Как найти медиану к большей стороне треугольника

Задача.
Найдем медиану треугольника, проведенную к большей его стороне, если стороны треугольника равны 17 см, 23 см и 37 см.

Решение.
Дано:  ABC,
BC=17 см, AC=23 см, AB=37 см,
BO — медиана.
Найти: BO.

Решение.
1) Отложим на луче BO отрезок OD, причем BO=OD.
2) Соединим точки А и D, C и D.
3) из полученного четырехугольника ABCD:
отрезки CO=AO (поскольку BO является медианой треугольника ABC согласно условию);
BO=DO (по результатам построения).
Получаем, что диагонали четырехугольника ABCD точкой пересечения делятся пополам, следовательно, данный четырехугольник ABCD является параллелограммом (согласно признаку).
4) Используем свойства диагоналей параллелограмма:

   

   

   

   

   

   

По построению :

   

Ответ. 26,4 см.

При решении этой задачи мы, по сути, вывели формулу для нахождения медианы треугольника по трем его сторонам. Поскольку медиану принято обозначать буквой m, а в индексе ставить обозначение стороны, к которой она проведена, то медиана, проведенная к стороне b, находится по формуле:

   

Аналогичным образом записываются формулы для нахождения остальных двух медиан.

Введение

Наверняка за то время, что вы изучаете геометрию, вы решили множество задач, в условии которых встречались медианы или биссектрисы. Обычно наличие таких слов предполагало лишь формальное использование определения медианы или биссектрисы, то есть то, что какая-то сторона либо какой-то угол разделены пополам.

Чуть реже мы использовали специфические свойства медиан и биссектрис. Но что делать, если нужно найти длину самой медианы или биссектрисы? Сейчас мы об этом и поговорим.

[00:0:54/Теорема о сторонах и диагоналях параллелограмма]

Докажем сначала полезную вспомогательную теорему о параллелограмме.

Теорема

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон: .

Доказательство

Рассмотрим треугольники  и  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству теоремы

По теореме косинусов для треугольника  имеем .

По теореме косинусов для треугольника  имеем .

Теперь заметим, что  и  – секущая, то есть углы  и  – внутренние односторонние, а значит, их сумма равна . Следовательно, их косинусы равны по модулю и противоположны по знаку: . Учитывая это, сложим два равенства, получаем: .

Теорема доказана.

Длина медианы

Эта теорема и сама по себе довольно полезна, потому что с ее помощью можно быстро найти недостающую сторону или диагональ параллелограмма. Но для нас сейчас особенно важно, что именно с помощью этой теоремы мы получим формулу для вычисления длины медианы треугольника. Для этого воспользуемся одним полезным стандартным приёмом при решении геометрических задач – удвоением медианы.

Теорема

Длину медианы треугольника можно вычислить по формуле:  (Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме о длине медианы треугольника

Доказательство

Продлим медиану  на ее длину за точку  – получим точку . Заметим, что  – параллелограмм по признаку: диагонали делятся точкой пересечения пополам (Рис. 3).

Рис. 3. Удвоение медианы

Значит, к нему можно применить доказанную нами теорему о сторонах и диагоналях параллелограмма:

Теорема доказана.

Итак, теперь мы умеем находить медиану треугольника, зная длины трёх его сторон. Воспользуемся этим для решения различных задач.

Примеры

Пример 1

Стороны треугольника равны  и . Найти медиану, проведенную к большей стороне.

Решение

Воспользуемся формулой для длины медианы: .

Подставляем в неё известные из условия длины сторон:

Ответ: .

Пример 2

В треугольнике : , , медиана . Найти .

Решение

Воспользуемся формулой для длины медианы и подставим в неё данные из условия:

Ответ: .

Формула длины медианы применяется и для доказательства теорем.

---

Доказательство теоремы

Теорема

Если в треугольнике две медианы равны, то он равнобедренный.

Доказательство

Пусть  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме

Выразим длины обеих медиан через длины сторон треугольника и приравняем полученные формулы:

.

Получаем, что треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.

---

Длина биссектрисы

Длину биссектрисы ищут гораздо реже. Однако формула для вычисления её длины может быть полезна для решения некоторых задач.

Теорема

Длину биссектрисы треугольника можно вычислить по формуле:  (Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Доказательство

Воспользуемся методом площадей. Запишем формулы для вычисления площади некоторых треугольников:

С другой стороны, площадь треугольника равна сумме площадей двух непересекающихся треугольников, из которых он состоит: . Тогда

Теорема доказана.

Пример

Рассмотрим задачу, которую можно решить, используя полученную формулу.

Задача

Пусть в треугольнике , , . Требуется найти биссектрису  (Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Решение

Воспользуемся полученной формулой для длины биссектрисы:

Нахождение биссектрисы по трём сторонам

Можно ли найти длину биссектрисы, если известны только длины трёх сторон треугольника? Конечно, можно по теореме косинусов найти косинус соответствующего угла треугольника, а затем по формуле косинуса двойного угла найти косинус половины угла и применить доказанную нами формулу длины биссектрисы. Но есть и другой алгоритм.

---

Пример

Пусть в треугольнике :  и . Найти биссектрису  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение

1. Первым делом найдем . Заметим, что по свойству биссектрисы , значит, .

2. Далее по теореме косинусов для треугольника  находим косинус угла :

3. Теперь применим теорему косинусов к треугольнику :

Если этот метод вам понравился больше, то можно использовать для нахождения длины биссектрисы и его. Впрочем, в формулу подставлять гораздо проще.

---

Кстати, если даны три стороны, то есть еще одна формула, позволяющая найти длину биссектрисы:  где  и  – отрезки, на которые сторона  делится биссектрисой (Рис. 6).

Рис. 6. Нахождение биссектрисы по трем сторонам

---

Доказательство

Пусть  – точка пересечения продолжения биссектрисы  и окружности, описанной около  (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству

Тогда треугольники  и  подобны (одна пара углов равна по определению биссектрисы, а углы  и  – вписанные и опираются на одну дугу).

Значит, , то есть .

Осталось заметить, что по теореме о пересекающихся хордах: , подставив это в полученное равенство, получим требуемое:

---

Заключение

На этом уроке мы познакомились с формулами для вычисления длины медианы и биссектрисы в треугольнике. Помимо этого, доказали важную теорему о сторонах и диагоналях параллелограмма и решили несколько задач на применение выведенных формул.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009.
2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов. М.: Просвещение, 2002.
3. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «syl.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «www-formula.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «zdesformula.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Вычислите длину биссектрисы треугольника , проведённую из вершины , если .
2. Длины катетов прямоугольного треугольника равны  и . Найдите длину биссектрисы прямого угла треугольника.
3. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна . Медиана, проведённая к боковой стороне, равна . Найдите длину основания треугольника.

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

• AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
• AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

Длину медианы m_a, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S_△ = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Все формулы медианы треугольника

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, ( M ):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):

По сторонам треугольника найти его медиану

Рассмотрим задачу, в которой требуется по сторонам треугольника найти его медиану.

Даны стороны треугольника. Найти длину медианы, проведенной к наибольшей стороне.

Дано: ∆ ABC,

сторона AC — наибольшая,

1) На луче BO отложим отрезок OD, OD=BO.

2) Проведем отрезки AD и CD.

3) Рассмотрим четырехугольник ABCD.

AO=CO (так как BO — медиана треугольника ABC по условию);

BO=DO (по построению).

Так как диагонали четырехугольника ABCD в точке пересечения делятся пополам, то ABCD — параллелограмм (по признаку).

так как BO=1/2 BD (по построению),

Если ввести обозначение

формула для нахождения медианы треугольника по его сторонам примет вид:

Запоминать эту формулу не обязательно. При решении конкретной задачи следует привести все рассуждения.

Если медиана проведена не к наибольшей, а к наименьшей либо средней по величине стороне, решение задачи аналогично.

Соответственно, формулы для нахождения длины медианы в этих случаях:

Приём, который применили для решения задачи — метод удвоения медианы.

Приложения: