Загрузить PDF
Загрузить PDF
Среднее значение, медиана и мода — значения, которые часто используются в статистике и математике. Эти значения найти довольно легко, но их легко и перепутать. Мы расскажем, что они из себя представляют и как их найти.
-
1
Сложите все числа, которые вам даны. Допустим, вам даны числа 2, 3 и 4. Сложим их: 2 + 3 + 4 = 9.
-
2
Сосчитайте количество чисел. У нас есть три цифры.
-
3
Разделите сумму чисел на их количество. Берем 9, делим на 3. 9/3 = 3. Среднее значение в данном случае равно 3. Помните, что не всегда получается целое число.
Реклама
-
1
Запишите все числа, которые вам даны, в порядке возрастания. Например, нам даны числа: 4, 2, 8, 1, 15. Запишите их от меньшего к большему, вот так: 1, 2, 4, 8, 15.
-
2
Найдите два средних числа. Мы расскажем, как это сделать, если у вас имеется четное количество чисел, и как это сделать, если количество чисел нечетное:
- Если у вас нечетное количество чисел, вычеркните левое крайнее число, затем правое крайнее число и так далее. Один оставшийся номер и будет искомой медианой. Если вам дан ряд чисел 4, 7, 8, 11, 21, тогда 8 — медиана, так как 8 стоит посередине.
- Если у вас четное количество чисел, вычеркните по одному числу с каждой стороны, пока у вас не останется два числа посередине. Сложите их и разделите на два. Это и есть значение медианы. Если вам дан ряд чисел 1, 2, 5, 3, 7, 10, то два средних числа — это 5 и 3. Сложим 5 и 3, получим 8, разделим на два, получим 4. Это и есть медиана.
Реклама
-
1
Запишите все числа в ряд. Например, вам даны числа 2, 4, 5, 5, 4 и 5. Запишите их в порядке возрастания.
-
2
Найдите число, которое чаще всего встречается. В данном случае это 5. Если два числа встречаются одинаково часто, то этот ряд двухвершинный или бимодальный, а если больше — то мультимодальный.
Реклама
Советы
- Вам будет легче найти моду и медиану, если вы запишете числа в порядке возрастания.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 355 996 раз.
Была ли эта статья полезной?
Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!
Почему??? При чём тут прямой угол?
Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.
Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?
Проведём диагональ ( displaystyle BD):
Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?
Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»
Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).
Она называлась у нас ( displaystyle M).
Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!
Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.
Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?
Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.
Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике
Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.
Задача №1:
В ( displaystyle Delta ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN).
Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).
Рисуем:
Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!
Ура! Можно применить теорему Пифагора!
Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!
Применяем теорему Пифагора:
( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})
( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)
Ответ: ( AB=13)
А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?
Запомни очень важный факт:
Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.
Сложно? Смотри на рисунок:
Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.
Запомни:
- ( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
- ( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
- ( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.
Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.
Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.
Доказательство теоремы о трех медианах треугольника
Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).
Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?
Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?
- ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
- ( displaystyle NK=frac{AC}{2}).
А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) — поставим точку ( displaystyle G).
Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:
- ( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
- ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).
Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).
Что из этого следует?
- ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
- ( displaystyle NK=FG)
Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?
Конечно же, только у параллелограмма!
Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что?
А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.
Снова смотрим на рисунок.
Получилось что:
Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам
Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.
Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.
Как с этим справиться?
Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.
ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник
В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники.
ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия
Большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники. Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.
Но на уроках этой темы мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше.
И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.
В этом видео мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.
ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство
Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!
Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.
В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.
Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.
Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.
В поисках средних значений: разбираемся со средним арифметическим, медианой и модой
В поисках средних значений: разбираемся со средним арифметическим, медианой и модой
Иногда при работе с данными нужно описать множество значений каким-то одним числом. Например, при исследовании эффективности сотрудников, уровня вовлеченности в аккаунте, KPI или времени ответа на сообщения клиентов. В таких случаях используют меры центральной тенденции. Их можно называть проще — средние значения.
Но в зависимости от вводных данных, находить среднее значение нужно по-разному. Основной набор задач закрывается с использованием среднего арифметического, медианы и моды. Но если выбрать неверный способ — выводы будут необъективны, а результаты исследования нельзя будет признать действительными. Чтобы не допустить ошибку, нужно понимать особенности разных способов нахождения средних значений.
Cтратег, аналитик и контент-продюсер. Работает с агентством «Палиндром».
Как считать среднее арифметическое
Использовать среднее арифметическое стоит тогда, когда множество значений распределяются нормально ― это значит, что значения расположены симметрично относительно центра. Как выглядит нормальное распределение на графике и в таблице, можно посмотреть на примере:
Если данные распределяются как в примерах — вам повезло. Можно без лишних заморочек считать среднее арифметическое и быть уверенным, что выводы будут объективны. Однако, нормальное распределение на практике встречается крайне редко, поэтому среднее арифметическое в большинстве случаев лучше не использовать.
Как рассчитать
Сумму значений нужно поделить на их количество. Например, вы хотите узнать средний ER за 4 дня при нормальном распределении значений и без аномальных выбросов. Для этого считаем среднее арифметическое: складываем ER всех дней и делим полученное число на количество дней.
Если хотите автоматизировать вычисления и узнать среднее арифметическое для большого числа показателей — используйте Google Таблицы:
- Заполните таблицу данными.
- Щелкните по пустой ячейке, в которую хотите записать среднее арифметическое.
- Введите «=AVERAGE(» и выделите ряд чисел, для которых нужно вычислить среднее арифметическое. Нажмите «Enter» после ввода формулы.
Когда можно не использовать
Если данные распределены ненормально, то наши расчеты не будут отражать реальную картину. На ненормальность распределения указывают:
- Отсутствие симметрии в расположении значений.
- Наличие ярко выраженных выбросов.
Как пример ненормального распределения (с выбросами) можно рассматривать среднее время ответа на комментарии по неделям:
Если посчитать среднее значение для такого набора данных с помощью среднего арифметического, то получится завышенное число. В итоге наши выводы будут более позитивными, чем реальное положение дел. Еще стоит учитывать, что выбросы могут не только завышать среднее значение, но и занижать его. В таком случае вы получите более скромный показатель, который не будет соответствовать реальности.
Например, в группе «Золотое Яблоко» во ВКонтакте иногда публикуют конкурсные посты. Они набирают более высокие показатели вовлеченности чем обычные публикации. Если посчитать средний ER с учетом конкурсов, мы получим 0,37%, а без учета конкурсов — только 0,29%. Аналогичная ситуация с числом комментариев. С конкурсами в среднем получаем 917 комментариев, а без конкурсов — всего лишь 503. Очевидно, что из-за розыгрышей средние показатели вовлеченности завышаются. В этом случае конкурсные посты следует исключить из анализа, чтобы объективно оценить эффективность контента в группе.
Еще часто бывает так, что данных очень много, заметны явные выбросы, но на их обработку и исключение аномальных значений не хватит ни времени, ни терпения. Тем более нет гарантий, что исключив выбросы, вы получите нормальное распределение. В таком случае лучше подсчитать средние значения, используя медиану.
Как найти медиану и когда ее применять
Если вы имеете дело с ненормальным распределением или замечаете значительные выбросы — используйте медиану. Так можно получить более адекватное среднее значение, чем при использовании среднего арифметического. Чтобы понять, как работать с медианой, рассмотрим аналогичный пример с ненормальным распределением времени ответов на комментарии.
Ниже в таблице уже введены данные из графика и рассчитано среднее время ответа с помощью среднего арифметического и медианы. Из расчетов видна наглядная разница между средним арифметическим и медианой ― она составляет 17 минут. Такое различие появляется из-за низкого темпа работы на выходных и в нестандартных ситуациях, когда к ответу на сообщения нужно относиться с особой ответственностью (события конца февраля). Подобные выбросы сильно завышают среднее арифметическое, а вот на медиану они практически не влияют. Поэтому если хотите посчитать среднее значение избегая влияния выбросов, — используйте медиану. Такие данные будут без искажений.
Как рассчитать
Разберем на примере. В аккаунте опубликовали семь постов и они набрали разное количество комментариев: 35, 105, 2, 15, 2, 31, 1. Чтобы вычислить медиану, нужно пройти два этапа:
- Расположите числа в порядке возрастания. Итоговый ряд будет выглядеть так: 1, 2, 2, 15, 31, 35, 105.
- Найдите середину сформированного ряда. В центре стоит число 15 — его и нужно считать медианой.
Немного сложнее найти медиану, если вы работаете с четным количеством чисел. Например, вы собрали количество лайков на последних шести постах: 32, 48, 36, 201, 52, 12. Чтобы найти медиану, выполните три действия:
- Расставьте числа по возрастанию: 12, 32, 36, 48, 52, 201.
- Возьмите два из них, наиболее близких к центру. В нашем случае — это 36 и 48.
- Сложите два этих числа и разделите на два: (36 + 48) / 2 = 42. Результат и есть медиана.
Чтобы вычислять медиану быстрее и обрабатывать большие объемы данных — используйте Google Таблицы:
- Внесите данные в таблицу.
- Щелкните по свободной ячейке, в которую хотите записать медиану.
- Введите формулу «=MEDIAN(» и выделите ряд чисел, для которых нужно рассчитать медиану. Нажмите «Enter», чтобы все посчиталось.
Когда можно не использовать
Если данные распределены нормально и вы не видите заметных выбросов — медиану можно не использовать. В этом случае значение среднего арифметического будет очень близким к медиане. Можете выбрать любой способ нахождения среднего, с которым вам работать проще. Результат от этого сильно не изменится.
Что такое мода и где ее использовать
Мода ― это самое популярное/часто встречающееся значение. Например, стоит задача узнать, сколько комментариев чаще всего набирают посты в аккаунте. В этом случае можно не высчитывать среднее арифметическое или медиану ― лучше и проще использовать моду.
Еще пример. Нужно узнать, в какое время аудитория чаще всего взаимодействует с публикациями. Для этого можно посчитать данные вручную или использовать готовую таблицу из LiveDune (вкладка «Вовлеченность» ― таблица «Лучшее время для поста»). По ее данным ― больше всего реакций пользователи оставляют в среду в 16 часов. Это время и есть мода. Таким образом, если вам нужно найти самое популярное значение, а не классическое среднее — проще использовать моду.
Как рассчитать
Чтобы найти наиболее часто встречающееся значение в наборе данных, нужно посмотреть, какое число встречается в ряду чаще всех. Например, для ряда 5, 4, 2, 4, 7 ― модой будет число 4.
Иногда в ряде значений встречается несколько мод. Например, ряду 7, 7, 21, 2, 5, 5 свойственны две моды — 7 и 5. В этом случае совокупность чисел называется мультимодальной. Также поиск моды можно упростить с помощью Google Таблиц:
- Внесите значения в таблицу.
- Щелкните по ячейке, в которую хотите записать моду.
- Введите формулу «=MODE(» и выделите ряд чисел, для которых нужно вычислить моду. Нажмите «Enter».
Однако важно иметь в виду, что табличная функция выдает только самую меньшую моду. Поэтому будьте внимательны — можно упустить из виду несколько мод.
Когда использовать не стоит
Моду нет смысла использовать, если вас не просят найти самое популярное значение. Там, где надо найти классическое среднее значение, про моду лучше забыть.
Памятка по использованию
Среднее арифметическое
Как находим: сумма чисел / количество чисел.
Используем: если данные распределены нормально и нет ярких выбросов.
Не используем: если видим явные выбросы или ненормальное распределение.
Медиана
Как находим: располагаем числа в порядке возрастания и находим середину сформированного ряда.
Используем: если работаем с ненормальным распределением или видим выбросы.
Не используем: если выбросов нет и распределение нормальное.
Мода
Как находим: определяем значение, которое чаще всего встречается в ряду чисел.
Используем: если нужно найти не среднее, а самое популярное значение.
Не используем: если нужно найти классическое среднее значение.
Только важные новости в ежемесячной рассылке
Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку персональных данных.
Подписывайся сейчас и получи гайд аудита Instagram аккаунта
Маркетинговые продукты LiveDune — 7 дней бесплатно
Наши продукты помогают оптимизировать работу в соцсетях и улучшать аккаунты с помощью глубокой аналитики
Анализ своих и чужих аккаунтов по 50+ метрикам в 6 соцсетях.
Оптимизация обработки сообщений: операторы, статистика, теги и др.
Автоматические отчеты по 6 соцсетям. Выгрузка в PDF, Excel, Google Slides.
Контроль за прогрессом выполнения KPI для аккаунтов Инстаграм.
Аудит Инстаграм аккаунтов с понятными выводами и советами.
Поможем отобрать «чистых» блогеров для эффективного сотрудничества.
28 октября 2021 г.
{(n ÷ 2)-е значение + [(n ÷ 2) + 1]th value} ÷ 2 = медиана
Статистики и аналитики данных используют множество вычислений для организации, контекстуализации и интерпретации информации в своей работе. Одним из важных значений, которое эти профессионалы обычно определяют, является медиана. Если вы работаете со статистикой или данными или используете метрики на работе, может быть полезно понять, как найти медианное число. В этой статье мы определяем медиану, описываем формулу ее расчета, сравниваем медиану со средним и приводим примеры расчета медианы.
Что такое медиана?
Медиана — это среднее значение набора данных, когда вы упорядочиваете значения. Наряду со средним значением и модой это одна из центральных тенденций в наборе данных или числа, которые наиболее репрезентативны для тенденций в данных. Медиану иногда называют позиционным средним значением, что означает, что 50 % данных находятся выше медианы, а 50 % — ниже нее.
Медиана, среднее и мода
Медиана, среднее значение и мода — три важных числа, которые могут помочь аналитикам данных и статистикам обобщить тенденции в наборе данных. В то время как медиана — это среднее число в наборе данных, среднее — это результат сложения всех значений в наборе данных и их деления на количество элементов, включенных в набор. Мода — еще одна распространенная мера, которая относится к наиболее распространенному значению в наборе данных.
Почему важна медиана?
Медиана набора данных важна, потому что она может суммировать данные в одно число для репрезентативных целей. Хотя многие аналитики используют среднее значение для выявления важных тенденций в данных, иногда среднее значение может быть более полезным. Поскольку среднее значение включает все значения в наборе данных, очень высокие или низкие значения могут искажать важные тенденции. В этих случаях многие профессионалы находят медиану, потому что на нее не влияют выбросы.
Вычисление медианы
Для нахождения медианы в нечетных и четных наборах чисел необходимы разные вычисления. Вы можете использовать эти вычисления, чтобы найти медиану в наборе данных:
Для нечетного набора чисел
Нечетное число — это число, которое нельзя разделить на два, например, пять, семь или 17. Если в наборе данных есть нечетное количество значений, вы можете сначала расположить значения в порядке возрастания или убывания и использовать эту формулу, чтобы найти положение среднего:
Медиана = (n + 1) ÷ 2
В этом уравнении n представляет количество значений в наборе данных. Чтобы найти положение медианы, вы можете добавить единицу к количеству значений в наборе и разделить результат на два. Например, если результат этой формулы равен восьми, медиана — это восьмое число в последовательности. Если у вас есть небольшое количество точек данных, вы можете просто расположить их в порядке возрастания или убывания и найти средний номер.
Для четного набора чисел
Четные числа — это числа, которые можно разделить на два. Если у вас есть набор данных с четным количеством точек данных, вы можете сначала расположить их в порядке возрастания или убывания. Поскольку среднего числа нет, вам потребуются два средних числа последовательности, которые вы можете найти с помощью этих уравнений, в которых n — количество точек данных в наборе:
п ÷ 2
(n ÷ 2) + 1
Результатом этих уравнений являются положения двух средних точек в наборе данных. Например, если результаты равны восьми и девяти, вы можете искать восьмое и девятое числа в упорядоченной последовательности. Чтобы найти медиану, вы можете сложить два средних числа и разделить результат на два. Вы можете представить всю формулу с помощью этого уравнения:
{(n ÷ 2)-е значение + [(n ÷ 2) + 1]th value} ÷ 2 = медиана
Чему равна медиана двух чисел?
Чтобы найти медиану двух чисел, вы можете сложить их вместе и разделить результат на два. Вы можете представить эту формулу следующим уравнением, в котором x представляет первое число, а y представляет второе число:
(x + y) ÷ 2 = медиана
Например, если вы хотите найти медиану четырех и пяти, вы можете использовать этот расчет:
4 + 5 = 9
9 ÷ 2 = 4,5
Это означает, что медиана четырех и пяти равна 4,5.
Примеры расчета медианы
Вот несколько примеров того, как можно вычислить медиану различных наборов данных:
Пример расчета медианы для нечетного набора чисел
Это пример того, как вы можете вычислить среднее значение нечетного набора чисел:
Карла хочет определить среднюю почасовую заработную плату в ресторанах своего района. После сбора информации о девяти ресторанах у нее есть набор данных, включающий 15, 13.50, 14, 17, 11.50, 12, 11, 12.75 и 14.50. Во-первых, она может расположить числа в порядке значимости от наименьшего к наибольшему:
11, 11.50, 12, 12.75, 13.50, 14, 14.50, 15, 17
Поскольку у нее девять чисел, она использует это уравнение, чтобы найти положение среднего значения:
(9 + 1) ÷ 2 = 5
Это означает, что медиана в ее наборе данных — это пятое значение, которое составляет 13,50 долларов в час.
Пример расчета медианы для четного набора чисел
Вот пример того, как можно вычислить медиану четного набора чисел:
.Джон хочет найти среднее число братьев и сестер среди его группы из восьми друзей. После сбора информации от них у него есть список чисел, который включает пять, два, восемь, один, три, один, четыре и шесть. Во-первых, он упорядочивает числа в порядке значимости от наименьшего к наибольшему:
1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8
Поскольку в его последовательности восемь чисел, он может использовать это уравнение, чтобы найти положение двух средних значений:
8 ÷ 2 = 4
(8 ÷ 2) + 1 = 5
Это означает, что два средних значения — это четвертое и пятое числа, то есть три и четыре в последовательности. Затем он может использовать этот расчет, чтобы найти среднее значение:
(3 + 4) ÷ 2 = 3,5
Это означает, что медиана его набора данных составляет 3,5 брата и сестры.
Пример медианы по сравнению со средним и модой
Это пример того, как вы можете определить и сравнить среднее значение, медиану и моду набора данных:
Лили пытается найти основные тенденции набора данных, включающего следующие 11 чисел:
23, 33, 67, 11, 24, 88, 54, 32, 43, 15, 11
Чтобы найти медиану, она упорядочивает числа, чтобы получить следующую последовательность:
11, 11, 15, 23, 24, 32, 33, 43, 54, 67, 88
Затем она может использовать это уравнение, чтобы найти медиану:
(11 + 1) ÷ 2 = 6
Это означает, что медиана — это шестое число, или 32.
Чтобы найти среднее значение, она использует это уравнение:
(11 + 11 + 15 + 23 + 24 + 32 + 33 + 43 + 54 + 67 + 88) ÷ 11 = 36,45
Это означает, что среднее или среднее значение набора данных равно 36,45.
Чтобы найти моду, она может просто искать число, которое встречается чаще всего. Поскольку только 11 появляется дважды, это режим набора данных.
В статистических исследованиях довольно широко применяются средние величины. Их нахождение позволяет выявить типичное значение признака исследуемой совокупности. Например, типичный уровень доходов покупателей или возраст большинства клиентов компании. При этом вычисление, к примеру, среднего арифметического не всегда уместно.
Представим такую ситуацию: мы опросили 10 человек на предмет их уровня доходов. У 9-х доходы оказались примерно одинаковыми и составили 10 тыс. руб. Что касается 10-ого опрошенного, то оказалось, что его доход равняется 410 тыс. руб. в месяц. Если мы вычислим простое среднее арифметическое, то типичный доход будет равняться 50 тыс. руб.! Но это явно не так. В таких ситуациях более объективную и правдоподобную картину дает вычисление моды или медианы, которые относятся к структурным средним показателям.
Понятие медианы
Медиана (Me) — значение признака в исследуемом ряду величин, которое делит этот ряд на две равные части.
То есть половина (50%) всех значений в исследуемом ряду будет меньше медианы, а другая половина — больше ее. Поэтому медиану еще называют 50-й перцентиль или квантиль 0,5.
Формула для расчета медианы
Если значений немного, то медиану можно определить «на глазок». Для этого достаточно расположить все значения в порядке возрастания и найти середину.
Если число случаев четное и в центре ряда находятся два разных числа, то медианой будет среднее между ними (даже если такого значения нет в самом ряду исследуемых случаев). Например, в ряду 1 2 3 4 5 6, медианой будет 3,5.
Для нахождения медианы в более сложных случаях (по интервальным рядам) используется специальная формула:
где: Me — медиана;
Xme — нижняя граница медианного интервала (того интервала, накопленная частота которого превышает полусумму всех частот);
ime — величина медианного интервала;
f — частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);
Sme-1 — сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу;
fme — число значений в медианном интервале (его частота).
Пример вычисления медианы
Был проведен опрос среди покупателей с целью выяснить их типичный возраст. По результатам опроса было установлено, что: 25 покупателей имеют возраст до 20 лет; 32 покупателя — 20-40 лет; 18 покупателей — 40-60 лет; 15 покупателей — свыше 60 лет. Найдем медиану.
Сначала находим медианный интервал. Для этого вычисляем сумму частот: 25 + 32 + 18 + 15 = 90. Половина этой суммы — 45. Это соответствует возрастной группе 20-40 лет (т. к. полученная полусумма частот — 45, и накопленная частота 1-й группы меньше ее, а 3-ей — больше). Тогда нижняя граница медианного интервала — 20 (лет), а величина медианного интервала — 20 (40 лет за вычетом 20). Сумма частот интервалов предшествующих медианному интервалу — 25. Число значений в медианном интервале — 32 (количество покупателей в возрасте 20-40 лет).
Расчетное значение медианы — 32,5. Округив его, получим средний возраст покупателя — 33 года.
Область применения медианы
При вычислении типичного признака неоднородных рядов, имеющих «выбросы» — значения во много раз отличающиеся от других значений ряда.
Особенности медианы
- Медиана обладает высокой робастностью, то есть нечувствительностью к неоднородностям и ошибкам выборки;
- Сумма разностей между членами ряда выборки и медианой меньше, чем сумма этих разностей с любой другой величиной. В том числе с арифметическим средним.
Источники
- Медиана // Википедия. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Медиана_(статистика) (дата обращения: 23.10.2013)
- Минашкин В. Г. и др. Курс лекций по теории статистики. – М.: МЭСИ, 2001.
© Копирование любых материалов статьи допустимо только при указании прямой индексируемой ссылки на источник: Галяутдинов Р.Р.
Нашли опечатку? Помогите сделать статью лучше! Выделите орфографическую ошибку мышью и нажмите Ctrl + Enter.
Библиографическая запись для цитирования статьи по ГОСТ Р 7.0.5-2008:
Галяутдинов Р.Р. Медиана // Сайт преподавателя экономики. [2013]. URL: https://galyautdinov.ru/post/mediana (дата обращения: 26.05.2023).