Как найти медиану гипотенузы в равнобедренном треугольнике

Определим и докажем, чему равна медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе.

Утверждение.

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

I способ.

Дано: ∆ABC, ∠BCA=90º

Доказать: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.

2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).

Значит, у него углы при основании равны:∠OAC=∠OCA=α.

3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠B=90º- α.

4) Так как ∠BCA=90º (по условию), то ∠BCO=90º- ∠OCA=90º-α.

5) Рассмотрим треугольник BOC.

∠BCO=90º-α, ∠B=90º- α, следовательно, ∠BCO=∠B.

Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).

Отсюда BO=CO.

6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.

Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы:

   

Что и требовалось доказать.

Этот способ может быть использован для доказательства свойства медианы прямоугольного треугольника в 7 классе, поскольку опирается только на материал, уже знакомый  к моменту изучения данной темы.

Еще один способ доказательства свойства медианы, проведенной к гипотенузе, рассмотрим в следующий раз.

Вчера ко мне подошла старшая дочь и спросила: «Мам, ты знаешь, как найти медиану в равнобедренном треугольнике?» Я в панике начала вспоминать, а что такое медиана? Многое из геометрии я помню, но тема медиан вылетела из головы. Почитав немного теории в учебнике, конечно, я сразу вспомнила и про медианы, и про треугольники. И скажу, что на практике все намного проще, чем в теории.

Вычисление медианы по двум сторонам треугольника

Вообще, медиана – это отрезок, проведенный из угла треугольника к противоположной ему стороне, при этом поделив эту сторону на две равные части.

В равнобедренном треугольнике две стороны и два угла у основания равны. А медиана, проведенная к основанию, не только делит его пополам, но еще и является высотой. Высота в свою очередь образует с основанием прямой угол.

Равнобедренный треугольник поделился на два одинаковых прямоугольных. Высота h в таком треугольнике – это один из катетов. По теореме Пифагора найдем этот катет:

Квадрат катета – это разность квадрата гипотенузы и квадрата второго катета.
Значит, катет – квадратный корень из разности квадрата гипотенузы и квадрата второго катета.

Предположим, в условии даны стороны равнобедренного треугольника: a и b. Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике получилась гипотенуза a и катет b / 2.

Подставляем значения и получаем, что высота равна:

Например, дано: a = 5, b = 6. Найти: h = ?

1. a ^ 2 = 25
2. (b ^ 2) / 4 = 9
3. h ^ 2 = (a ^ 2) – (b ^ 2)
4. h ^ 2 = 25 – 9
5. h ^ 2 = 16
6. h = 4

Вычисление медианы по основанию и площади треугольника

Если из условия задачи мы знаем площадь равнобедренного треугольника и его основание, то без труда найдем медиану.

• Площадь равнобедренного треугольника находится по формуле:
  S = (b * h) / 2
• Выражаем h:
  h = 2S / b
• Например, дано: площадь S = 12, основание b = 6. Найти медиану h.
  h = 2 * 12 / 6
  h = 4

Пока я помогала дочери решать задачи, поняла, что их школьное детство намного проще нашего. Мало того, что все формулы есть в интернете, так еще есть и онлайн-калькуляторы, которые выдают правильный ответ и подробное решение за секунду! Однако это скорее минус. Нам приходилось запоминать все формулы и правила, а сегодняшние дети полагаются на мобильных помощников.

Теперь вы знаете, как найти медиану в равнобедренном треугольнике, это просто и быстро: всего несколько коротких действий. В учебнике по математике найдется много вариантов этой задачи, но само решение основывается на теореме Пифагора. Эта теорема запоминается еще с первых уроков геометрии и остается в памяти навсегда.

Видео по теме

---

Подпишитесь на наши интересные статьи в соцетях!

Или подпишитесь на рассылку

---

Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение медианы прямоугольного треугольника

Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов является прямым (90°), а два остальных – острыми ( Свойства медианы прямоугольного треугольника

Свойство 1

Медиана (AD) в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (∠BAC) к гипотенузе (BC), равна половине гипотенузы.

• BC = 2AD
• AD = BD = DC

Следствие: Если медиана равняется половине стороны, к которой она проведена, то данная сторона является гипотенузой, а треугольник – прямоугольным.

Свойство 2

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

Для нашего треугольника (см. рисунок выше):

Это следует из теоремы Пифагора и Свойства 1.

Свойство 3

Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности.

Т.е. BO – это одновременно и медиана, и радиус.

Примечание: К прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства медианы, независимо от вида треугольника.

Пример задачи

Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, составляет 10 см. А один из катетов равен 12 см. Найдите периметр треугольника.

Решение
Гипотенуза треугольника, как следует из Свойства 1, в два раза больше медианы. Т.е. она равняется: 10 см ⋅ 2 = 20 см.

Воспользовавшись теоремой Пифагора находим длину второго катета (примем его за “b”, известный катет – за “a”, гипотенузу – за “с”):
b 2 = с 2 – a 2 = 20 2 – 12 2 = 256.
Следовательно, b = 16 см.

Теперь мы знаем длины всех сторон и можем посчитать периметр фигуры:
P_△ = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.

Все формулы медианы прямоугольного треугольника

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c , пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике ( M ), равна, радиусу описанной окружности ( R ).

M — медиана

R — радиус описанной окружности

O — центр описанной окружности

с — гипотенуза

a, b — катеты

α — острый угол CAB

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, ( M ):

Формула длины через катеты, ( M ):

Формула длины через катет и острый угол, ( M ):

Медиана в прямоугольном треугольнике

Медиана в прямоугольном треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы.

Все медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении два к одному, считая от вершины:

Из всех медиан прямоугольного треугольника в задачах чаще всего речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе. Это связано с ее свойствами.

Свойства медианы, проведенной к гипотенузе:

1) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

(в следующий раз рассмотрим доказательство этого свойства)

2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной около прямоугольного треугольника окружности.

Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, длины медиан прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и острые углы.

Например:

12 Comments

Информация очень хорошая. Правда не помогла мне решить задачу, которую мой сын не решил на контрольной. приведу условие:
Из прямого угла треугольника проведена медиана на гипотенузу. Длина медианы 6см. Определить катеты.

Петр, данных для определения катетов недостаточно. Длина гипотенузы в 2 раза больше длины медианы — 12 см. Это всё, что можно сказать по данным условия.

не правда надо провести высоту из прямого угла дальше все получится. один катет равен 6 а второй 2 корня из 22

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Проверим 6^2+(2*корень из 22)^2
=36+4*22=36+88=124. Квадрат гипотенузы 12^2=144

попробуйте составить уравнение,обозначив 1 из катетов через х а 2-ой катет обозначьте буквами…x^2+BC^2=12^2…да числа не очень,но это 1 способ..решаю дальше:BC^2=12^2-x^2
BC^2=11x
X^2+11X=144
X^2=12
x(1 катет)=корню из 12,а «-ой катет=11 корней из 12….решал на основе теоремы пифагора

задача имеет бесконечное кол-во решений. решение возможно только в виде формулы или графика, где описана зависимость между катетами и гипотенузой

Да просто треугольник медианой делится на два треугольника с одинаковыми катетами, а дальше как уже предлагалось выше Пифагор во спасение))

А кто вам сказал, что медиана в прямоугольном треугольнике является еще и высотой? Откуда у вас два треугольника с одинаковыми катетами?

Спасибо за понятное объяснение, но у нас задача немного другая.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С= 90 градусов,медиана ВВ1 равна 10 см.Найдите медианы АА1 СС1, если известно, что АС=12 см.( используя т.Пифагора.

1) Рассмотрим треугольник BB1C. В нём угол С равен 90 градусов, BB1=10 см, B1C=6 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим BC: BC=8 см. 2) Рассмотрим треугольник AA1C. В нём угол С равен 90 градусов, AC=12 см, AA1=4 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим AA1: AA1=4√10 см.3) Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AB: AB=4√13 см. 4) CC1=1/2 AB (как медиана, проведённая к гипотенузе), CC1=2√13 см.
Где-то так.

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медиан, проведенных к основанию и боковым сторонам равнобедренного треугольника, а также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение медианы

Медианой называется отрезок в треугольнике, который соединяет вершину и середину противоположной стороны.

• BD – медиана △ABC;
• AD = DC.

Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны (боковые), а третья сторона – это основание фигуры.

• AB = BC – боковые стороны;
• AC – основание.

Свойства медианы в равнобедренном треугольнике

Свойство 1

Медиана в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, одновременно является высотой, опущенной на основание, и биссектрисой угла, из которого она проведена.

• BD – медиана и высота, опущенная на основание AC, а также биссектриса угла ABC.
• ∠ABD = ∠CBD

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике медианы пресекаются в одной точке (центр тяжести) и делятся в этой точке в отношении 2:1.

• O – центр тяжести или центроид треугольника;
• AO = 2OF;
• BO = 2OD;
• CO = 2OE.

Свойство 3

Медиана делит равнобедренный треугольник на 2 равных по площади (равновеликих) треугольника. Следовательно, S₁ = S₂.

Свойство 4

Если провести три медианы в равнобедренном треугольнике, образуются 6 равновеликих треугольников (S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆).

Свойство 5

Длину медианы в равнобедренном треугольнике, проведенную к основанию, можно найти по следующей формуле:

• a – основание;
• b – боковая сторона.

Свойство 6

Данной свойство, в отличие от перечисленных выше, не относится к медиане, опущенной на основание фигуры. Оно гласит:

Медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.

AF = CE, следовательно, AE = EB = BF = FC.

Пример задачи

Основание равнобедренного треугольника равняется 7 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину медианы, проведенной к основанию фигуры.

Решение
Воспользуемся формулой, представленной в Свойстве 5, подставив в нее известные нам по условиям задачи значения:

О нас

Демоверсии

Учебные пособия

Справочник по математике

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Треугольники

Фигура	Рисунок	Формулировка
Прямоугольный треугольник		Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называют прямоугольным треугольником. Сторону, лежащую против угла в 90°, называют гипотенузой, две другие стороны называют катетами.
Катеты прямоугольного треугольника	Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.
Равнобедренный прямоугольный треугольник		Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°.
Прямоугольный треугольник с углом в 30°		Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Катет, равный половине гипотенузы	Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30°.
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника		Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.Посмотреть доказательство
Медиана треугольника, равная половине стороны, к которой она проведена	Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.
Центр описанной окружности		Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности.Посмотреть доказательство
Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
Теорема Пифагора		В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c2 = a2 + b2 Посмотреть доказательство
Обратная теорема Пифагора	Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

Прямоугольный треугольник

Определение прямоугольного треугольника: Треугольник, у которого один из углов равен 90°, называют прямоугольным треугольником. Сторону, лежащую против угла в 90°, называют гипотенузой, две другие стороны называют катетами. Свойство катетов прямоугольного треугольника: Длины катетов прямоугольного треугольника меньше длины гипотенузы.

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Определение равнобедренного прямоугольного треугольника: Равнобедренным прямоугольным треугольником называют такой прямоугольный треугольник, у которого равны катеты. Свойство углов прямоугольного треугольника: Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны 45°.

Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Признак прямоугольного треугольника с углом в 30°: Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30°.

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника

Свойство медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника: Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Посмотреть доказательство Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то такой треугольник является прямоугольным.

Центр описанной окружности

Свойство окружности, описанной около прямоугольного треугольника: Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около него окружности. Посмотреть доказательство Признак прямоугольного треугольника: Если в треугольнике центр описанной окружности лежит на одной из сторон, то этот треугольник является прямоугольным треугольником, а центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c2 = a2 + b2 Посмотреть доказательство Обратная теорема Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/demo/traininggia.htm

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике: самые простые и запоминающиеся формулы для учеников

Как известно, геометрия – непростая наука, требующая особой аккуратности и точности в решении задач. Многие выражения и формулы, которые мы впоследствии используем в более сложных вычислениях, изложены в учебниках по математике 6-7 класса. Чтобы сделать процесс изучения тригонометрических функций более простым и приятным, в этой статье мы рассмотрим несколько коротких способ вычисления гипотенузы прямоугольного треугольника.

Как найти гипотенузу по катетам?

Вспомним немного теории: прямоугольным треугольником называют плоскую фигуру, у которой есть три угла. Один из них имеет величину 90º, а стороны называют катетами и гипотенузой.

Та сторона, которая противолежит прямому углу, и есть гипотенуза, а остальные две – это прилежащие катеты. Главная игра сторон проявляется в теореме Пифагора, согласно которой гипотенуза равняется сумме квадратов катетов.

Однако это лишь кажется запутанным, ведь на самом деле все гораздо проще.

Свойства геометрической фигуры

Перед тем, как найти гипотенузу треугольника, необходимо разобраться, какие особенности имеет данная фигура. Рассмотрим главные из них:

1. В прямоугольном треугольнике оба острых угла в сумме будут равны 90º.
2. Катет, лежащий против угла в 30º, будет равен ½ от величины гипотенузы.
3. Если катет равен ½ от значения гипотенузы, тогда второй угол будет иметь такую же величину – 30º.

Найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике можно несколькими способами. Самым простым решением является вычисление через катеты. Допустим, вам известны значения катетов сторон А и В.

Тогда на выручку приходит теорема Пифагора, повествующая нам, что если поставить каждую величину катета в квадрат и просуммировать полученные данные, мы узнаем чему равна гипотенуза.

Таким образом, нам необходимо просто извлечь значение квадратного корня:

Как найти гипотенузу через угол?

Еще одним способом, который поможет узнать, чему равна гипотенуза в прямоугольном треугольнике, является вычисление через заданный угол. Для этого нам потребуется вывести величину через формулу синуса. Допустим, нам известна величина катета (А) и значение противолежащего угла (α). Тогда все решение заключается в одной формуле: С=А/sin(α).

1. Например, если длина катета 40 см, а угол составляет 45°, тогда длину гипотенузы можно вывести следующим образом:
2. 40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.
3. 

Определить искомую величину можно также через косинус заданного угла. Допустим, нам известно значение одного катета (В) и острого прилежащего угла (α). Тогда для решения задачи понадобится одна формула: С=В/ cos(α).

• К примеру, если длина катета имеет значение 50 см, а угол составляет 45°, тогда гипотенузу можно вычислить следующим образом:
• 50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.
• 

Таким образом, мы рассмотрели основные способы как узнать гипотенузу в треугольнике. В ходе решения задания важно сконцентрировать внимание на имеющихся данных, тогда найти неизвестную величину будет достаточно просто. Необходимо знать всего пару формул и процесс решения задач станет простым и приятным.

Источник: https://otvetkak.ru/other/kak-najti-gipotenuzu-v-pryamougolnom-treugolnike.html

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике

Гипотенуза – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она лежит напротив прямого угла. Длина гипотенузы может быть найдена различными способами.

Если известна длина обоих катетов, то ее размер вычисляется по теореме Пифагора: сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.

Соответственно длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике вычисляется по формуле:

К примеру: катет a = 3 см, катет b = 4 см.
Чтобы найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, подставим числа в формулу. =5 см

Преобразовав эту формулу можно найти и длину одного неизвестного катета.
,
В случае если известна длина катета A и гипотенузы C, угол α можно определить по формуле:
Второй угол будет вычисляться так: β = 180°-90°-α. Зная, что сумма всех углов составляет 180°, вычитаем прямой угол и уже известный.

К примеру: A = 3 см, C=5 см, подставляем значения в формулу: =0,6
По таблицу синусов угол α будет приблизительно равен 36°, соответственно угол β = 54°.

Если по условиям даны параметры двух катетов, то можно найти острый угол по следующей формуле:

К примеру: A = 3 см, B = 4 см
Подставляем значения в формулу =0,75
По таблице тангенсов угол α будет равняться 36°, соответственно угол β = 54°.

Также стороны прямоугольного треугольника можно найти по различным формулам в зависимости от количества известных переменных.

A

B
C

При расчете параметров прямоугольного треугольника важно обращать внимание на известные значения и решать задачу по самой простой формуле.

Источник: https://2mb.ru/matematika/geometriya/gipotenuza-v-pryamougolnom-treugolnike/

Формула гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника

1001student.ru > Геометрия > Формула гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника

В повседневной жизни каждому человеку время от времени приходится решать задачи из школьной программы.

Несмотря на то что многие в детстве считали эти знания ненужными, сейчас все понимают, что были неправы.

Например, в любой момент может понадобиться найти длину гипотенузы равнобедренного треугольника, формулу расчета которой несложно вывести самостоятельно. Для этого следует вспомнить законы геометрии.

Законы геометрии

В первую очередь надо определиться с терминами. Чтобы в дальнейшем было понятно, что означают те или иные геометрические понятия, необходимо вспомнить следующие определения:

• треугольник;
• сторона;
• угол;
• бедро;
• равнобедренный;
• равносторонний;
• прямоугольный;
• гипотенуза;
• катет;
• теорема.

Треугольник – это замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трех точек, соединенных последовательно тремя отрезками, которые являются сторонами этой фигуры. Прямые, исходящие из одной точки, образуют угол.

Каждый треугольник состоит из трех сторон. Исходящие из одной вершины стороны называются бедрами, поэтому фигура, у которой минимум две стороны имеют равную длину, называется равнобедренной. В случае когда все стороны фигуры равны, она называется равносторонним треугольником.

Треугольник, в котором есть прямой угол, называется прямоугольным. Прямым в геометрии называется угол в 90 градусов. Поскольку в каждой треугольной фигуре сумма всех углов равна 180 градусов, то в ней может быть только один прямой угол. Гипотенуза в переводе с греческого языка означает «натянутая» – это сторона треугольника, которая лежит напротив прямого угла.

Катет – это одна из двух других сторон прямоугольного треугольника, тоже греческое слово, которое в переводе означает опущенный, отвесный или перпендикуляр. Катеты одновременно являются бедрами, а в равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза служит еще и основанием.

Теорема – это истина, которую надо доказать. Одно из самых известных и значимых правил геометрии – это теорема Пифагора.

Теорема Пифагора

Древнегреческий математик и философ Пифагор, если верить историкам, первым нашел правильный расчет соотношения размеров длин катетов и гипотенузы. Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы в квадрате равна сумме длин катетов, возведенных в квадрат. Можно кратко описать теорему, обозначив гипотенузу буквой Г, а катеты — К1 и К2:

Г2 =К12 + К22

Как вычислить формулу

Если довериться логике и Пифагору, то легко высчитать, что размер самой длинной стороны треугольника будет равен квадратному корню из суммы квадратов двух меньших сторон. Если учесть, что в равнобедренном треугольнике катеты равны, то формулу можно усовершенствовать.

Гипотенузу равнобедренного треугольника можно рассчитать путем вычисления квадратного корня из квадрата длины катета, умноженного на два.

Вопрос на засыпку

Чтобы ответить на вопрос, как найти гипотенузу равностороннего треугольника, надо вспомнить, чему равен каждый его угол.

При любой длине сторон в этой фигуре, сумма всех углов неизменна и равна 180 градусов, соответственно каждый из них в этой фигуре равен 60 градусов.

Прямого угла в такой фигуре не может быть по определению, поэтому нет и гипотенузы. Значит, поставленный вопрос некорректен и не имеет ответа.

Практическое применение

В каких сферах повседневной жизни может понадобиться знание формулы? Эта тема находит практическое применение в архитектуре, строительстве, физике, математике, астрономии и других областях народного хозяйства, например:

• Для дизайнера, работающего над планировкой дома или квартиры, важно знать, является ли конкретный угол прямым. Высчитав длину всех сторон, можно сделать вывод о размере угла.
• В организациях, занимающихся оптовой торговлей или транспортными услугами, для правильного построения логистической схемы распределения товара между розничными точками порой необходимо рассчитывать самые краткие и оптимальные пути передвижения между различными объектами.
• На даче или огороде можно правильно рассчитать длину лестницы, необходимой для установки на определенную высоту под определенным углом, чтобы легко взбираться на мансарду или чердак.

Если внимательно оглядеться вокруг, можно различить большое количество разнообразных геометрических фигур.

Где геометрия, там и возможности использовать ее правила и формулы расчетов, в том числе и формулу длины гипотенузы.

Источник: https://1001student.ru/geometriya-2/formula-gipotenuzy-ravnobedrennogo-pryamougolnogo-treugolnika.html

Свойство медианы прямоугольного треугольника

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Пусть СМ — медиана прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С.
Проведем через вершину В прямую m, параллельную катету АС.
Через вершину А проведем прямую n, параллельную катету ВС.

Прямые m и n пересекаются в точке К.

Мы получили прямоугольник АКВС (параллелограмм, в котором угол С – прямой).
Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

Задача ЕГЭ по теме «Медиана прямоугольного треугольника»
В треугольнике ABC угол ACB равен , угол B равен , CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это значит, что треугольник CBD – равнобедренный, CD = BD. Тогда

Источник: https://ege-study.ru/mediana-pryamougolnogo-treugolnika

Гипотенуза и угол «α» прямоугольного треугольника

Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и угол α, то можно сразу вычислить катеты и угол β из свойства суммы углов треугольника и отношений синуса и косинуса. (рис. 79.1)
β=90°-α
a=c sin⁡α
b=c cos⁡α

Периметр, заданный суммой катетов и гипотенузы, можно представить в виде суммы известной гипотенузы и выраженных через нее катетов.
P=a+b+c=c sin⁡α+c cos⁡α+c=c(sin⁡α+cos⁡α+1)

Площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, следовательно, чтобы рассчитать площадь через гипотенузу и угол α, необходимо также заменить неизвестные на соответствующие выражения.
S=ab/2=(sin⁡α cos⁡α)/2

Треугольник, в котором один угол прямой, будет иметь всего одну высоту, опущенную на гипотенузу. Из любого внутреннего прямоугольного треугольника, полученного с помощью дополнительного построения высоты, можно выразить ее, как произведение катета и синуса угла. (рис. 79.2)
h=b sin⁡α=c cos⁡α sin⁡α

Найти медиану прямоугольного треугольника проще всего, если она опущена на гипотенузу, в таком случае она будет равна ее половине. Медианы катетов вычисляются по стандартным формулам с заменой переменных через гипотенузу. (рис.79.

3)
m_с=c/2
m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4 〖c^2 sin^2〗⁡α+〖c^2 cos^2〗⁡α )/2=(с√(3 sin^2⁡α+1))/2
m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4 〖c^2 cos〗^2⁡α+sin^2⁡α )/2=(с√(3 cos^2⁡α+1))/2

Рассчитать биссектрисы прямоугольного треугольника тоже достаточно просто, если использовать специальные формулы, зная гипотенузу и угол α. Преобразуя выражения, можно упростить их до следующих тождеств. (рис. 79.

4)
l_с=(ab√2)/(a+b)=(c sin⁡α cos⁡α √2)/(sin⁡α+cos⁡α )
l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(c cos⁡α √(2c(c cos⁡α+c) ))/(c cos⁡α+c)=(c cos⁡α √(2(cos⁡α+1) ))/(cos⁡α+1)
l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)=(c sin⁡α √(2c(c sin⁡α+c) ))/(c sin⁡α+c)=(c sin⁡α √(2(sin⁡α+1) ))/(sin⁡α+1)

Проведенная средняя линия прямоугольного треугольника создает внутри него еще один подобный треугольник в два раза меньше первоначального, поэтому сама она равна половине параллельной ей стороны. (рис. 79.7)
M_a=a/2=(c sin⁡α)/2
M_b=b/2=(c cos⁡α)/2
M_c=c/2

Прямоугольный треугольник может быть вписан в окружность и описан вокруг нее.

Радиус вписанной окружности внутри треугольника можно вычислить, сложив катеты за вычетом гипотенузы, и разделив полученное число на два.

Рассчитать радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника через гипотенузу еще проще, так как он равен ее половине. (рис. 79.5, 79.6)
r=(a+b-c)/2=(c sin⁡α+c cos⁡α-c)/2=c/2 (sin⁡α+cos⁡α-1)
R=c/2

Источник: https://geleot.ru/education/math/geometry/calc/triangle/hypotenuse_and_angle_a