Медиана прямоугольного треугольника, делящая гипотенузу пополам, равна получившимся половинам гипотенузы. Таким образом, медиана делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника с катетами в виде оснований. Для того чтобы вычислить медиану прямоугольного треугольника, достаточно знать гипотенузу, два катета, или один катет и угол в треугольнике.
Найти медиану через гипотенузу: 
Найти медиану через катеты: 
Найти медиану через катет и угол: 
Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Определение медианы прямоугольного треугольника
Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов является прямым (90°), а два остальных – острыми ( Свойства медианы прямоугольного треугольника
Свойство 1
Медиана (AD) в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (∠BAC) к гипотенузе (BC), равна половине гипотенузы.
- BC = 2AD
- AD = BD = DC
Следствие: Если медиана равняется половине стороны, к которой она проведена, то данная сторона является гипотенузой, а треугольник – прямоугольным.
Свойство 2
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.
Для нашего треугольника (см. рисунок выше):
Это следует из теоремы Пифагора и Свойства 1.
Свойство 3
Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности.
Т.е. BO – это одновременно и медиана, и радиус.
Примечание: К прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства медианы, независимо от вида треугольника.
Пример задачи
Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, составляет 10 см. А один из катетов равен 12 см. Найдите периметр треугольника.
Решение
Гипотенуза треугольника, как следует из Свойства 1, в два раза больше медианы. Т.е. она равняется: 10 см ⋅ 2 = 20 см.
Воспользовавшись теоремой Пифагора находим длину второго катета (примем его за “b”, известный катет – за “a”, гипотенузу – за “с”):
b 2 = с 2 – a 2 = 20 2 – 12 2 = 256.
Следовательно, b = 16 см.
Теперь мы знаем длины всех сторон и можем посчитать периметр фигуры:
P△ = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.
Все формулы медианы прямоугольного треугольника
Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c , пополам.
Медиана в прямоугольном треугольнике ( M ), равна, радиусу описанной окружности ( R ).
M — медиана
R — радиус описанной окружности
O — центр описанной окружности
с — гипотенуза
a, b — катеты
α — острый угол CAB
Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, ( M ):
Формула длины через катеты, ( M ):
Формула длины через катет и острый угол, ( M ):
Медиана в прямоугольном треугольнике
Медиана в прямоугольном треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы.
Все медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении два к одному, считая от вершины:
Из всех медиан прямоугольного треугольника в задачах чаще всего речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе. Это связано с ее свойствами.
Свойства медианы, проведенной к гипотенузе:
1) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
(в следующий раз рассмотрим доказательство этого свойства)
2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной около прямоугольного треугольника окружности.
Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, длины медиан прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и острые углы.
Например:
12 Comments
Информация очень хорошая. Правда не помогла мне решить задачу, которую мой сын не решил на контрольной. приведу условие:
Из прямого угла треугольника проведена медиана на гипотенузу. Длина медианы 6см. Определить катеты.
Петр, данных для определения катетов недостаточно. Длина гипотенузы в 2 раза больше длины медианы — 12 см. Это всё, что можно сказать по данным условия.
не правда надо провести высоту из прямого угла дальше все получится. один катет равен 6 а второй 2 корня из 22
Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Проверим 6^2+(2*корень из 22)^2
=36+4*22=36+88=124. Квадрат гипотенузы 12^2=144
попробуйте составить уравнение,обозначив 1 из катетов через х а 2-ой катет обозначьте буквами…x^2+BC^2=12^2…да числа не очень,но это 1 способ..решаю дальше:BC^2=12^2-x^2
BC^2=11x
X^2+11X=144
X^2=12
x(1 катет)=корню из 12,а «-ой катет=11 корней из 12….решал на основе теоремы пифагора
задача имеет бесконечное кол-во решений. решение возможно только в виде формулы или графика, где описана зависимость между катетами и гипотенузой
Да просто треугольник медианой делится на два треугольника с одинаковыми катетами, а дальше как уже предлагалось выше Пифагор во спасение))
А кто вам сказал, что медиана в прямоугольном треугольнике является еще и высотой? Откуда у вас два треугольника с одинаковыми катетами?
Спасибо за понятное объяснение, но у нас задача немного другая.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С= 90 градусов,медиана ВВ1 равна 10 см.Найдите медианы АА1 СС1, если известно, что АС=12 см.( используя т.Пифагора.
1) Рассмотрим треугольник BB1C. В нём угол С равен 90 градусов, BB1=10 см, B1C=6 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим BC: BC=8 см. 2) Рассмотрим треугольник AA1C. В нём угол С равен 90 градусов, AC=12 см, AA1=4 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим AA1: AA1=4√10 см.3) Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AB: AB=4√13 см. 4) CC1=1/2 AB (как медиана, проведённая к гипотенузе), CC1=2√13 см.
Где-то так.
http://www-formula.ru/medianrectangulartriangle
Все формулы медианы прямоугольного треугольника
Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.
Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).
M — медиана
R — радиус описанной окружности
O — центр описанной окружности
с — гипотенуза
a, b — катеты
α — острый угол CAB
Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):
Формула длины через катеты, (M):
Формула длины через катет и острый угол, (M):
- Подробности
-
Автор: Administrator
-
Опубликовано: 08 октября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
- Определение медианы прямоугольного треугольника
-
Свойства медианы прямоугольного треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Пример задачи
Определение медианы прямоугольного треугольника
Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов является прямым (90°), а два остальных – острыми (<90°).
Свойства медианы прямоугольного треугольника
Свойство 1
Медиана (AD) в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (∠BAC) к гипотенузе (BC), равна половине гипотенузы.
- BC = 2AD
- AD = BD = DC
Следствие: Если медиана равняется половине стороны, к которой она проведена, то данная сторона является гипотенузой, а треугольник – прямоугольным.
Свойство 2
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.
Для нашего треугольника (см. рисунок выше):
Это следует из теоремы Пифагора и Свойства 1.
Свойство 3
Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности.
Т.е. BO – это одновременно и медиана, и радиус.
Примечание: К прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства медианы, независимо от вида треугольника.
Пример задачи
Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, составляет 10 см. А один из катетов равен 12 см. Найдите периметр треугольника.
Решение
Гипотенуза треугольника, как следует из Свойства 1, в два раза больше медианы. Т.е. она равняется: 10 см ⋅ 2 = 20 см.
Воспользовавшись теоремой Пифагора находим длину второго катета (примем его за “b”, известный катет – за “a”, гипотенузу – за “с”):
b2 = с2 – a2 = 202 – 122 = 256.
Следовательно, b = 16 см.
Теперь мы знаем длины всех сторон и можем посчитать периметр фигуры:
P△ = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.
Как найти медиану прямоугольного треугольника
Определение медианы прямоугольного треугольника — это одна из базовых задач в геометрии. Часто ее нахождение выступает в роли вспомогательного элемента в решение какой-либо более сложной задаче. В зависимости от имеющихся данных, поставленную задачу можно решить несколькими способами.
Вам понадобится
- учебник по геометрии.
Инструкция
Стоит напомнить, что треугольник является прямоугольным, если один и его углов равен 90 градусов. А медиана — это отрезок опущенный из угла треугольника на противолежащую сторону. Причем он делит ее на две равные части. В прямоугольном треугольнике ABC, у которого угол АВС является прямым, медиана BD, опушенная из вершины прямого угла, равняется половине гипотенузы AC. То есть, для того, чтобы найти медиану, поделите значение гипотенузы на два: BD=AC/2.Пример: Пусть в прямоугольном треугольнике АВС (АВС-прямой угол), известны значения катетов AB=3 см., BC=4 см., найдите длину медианы ВD, опущенной из вершины прямого угла. Решение:
1) Найдите значение гипотенузы. По теореме Пифагора AC^2 = AB^2+BC^2. Следовательно AC = (AB^2+BC^2)^0,5 = (3^2+4^2)^0,5 = 25^0,5 = 5 см
2) Найдите длину медианы по формуле: BD = AC/2. Тогда BD = 5 см.
Совершенно другая ситуация возникает при нахождение медианы, опущенной на катеты прямоугольного треугольника. Пусть у треугольника АВС, угол В прямой, а АЕ и СF медианы опущенные на соответствующие катеты ВС и АВ. Тут длинна этих отрезков находится по формулам: АЕ=(2(АВ^2+AC^2)-BC^2)^0,5/2
СF=(2(BC^2+AC^2)-AB^2)^0,5/2 Пример: У треугольника АВС, угол АВС является прямым. Длина катета АВ = 8 см, угол BCA = 30 градусов. Найдите длины медиан, опущенных из острых углов.Решение:
1) Найдите длину гипотенузы АС, ее можно получить из соотношения sin(BCA)=AB/AC. Отсюда AC=AB/sin(BCA). AC=8/sin(30)=8/0,5=16 см.
2) Найдите длину катета АС. Проще всего ее можно найти по теореме Пифагора: AC = (AB^2+BC^2)^0,5, AC = (8^2+16^2)^0,5 = (64+256)^0,5 = (1024)^0,5 = 32 см.
3) Найдите медианы по выше приведенным формулам
АЕ=(2(АВ^2+AC^2)-BC^2)^0,5/2 = (2(8^2+32^2)-16^2)^0,5/2 = (2(64+1024)-256)^0,5/2 = 21,91 см.
СF=(2(BC^2+AC^2)-AB^2)^0,5/2 = (2(16^2+32^2)-8^2)^0,5/2 = (2(256+1024)-64)^0,5/2 = 24,97 см.
Обратите внимание
Медиана всегда разбивает треугольник на два других треугольника, равных по площади.
Точка пересечения всех трех медиан называется центром тяжести.
Полезный совет
Очень часто значение катетов и гипотенуз проще всего найти по тригонометрическим формулам.
Источники:
- что такое медиана прямоугольника
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.