Как найти матрицу сильных компонентов

С помощью матрицы смежности найти компоненты сильной связности ориентированного графа D.

Cоставляем матрицу смежности A(D) размерности (N− количество вершин) для данного ориентированного графа: она состоит из нулей и единиц, номера строк – индексы вершин, из которых исходят дуги, номера столбцов – индексы вершин, в которые дуги входят (если есть дуга, исходящая из вершины Vi и входящая в Vj, то элемент матрицы смежности, стоящий на пересечении I-той строки и J-того столбца равен 1, иначе – 0.).

Для того, чтобы выделить компоненты сильной связности, необходимо сначала найти матрицу достижимости T(D) ориентированного графа по первой формуле утверждения 3, затем находим матрицу сильной связности S(D) ориентированного графа (она должна быть симметрической) по второй формуле из того же утверждения.

Алгоритм выделения компонент сильной связности

1. Присваиваем P=1 (P − количество компонент связности), .

2. Включаем в множество вершин Vp Компоненты сильной связности Dp вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы Sp. В качестве матрицы A(Dp) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из Vp.

3. Вычеркиваем из Sp строки и столбцы, соответствующие вершинам из Vp. Если не остается ни одной строки (и столбца), то P— количество компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу как Sp+1, присваиваем P=P+1 и переходим к п. 2.

Пример

Выделим компоненты связности ориентированного графа, изображенного на рис. 6. В данной задаче количество вершин N=5.

Рис. 6.

Значит, для данного ориентированного графа матрица смежности будет иметь размерность 5×5 и будет выглядеть следующим образом

.

Найдем матрицу достижимости для данного ориентированного графа по формуле 1) из утверждения 3:

, ,

,

Следовательно,

.

Таким образом, матрица сильной связности, полученная по формуле 2) утверждения 3, будет следующей:

.

Присваиваем P=1 и составляем множество вершин первой компоненты сильной связности D1: это те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S(D). Таким образом, первая компонента сильной связности состоит из одной вершины .

Вычеркиваем из матрицы S1(D) строку и столбец, соответствующие вершине V1, чтобы получить матрицу S2(D):

.

Присваиваем P=2. Множество вершин второй компоненты связности составят те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S2(D), то есть . Составляем матрицу смежности для компоненты сильной связности исходного графа D − в ее качестве возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V2:

.

Вычеркиваем из матрицы S2(D) строки и столбцы, соответствующие вершинам из V2 ,чтобы получить матрицу S3(D), которая состоит из одного элемента:

И присваиваем P=3. Таким образом, третья компонента сильной связности исходного графа, как и первая, состоит из одной вершины .

Таким образом, выделены 3 компоненты сильной связности ориентированного графа D:

< Предыдущая		Следующая >

Неориентированный
граф называется связным,
если каждая пара различных вершин может
быть соединена, по крайней мере, одной
цепью.

Ориентированный
граф называется сильно
связным,
если для любых двух его вершин

и

существует
хотя бы один путь, соединяющий

с

.
Ориентированный граф называется
односторонне
связным,
если для любых двух его вершин, по крайней
мере, одна достижима из другой.

Компонентой
связности неориентированного графа
называется его связный подграф, не
являющийся собственным подграфом
никакого другого связного подграфа
данного графа (максимально связный
подграф).

Компонентой
сильной связности ориентированного
графа
называется его сильно связный подграф,
не являющийся собственным подграфом
никакого другого сильно связного
подграфа данного графа (максимально
сильно связный подграф).

Компонентой
односторонней связности ориентированного
графа называется
его односторонне связный подграф, не
являющийся собственным подграфом
никакого другого односторонне связного
подграфа данного графа (максимально
односторонне связный подграф).

Пусть

неориентированный граф с множеством
вершин

.
Квадратная матрица


порядка

,
у которой

называется
матрицей
связности графа

.

Для ориентированного
графа квадратная матрица

порядка

,
у которой

называется
матрицей
односторонней связности (достижимости).

Квадратная матрица

порядка

,
у которой

называется матрицей
сильной связности.

Пример. У
неориентированного графа, изображенного
на рис. 22 две компоненты связности.
Первая компонента связности включает
вершины

,
а вторая
состоит из одной вершины

.

Рис. 22. Компоненты
связанности неориентированного графа

Матрица связности
этого графа имеет вид:

.

Мы видим, что 1-ая,
2-ая, 4-ая и 5-ая строки матрицы

одинаковы.

Пример. У
ориентированного графа, изображенного
на рис. 23 две компоненты сильной связности.
Первая компонента связности включает
вершины

,
а вторая
состоит из одной вершины

.
Действительно, для любой пары вершин
из множества


существует
хотя бы один путь, соединяющий эти
вершины. Например, путь

соединяет все эти вершины. Из вершины

нет пути ни в одну вершину графа.

Рис. 23. Компоненты
сильной связанности ориентированного
графа

Матрица сильной
связности этого графа имеет вид:

.

Заметим, что 1-ая,
2-ая, 3-ая и 5-ая строки матрицы

одинаковы.

Для того, чтобы
выделить компоненты сильной связности,
необходимо сначала найти матрицу
достижимости

ориентированного графа, затем находим
матрицу сильной связности

ориентированного графа (она должна быть
симметрической).

Алгоритм выделения
компонента сильной связности:

1. Присваиваем

(

− количество компонент связности),

.

2. Включаем в
множество вершин


компоненты
сильной связности

вершины, соответствующие единицам
первой строки матрицы

.
В качестве матрицы смежности

возьмем подматрицу матрицы

,
состоящую из элементов матрицы

,
находящихся на пересечении строк и
столбцов, соответствующих вершинам из

.

3. Вычеркиваем из

строки и столбцы, соответствующие
вершинам из

.
Если не остается ни одной строки (и
столбца), то


количество компонент сильной связности.
В противном случае обозначим оставшуюся
после вычеркивания срок и столбцов
матрицу как

,
присваиваем

и переходим к п. 2.

Пример. Выделим
компоненты связности ориентированного
графа, изображенного на рис. 25. Количество
вершин

.

Рис. 25.

Значит, для данного
ориентированного графа матрица смежности
будет иметь размерность

и будет выглядеть следующим образом

.

Найдем матрицу
достижимости и матрицу сильной связности
для данного ориентированного графа:

,

.

Присваиваем

,

и составляем множество вершин первой
компоненты сильной связности

:
это те вершины, которым соответствуют
единицы в первой строке матрицы

.
Таким образом, первая компонента сильной
связности состоит из одной вершины

.

Вычеркиваем из
матрицы

строку и столбец, соответствующие
вершине

,
чтобы получить матрицу

.

Присваиваем

.
Множество вершин второй компоненты
связности составят те вершины, которым
соответствуют единицы в первой строке
матрицы

,
то есть

.
Составляем матрицу смежности для
компоненты сильной связности

исходного графа

− в ее
качестве возьмем подматрицу матрицы

,
состоящую из элементов матрицы

,
находящихся на пересечении строк и
столбцов, соответствующих вершинам из

:

.

Вычеркиваем из
матрицы

строки и столбцы, соответствующие
вершинам из

,чтобы
получить матрицу

,
которая состоит из одного элемента

,
присваиваем

.
Таким образом, третья компонента сильной
связности исходного графа, как и первая,
состоит из одной вершины

.

Таким образом,
выделены 3 компоненты сильной связности
ориентированного графа

:

:

:

:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Поиск компонент сильной связности: алгоритм Косарайю

На хабре нет ни одной статьи о поиске компонент сильной связности. Однако это интересная задача, имеющая приложения в самых разных сферах: системах рекомендаций, математической логике и, неожиданно, экологии. Ниже формулировка задачи и решение — алгоритм Косарайю.

К делу:

Заметим: отношение сильной связности — это отношение эквивалентности.

Компонентой сильной связности называется класс эквивалентности множества вершин ориентированного графа относительно отношения сильной связности. Другими словами компонента сильной связности = сильно связный подграф. Так как сильная связность — это отношение эквивалентности, то граф разбивается на сильно связные компоненты. Наша задача найти все такие классы эквивалентности.

Алгоритм Косарайю

• Инвертированием ориентированного графа назовем процедуру, в ходе которой поменяем направление каждого ребра на противоположное.

Метод Косарайю прост для реализации и понимания. Так как компоненты сильной связности есть циклы, то они совпадают и у исходного графа и у его инвертирования.

Пусть дан ориентированный граф G = (V, E). Через G’ = (V, E’) обозначим интертирование G.

Будем обходить граф G в глубину, пока не посетим все вершины. Заведем массив out = [0…|V|-1] — время выхода из вершины. Под временем понимаются логические часы: изначально время равно 0, при переходе в вершину или выходе из неё время увеличивается на 1.

Когда обход закончится, заведем массив vertices, куда добавим все вершины в порядке увеличения времени выхода. Теперь запустим обход в глубинку на инвертированном графе G’. Каждый раз для обхода будем выбирать ещё не посещенную вершину с максимальным индексом в массиве vertices. Все вершины, посещенные в ходе одной итерации dfs, образуют компоненту сильной связности.

Время работы

Заметим: если граф представлен графом смежности, то нам не требуетcя хранить в памяти инвертированный граф. Иначе нам потребуется O(V+E) доп. памяти. Но, в любом случае, нам требуется O(V) памяти для массивов out и vertices.

Алгоритм состоит из двух обходов DFS. Каждый работает пропорционально V+E для разреженных графов и V^2 для насыщенных. Кроме того, нам требуется O(VlogV) для сортировки вершин при построении массива vertices.

Дополнительно

Корректность алгоритма и псевдокод можно посмотреть тут: www.jeffreykarres.com/blog/kosaraju

В начале статьи я упоминал приложения.

• На SO писали про использование этого алгоритма для формальной верификации:
  stackoverflow.com/questions/11212676/what-are-strongly-connected-components-used-for
• А про экологию можно почитать в статье:
  www.nceas.ucsb.edu/~allesina/PDF/Allesina2005.pdf

На практике часто возникают задачи в отыскании сильно связных подграфов (сильно связных компонентов) ориентированного графа.

Для определения сильно связных подграфов введем понятие следующих матриц:

— матрица достижимости R=||r_ij||;

— матрица контрдостижимости Q=||q_ij||;

— матрица взаимодостижимости H=||h_ij||.

Размер всех матриц nn, где n — число вершин графа, элементы матриц определяются следующим образом:

r_ij=1, если вершина j достижима из вершины i,

r_ij=0, если вершина j не достижима из вершины i,

q_ij=1, если вершина i достижима из вершины j,

q_ij=0, если вершина i не достижима из вершины j,

h_ij=1, если вершина j достижима из вершины i и вершина i достижима из вершины j, то есть если r_ij=1 и q_ij=1.

h_ij=0, если вершина j не достижима из вершины i или вершина i не достижима из вершины j, то есть если r_ij=0 или q_ij=0.

Отношение взаимодостижимости, определяемое матрицей H=||h_ij||, разбивает все множество вершин V орграфа G на классы взаимодостижимых вершин. Каждый такой класс порождает подграф, который называется сильно связным. Орграф и его сильно связные компоненты показаны на рис. 3.18.

Для алгоритмизации процесса выделения сильно связных подграфов выполним следующие действия:

1. Используя технику поиска в глубину или в ширину, найдем матрицу достижимости R.

2. Так как r_ij=q_ij, то есть R=Q^T и Q=R^T, то, транспонируя матрицу R, получим матрицу контрдостижимости Q.

3. Из матриц R и Q получим матрицу взаимодостижимости H.

4. Анализируя матрицу H, выделяем классы взаимодостижимых вершин и строим сильно связные подграфы исходного орграфа.

Для орграфа, изображенного на рис. 3.18, матрица достижимости R, контрдостижимости Q и взаимодостижимости H представлены в табл.3.5 — 3.7 соответственно.

Таблица 3.5.

Матрица достижимости орграфа, изображенного на рис. 3.18

v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7
v1	1	1	1	1	0	0	1
v2	1	1	1	1	0	0	1
v3	1	1	1	1	0	0	1
v4	1	1	1	1	0	0	1
v5	1	1	1	1	1	1	1
v6	1	1	1	1	1	1	1
v7	0	0	0	0	0	0	1

Таблица 3.6.

Матрица контрдостижимости орграфа, изображенного на рис. 3.18

v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7
v1	1	1	1	1	1	1	0
v2	1	1	1	1	1	1	0
v3	1	1	1	1	1	1	0
v4	1	1	1	1	1	1	0
v5	0	0	0	0	1	1	0
v6	0	0	0	0	1	1	0
v7	1	1	1	1	1	1	1

Таблица 3.7.

Матрица взаимодостижимости орграфа, изображенного на рис. 3.18

v1	v2	v3	v4	v5	v6	v7
v1	1	1	1	1	0	0	0
v2	1	1	1	1	0	0	0
v3	1	1	1	1	0	0	0
v4	1	1	1	1	0	0	0
v5	0	0	0	0	1	1	0
v6	0	0	0	0	1	1	0
v7	0	0	0	0	0	0	1

Анализируя матрицу взаимодостижимости, находим следующие классы взаимодостижимых вершин: {v₁,v₂,v₃,v₄}, {v₅,v₆}, {v₇}. Сильносвязные компоненты орграфа представлены выше на рис. 3.18.

Взаимная достижимость, компоненты сильной связности и базы графа

По аналогии с графом достижимости определим граф сильной достижимости.

Определение 9.10. Пусть G=(V,E) — ориентированный граф. Граф сильной достижимости G_*^*=(V,E_*^*) для G имеет то же множество вершин V
и следующее множество ребер E_*^* ={ (u, v) | в графе G вершины v и u взаимно достижимы}.

По матрице графа достижимости легко построить матрицу графа
сильной достижимости.
Действительно из определений достижимости и сильной достижимости непосредственно
следует, то для всех пар (i,j), 1<= i,j <= n, значение элемента равно 1 тогда и только тогда,
когда оба элемента A_G*(i, j) и A_G*(j, i) равны 1, т.е.

По матрице можно выделить компоненты сильной связности графа G следующим образом.

1. Поместим в компоненту K₁ вершину v₁ и все такие вершины v_j, что A_{G_*^*}(1,j) = 1.
2. Пусть уже построены компоненты K₁, …, K_i и v_k — это вершина с минимальным номером, еще не попавшая в компоненты. Тогда поместим в компоненту K_{i+1} вершину v_k и все такие вершины v_j,
3. что A_{G_*^*}(k,j) = 1.

Повторяем шаг (2) до тех пор, пока все вершины не будут распределены по компонентам.

В нашем примере для графа G на рис.2 по матрице получаем
следующую матрицу графа сильной достижимости

Используя описанную выше процедуру, находим, что вершины графа G разбиваются на 4 компоненты сильной связности: K₁= {v₁, v₂, v₃}, K₂ ={ v₄}, K₃ ={ v₅}, K₄ ={ v₆}.

На множестве компонент сильной связности также определим отношение достижимости.

Определение 9.11. Пусть K и K’ — компоненты сильной связности графа G.
Компонента K достижима из компоненты K^prime, если K= K’
или существуют такие две вершины
и , что u достижима из v. K строго достижима из K^prime, если и K достижима из K’.

Компонента K называется минимальной, если она не является строго
достижимой ни из какой компоненты.

Так как все вершины в одной компоненте взаимно достижимы, то нетрудно понять,
что отношения достижимости и строгой достижимости на компонентах не зависят
от выбора вершин и .

Из определения легко выводится следующая характеристика строгой достижимости.

Лемма 9.3.
Отношение строгой достижимости является отношением частичного порядка, т.е. оно
антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Это отношение можно представлять в виде ориентированного графа, вершинам и которого
являются компоненты, а ребро (K’, K) означает, что K строго достижима из K’.
На рис. 9.4 показан этот граф компонент для рассматриваемого выше графа G.

В данном случае имеется одна минимальная компонента K₂.

Во многих приложениях ориентированный граф представляет собой сеть распространения
некоторого ресурса: продукта, товара, информации и т.п. В таких случаях естественно возникает
задача поиска минимального числа таких точек (вершин),
из которых этот ресурс может быть доставлен в любую
точку сети.

Определение 9.12. Пусть G=(V,E) — ориентированный граф.
Подмножество вершин называется порождающим,
если из вершин W
можно достичь любую вершину графа.
Подмножество вершин называется базой графа,
если оно является порождающим,
но никакое его собственное подмножество порождающим не является.

Следующая теорема позволяет эффективно находить все базы графа.

Теорема 9.1.
Пусть G=(V,E) — ориентированный граф. Подмножество вершин
является базой G тогда и только тогда, когда содержит по одной вершине из каждой
минимальной компоненты сильной связности G и не содержит никаких других вершин.

Доказательство Заметим вначале, что каждая вершина графа достижима из вершины,
принадлежащей некоторой минимальной компоненте. Поэтому множество вершин W,
содержащих по одной вершине из каждой минимальной компоненты, является порождающим
а при удалении из него любой вершины перестает быть таковым, так как вершины из
соответствующей минимальной компоненты становятся недостижимы. Поэтому W является базой.

Обратно, если W является базой, то оно обязано включать хотя бы по одной вершине
из каждой минимальной компоненты, иначе вершины такой минимальной компоненты окажутся
недоступны. Никаких других вершин W содержать не может, так как каждая из них
достижима из уже включенных вершин.

Из этой теоремы вытекает следующая процедура построения одной или перечисления всех баз графа G.

1. Найти все компоненты сильной связности G.
2. Определить порядок на них и выделить минимальные относительно этого порядка компоненты.
3. Породить одну или все базы графа, выбирая по одной вершине из каждой минимальной компоненты.

Пример 9.5.
Определим все базы ориентированного графа G, показанного на рис.9.5.

На первом этапе находим компоненты сильной связности G:

На втором этапе строим граф строгой достижимости на этих компонентах.

Определяем минимальные компоненты: K₂ = { b }, K₄ ={ d,e, f, g} и K₇= { r}.

Наконец перечисляем все четыре базы G: B₁= { b, d, r}, B₂= { b, e, r}, B₃= { b, f, r} и B₁= { b, g, r}.

Задачи

Задача 9.1. Докажите, что сумма степеней всех вершин произвольного ориентированного графа четна.

У этой задачи имеется популярная интерпретация: доказать, что общее число
рукопожатий, которыми обменялись люди, пришедшие на вечеринку,
всегда четно.

Задача 9.2. Перечислите все неизоморфные неориентированные графы, у которых не
более четырех вершин.

Задача 9.3.
Докажите, что неориентированный связный граф остается связным после
удаления некоторого ребра это ребро принадлежит некоторому циклу.

Задача 9.4.
Докажите, что неориентированный связный граф с n вершинам и

• содержит не менее n-1 ребер,
• если содержит больше n-1 ребер, то имеет, по крайней мере, хотя бы один цикл.

Задача 9.5.
Докажите, что в любой группе из 6 человек есть трое попарно знакомых или
трое попарно незнакомых.

Задача 9.6.
Докажите, что неориентированный граф G=(V,E) связен
для каждого разбиения с непустыми V₁ и V₂ существует ребро, соединяющее V₁ с V₂.

Задача 9.7.
Докажите, что, если в неориентированном графе имеется ровно две вершины нечетной
степени, то они связаны путем.

Задача 9.8.
Пусть G=(V,E) неориентированный граф с |E| < |V|-1. Докажите, что тогда G несвязный граф.

Задача 9.9. Докажите, что в связном неориентированном графе
любые два простых пути максимальной длины имеют общую вершину.

Задача 9.10.
Пусть неориентированный граф без петель G=(V,E) имеет k компонент связности. Доказать, что тогда

Задача 9.11. Определите, что представляет из себя граф достижимости для

• графа с n вершинам и и пустым множеством ребер;

• графа с n вершинам и: V= {v₁,… , v_n}, ребра которого образуют цикл:

  

Задача 9.12. Вычислите матрицу графа достижимости для графа

и постройте соответствующий ей граф достижимости. Найдите все базы графа G.

Задача 9.13.
Построить для заданного на рис. 9.7 ориентированного графа G₁=(V,E)
его матрицу смежности A_G1, матрицу инцидентности B_G1
и списки смежности. Вычислить матрицу достижимости A_G1*
и построить соответствующий граф достижимости G₁^*.