Как найти медиану в треугольнике по клеткам

Рассмотрим задачи, в которых требуется по рисунку на клетчатой бумаге найти длину медианы треугольника.

Задачи.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его медианы, проведённой из вершины C.

Решение:

Медиана, проведённая из вершины C, соединяет точку C с серединой противолежащей стороны AB.

Следовательно, задачу начинаем с нахождения середины AB.

Как правило, сторона AB в таких задачах изображается не горизонтальным или вертикальным отрезком.

Чтобы найти середину AB, можно построить по клеточкам прямоугольник с диагональю AB и провести его вторую диагональ. По свойству прямоугольника, точка H пересечения диагоналей — середина AB.

Длину медианы CH считаем по клеточкам — CH=4.

2) Аналогично предыдущей задаче, сначала найдём середину отрезка AB.

Можно достроить прямоугольник с диагональю AB, провести вторую диагональ и отметить точку H пересечения диагоналей.

Длину медианы CH находим по клеточкам:

CH=3.

3) Можно найти середину отрезка AB и без дополнительных построений.

Например, можно рассуждать так:

AH=BH как диагонали равных квадратов (со стороной 2 клетки), следовательно, точка H — середина AB, CH — медиана треугольника ABC.

CH=2.

Если медиана треугольника расположена не горизонтально либо вертикально, посчитать её длину по клеточкам не удастся.

4) В прямоугольном треугольнике длину медианы, проведённой к гипотенузе, можно найти, опираясь на соответствующее свойство.

То есть для нахождения длины медианы нужно знать гипотенузу.

Длины катетов определяем по клеточкам: AC=12, BC=5.

По теореме Пифагора: AB²=AC²+BC²,

AB²=12²+5²=169, AB=13,

CH= 1/2 AB=6,5.

5) Середину отрезка AB — точку H — найдём как точку пересечения диагоналей прямоугольника с диагональю AB

(достаточно провести вторую диагональ, прямоугольник можно не строить).

Длину диагонали по клеточкам определить не получится.

Достроим прямоугольный треугольник CHD с гипотенузой CH.

CD=3, HD=4.

CH находим по теореме Пифагора (можно также заметить, что CHD — египетский треугольник): CH=5.

Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображен треугольник АВС. Найдите длину его медианы, проведенной из вершины С.

Решение:

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Найдем середину стороны АВ и проведем отрезок СМ. Отрезок СМ – медиана треугольника АВС.

По клеточкам легко найти, что СМ = 4.

Ответ: 4