отображением дифференцирования.

В силу свойств дифференцирования, для любых многочленов f(x) и g(x), и для любого скаляра λ выполняются равенства:

D(f +g) = D(f ) + D(g) и D(λf ) = λD(f ) ,

из которых следует, что отображение D является линейным. Заметим, впрочем, что эти равенства можно проверить непосредственно, пользуясь нашим определением отображения дифференцирования.

Найдем матрицу отображения D относительно базисов

{1, x, x2 ,…, xn } пространства Kn [x] и {1, x, x2 ,…, xn−1} про-

странства Kn−1[x]. С этой целью, продифференцируем ба52

Замечание 1. Из геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что комплексное число можно отождествить с вектором плоскости. Умножение комплексного числа на мнимую единицу приводит к повороту

вектора на 90o против часовой стрелки. Действительно, запишем произвольное комплексное число в тригонометрической форме записи:

z =| z | (cos α+isin α) ,

где α = arg z . Тогда

Мы видим, что аргумент комплексного числа после умножения на мнимую единицу увеличивается на π/ 2 , модуль остается прежним. Следовательно, оператор умножения на мнимую единицу есть оператор поворота соответствующе-

го вектора на 90o против часовой стрелки.

Результаты примера говорят о том, что матрица поворо-

та на 90o остается неизменной при переходе к новому базису, полученного поворотом старого базиса на произвольный угол ϕ. Можно доказать, что при этом останется не-

изменной и матрица умножения на любое фиксированное комплексное число zo = a + bi . См. следующее замечание.

Замечание 2. Заметим, что умножение комплексного числа z на комплексное число zo = a + bi приводит к повороту

соответствующего вектора z на угол α, где α = arg zo и растяжению (сжатию) его в | zo | раз. Действительно, пусть z =| z | (cos ϕ+isin ϕ) – тригонометрическая форма записи

57

комплексного числа z, а zo =| zo | (cos α+isin α) – тригонометрическая форма записи комплексного числа zo = a + bi ,

где a =| zo | cos α, b =| zo | sin α . Тогда

z zo =| z | | zo | (cos(ϕ+α) +isin(ϕ+α)) .

Таким образом, матрицу умножения на комплексное число zo можно записать в виде

Произведение матриц поворота геометрически можно интерпретировать так, что сначала вектор z поворачивается на угол ϕ, затем на угол α, затем на угол ( −ϕ) и затем из-

меняется его модуль. В результате мы получаем, что вектор поворачивается на угол α с последующим изменением его модуля.

Задача 262. Докажите, что отображение, которое каждому комплексному числу ставит в соответствие комплексно сопряженное ему число есть линейный оператор. Найдите его матрицу относительно естественного базиса пространства комплексных чисел.

Решение. Пусть отображение f : C → C устроено по

правилу: z = x +iy C , f (z) z = x −iy .

Докажем линейность этого отображения. 58

1) Пусть z1 = x1 +iy1, z2 = x2 +iy2 – два произвольных

комплексных числа. Тогда

z1 +z2 = (x1 +x2 ) +i(y1 + y2 ) ,

f (z1 +z2 ) = (x1 + x2 ) +i (y1 + y2 ) = (x1 + x2 ) −i (y1 + y2 ) =

=(x1 −iy1 ) +(x2 −iy2 ) = z1 + z2 = f (z1 ) +f (z2 ) .

2)Пусть λ R – произвольное действительное число.

Тогда

f (λz) = λz = λx +iλy = λx −iλy = λ(x −iy) = λz = λf (z) .

Линейный оператор f будем называть оператором сопряжения. Найдем матрицу оператора сопряжения относительно базиса {1,i} векторного пространства комплексных

чисел. Воспользуемся определением матрицы линейного оператора относительно данного базиса, и найдем образы базисных векторов, т.е. найдем сопряженные им числа:

f (1) =1+0 i =1−0 i, f (i) = 0 +i = 0 −i .

Столбцы координат векторов f (1), f (i) образуют столбцы искомой матрицы оператора сопряжения.

Задача 263. Докажите, что умножение вектора на фиксированный скаляр есть линейный оператор, и найдите его матрицу.

Решение. Пусть α K – произвольный фиксированный скаляр, V – произвольное векторное пространство над полем K. Устроим отображение

fα : V → V

по правилу: x V положим по определению fα (x) α x . Докажем, что fα является линейным оператором.

59

Пусть x, y V – произвольные векторы, λ K – произвольный скаляр. Тогда

1)fα (x + y) = α (x + y) = α x +α y = fα (x) +fα (y) ,

2)fα (λx) = α (λx) = (αλ) x = (λα) x = λ(α x) = λfα (x) .

Мы использовали аксиомы векторного пространства и поля. Найдем матрицу линейного оператора fα относительно

какого-нибудь базиса {e1,e2 ,…,en } векторного пространст-

ва V. Найдем образы базисных векторов и разложим их по этому же базису. Для любого i =1,2,…,n получаем:

fα (ei ) = α ei = 0 e1 +… +0 ei−1 +α ei +0 ei+1 +… +0 en .

Столбцы координат образуют столбцы искомой матрицы.

Задача 264. Найдите матрицу оператора проектирования на подпространство L пространства V параллельно подпространству М, если пространство V есть прямая сумма подпространств М и L.

Решение. Пусть V – векторное пространство над полем K, L и М – его подпространства, причем

V = L M .

Пусть {e1,e2 ,…,ek } – произвольный базис подпространства L, {f1,f2 ,…,fm} – произвольный базис подпространства М.

вектор z V можно единственным образом представить в виде z = x + y , где

60