Как найти медиану ромба

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – ромба.

  • Определение ромба

  • Свойства ромба

    • Свойство 1

    • Свойство 2

    • Свойство 3

    • Свойство 4

    • Свойство 5

  • Признаки ромба

Определение ромба

Ромб – это фигура на плоскости; разновидность параллелограмма, у которого все четыре стороны равны и попарно параллельны. Обычно ромб обозначается названиями его вершин (например, ABCD), а длина его стороны – строчной латинской буквой (например, a).

Ромб ABCD со стороной a

  • AB = BC = CD = AD = a
  • AB параллельна CD, BC параллельна AD.

Примечание: квадрат является частным случаем ромба.

Свойства ромба

Свойство 1

Противоположные углы ромба равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°.

Равенство противоположных углов ромба

  • ∠ABC = ∠ADC, ∠BAD = ∠BCD
  • α + β = 180°

Свойство 2

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

Диагонали ромба

  • диагональ BD (d1) перпендикулярна диагонали AC (d2)
  • AE = EC
  • BE = ED

В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.

Свойство 3

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Диагонали ромба

Свойство 4

Сторону ромба a можно найти через его диагонали d1 и d2 (согласно теореме Пифагора).

Формула нахождения стороны ромба через его диагонали

Диагонали ромба

  • a – гипотенуза любого из 4 прямоугольных треугольников (например, ΔBEC);
  • половины диагоналей d1 и d2 – катеты треугольников.

Свойство 5

В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Вписанная в ромб окружность

Радиус вписанной в ромб окружности r вычисляется по формуле:

Формула нахождения радиуса вписанной в ромб окружности

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом только в том случае, если для него верно одно из следующих утверждений:

  1. Его диагонали пересекаются под прямым углом.
  2. Если его диагонали являются биссектрисами его углов.
  3. Две смежные стороны равны (следовательно, все стороны равны).

Примечание: Любой четырехугольник, стороны которого равны, является ромбом.

Источник

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Определение.

Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

AC┴BD

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Основные свойства ромба

2. Диагонали перпендикулярны:

AC┴BD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC2 + BD2 = 4AB2

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.

6. В любой ромб можно вписать окружность.

7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Диагонали ромба

Определение.

Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.

Ромб имеет две диагонали — длинную d1, и короткую — d2

Формулы определения длины диагонали ромба:

1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d1 = a√2 + 2 · cosα

d1 = a√2 — 2 · cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d2 = a√2 + 2 · cosβ

d2 = a√2 — 2 · cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d1 = 2a · cos(α/2)

d1 = 2a · sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d2 = 2a · sin(α/2)

d2 = 2a · cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:

d1 = √4a2 — d22

d2 = √4a2 — d12

6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:

d1 = d2 · tg(β/2)

d2 = d1 · tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Определение.

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

Площадь ромба

Определение.

Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.

Формулы определения площади ромба:

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = a · ha

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a2 · sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2a · r

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):

Окружность вписанная в ромб

Определение.

Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Ромб и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Свойства ромба:

(blacktriangleright) Те же, что и у параллелограмма:

(sim) Противоположные стороны попарно равны;

(sim) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(sim) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ);

(blacktriangleright) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Признаки ромба.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – ромб:

(blacktriangleright) все стороны равны;

(blacktriangleright) диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;

(blacktriangleright) диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.

Площадь ромба

1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.

2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.


Задание
1

#2716

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ромбе (ABCD): (angle ACD = 26^{circ}). Найдите (angle ABD). Ответ дайте в градусах.

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда (angle CDB = 90^{circ} — angle ACD = 64^{circ}).

(BC = CD), тогда (angle CBD = angle CDB = 64^{circ}).

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то (angle ABD = angle CBD = 64^{circ}).

Ответ: 64


Задание
2

#2717

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите большую диагональ ромба (ABCD), если (AB = 2sqrt{3}), а острый угол равен половине тупого.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^{circ}), то сумма острого и тупого углов ромба равна (180^{circ}).

Так как в данном ромбе острый угол равен половине тупого, то острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}).

Треугольник (ABD) – равнобедренный, один из углов которого равен (60^{circ}), тогда треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 2sqrt{3}).

Пусть (O) – точка пересечения диагоналей ромба, тогда (OD = 0,5 BD = sqrt{3}), следовательно, по теореме Пифагора находим: (AO^2 + OD^2 = AD^2), тогда (AO^2 + 3 = 12), откуда находим (AO = 3). В ромбе, как и в любом другом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, (AC = 6).

Ответ: 6


Задание
3

#2715

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}), одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.

Пусть (angle A = 60^{circ}). В ромбе все стороны равны, тогда треугольник (ABD) – равнобедренный, у которого один из углов равен (60^{circ}), следовательно, треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 10).

Треугольник (ABC) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда (AC > AB = BD), значит, (BD) – меньшая из диагоналей.

Ответ: 10


Задание
4

#1794

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно (3), а острый угол ромба равен (60^circ). Найдите большую диагональ ромба.

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), (angle DAB = 60^circ), тогда (angle
OAB = 30^circ). Получаем, что (OH) – катет лежащий напротив угла в (30^circ), значит (AO = 2cdot OH = 6). Т.к. (AC) и есть большая диагональ, то (AC = 2cdot AO = 12).

Ответ: 12


Задание
5

#1757

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона ромба равна (4). Расстояние от точки пересечения его диагоналей до одной из сторон равно (1). Найдите площадь ромба.

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), тогда (S_{triangle ABO} = frac{1}{2}cdot 1 cdot 4 = 2). Диагонали ромба делят его на (4) равных прямоугольных треугольника (Rightarrow) (S_{ABCD} = 4cdot 2 = 8) .

Ответ: 8


Задание
6

#2718

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр ромба равен (40), а диагонали относятся, как (3:4). Найдите площадь ромба.

Половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении (3:4). Зная периметр, найдем сторону ромба: (40
: 4 = 10). Сторона и половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник (AOB).

Пусть (AO=4x), (BO=3x).
Тогда по теореме Пифагора: ((3x)^2 + (4x)^2 = 10^2) (Rightarrow) (25x^2 = 100) (Rightarrow) (x^2 = 4) (Rightarrow) (x = 2). Диагонали равны (BD=2BO=12) и (AC=2AO=16) (Rightarrow) (S_{ABCD} =
frac{1}{2}cdot12cdot16 = 96).

Ответ: 96


Задание
7

#2719

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз отличаются площади ромбов, имеющие по равному углу, у которых стороны относятся как (3:1)?

Пусть (angle B) и (angle B_1) – равные углы ромбов. Так как стороны ромбов относятся как (3:1), то можно обозначить их за (3x) и (x) соответственно.

Тогда и (angle D=angle D_1) (так как у ромба противоположные углы равны). Следовательно, (triangle ABCsim triangle A_1B_1C_1) и (triangle ADCsimtriangle A_1D_1C_1) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия этих треугольников равен (3). Следовательно, их площади относятся как (9:1). А так как (S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}) и (S_{A_1B_1C_1}+S_{A_1D_1C_1}=S_{A_1B_1C_1D_1}), то (S_1:S_2=9:1).

Ответ: 9

Геометрические задачи на тему «Свойства ромба» в обязательном порядке включаются в ЕГЭ по математике. Причем, в зависимости от условия задания, учащийся может давать как краткий, так и развернутый ответ. Именно поэтому на этапе подготовки к сдаче ЕГЭ школьникам непременно стоит понять принцип решения задач на применение свойств и признаков ромба.

Еще раз повторить данную тему и восполнить пробелы в знаниях вам поможет образовательный проект «Школково». С помощью нашего сайта можно легко и эффективно подготовиться к ЕГЭ по математике.

Чтобы успешно справляться с геометрическими заданиями, учащимся старших классов стоит повторить базовые понятия и определения: свойства углов ромба и других четырехугольников, признаки этой фигуры, а также формулу для нахождения ее площади. Данный материал представлен в разделе «Теоретическая справка» на сайте «Школково». Информация, которую подготовили наши специалисты, изложена в максимально доступной форме.

Повторив основные свойства диагоналей ромба, а также его углов и биссектрис, учащиеся могут попрактиковаться в выполнении упражнений. Большая подборка заданий по данной теме, а также по решению нестандартных задач по математике представлена в разделе «Каталог». Найти правильный ответ выпускники смогут, предварительно освежив в памяти свойства биссектрис ромба, в также углов и диагоналей этой фигуры. Подробный алгоритм решения каждой задачи прописан нашими специалистами.

Выполнять простые и более сложные задания по теме «Ромб и его свойства», а также на нахождение площади квадрата на этапе подготовки к ЕГЭ по математике школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем быстро найти это задание и, к примеру, обсудить алгоритм его решения со школьным преподавателем.

Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды

Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48).

Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°.

2. У ромба противолежащие углы равны.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4. Периметр ромба Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство.

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Доказательство:

Пусть Ромб и его свойства, определение и примеры с решением и Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — диагонали ромба Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (рис. 49), Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — точка их пересечения. Поскольку Ромб и его свойства, определение и примеры с решением и Ромб и его свойства, определение и примеры с решением то Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — медиана равнобедренного треугольника Ромб и его свойства, определение и примеры с решением проведенная к основанию Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемПоэтому Ромб и его свойства, определение и примеры с решением является также высотой и биссектрисой треугольника Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Следовательно, Ромб и его свойства, определение и примеры с решением и Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Аналогично можно доказать, что диагональ АС делит пополам угол Ромб и его свойства, определение и примеры с решением а диагональ Ромб и его свойства, определение и примеры с решением делит пополам углы Ромб и его свойства, определение и примеры с решением и Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Пример:

Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба.

Решение:

Пусть Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — диагональ ромба Ромб и его свойства, определение и примеры с решениема Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — его высота (рис. 50), Ромб и его свойства, определение и примеры с решением = 28°.

Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

1) В Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

2) Так как Ромб и его свойства, определение и примеры с решением делит угол Ромб и его свойства, определение и примеры с решением пополам, то Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемРомб и его свойства, определение и примеры с решением

3) Тогда Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°.

Рассмотрим признаки ромба.

Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом.

Доказательство:

1) Пусть Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — параллелограмм (рис. 48). Так как Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (по условию) и Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (по свойству параллелограмма), то Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемСледовательно, Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — ромб.

2) Пусть Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (рис. 49). Поскольку Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (по свойству параллелограмма), то Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (по двум катетам). Следовательно, Ромб и его свойства, определение и примеры с решением По п. 1 этой теоремы Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — ромб.

3) Диагональ Ромб и его свойства, определение и примеры с решением делит пополам угол Ромб и его свойства, определение и примеры с решением параллелограмма Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (рис. 49), то есть Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемТак как Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемРомб и его свойства, определение и примеры с решением — секущая, то Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (как внутренние накрест лежащие). Следовательно, Ромб и его свойства, определение и примеры с решением Поэтому по признаку равнобедренного треугольника Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — равнобедренный и Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемПо п. 1 этой теоремы Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — ромб. 

Пример:

Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник — ромб.

Доказательство:

Пусть Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (рис. 48).

1) Так как противолежащие стороны четырехугольника Ромб и его свойства, определение и примеры с решением попарно равны, то Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — параллелограмм по признаку параллелограмма.

2) У параллелограмма Ромб и его свойства, определение и примеры с решением соседние стороны равны. Поэтому Ромб и его свойства, определение и примеры с решением — ромб (по признаку ромба). 

А еще раньше…

Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити.

В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал.

  • Квадрат и его свойства
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Четырехугольники и окружность
  • Параллелограмм, его свойства и признаки
  • Площадь параллелограмма
  • Прямоугольник и его свойства
Источник

В ромбе треугольники прямоугольные

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти неизвестные этлементы ромба по известным элементам. Для нахождения неизвестных элементов ромба, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Определение ромба

Определение 1. Ромб − это параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 1 изображен ромб ABCD.

Определение 2. Ромб − это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Ромб разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью ромба, а другая внешней областью ромба.

Объединение ромба и ограниченной им части плоскости также называют ромбом.

Свойства ромба

Поскольку ромб является параллелограммом, то имеет следующие свойства:

  • 1. У ромба противолежащие углы равны (( small angle A = angle C, ; angle B = angle D.) )
  • 2. У ромба противолежащие стороны равны (( small AB = DC, ; BC=AD.) )
  • 3. У ромба противолежащие стороны параллельны ( small( AB || DC, ; BC || AD).)
  • 4. У ромба соседние углы дополняют друг друга до 180° ( small ( angle A +angle B=180°, ) ( small angle C + angle D=180°).)
  • 5. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам ( small ( AO = OC, ) ( small BO=OD).)

Ромб имеет также и следующие свойства:

  • 6. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (( small AC perp BD.) )
  • 7. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (( small angle ABD = angle CBD, ) ( small angle ADB = angle CDB, ) ( small angle DAC = angle BAC, ) ( small angle BCA = angle DCA. ))
  • 8. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
  • 9. Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату стороны, умноженная на четыре ( small (AC^2+BD^2=4AB^2). )

Докажем свойства 6 и 7, сформулировав следующую теорему:

Теорема 1. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Доказательство. По определению 1, ( small AD = DC ) (Рис.2). Следовательно треугольник ( small DAC ) равнобедренный. Тогда ( small angle DCO = angle DAO. ) Учитывая, что ( small AO = OC ) (свойство 5 ромба), получим, что треугольники ( small DOA ) и ( small DOC ) равны по двум сторонам и углу между ними (см. статью Треугольники. Признаки равенства треугольников). Тогда равны углы DOC и DOA. Но эти углы смежные и их сумма равна 180°. Следовательно ( small angle DOC= angle DOA=90°. ) То есть диагонали AC и BD перпендикулярны.

Из равенства треугольников ( small DOA ) и ( small DOC ) также следует, что ( small angle CDO= angle ADO,) следовательно BD является биссектрисой угла ADС, то есть BD является биссектрисой ромба ABCD.

Признаки ромба

Признак 1. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть смежные стороны параллелограмма ABCD равны. То есть имеем: AB=BC (Рис.3). У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда DC=AB=BC=AD. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Признак 2. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны (Рис.3). Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и COB. Так как у параллелограмма диагонали точкой пересечения разделяются пополам (Свойство 2 статьи Параллелограмм), то AO=OC. Тогда прямоугольные треугольники AOB и COB равны по двум катетам (AO=OC, BO общий катет (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства)). Следовательно AB=BC. Тогда по признаку 1 этот параллелограмм является ромбом.

Признак 3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм − ромб.

Доказательство. Пусть диагональ AC параллелограмма ABCD является биссектрисой угла BAD (Рис.4). Тогда ( small angle 1= angle 2 .) У параллелограмма ABCD ( small AB || DC .) Тогда для параллельных прямых AB и DC и секущей AC справедливо равенство ( small angle 1= angle 4 .) (см теорему 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично, для параллельных прямых BC и AD и секущей AC справедливо равенство ( small angle 2= angle 3 .) Так как ( small angle 1= angle 2 ,) то ( small angle 1= angle 2=angle 3= angle 4 .) Из ( small angle 1= angle 3) следует, что треугольник ABC равнобедренный (Признак 2 статьи Равнобедренный треугольник). Тогда AB=BC. У параллелограмма противоположные стороны равны (Свойство 1 статьи Параллелограмм). Тогда AB=BC=CD=DA. То есть все стороны параллелограмма равны и по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Признак 4. Если стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник − ромб.

Доказательство. Пусть у четырехугольника все стороны равны. Тогда этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). А по определению 1, этот параллелограмм является ромбом.

Ромб. Свойства и признаки ромба

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.

Свойства ромба

1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.

Помимо этого:

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

Признаки ромба

Чтобы параллелограмм оказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:

1. Все стороны параллелограмма равны между собой ().

2. Диагонали пересекаются под прямым углом ().

3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d 1 = a √ 2 + 2 · cosα

d 1 = a √ 2 — 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 + 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 — 2 · cosα

d 1 = 2 a · cos ( α /2)

d 1 = 2 a · sin ( β /2)

d 2 = 2 a · sin ( α /2)

d 2 = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

S = 1 d 1 2 · tg ( α /2)
2
S = 1 d 2 2 · tg ( β /2)
2

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r = d 1 · d 2
2√ d 1 2 + d 2 2

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

источники:

Ромб. Свойства и признаки ромба

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/rhombus/

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти метал под водой
  • Как найти путь к подсознанию
  • Как исправить записи в pdf
  • Как найти людей на кинопоиске
  • Как найти силу сопротивления от веса