Понятие медианы чисел широко используется в математической статистике. И хотя вычисление медианы не составляет большой сложности, мы сделали калькулятор, который поможет рассчитать медианное значение ряда чисел онлайн с подробным решением. Причем количество чисел не важно, он рассчитает медиану 3, 4, 5 чисел так же быстро, как и для 1000 чисел.
Калькулятор медиана чисел
Как найти медиану чисел
Лучше рассмотреть процесс вычисления медианы на примере. Пусть у нас есть ряд чисел: 13 19 24 17 15 11. Для удобства числа будет записывать через пробел. Найдем его медиану. Для начала необходимо расположить числа в порядке возрастания. Эта процедура называется сортировкой. Получим новый ряд: 11 13 15 17 19 24. Так как количество чисел в ряду равно 6, а число 6 четное, то середина ряда будет между числами 15 и 17. Найдем среднее этих двух чисел: (15 + 17) / 2 = 16. Это и будет медианой ряда. Не стоит путать медиану, среднее гармоническое и среднее арифметическое — это принципиально разные понятия.
Рассмотрим другой пример, когда количество чисел в ряду нечетное. Есть такой ряд: 18 46 10 5 38. Найдем медиану набора этих чисел. Отсортируем ряд по возрастанию и получим ряд: 5 10 18 38 48. Так как количество чисел в этом ряду 5, то у него есть середина — это элемент с номером 2. Значит медиана этого ряда равна элементу с номером 2. Получаем ответ 18.
И еще пример — найдем медиану чисел 158 166 134 130 132. Отсортируем и получим ряд 130 132 134 158 166. Количество чисел нечетное и равно 5, значит средний элемент имеет номер 3. Третий элемент нашего отсортированного ряда — число 134. Это и есть медиана.
Ваша оценка
[Оценок: 262 Средняя: 3]
Медиана ряда чисел Автор admin средний рейтинг 3/5 — 262 рейтинги пользователей
One-Way and Higher Designs for Independent Groups
Rand R. Wilcox, in Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing (Fifth Edition), 2022
7.1.6 R Functions med1way and Qanova
The R function
med1way(x, grp = NA, alpha = 0.05, crit = NA, iter = 5000, SEED = TRUE, pr = TRUE)
tests the hypothesis of equal population medians, assuming there are no tied values based on the test statistic given by Eq. (7.4). The argument x can be a matrix or have list mode. If a matrix, columns correspond to groups. The argument grp can be used to analyze a subset of the groups if desired. By default, all J groups are compared. So the command med1way(disdat,grp=c(1,3,5)) will compare groups 1, 3, and 5 using the data stored in the variable disdat. The argument iter controls how many replications are used in the simulation estimate of the critical value. The function returns the value of the test statistic, Fm, and the p-value.
The R function
Qanova(x, q =0.5, op = 3, nboot = 600, MC = FALSE, SEED = TRUE)
tests the hypothesis of equal population medians using a method that allows tied values. (This function is essentially the same as the function pbadepth in Section 7.6.1, but with the M-estimator replaced by the Harrell–Davis estimator.) The argument q determines the quantile to be used, which defaults to the median. Setting MC=TRUE, the function will take advantage of a multicore processor if one is available. (The argument op indicates how the depth of the null vector, within a bootstrap cloud of points, is measured. The default is to use projection distances.)
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128200988000130
Comparing Two Groups
Rand R. Wilcox, in Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing (Fifth Edition), 2022
Inferences About θD
As previously noted, θD is the population median of the typical difference between a randomly sampled observation from the first group and a randomly sampled observation from the second group. Let Dik=Xi1−Xk2, i=1,…,n1, k=1,…,n2. The estimate of θD is simply the sample median based on the Dik values. A percentile bootstrap can be used to compute a confidence interval for θD. Cliff’s confidence interval for P is readily adapted to computing a confidence interval for θD as well (Wilcox, 2018c). Briefly, let Pˆ(X1,X2) denote the estimate of P based on the random samples X1 and X2. Let ωℓ be a constant such that Pˆ(X1−ωℓ,X2)=cℓ, where cℓ is the lower end of the confidence interval for P given by Eq. (5.27). That is, shifting each value in the first group by ωℓ results in an estimate of P equal to cℓ. In a similar manner, ωu is chosen so that Pˆ(X1−ωu,X2)=cu, where cu is the upper end of the confidence interval for P given by Eq. (5.27). Let dℓ=θˆD(X1−ωℓ,X2) be the estimate of θD when the data in the first group are shifted by ωℓ, and let du=θˆD(X1−ωu,X2). Then
(5.28)(dℓ,du)
is a 1−α confidence interval for θD. Generally, Eq. (5.28) performs well and appears to be a bit better than a percentile bootstrap. However, for an extreme shift in location, dℓ=du can result when using Eq. (5.28). The percentile bootstrap method avoids this, but dℓ and du can be nearly identical.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128200988000117
Inferences in the One-Sample Case
Rand R. Wilcox, in Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing (Fifth Edition), 2022
4.6.2 A Modification of the Distribution-Free Method for the Median
When the goal is to compute a confidence interval for the population median, the following method can be used even when there are tied values. Suppose W is a binomial random variable with probability of success p=0.5 and n trials. For any integer k greater than 0 and less than [n/2], let γk=P(k≤W≤n−k), the probability that the number of successes, W, is between k and n−k, inclusive. Then a distribution-free γk confidence interval for the median is
(X(k),X(n−k+1)).
That is, the probability coverage is exactly γk under random sampling (e.g., Hettmansperger and McKean, 1998; also see Yohai and Zamar, 2004). This is just a special case of the first method described in the previous section based on Eq. (4.16). However, when dealing with a discrete distribution, it can be shown by example that the actual probability coverage is greater than γk. This is related to how quantiles are defined, which was described in Section 2.2.1.
Because the binomial distribution is discrete, it is not possible, in general, to choose k so that the probability coverage is exactly equal to 1−α. For example, if n=10, a 0.891 and 0.978 confidence interval can be computed, but not a 0.95 confidence interval as is often desired. Hettmansperger and Sheather (1986) suggest using the following method for dealing with this issue. First, determine k such that γk+1<1−α<γk. Next, compute
I=γk−(1−α)γk−γk+1
and
λ=(n−k)Ik+(n−2k)I.
Then an approximate 1−α confidence interval is
(4.20)(λX(k+1)+(1−λ)X(k),λX(n−k)+(1−λ)X(n−k+1)).
Results reported by Sheather and McKean (1987), as well as Hall and Sheather (1988), support the use of this method. However, to guarantee that the probability coverage is at least 1−α, use the exact method described in the previous paragraph. See Frey and Zhang (2017) for more details.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128200988000105
Nonparametric Tests
Kandethody M. Ramachandran, Chris P. Tsokos, in Mathematical Statistics with Applications in R (Second Edition), 2015
12.2 Nonparametric Confidence Interval
We have seen that for a large sample, using the Central Limit Theorem, we can obtain a confidence interval for a parameter within a well-defined probability distribution. However, for small samples, we need to make distributional assumptions that are often difficult to verify. For this reason, in practice it is often advisable to construct confidence intervals or interval estimates of population quantities that are not parameters of a particular family of distributions. In a nonparametric setting, we need procedures where the sample statistics used have distributions that do not depend on the population distribution. The median is commonly used as a parameter in nonparametric settings. We assume that the population distribution is continuous.
Let M denote the median of a distribution and X (assumed to be continuous) be any observation from that distribution. Then
PX≤M=PX≥M=12.
This implies that, for a given random sample X1, …, Xn from a population with median M, the distribution of the number of observations falling below M will follow a binomial distribution with parameters n and p = 12, irrespective of the population distribution. That is, let N− be the number of observations less than M. Then the distribution of N− is binomial with parameters n and p = 12 for a sample of size n. Hence, we can construct a confidence interval for the median using the binomial distribution.
For a given probability value α, we can determine a and b such that
PN−≤a=∑i=0ani12i12n−i=∑i=0ani12n=α2
and
PN−≥b=∑i=bnni12i12n−i=∑i=bnni12n=α2.
If exact probabilities cannot be achieved, choose a and b such that the probabilities are as close as possible to the value of α/2. Furthermore, let X(1), X(2), …, X(a), …, X(b), …, X(n) be the order statistics of X1, …, Xn as in Figure 12.2.
Figure 12.2. Ordered sample.
Then the population median will be above the order statistic, Xb,α2100% of the time and below the order statistic, Xa,α2100% of the time. Hence, a (1 – α)100% confidence interval for the median of a population distribution will be
Xa<M<Xb.
We can write this result as P(X(a) < M < X(b)) = 1 – α.
By dividing the upper and lower tail probabilities equally, we find that b = n + 1 – α. Therefore, the confidence interval becomes
Xa<M<Xn+1−a.
In practice, a will be chosen so as to come as close to attaining α2 as possible.
We can summarize the nonparametric procedure for finding the confidence interval for the population median as follows.
Procedure for Finding (1 − α) 100% Confidence Interval for the Median M
For a sample of size n:
- 1.
-
Arrange the data in ascending order.
- 2.
-
From the binomial table with n and p=12, find the value of a such that
pX≤a=α2ornearesttoα2.
- 3.
-
Set b = n + 1 − a.
- 4.
-
Then the confidence interval is such that the lower limit is the ath value and the upper limit is the bth value of the observations in step 1.
Assumptions: Population distribution is continuous; the sample is a simple random sample.
We illustrate this four-step procedure with an example.
Example 12.2.1
In a large company, the following data represent a random sample of the ages of 20 employees.
2431284328564839523238495149623341586356
Construct a 95% confidence interval for the population median M of the ages of the employees of this company.
Solution
For a 95% confidence interval, α = 0.05. Hence, α2 = 0.025. The ordered data are
2428283132333839414348494951525656586263
Looking at the binomial table with n = 20 and p=12, we see that P(X ≤ 5) = 0.0207. Hence, a = 5 comes closest to achieving α2 = 0.025. Hence, in the ordered data, we should use the fifth observation, 32, for the lower confidence limit and the 16th observation (n + 1 – a = 21 – 5 = 16), 56, for the upper confidence limit. Therefore, an approximate 95% confidence interval for M is
32<M<56.
That is, we are at least 95% certain that the true median of the employee ages of this company will be greater than 32 and less than 56.
The data of Example 12.2.1 passes the normality test and we can calculate the 95% parametric confidence interval as (38.40, 49.70). Comparing this to the nonparametric confidence interval, length of parametric confidence interval, in general, is smaller whenever parametric assumption can be made.
Example 12.2.2
A drug is suspected of causing an elevated heart rate in a certain group of high-risk patients. Twenty patients from this group were given the drug. The changes in heart rates were found to be as follows.
−18510212791346420112−11028
Construct a 98% confidence interval for the mean change in heart rate. Can we assume that the population has a normal distribution? Interpret your answer.
Solution
First testing for normality, we get the probability plot shown in Figure 12.3.
Figure 12.3. Normal probability plot for heart rate.
This shows that the normality assumption may not be satisfied, and thus the nonparametric method is more suitable (this conclusion is based strictly on the normal probability plot). Using a box plot, we could also test for outliers. The ordered data are
−1−112223445678891010111220
Looking at the binomial table with n = 20 and p=12, we see that P(X ≤ 4) = 0.006. Hence, a = 4 comes closest to achieving α2 = 0.01. Hence, in the ordered data, we should use the fourth observation, 2, for the lower confidence limit and the 17th observation (n + 1 – a = 21 – 4 = 17), 10, for the upper confidence limit. Therefore, an approximate 98% confidence interval for M is
2<M<10.
That is, we are at least 98% certain that the true median of the mean change in heart rate will be greater than 2 and less than 10.
If we perform the usual t-test, we will get the 98% confidence interval as (3.20, 9.0). However, such an interval is not valid, because the normality assumptions are not satisfied.
Exercises 12.2
- 12.2.1.
-
For the following random sample values, construct a 95% confidence interval for the population median M:
7.25.74.96.28.52.75.96.08.2
- 12.2.2.
-
The following data represent a random sample of end-of-year bonuses for the lower-level managerial personnel employed by a large firm. Bonuses are expressed in percentage of yearly salary.
6.29.28.07.78.49.17.46.78.66.98.910.09.48.812.09.911.79.83.24.6
Construct a 98% confidence interval for the median bonus expressed in percentage of yearly salary of this firm. Also, draw a probability plot and test for normality. Can this be considered a random sample?
- 12.2.3.
-
Air pollution in large U.S. cities is monitored to see if it conforms to requirements set by the Environmental Protection Agency. The following data, expressed as an air pollution index, give the air quality of a city for 10 randomly selected days.
57.358.158.766.758.661.959.064.462.664.9
- (a)
-
Draw a probability plot and test for normality.
- (b)
-
Construct a 95% confidence interval for the actual median air pollution index for this city and interpret its meaning.
- 12.2.4.
-
A random sample from a population yields the following 25 values:
90871219610610789107839211793981209710978879979104859110789
Give a 99% confidence interval for the population median.
- 12.2.5.
-
In an experiment on the uptake of solutes by liver cells, a researcher found that six determinations of the radiation, measured in counts per minute after 20 minutes of immersion, were:
272825852769266228762777
Construct a 99% confidence interval for the population median and interpret its meaning.
- 12.2.6.
-
The nominal resistance of a wire is 0.20 ohm. A testing of the wire randomly chosen from a large collection of such wires yields the following resistance data.
0.1990.2110.1980.2010.1970.2000.1980.208
Obtain a 95% confidence interval for the population median.
- 12.2.7.
-
In order to measure the effectiveness of a new procedure for pruning grapes, 15 workers are assigned to prune an acre of grapes. The effectiveness is measured in worker-hours per acre for each person.
5.25.04.84.53.96.14.24.45.55.84.25.34.94.74.9
Obtain a 99% confidence interval for the median time required to prune an acre of grapes for this procedure and interpret its meaning.
- 12.2.8.
-
The following data give the exercise capacity (in minutes) for 10 randomly chosen patients being treated for chronic heart failure.
15271119122111171322
Obtain a 95% confidence interval for the median exercise capacity for patients being treated for chronic heart failure.
- 12.2.9.
-
The data given below refer to the in-state tuition costs (in dollars) of 15 randomly selected colleges from a list of the 100 best values in public colleges (source: Kiplinger’s Magazine, October 2000).
378840652196736052124137406039563975739540583683399931564354
Obtain a 95% confidence interval for the median in-state tuition costs and interpret its meaning.
- 12.2.10.
-
Sepsis is an extreme immune system response to an infection that has spread throughout the blood and tissues. Sepsis can reduce blood flow to kidneys resulting in acute renal failure (also called acute kidney injury). Relative risk of mortality associated with developing acute renal failure as of sepsis in 16 studies is given below (Crit Care. 2002: 6(6): 509–513).
0.75 2.03 2.29 2.11 0.80 1.50 0.79 1.01 1.23 1.48 2.45 1.02 1.03 1.30 1.54 1.27 Obtain a 95% confidence interval for the median relative risk of mortality.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780124171138000126
Nonparametric Statistics
Kandethody M. Ramachandran, Chris P. Tsokos, in Mathematical Statistics with Applications in R (Third Edition), 2021
12.2 Nonparametric confidence interval
We have seen that for a large sample, using the central limit theorem, we can obtain a confidence interval for a parameter within a well-defined probability distribution. However, for small samples, we need to make distributional assumptions that are often difficult to verify. For this reason, in practice it is often advisable to construct confidence intervals or interval estimates of population quantities that are not parameters of a particular family of distributions. In a nonparametric setting, we need procedures where the sample statistics used have distributions that do not depend on the population distribution. The median is commonly used as a parameter in nonparametric settings. We assume that the population distribution is continuous.
Let M denote the median of a distribution and X (assumed to be continuous) be any observation from that distribution. Then,
P(X≤M)=P(X≥M)=12.
This implies that, for a given random sample X1, …, Xn from a population with median M, the distribution of the number of observations falling below M will follow a binomial distribution with parameters n and p=1/2, irrespective of the population distribution. That is, let N– be the number of observations less than M. Then the distribution of N– is binomial with parameters n and p=1/2 for a sample of size n. Hence, we can construct a confidence interval for the median using the binomial distribution.
For a given probability value α, we can determine a and b such that
P(N−≤a)=∑i=0a(ni)(12)i(12)n−i=∑i=0a(ni)(12)n=α2
and
P(N−≥b)=∑i=bn(ni)(12)i(12)n−i=∑i=bn(ni)(12)n=α2.
If exact probabilities cannot be achieved, choose a and b such that the probabilities are as close as possible to the value of α/2. Furthermore, let X(1), X(2), …, X(a), …, X(b), …,X(n) be the order statistics of X1, …,Xn as in Fig. 12.2.
Figure 12.2. Ordered sample.
Then the population median will be above the order statistic, X(b),(α2)100% of the time and below the order statistic, X(a),(α2)100% of the time. Hence, a (1 – α)100% confidence interval for the median of a population distribution will be
X(a)<M<X(b).
We can write this result as P(X(a)<M<X(b))≥1–α.
By dividing the upper and lower tail probabilities equally, we find that b = n + 1 – α. Therefore, the confidence interval becomes
X(a)<M<X(n+1−a).
In practice, a will be chosen so as to come as close to attaining α2 as possible.
We can summarize the nonparametric procedure for finding the confidence interval for the population median as follows.
Procedure for finding (1−α)100% confidence interval for the median M
For a sample of size n:
- 1.
-
Arrange the data in ascending order.
- 2.
-
From the binomial table with n and p=12, find the value of a such that
p(X≤a)=α2ornearesttoα2.
- 3.
-
Set b = n + 1 − a.
- 4.
-
Then the confidence interval is such that the lower limit is the ath value and the upper limit is the bth value of the observations in step 1.
Assumptions: Population distribution is continuous; the sample is a simple random sample.
We illustrate this four-step procedure with an example.
Example 12.2.1
In a large company, the following data represent a random sample of the ages of 20 employees.
2431284328564839523238495149623341586356.
Construct a 95% confidence interval for the population median M of the ages of the employees of this company.
Solution
For a 95% confidence interval, α = 0.05. Hence, α/2 = 0.025. The ordered data are
2428283132333839414348494951525656586263.
Looking at the binomial table with n = 20 and p=12, we see that P(X ≤ 5) = 0.0207. Hence, a = 5 comes closest to achieving α/2 = 0.025. Hence, in the ordered data, we should use the fifth observation, 32, for the lower confidence limit and the 16th observation (n + 1–a = 21–5 = 16), 56, for the upper confidence limit. Therefore, an approximate 95% confidence interval for M is
32<M<56.
Thus, we are at least 95% certain that the true median of the employee ages of this company will be greater than 32 and less than 56, that is,
P(32<M<56)≥0.95.
The data ofExample 12.2.1passes the normality test and we can calculate the 95% parametric confidence interval as (38.40, 49.70). Comparing this to the nonparametric confidence interval, length of parametric confidence interval, in general, is smaller whenever parametric assumption can be made.
Example 12.2.2
A drug is suspected of causing an elevated heart rate in a certain group of high-risk patients. Twenty patients from this group were given the drug. The changes in heart rates were found to be as follows,
−18510212791346420112−11028.
Construct a 98% confidence interval for the mean change in heart rate. Can we assume that the population has a normal distribution? Interpret your answer.
Solution
First testing for normality, we get the normal probability plot as shown in Fig. 12.3.
Figure 12.3. Normal probability plot for heart rate.
This shows that the normality assumption may not be satisfied, and thus the nonparametric method is more suitable (this conclusion is based strictly on the normal probability plot which is a visual interpretation). Using a box plot, we can also test for outliers. The ordered data are
−1−112223445678891010111220
Looking at the binomial table with n = 20 and p = 12, we see that P (X ≤ 4) = 0.006. Hence, a = 4 comes closest to achieving α/2 = 0.01. Hence, in the ordered data, we should use the fourth observation, 2, for the lower confidence limit and the 17th observation (n + 1–a = 21–4 = 17), 10, for the upper confidence limit. Therefore, an approximate 98% confidence interval for M is
2<M<10.
That is, we are at least 98% certain that the true median of the mean change in heart rate will be greater than 2 and less than 10.
If we perform the usual t-test, we will get the 98% confidence interval as (3.20, 9.0). However, such an interval is not valid, because the normality assumptions are not satisfied and will lead to misinterpretation of the facts.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128178157000129
Nonparametrics
Andrew F. Siegel, Michael R. Wagner, in Practical Business Statistics (Eighth Edition), 2022
The Sign Test
The sign test makes use of this binomial distribution. To test whether the population median could reasonably be $65,536, for example, you could see how many sample values fall below $65,536 and determine if this is a reasonable observation from a binomial distribution. The sign test decides whether the population median is equal to a given reference value based on the number of sample values that fall below that reference value. No arithmetic is performed on the data values, only comparing and counting. Here is the procedure:
The Sign Test
- 1.
-
Count the number of data values that are different from the reference value, θ0. This number is m, the modified sample size.
- 2.
-
Find the limits in the table for this modified sample size.
- 3.
-
Count how many data values fall below the reference value, θ0, and compare this number to the limits in the table.3
- 4.
-
If the count from step 3 falls outside the limits of the table, the difference is statistically significant. If it falls at or within the limits, the difference is not statistically significant.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780128200254000166
One-Way and Higher Designs for Independent Groups
Rand Wilcox, in Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing (Third Edition), 2012
7.1.6 R Function med1way
The R function
med1way(x,grp=NA)
test the hypothesis of equal population medians. The argument x can be any variable having matrix mode or list mode. If a matrix, columns correspond to groups. The argument grp can be used to analyze a subset of the groups if desired. By default, all J groups are compared. So the command med1way(disdat,grp=c(1,3,5)) will compare groups 1, 3, and 5 using the data stored in the variable disdat. The function returns the value of the test statistic, Fm, and the p-value.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B978012386983800007X
Comparing Two Groups
Rand Wilcox, in Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing (Third Edition), 2012
Comparing Medians
As the amount of trimming approaches 0.5, Yuen’s method breaks down; the method for estimating the standard error becomes highly inaccurate resulting inaccurate confidence intervals and poor control over the probability of a Type I error. If there are no tied values in either group, an approach that currently seems to have practical value is as follows. Let M1 and M2 be the sample medians corresponding to groups 1 and 2, respectively, and let S12 and S22 be the corresponding McKean–Schrader estimates of the squared standard errors. Then an approximate 1 − α confidence interval for the difference between the population medians is
(M1−M2)±cS12+S22
where c is the 1 − α/2 quantile of a standard normal distribution. Alternatively, reject the hypothesis of equal population medians if
|M1−M2|S12+S22≥c.
But if there are tied values in either group, control over the probability of a Type I error can be very poor. There are two practical problems, which were noted in Chapter 4. First, with tied values, all known estimators of the standard of the sample median can be highly inaccurate. Second, the sampling distribution of the sample median does not necessarily approach a normal distribution as the sample size gets large. When tied values occur, the only known method for comparing medians that performs well in simulations, in terms of controlling the probability of a Type I error, is the percentile bootstrap method in Section 5.4.2.
Read full chapter
URL:
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780123869838000056
Онлайн калькулятор для нахождения медианы ряда чисел. Медианой (серединой) набора чисел называется число стоящее посередине упорядоченного по возрастанию ряда чисел. Если количество чисел в ряду чётное, то медианой ряда является полусумма двух стоящих посередине чисел.
Применяется в математической статистике — число, характеризующее выборку (например, набор чисел), также используется для вычисления медианной зарплаты.
Формула медианы числового набора, пример вычисления медианы числового ряда: 3, 7, 1, 6, 9
Решение: упорядочиваем список чисел в порядке возрастания: 1, 3, 6, 7, 9. Поскольку количество чисел в ряду нечётное, то число 6 стоящее по середине и будет являться медианой данного ряда.
Пример нахождения медианы ряда чисел: 1, 5, 8, 4, 3, 9
Решение: записываем все числа ряда в порядке возрастания: 1, 3, 4 ,5, 8, 9. Поскольку чисел в ряду чётное, то медиана этого ряда будет равна полусумме двух средних чисел: (4+5)/2 = 4.5
Математика,
вопрос задал banzelart2007,
9 месяцев назад
Ответы на вопрос
Ответ:
Статус города в Казахстане имеют 88 населённых пунктов, из них 27 имеют статус моногородов, или каждый третий[1]. В Казахстане 3 города республиканского значения, 38 городов областного значения, 47 городов районного значения. В городах Казахстана проживает 10 695 120 жителя или 57,40 % населения страны (на 1 января 2020 года)[2
OkayMissUwU:
если не правильно то сори
OkayMissUwU:
Ленингра́дская о́бласть — субъект Российской Федерации, расположенный на северо-западе европейской части страны[7]. Входит в состав Северо-Западного федерального округа и Северо-западного экономического района.
Новые вопросы
Интегрированный урок по математике и географии в 8 классе «Статистические материалы по вопросам народонаселения и математические методы обработки статистических данных» (у рок рассчитан на 90 минут).
Авторы:
Рощина Наталья Леонидовна
Лаврентьева Татьяна Валентиновна
Аннотация:
Учитель математики: Рощина Н. Л.
Учитель географии: Лаврентьева Т. В.
Целью данного урока было показать использование математических методов обработки статистических материалов в курсе географии.
На уроке ученики проводили исследование, используя знания, полученные на уроках математики, в новой ситуации.
Практическая значимость проведенного урока: дети легко включаются в новый блок информации, снимается монотонность урока, идет переключение внимания, что обеспечивает высокую активность и поддерживает интерес к учению.
Статья:
Оборудование.
- Интерактивная
доска. - Микрокалькуляторы.
- Атласы и
контурные карты. - Статистические
материалы (раздаточный материал). - Учебник: В.
П. Дронов, И. И. Баринова и др. «География России. Природа. Население.
Хозяйство». 8 класс. - Учебник: Ю.
Н. Тюрин, А. А. Макаров, И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко. Теория вероятностей
и статистика.
Цели урока:
·
Обработать
статистические данные по населению математическими методами.
·
Проанализировать
полученные результаты и сделать выводы.
·
Определить
целесообразность применения математических методов при обработке статистических
данных.
Термины,
которые необходимо повторить:
Математические:
·
Среднее арифметическое
·
Медиана набора чисел
·
Размах набора чисел
Географические:
·
Демография
·
Город в РФ
·
Поселок городского типа
1-й этап:
Актуализация знаний.
Математика:
1)
Как найти среднее арифметическое нескольких чисел?
2)
Как найти медиану набора чисел, если количество чисел в
наборе – нечетно?
3)
Как найти медиану набора чисел, если количество чисел в
наборе четно?
4)
Как найти размах набора чисел?
География:
Работа с картой
субъектов РФ.
Выделить
цветом на интерактивной карте субъекты
Северо-Западного федерального округа.
1)
Определить по статистическим данным субъекты РФ с
наибольшей и наименьшей численностью населения (таблица 1).
2)
Определить причины
разницы в численности населения субъектов РФ.
3)
Определить по статистическим данным соотношение
городского и сельского населения (таблица 1).
4)
Назовите субъект с самой высокой и самой низкой
численностью городского населения (таблица 1). Объясните причину такого
соотношения.
2-й этап. Исследовательская
работа в группах Интеграция математических знаний в географию.
Работа с
таблицей 1.
- Первая группа определяет среднее
арифметическое численности народонаселения (всего; городское; сельское).
- Вторая группа определяет медиану численности
народонаселения (всего; городское; сельское)
- Третья группа определяет размах численности
народонаселения (всего; городское; сельское)
- Четвертая
группа работает с данными прогноза изменений численности населения
Северо-Западного федерального округа (среднее арифметическое, медиана,
размах) .
Оформление
результатов работы каждой группы на интерактивной доске (таблица 2).
Сравнение
полученных результатов с эталоном (таблица 3).
3-й
этап. Обобщение полученных результатов. Формулирование выводов.
·
Какое из средних значений – среднее арифметическое
или медиана численности народонаселения Северо-Западного региона – дает лучшее
представление об общей численности населения «среднего», «типичного» субъекта
РФ по Северо-западному региону? Сделайте выводы.
·
Какое из средних значений – среднее арифметическое
или медиана численности народонаселения Северо-Западного региона – дает лучшее
представление о численности городского и сельского населения «среднего», «типичного»
субъекта РФ по Северо-Западному региону? Сделайте выводы.
·
Проанализируйте размах численности народонаселения
Северо-Западного региона. Сделайте выводы.
·
Как вы думаете, какие географические факторы и как
влияют на численность народонаселения?
4-й
этап. Фронтальная работа. Интеграция математических знаний в географию.
Использование результатов исследования в группах в новой ситуации.
Работа с таблицей 4.
Заполнение таблицы 5 на интерактивной доске.
Сравнение
полученных результатов с эталоном (таблица 6).
5-й
этап. Обобщение полученных результатов. Формулирование выводов.
·
Какое из средних значений – среднее арифметическое
или медиана прогноза численности народонаселения Северо-Западного региона –
дает лучшее представление о росте численности населения «среднего», «типичного»
субъекта РФ по Северо-западному региону? Сделайте выводы.
·
Проанализируйте размах роста численности
народонаселения Северо-Западного региона. Сделайте выводы.
6-й
этап. Самостоятельная работа.
Выделить
цветом на интерактивной карте субъекты
Дальневосточного федерального округа.
Проверка
присвоения знаний
Определить
среднее арифметическое, медиану и размах численности
народонаселения для Дальневосточного
федерального округа.
Статистические
данные возьмите на странице 263 учебника «География России».
7-й
этап. Обобщение знаний, полученных в результате интеграции математики и
географии. Выводы (формулируются учащимися самостоятельно).
1)
При
обработке статистических данных по населению Северо-Западного
федерального округа наиболее точное среднее значение численности
народонаселения показывает МЕДИАНА.
2)
C географической
точки зрения среднее арифметическое, медиана и размах показали, что население
Северо-Западного федерального округа размещено неравномерно. Это зависит от
природных условий, природных ресурсов, истории заселения территории и уровня
развития экономики.
8-й
этап. Рефлексия.
Ответьте на вопросы:
1)
Поставьте оценку уроку __________
2)
Поставьте оценку себе на уроке _________
3)
Что на уроке было главным? _______________________________________________
4) Что на уроке
было интересным? ____________________________________________
5) Стоит ли в дальнейшем проводить подобные уроки?
___________________________
Домашнее
задание.
1)
Привести другие примеры математических методов
обработки статистических данных.
2)
Обработать статистические данные численности
народонаселения по Уральскому федеральному округу. Сделать выводы.
3)
Подготовиться к тестированию по теме «Население
РФ». Повторить §38- §44.
Приложение 1.
Таблица 1.
Численность
постоянного населения
по
субъектам Северо – Западного федерального округа
|
Субъекты РФ |
Все |
В |
|
|
городское |
сельское |
||
|
Республика Карелия |
760,6 |
562,9 |
197,7 |
|
Республика Коми |
1126,1 |
835,9 |
290,2 |
|
Архангельская область (Ненецкий автономный округ) |
1442,7 (45.0) |
1075,3 (27,2) |
367,4 (17,8) |
|
Вологодская область |
1311,3 |
895,5 |
415,8 |
|
Калининградская обл. |
946,7 |
726,0 |
220,7 |
|
Ленинградская обл. |
1659,1 |
1094,5 |
564,6 |
|
Мурманская область |
988,5 |
906,0 |
82,5 |
|
Новгородская область |
719,4 |
507,6 |
311,8 |
|
Псковская область |
789,5 |
524,9 |
265,0 |
|
Г. Санкт — Петербург |
4627,8 |
4627,8 |
— |
Таблица
2.
|
Все население в тыс. человек |
В |
||
|
городское |
сельское |
||
|
Среднее арифметическое |
|||
|
Медиана численности |
|||
|
Размах численности |
Таблица
3.
|
Все население в тыс. человек |
В |
||
|
городское |
сельское |
||
|
Среднее арифметическое |
1437,17 |
1173,84 |
271,57 |
|
Медиана численности |
1057,3 |
870,95 |
277,6 |
|
Размах численности |
3908,4 |
4120,2 |
564,6 |
Таблица 4.
Прогноз
роста численности населения Северо-Западного федерального округа
|
Год |
Данные В |
|
2009 |
1425,0 |
|
2010 |
1418,9 |
|
2011 |
1413,8 |
|
2020 |
1381,3 |
|
2025 |
1360,0 |
|
2050 |
1251,2 |
|
2070 |
1024,5 |
|
2100 |
997,1 |
Таблица
5.
|
Среднее |
|
|
Медиана |
|
|
Размах |
Таблица
6.
|
Среднее |
1284,0 |
|
Медиана |
1370,7 |
|
Размах |
427,9 |
Приложение 2.
Материалы для
самостоятельной работы.
Фамилия, имя ____________________________
1 Работа в группах.
А) Нанести на контурную карту
субъекты Северо – Западного
федерального округа.
Б) Посчитать среднее
арифметическое, медиану и размах. Заполнить таблицу.
В) Сделать выводы.
|
Все население в тыс. человек |
В том числе |
||
|
городское |
сельское |
||
|
Среднее |
|||
|
Медиана |
|||
|
Размах |
2. Самостоятельная работа.
А) Нанести на контурную карту
субъекты Дальневосточного района.
Б)
Посчитать среднее арифметическое, медиану и размах. Заполнить таблицу.
В) Сделать выводы.
|
Все население в тыс. человек |
В том числе |
||
|
городское |
сельское |
||
|
Среднее |
|||
|
Медиана |
|||
|
Размах |
Приложение 3.
Результаты
обработки рефлексии.
- Оценка уроку
(в среднем по классу) – 5. - Оценка
учеником своей работы на уроке (в среднем по классу) – 4, 8.
3. Главное на уроке: 1) Увидели, что математику можно применять в
географии. 2) Увидели, что не всегда среднее арифметическое дает наиболее точное
среднее значение численности народонаселения. Это может быть и медиана.
4. Что на
уроке было интересным? Работа в группах и самостоятельное исследование.
Обработка статистических данных нестандартными методами (кроме среднего
арифметического, можно использовать для оценки медиану и размах, дающие более
объективную картину в частных случаях).
5. Стоит
ли в дальнейшем проводить подобные уроки? Да, обязательно. И как можно
чаще.