Как найти матрицу с помощью элементарных преобразований

Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с помощью алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса).
Рассмотрим как найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.

Обратной матрицей называется матрицы A^-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.

A·A^-1 = A^-1 · A = E

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований:

1. Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
2. Дописываем справа единичную матрицу
3. Делаем прямой ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей под ее главной диагонали.
4. Делаем обратный ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей над ее главной диагонали.
5. Элементы главной диагонали левой матрицы, преобразуем в единицы.

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:

Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 8 обратная матрица существует.

Допишем к нашей матрице слева единичную матрицу.

Чтобы сделать нули под элементом a₁₁, вычтем 1-ую строку из всех строк, что расположены ниже её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a₁₁.

Чтобы сделать нули над элементом a₃₃, вычтем 3-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a₃₃.

Чтобы сделать нули над элементом a₂₂, вычтем 2-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a₂₂.

Поделим каждую строку на элемент, который стоит на главной диагонали.

Вот мы и нашли обратную матрицу.

Матрица BB является обратной матрицей к квадратной матрице AA, если AB=BA=EAB = BA = E.
Из определения можно понять, что обратная матрица BB будет квадратной матрицей аналогичного порядка, какой имеет матрица AA (иначе какое-либо из произведений ABAB или BABA будет не определено).
Обратная матрица для исходной матрицы AA определяется так: A−1A^{-1}. Можно утверждать, что если A−1A^{-1} существует, то AA−1=A−1A=EAA^{-1} = A^{-1} A= E.
Также легко видеть, что (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A.

Если детерминант матрицы является нулем, то обратную к ней матрицу нельзя получить.

Онлайн-калькулятор

Квадратную матрицу AA можно назвать вырожденной матрицей тогда, когда определитель матрицы AA равен нулю, и невырожденной, если определитель не равен нулю.

Важно

В том случае, если обратная матрица может существовать, то она будет единственной.

Формула для вычисления обратной матрицы

Обратную матрицу A−1A^{-1} к матрице AA можно найти по формуле:

A−1=1det⁡A⋅A∗A^{-1}=frac{1}{det A}cdot A^*

det⁡Adet A — определитель матрицы A,A,

A∗A^* — транспонированая матрица алгебраических дополнений к матрице A.A.

Задача 1

Нужно найти обратную матрицу для следующей матрицы:

A=(1−20 342 −131)A = begin{pmatrix}
1& -2 & 0\
3 & 4 & 2\
-1& 3& 1 \
end{pmatrix}

Решение

Вычислим детерминант:

det⁡A=∣1−20342−131∣=1∣4231∣−(−2)∣32−11∣+0∣34−13∣=8det A = begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \
3 & 4 & 2 \
-1 & 3 & 1 \
end{vmatrix} = 1 begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} — (-2) begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} +0 begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 8

Так как det⁡A≠0det A neq 0, то матрица – невырожденная, и обратная для нее существует.

Посчитаем алгебраические дополнение:

A11=(−1)1+1∣4231∣=−2,A_{11} = (-1)^{1+1} begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = -2,

A12=(−1)1+2∣32−11∣=−5,A_{12} = (-1)^{1+2} begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = -5,

A13=(−1)1+3∣34−13∣=13A_{13} = (-1)^{1+3} begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 13,

A21=(−1)2+1∣−2031∣=2A_{21} = (-1)^{2+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = 2,

A22=(−1)2+2∣10−11∣=1A_{22} = (-1)^{2+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = 1,

A23=(−1)2+3∣1−2−13∣=−1A_{23} = (-1)^{2+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = -1,

A31=(−1)3+1∣−2042∣=−4A_{31} = (-1)^{3+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
4 & 2 \
end{vmatrix} = -4,

A32=(−1)3+2∣1032∣=−2A_{32} = (-1)^{3+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
3 & 2 \
end{vmatrix} = -2,

A33=(−1)3+3∣1−234∣=10.A_{33} = (-1)^{3+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
3 & 4 \
end{vmatrix} = 10.

Обратная матрица:

A−1=18(−22−4−51−213−110)A^{-1} = frac{1}{8} begin{pmatrix}
-2 & 2 & -4 \
-5 & 1 & -2 \
13 & -1 & 10 \
end{pmatrix}

Важно

Чтобы избежать ошибок, необходимо сделать проверку: для этого нужно посчитать произведение первоначальной матрицы на конечную. Если в результате получится единичная матрица, то вы нашли обратную матрицу безошибочно.

Задача 2

Найдите обратную матрицу для матрицы:

A=(13−25)A = begin{pmatrix}
1 & 3\
-2 & 5 \
end{pmatrix}

Решение

det⁡A=11≠0→A−1det A= 11 neq 0 rightarrow A^{-1} – существует.

A11=(−1)1+1⋅5=5A_{11} = (-1)^ {1+1} cdot 5 = 5,

A12=(−1)1+2⋅(−2)=2A_{12} = (-1)^ {1+2} cdot (-2) = 2,

A21=(−1)2+1⋅3=−3A_{21} = (-1)^ {2+1} cdot 3 = -3,

A22=(−1)2+2⋅1=1.A_{22} = (-1)^ {2+2} cdot 1 = 1.

Ответ:

A−1=111(5−321)A^{-1} = frac{1}{11} begin{pmatrix}
5 & -3 \
2 & 1 \
end{pmatrix}

Нами был рассмотрен способ нахождения матрицы с помощью алгебраических дополнений. Существует еще один способ, который называется методом элементарных преобразований.

Метод элементарных преобразований

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

1. перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
2. умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
3. прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы данным методом.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований

1. Из исходной матрицы AA и единичной матрицы EE того же порядка составить расширенную матрицу, т.е. матрицу вида (A∣E)begin{pmatrix}A|Eend{pmatrix}.
2. С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы получить единичную матрицу слева от черты: (E∣A−1)begin{pmatrix}E|A^{-1}end{pmatrix}.
3. Выписать обратную матрицу, которая находится справа от черты.

Задача 1

Найти матрицу K−1K^{-1}, если K=(1301)K=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}.

Из матрицы KK второго порядка и единичной матрицы второго порядка составим расширенную матрицу:

(1301∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -3:

(1301∣1001)∼(1001∣1−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-3\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

K−1=(1−301)K^{-1}=begin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

K⋅K−1=(1301)⋅(1−301)=(1⋅1+3⋅01⋅(−3)+3⋅10⋅1+1⋅00⋅(−3)+1⋅1)=(1001)Kcdot K^{-1}=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1cdot1+3cdot0&1cdot(-3)+3cdot1\0cdot1+1cdot0&0cdot(-3)+1cdot1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Задача 2

Найти матрицу F−1F^{-1}, если F=(110010033)F=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}.

Из матрицы FF третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка составим расширенную матрицу:

(110010033∣100010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:

(110010033∣100010001)∼(100010033∣1−10010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:

(100010033∣1−10010001)∼(100010003∣1−100100−31)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №3 на 13frac{1}{3}:

(100010003∣1−100100−31)∼(100010001∣1−100100−113)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

F−1=(1−100100−113)F^{-1}=begin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

F⋅F−1=(110010033)⋅(1−100100−113)=(100010001)Fcdot F^{-1}=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Выполнение контрольных работ на заказ недорого от профильных авторов на бирже Студворк!

Метод элементарных преобразований (методы Гаусса и Гаусса-Жордана для нахождения обратных матриц).

В первой части был рассмотрен способ нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Здесь же мы опишем иной метод нахождения обратных матриц: с использованием элементарных преобразований.

Пусть нам задана квадратная матрица $A_{ntimes{n}}$. Допишем справа к матрице $A$ единичную матрицу $E$ n-го порядка. После такого дописывания мы получим матрицу $left(A|Eright)$. Со строками этой матрицы можно выполнять такие преобразования:

1. Смена мест двух строк.
2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

Конечная цель указанных выше преобразований: привести матрицу $left(A|Eright)$ к такому виду: $left(E|A^{-1}right)$. Т.е. нужно сделать так, чтобы матрица до черты стала единичной, тогда после черты будет записана обратная матрица $A^{-1}$.

Добиться этой цели можно, выполняя над исходной матрицей $left(A|Eright)$ преобразования метода Гаусса или Гаусса-Жордана. Перед тем, как перейти к описанию этих методов, оговорим, что изначально матрица $A_{ntimes{n}}$ не должна иметь нулевых строк или столбцов. Если в матрице $A$ есть хоть один нулевой столбец или нулевая строка, то обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

Строки матрицы станем обозначать буквами $r$ (от слова «row»): $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее.

Метод Гаусса

Этот метод делят на два этапа, которые называют прямым ходом и обратным.

Прямой ход метода Гаусса

В процессе выполнения прямого хода мы последовательно используем строки матрицы. На первом шаге работаем с первой строкой, на втором шаге – со второй и так далее. Если в ходе решения в матрице до черты возникла нулевая строка, то прекращаем преобразования, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

На первом шаге прямого хода обратимся к первой строке $r_1$. Если первый элемент $a_1$ первой строки не равен нулю, то выполняем обнуление всех ненулевых элементов первого столбца, лежащих под первой строкой. Если же $a_1=0$, то меняем местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых первый элемент отличен от нуля, а затем уже производим обнуление.

На втором шаге прямого хода обратимся к второй строке $r_2$. Если второй элемент $a_2$ второй строки не равен нулю, то выполняем обнуление всех ненулевых элементов второго столбца, лежащих под второй строкой. Если же $a_2=0$, то меняем местами вторую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля, а затем уже производим обнуление. В случае, когда второй элемент равен нулю как у второй строки, так и у всех нижележащих строк, прекращаем решение, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

Полагаю, логика прямого хода ясна. На некоем k-м шаге мы работаем с строкой $r_k$. Если k-й элемент $a_k$ этой строки не равен нулю, то выполняем обнуление всех ненулевых элементов k-го столбца, лежащих под строкой $r_k$. Если же $a_k=0$, то меняем местами строку $r_k$ с одной из тех нижележащих строк, у которых k-й элемент отличен от нуля, а затем уже производим обнуление. В случае, когда k-й элемент равен нулю как у строки $r_k$, так и у всех нижележащих строк, прекращаем решение, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

Когда мы придём к последней строке, матрица до черты станет верхней треугольной, т.е. все элементы под главной диагональю будут равны нулю. Это будет означать конец прямого хода метода Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

На этом этапе мы поднимаемся по матрице «снизу вверх». Сначала используем последнюю строку $r_n$, затем предпоследнюю $r_{n-1}$ и так далее, пока не дойдём до первой строки. С каждой строкой выполняем однотипные операции.

Пусть, например, речь идёт о некоей k-й строке. Матрица, расположенная до черты, содержит в строке $r_k$ диагональный элемент $a_{kk}$. Если $a_{kk}=1$, то это нас вполне устраивает, а если $a_{kk}neq{1}$, то просто умножаем строку $r_k$ на коэффициент $frac{1}{a_{kk}}$, чтобы диагональный элемент стал равен 1. Затем с помощью строки $r_k$ обнуляем элементы k-го столбца, расположенные над строкой $r_k$.

Как только мы дойдём до первой строки, матрица до черты станет единичной, и алгоритм завершится.

Метод Гаусса-Жордана

Последовательно используем строки матрицы. На первом шаге работаем с первой строкой, на втором шаге – со второй и так далее. Если в ходе решения в матрице до черты возникла нулевая строка, то прекращаем преобразования, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

На первом шаге прямого хода обратимся к первой строке $r_1$. Первый элемент этой строки обозначим как $a_1$. Если $a_1=0$, то меняем местами первую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых первый элемент отличен от нуля. Затем, если $a_1neq{1}$, умножаем строку $r_1$ на $frac{1}{a_1}$ (если $a_1=1$, то никакого домножения делать не надо). Далее с помощью строки $r_1$ производим обнуление всех остальных ненулевых элементов первого столбца, после чего переходим к следующему шагу.

На втором шаге прямого хода работаем с второй строкой $r_2$. Второй элемент этой строки обозначим как $a_2$. Если $a_2=0$, то меняем местами вторую строку с одной из тех нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Если таких строк нет, т.е. у всех нижележащих строк второй элемент равен нулю, то прекращаем решение, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует. Затем, если $a_2neq{1}$, умножаем строку $r_2$ на $frac{1}{a_2}$ (если $a_2=1$, то никакого домножения делать не надо). Далее с помощью строки $r_2$ производим обнуление всех остальных ненулевых элементов второго столбца, после чего переходим к следующему шагу.

Полагаю, логика данного метода ясна. На k-м шаге работаем с k-й строкой $r_k$, k-й элемент которой обозначим как $a_k$. Если $a_k=0$, то меняем местами строку $r_k$ с одной из тех нижележащих строк, у которых k-й элемент отличен от нуля. Если таких строк нет, т.е. у всех нижележащих строк k-й элемент равен нулю, то прекращаем решение, так как обратная матрица $A^{-1}$ не существует. Затем, если $a_kneq{1}$, умножаем строку $r_k$ на $frac{1}{a_k}$ (если $a_k=1$, то никакого домножения делать не надо). Далее с помощью строки $r_k$ производим обнуление всех остальных ненулевых элементов k-го столбца, после чего переходим к следующему шагу.

Когда мы обработаем последнюю строку, матрица до черты станет единичной, и алгоритм завершится.

Перед тем, как переходить к примерам, я введу один дополнительный термин: ведущий элемент. Ведущим элементом ненулевой строки называется её первый (считая слева направо) отличный от нуля элемент. Например, в строке $(0;0;5;-9;0)$ ведущим будет третий элемент (он равен 5).

Пример №5

Найти матрицу $A^{-1}$, если
$A=left(begin{array}{ccc}
-5 & 23 & -24\
-1 & 4 & -5\
9 & -40 & 43 end{array} right)$.

Решение

Заданная нам матрица не имеет нулевых строк или столбцов, поэтому можем приступать к нахождению $A^{-1}$. Поставленную задачу решим двумя способами: как преобразованиями метода Гаусса, так и метода Гаусса-Жордана. Для начала запишем матрицу $(A|E)$, которая в нашем случае будет иметь такой вид:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
$$

Наша цель: привести матрицу $(A|E)$ к виду $left(E|A^{-1}right)$.

Метод Гаусса

Прямой ход метода Гаусса

Первый шаг

На первом шаге прямого хода мы работаем с первой строкой. Первый элемент этой строки (число -5) не равен нулю, поэтому можем приступать к обнулению ненулевых элементов первого столбца, расположенных под первой строкой. Однако для тех преобразований, которые мы станем делать для обнуления элементов, удобно, когда ведущий элемент используемой строки равен 1 или -1. Почему это так, станет ясно из дальнейших действий. Чтобы ведущий элемент текущей строки стал равен -1, поменяем местами первую строку с одной из нижележащих строк – с второй строкой:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
overset{r_1leftrightarrow{r_2}}{rightarrow}

left(begin{array}{ccc|ccc}
boldred{-1} & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
normblue{-5} & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
normblue{9} & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
$$

Теперь ведущий элемент первой строки стал равен -1 (я выделил этот элемент красным цветом). Приступим к обнулению ненулевых элементов первого столбца, лежащих под первой строкой (они выделены синим цветом). Для этого над строками матрицы нужно выполнить такие действия:

$$
begin{aligned}
&r_2-frac{normblue{-5}}{boldred{-1}}cdot{r_1}=r_2-5r_1;\
&r_3-frac{normblue{9}}{boldred{-1}}cdot{r_1}=r_3+9r_1.
end{aligned}
$$

Запись $r_2-5r_1$ означает, что от элементов второй строки вычли соответствующие элементы первой строки, умноженные на пять. Результат записывают на место второй строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

$$
r_2-5r_1
=(-5;;23;;-24;;1;;0;;0)-5cdot(-1;;4;;-5;;0;;1;;0)=\

=(-5;;23;;-24;;1;;0;;0)-(-5;;20;;-25;;0;;5;;0)
=(0;;3;;1;;1;;-5;;0)
$$

Действие $r_3+9r_1$ выполняется аналогично. Первую строку мы не трогали, поэтому в новую матрицу она перейдёт без изменений:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2-5r_1 \ r_3+9r_1 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
$$

На этом первый шаг закончен. Нулевых строк в матрице до черты не возникло, поэтому продолжаем решение. Кстати, теперь, я полагаю, ясно, зачем надо было менять местами строки. Если бы не смена мест строк, нам пришлось бы выполнять действия $r_2-frac{1}{5}cdot{r_1}$ и $r_3+frac{9}{5}cdot{r_1}$, что привело бы к появлению дробей. А легче, разумеется, работать с целыми числами, чем с дробями.

Второй шаг

На втором шаге прямого хода мы работаем с второй строкой. Второй элемент этой строки (число 3) не равен нулю, поэтому можем приступать к обнулению ненулевых элементов второго столбца, расположенных под второй строкой:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0} \ r_3+4/3cdot{r_2} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
$$

Матрица до черты стала верхней треугольной, поэтому прямой ход метода Гаусса окончен.

Пару слов насчёт действий со строками, которые мы выполняли на втором шаге. На первом шаге мы меняли местами строки, чтобы ведущий элемент первой строки стал равен -1. Здесь такая смена строк ничего не даст, так как доступна к обмену лишь третья строка, а у неё ведущий элемент тоже не равен ни 1, ни -1. В этом случае можно выполнить дополнительное преобразование со второй строкой: $r_2+r_3$:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2+r_3 \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & -1 & -1 & 1 & 4 & 1\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
$$

После этого текущий шаг прямого хода будет продолжен без дробей. Можно было сделать и такое действие: $3r_3+4r_2$, тогда и необходимый элемент третьего столбца был бы обнулён, и дробей бы не появилось. Выполнять такие действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если работы с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов прямого хода, то, возможно, лучше упростить себе расчёты и выполнить вспомогательное действие, чтобы потом не работать с дробями. К слову, если есть необходимость избавиться от дробей в некоей строке, то можно просто домножить данную строку на соответствующий коэффициент. Например, строку $left(frac{1}{3};;-frac{4}{5};;2;0right)$ можно домножить на число 15, тогда дроби исчезнут, и строка станет такой: $left(5;;-12;;30;0right)$.

Обратный ход метода Гаусса

Первый шаг

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен $-frac{2}{3}$. Сделаем этот элемент единицей, домножив третью строку на $-frac{3}{2}$, а затем с помощью третьей строки обнулим ненулевые элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ -3/2cdot{r_3} end{array} rightarrow\

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1+5r_3 phantom{0}\ r_2-r_3\ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\
0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Второй шаг

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т.е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен 3. Сделаем этот элемент единицей, домножив вторую строку на $frac{1}{3}$, а затем с помощью второй строки обнулим ненулевой элемент второго столбца, расположенный над второй строкой:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\
0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ 1/3cdot{r_2} \ phantom{0} end{array} rightarrow\

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1-4r_2\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Третий шаг

Работаем с первой строкой. Сделаем диагональный элемент в первой строке (число -1) равным единице, домножив первую строку на -1:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} -1cdot{r_1}\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Матрица до черты стала единичной, преобразования завершены. Обратная матрица будет такой:

$$
A^{-1}
=left(begin{array}{ccc}
14 & 29/2 & 19/2\
1 & -1/2 & 1/2\
-2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
overset{r_1leftrightarrow{r_2}}{rightarrow}
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2-5r_1 \ r_3+9r_1 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0} \ r_3+4/3cdot{r_2} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ phantom{0}\ -3/2cdot{r_3} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1+5r_3 phantom{0}\ r_2-r_3\ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\
0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ 1/3cdot{r_2} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1-4r_2\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} -1cdot{r_1}\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Теперь решим этот же пример методом Гаусса-Жордана.

Метод Гаусса-Жордана

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. Первый элемент этой строки (число -5) не равен нулю, поэтому можем следовать стандартному алгоритму: домножить первую строку на $-frac{1}{5}$, чтобы первый элемент стал равен единице, а затем обнулить все иные ненулевые элементы первого столбца. Однако, как и при решении методом Гаусса, удобно, когда ведущий элемент используемой строки равен 1 или -1. Поэтому как и на первом шаге метода Гаусса, поменяем местами первую строку с второй строкой:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
overset{r_1leftrightarrow{r_2}}{rightarrow}

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
normblue{-5} & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
normblue{9} & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
$$

Теперь первый элемент первой строки стал равен -1. Чтобы этот элемент стал равен 1, домножим первую строку на -1, а потом обнулим все остальные ненулевые элементы первого столбца (они выделены в матрице выше синим цветом):

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} -1cdot{r_1}\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow\

rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2+5r_1 \ r_3-9r_1 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
$$

На этом первый шаг закончен. Нулевых строк в матрице до черты не возникло, поэтому продолжаем решение.

Второй шаг

На втором шаге мы работаем с второй строкой. Второй элемент этой строки (число 3) не равен нулю, поэтому домножаем вторую строку на $frac{1}{3}$, чтобы второй элемент стал равен единице, а затем обнуляем все иные ненулевые элементы второго столбца.

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\1/3cdot{r_2} \phantom{0}end{array} rightarrow\

rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} r_1+4r_2\ phantom{0} \ r_3+4r_2 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
$$

Замечание относительно облегчения работы с дробями, сделанное после второго шага прямого хода метода Гаусса, остаётся в силе и здесь.

Третий шаг

На третьем шаге мы работаем с третьей строкой. Третий элемент этой строки (число -2/3) не равен нулю, поэтому домножаем третью строку на $-frac{3}{2}$, чтобы третий элемент стал равен единице, а затем обнуляем все иные ненулевые элементы третьего столбца.

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\phantom{0} \ -3/2cdot{r_3}end{array} rightarrow\

rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1-19/3r_3\ r_2-1/3cdot{r_3} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Матрица до черты стала единичной, преобразования завершены. Обратная матрица будет такой:

$$
A^{-1}
=left(begin{array}{ccc}
14 & 29/2 & 19/2\
1 & -1/2 & 1/2\
-2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
overset{r_1leftrightarrow{r_2}}{rightarrow}

left(begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} -1cdot{r_1}\ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
-5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\
9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\ r_2+5r_1 \ r_3-9r_1 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\1/3cdot{r_2} \phantom{0}end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} r_1+4r_2\ phantom{0} \ r_3+4r_2 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 end{array}right)
begin{array} {l} phantom{0}\phantom{0} \ -3/2cdot{r_3}end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\
0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
begin{array} {l} r_1-19/3r_3\ r_2-1/3cdot{r_3} \ phantom{0} end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\
0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\
0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)
$$

Ответ: $A^{-1}
=left(begin{array}{ccc}
14 & 29/2 & 19/2\
1 & -1/2 & 1/2\
-2 & -7/2 & -3/2 end{array}right)$.

Пример №6

Найти матрицу $A^{-1}$, если
$A=left(begin{array}{cccc}
-2 & 3 & 0 & 1\
-6 & 9 & -2 & 7\
0 & -2 & -18 & 27\
-4 & 5 & -8 & 14end{array} right)$.

Решение

В предыдущем примере были даны подробные пояснения каждого шага как метода Гаусса, так и метода Гаусса-Жордана. В этом примере я стану комментировать лишь некие нюансы, которые возникнут в ходе решения.

Метод Гаусса

$$
left(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
-6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
-4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2-3r_1 \ phantom{0} \ r_4-2r_1 end{array} rightarrow

left(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
$$

Пора переходить ко второму шагу прямого хода метода Гаусса. На этом шаге должна использоваться вторая строка, однако второй элемент данной строки равен нулю. Согласно алгоритму, нужно поменять местами вторую строку с одной из нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Поменяем местами вторую и четвёртую строки, а потом продолжим преобразования:

$$
left(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
overset{r_2leftrightarrow{r_4}}{rightarrow}

left(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0} \ r_3-2r_2 \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\
0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0} \ phantom{0} \ r_4-r_3 end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\
0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 end{array} right)
begin{array} {l} r_1-r_4 \ r_2-12r_4 \ r_3-3r_1 \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\
0 & -1 & -8 & 0 & 82 & -12 & 12 & -23\
0 & 0 & -2 & 0 & 25 & -3 & 4 & -8\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0} \ -1/2cdot{r_3} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\
0 & -1 & -8 & 0 & 82 & -12 & 12 & -23\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2+8r_3 \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\
0 & -1 & 0 & 0 & -18 & 0 & -4 & 9\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ -1cdot{r_2} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\
0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} r_1-3r_2 \ phantom{0} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow

$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 0 & 0 & 0 & -46 & -1 & -11 & 25\
0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} -1/2cdot{r_1} \ phantom{0} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\
0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array}right)
$$

Из последней матрицы получаем ответ:

$$
A^{-1}
=left(begin{array}{cccc}
23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\
18 & 0 & 4 & -9\
-25/2 & 3/2 & -2 & 4\
-7 & 1 & -1 & 2
end{array}right)
$$

Метод Гаусса-Жордана

$$
left(begin{array}{cccc|cccc}
-2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\
-6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
-4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
begin{array} {l} -1/2cdot{r_1} \ phantom{0} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\
-6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
-4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2+6r_1 \ phantom{0} \ r_4+4r_1 end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
$$

Пора переходить ко второму шагу метода Гаусса-Жордана. На этом шаге должна использоваться вторая строка, однако второй элемент данной строки равен нулю. Согласно алгоритму, нужно поменять местами вторую строку с одной из нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Поменяем местами вторую и четвёртую строки, а потом продолжим преобразования:

$$
left(begin{array}{cccc|cccc}
1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1
end{array} right)
overset{r_2leftrightarrow{r_4}}{rightarrow}
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\
0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ -1cdot{r_2} \ phantom{0} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\
0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \
0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} r_1+3/2cdot{r_2} \ phantom{0} \ r_3+2r_2 \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 12 & -37/2 & 5/2 & 0 & 0 & -3/2\
0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \
0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0} \ -1/2cdot{r_3} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 12 & -37/2 & 5/2 & 0 & 0 & -3/2\
0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \
0 & 0 & 1 & -3/2 & -2 & 0 & -1/2 & 1\
0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0
end{array} right)
begin{array} {l} r_1-12r_3 \ r_2-8r_3 \ phantom{0} \ r_4+2r_3 end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & -1/2 & 53/2 & 0 & 6 & -27/2\
0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9 \
0 & 0 & 1 & -3/2 & -2 & 0 & -1/2 & 1\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array} right)
begin{array} {l} r_1+1/2cdot{r_4} \ phantom{0} \ r_3+3/2cdot{r_4} \ phantom{0} end{array} rightarrow
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\
0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\
0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\
0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2
end{array}right)
$$

Из последней матрицы получаем ответ:

$$
A^{-1}
=left(begin{array}{cccc}
23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\
18 & 0 & 4 & -9\
-25/2 & 3/2 & -2 & 4\
-7 & 1 & -1 & 2
end{array}right)
$$

Ответ: $
A^{-1}
=left(begin{array}{cccc}
23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\
18 & 0 & 4 & -9\
-25/2 & 3/2 & -2 & 4\
-7 & 1 & -1 & 2
end{array}right)
$.

Пример №7

Найти матрицу $A^{-1}$, если
$A=left(begin{array}{ccc}
1 & -2 & 5\
-2 & 5 & -13\
-3 & 4 & -9end{array} right)$.

Решение

В данном примере применим метод Гаусса.

$$
left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\
-2 & 5 & -13 & 0 & 1 & 0\
-3 & 4 & -9 & 0 & 0 & 1end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ r_2+2r_1 \ r_3+3r_1 end{array} rightarrow\
$$

$$
rightarrowleft(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\
0 & 1 & -3 & 2 & 1 & 0\
0 & -2 & 6 & 3 & 0 & 1end{array} right)
begin{array} {l} phantom{0} \ phantom{0} \ r_3+2r_2 end{array} rightarrow

left(begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\
0 & 1 & -3 & 2 & 1 & 0\
0 & 0 & 0 & 7 & 2 & 1end{array}right)
$$

В матрице до черты появилась нулевая строка. Это означает, что обратная матрица $A^{-1}$ не существует.

Ответ: обратной матрицы не существует.

Алгоритм вычисления обратной матрицы методом элементарных преобразований (метод Гаусса)

1. Приписываем
   справа к матрице А размера
   единичную матрицу того же размера,
   получим прямоугольную матрицуразмера.

2. С
   помощью элементарных преобразований
   над строками матрицы Г сначала приведем
   ее к ступенчатому виду
   ,
   где матрица А₁
   – треугольная.

3. Затем,
   так же, с помощью элементарных
   преобразований приведем Г₁
   к виду
   .

Пример
2. Найти
матрицу, обратную к данной методом
Гаусса:

1.
.

2.
.

3.

.

1. Ранг матрицы. Совместность систем.

Пусть
задана система m
линейных уравнений с n
неизвестными:

(1)

Определение 4. Если
,
то система (1) называетсяоднородной.
Если же хотя бы одно из этих чисел отлично
от нуля, то система неоднородная.

Для
исследования данной системы составим
матрицу
из коэффициентов при неизвестных. Для
решения многих задач важное значение
имеет понятие ранга матрицы.

Определение 5. В
матрице A_mn
вычеркиванием каких-либо строк и столбцов
можно вычленить квадратные подматрицы
k-го
порядка, где kmin(m;n).
Определители таких матриц называются
минорами
k-го
порядка матрицы A_mn.

Определение 6. Рангом
матрицы A_mn
называется наивысший порядок ненулевых
миноров этой матрицы.

Обозначается
rang
A
или r(A).

Из
определения следует:

1. ранг
   матрицы A_mn
   не превосходит меньшего из её размеров;

2. r(A)
   = 0 тогда и только тогда, когда все
   элементы матрицы равны нулю, т.е. А
   нулевая матрица.

3. Для
   квадратной матрицы n-го
   порядка r(A)
   = n
   тогда и только тогда, когда матрица А
   имеет определитель отличный от нуля.

Определение 7. Базисным
минором матрицы называется всякий
отличный от нуля минор, порядок которого
равен рангу данной матрицы.

Пример
2.
Вычислить ранг матрицы
и указать какой-либо ее базисный минор.

Решение:
матрица имеет четвертый порядок, но
detА
=
0. Все миноры 3-го порядка тоже равны
нулю, так как содержат хотя бы один
нулевой столбец (свойство 5⁰
определителя). Все миноры 2-го порядка
тоже равны нулю, тек как содержат либо
нулевой столбец, либо пропорциональные
столбцы (свойство 6⁰).
Значит r(A)
= 1, т.к. есть элементы отличные от нуля.
Любой такой элемент можно принять за
базисный минор, к примеру,
.

Пример
3.
Вычислить ранг матрицы
и указать какой-либо ее базисный минор.

Решение:
А_34
значит r(A)

3. Среди миноров третьего порядка лишь
один не содержит нулевого столбца.
Вычислим его:

Итак,
все миноры третьего порядка равны нулю.
Среди миноров второго порядка есть
ненулевые, например,
.
Следовательно,r(A)
= 2.

Для
облегчения нахождения ранга матрицы
используются элементарные преобразования
матриц, которые сохраняют её ранг.
Напомним, что к
элементарным преобразованиям матриц
относятся:

1)
Умножение всех элементов строк или
столбцов матрицы на число, отличное от
нуля.

2)
Изменение порядка строк или столбцов
матрицы.

3)
Прибавление к каждому элементу одной
строки или столбца соответствующих
элементов другой строки или столбца,
умноженных на любое число.

С
помощью элементарных преобразований
строк и перестановки столбцов можно
привести матрицу к трапециевидному или
ступенчатому виду, когда определение
её ранга не составляет труда.

Определение 8. Трапециевидной
или ступенчатой называется матрица
вида:

,

где

Ранг
трапециевидной
или
ступенчатой
матрицы равен количеству ненулевых
строк.

Пример
4.
Найти
ранг матрицы

Лекция
5. Матричные уравнения. Системы линейных
уравнений.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти обратную матрицу

1. Быстрый способ для матриц $2 times 2$
   1. Пример 1
   2. Пример 2
2. Нахождение с помощью метода Гаусса
   1. Пример 3
   2. Пример 4
3. Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
   1. Пример 5

Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A neq 0 $.

Быстрый способ для матриц $2 times 2$

Пусть задана матрица $A = begin{pmatrix} a&b\c&d end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = frac{1}{det A} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix}.$$ 

Нахождение с помощью метода Гаусса

На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.

$$ Bigg (begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{matrix} Bigg | begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg ) $$

Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:

$$ Bigg (begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg | begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{matrix} Bigg ) $$

$$A^{-1} = begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{pmatrix}$$

Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)

Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом

$$A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$

Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:

$$ A^* = begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{22}&A_{33} end{pmatrix}, text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$

$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.

Пример 5

Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений $$ A = begin{pmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{pmatrix} $$

Решение

Итак, пользуемся формулой $ A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T $ Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю: $$ |A| = begin{vmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 — 0 — 6 + 4 = 36 neq 0 $$ Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление. Вычеркиваем первую строку и первый столбец: $$ A_{11} = (-1)^{1+1} cdot begin{vmatrix} 3&-2\-1&4 end{vmatrix} = 12 — 2 = 10 $$ Убираем первую строку и второй столбец: $$ A_{12} = (-1)^{1+2} cdot begin{vmatrix} -1&-2\0&4 end{vmatrix} = -(-4 — 0) = 4 $$ Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя. $$ A_{13} = (-1)^{1+3} cdot begin{vmatrix} -1&3\0&-1 end{vmatrix} = 1 — 0 = 1 $$ $$ A_{21} = (-1)^{2+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\-1&4 end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6 $$ $$ A_{22} = (-1)^{2+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\0&4 end{vmatrix} = 12 — 0 = 12 $$ $$ A_{23} = (-1)^{2+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\0&-1 end{vmatrix} = -(-3 — 0) = 3 $$ $$ A_{31} = (-1)^{3+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\3&-2 end{vmatrix} = -2 — 6 = -8 $$ $$ A_{32} = (-1)^{3+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\-1&-2 end{vmatrix} = -(-6 + 2) = 4 $$ $$ A_{33} = (-1)^{3+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\-1&3 end{vmatrix} = 9+1 = 10 $$ Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^* $ из алгебраических дополнений: $$ A^* = begin{pmatrix} 10&4&1\-6&12&3\-8&4&10 end{pmatrix}. $$ Транспонируем её и обозначаем $ (A^*)^T $: $$ (A^*)^T = begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ В итоге находим обратную матрицу $ A^{-1} $: $$ A^{-1} = frac{1}{36} begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ Делим каждый элемент матрицы на 36 и получаем следующее: $$begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}.$$

Ответ

$$A^{-1} =begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}$$