Уравнение медианы треугольника
Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?
Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:
- Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
- Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.
Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).
Найти уравнения медиан треугольника.
Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.
Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.
Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:
Отсюда k= 4; b= -11.
Уравнение медианы AA1: y=4x-11.
2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC
Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.
3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:
Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.
Please wait.
We are checking your browser. mathvox.ru
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6e2006a50ac03a56 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare
Контрольная работа: Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры
Краткие сведенияи задачи по курсу векторной и линейной алгебры
1. Найти скалярное произведение .
2. При каком значении α векторы и ортогональны?
;;;
;;;
Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.
3. Для прямой М1 М2 написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М1 (0,-3) М2 (2,1).
Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
,
Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:
,
Уравнения прямой в отрезках для прямой М1 М2
;
4. В треугольнике М0 М1 М2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0 , а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М1 М2 .(М0 (-1,-2); М1 (0,-3); М2 (2,1)).
Найдём координаты точки М3 , координаты середины стороны М1 М2 :
уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
,
уравнение для высоты М0 М3 :
Найдём уравнение прямой М1 М2 :
Из условия перпендикулярности (k2 =-1/k1 ) следует, что k2 =1/2.
Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
тогда уравнение для высоты примет вид:
Расстояние от точки М(x0 ,y0 ) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:
Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М0 (-3,-5) до прямойМ1 М2 , уравнение которой имеет вид -x+2y-4=0. Подставим данные в формулу(1):
Найдём координаты точек Е иF.
Для точки Е: x=-1/2; y=-5/2; E(-1/2;-5/2).
Для точки F: x=1/2; y=-1/2; F(1/2;-1/2).
Уравнение прямой EF:
y+5/2=-2x-1 или 2x+y+3,5=0.
5. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).
(1)
Воспользуемся параллельным переносом (O’(-3,-1))
(2)
Подставим (2) в (1), получим
кривая второго порядка является эллипсом.
т.к.
Координаты центра: O’(-3,-1).
6. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.
1)
2)
Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно, получаем:
Ответы на вопросы
1. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?
Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .
2. Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?
Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде: .
Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы:
3. Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?
Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:
Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:
1. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;
2. система приводится к лестничному виду.
Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.
Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.
т.к. detA0, то матрица является невырожденной.
;
.
.
.
5. Найти скалярное произведение .
6. При каком значении α векторы и ортогональны?
;;;
;;;
Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.
7. Для прямой М1 М2 написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М1 (2,-2) М2 (1,0).
Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
,
Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:
,
здесь
Уравнения прямой в отрезках для прямой М1 М2
;
8. В треугольнике М0 М1 М2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М0 , а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М1 М2 .(М0 (-3,-5); М1 (2,-2); М2 (1,0)).
Найдём координаты точки М3 , координаты середины стороны М1 М2 :
уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:
,
уравнение для высоты М0 М3 :
Найдём уравнение прямой М1 М2 :
Из условия перпендикулярности (k2 =-1/k1 ) следует, что k2 =-1/2.
Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:
тогда уравнение для высоты примет вид:
Расстояние от точки М(x0 ,y0 ) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:
Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М0 (-3,-5) до прямойМ1 М2 , уравнение которой имеет вид 2x+y-2=0. Подставим данные в формулу(1):
Найдём координаты точек Е иF.
Для точки Е: x=-1/2; y=-7/2; E(-1/2;-7/2).
Для точки F: x=-1; y=-5/2; F(-1;-5/2).
Уравнение прямой EF:
y+7/2=-2x-1 или 2x+y+4,5=0.
9. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).
(1)
Воспользуемся параллельным переносом (O’(-2,2))
(2)
Подставим (2) в (1), получим
кривая второго порядка является эллипсом.
т.к.
Координаты центра: O’(-2,2).
10. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.
1)
2)
Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс,. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно получаем:
Ответы на вопросы
4. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?
Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .
5. Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?
Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде:
.
Решения системы уравнения при помощи обратной матрицы:
6. Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?
Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:
Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:
3. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;
4. система приводится к лестничному виду.
Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.
Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.
r=2; система совместима.
х 3,x4 – свободные переменные
;.
т.к. detA0, то матрица невырождена.
.
http://mathvox.ru/geometria/dekartovi-koordinati-uravneniya-figur-v-dekartovoi-sisteme-koordinat/glava-5-uravneniya-nekotorih-elementov-treugolnika/uravnenie-mediani-treugolnika-po-koordinatam-ego-vershin/
http://www.bestreferat.ru/referat-114355.html
Название: Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа Добавлен 11:09:20 28 октября 2010 Похожие работы Просмотров: 697 Комментариев: 21 Оценило: 3 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать |
Ответ на первый ответ постой:
Скалярное произведение есть скаляр, равный произведению модулей на косинус угла между ними:
А=|p|*|q|*cos(p, q) = 3 *1* cos (pi/3) = 3*0,5=1,5..
Со вторыми заданиями немного сложнее:
Сначала установим условно вектор q на оси х, тогда получим, что оба вектора начинаются в 0 и имеют между собой заданный угол..
Разложим оба вектора p и q на взаимно ортогональные составляющие:
px=|p|cos (п/3)=3*0,5=1,5
py=|p|sin (п/3)=3*0,86=2,6
qx=|q|=1
qy=0
Далее согласно заданным выражениям AB = 2p — q; AC = 3p + 2q произведём вычисления для каждой спроецированной компоненты..
AB = 2p — q; AC = 3p + 2q
АВх=2*1,5-1=2
АВу=2*2,6=5,2
АСх=3*1,5+2=6,5
АСу=3*1,5=4,5
Итак, мы задали точку А(0;0), получили точки В(2;5,2) С(6,5;4,5)..
Вектор ВС задаётся точкой А и В..
Теперь всё просто: находим длину отрезка ВС по известным координатам:
|BC|=sqrt((6,5-2)^2+(5,2-4,5)^2)= 4,5..
отношение cos a=(5,2-4,5)/4,5 есть угол относительно оси абсцисс, относительно которой мы и отсчитываем угол а=81 град=1,41 рад..
Модуль и угол задают вектор ВС..
Чтобы найти длину медианы нужно найти точку М, которая делит ВС напополам 4,5/2 = 2,25..
Из подобия прямоугольного треугольника, построенного на точек М стороны
(6,5-2)/2+2 = 4,25..
(5,2-4,5)/2+4,5= 4,85..
Это координаты точки М (4,25;4,85)..
Теперь находим АМ=sqrt((4,25)^2+(4,85)^2)=6,45..
Это и есть искомая длина медианы..
Содержание:
Векторная алгебра
Векторная алгебра — это раздел векторного исчисления, изучающий линейные операции с векторами и их геометрические свойства; часть линейной алгебры, занимающаяся векторными пространствами; различные векторные алгебры XIX века (например, кватернионов, бикватернионов, сплит-кватернионов).
Векторы и линейные операции над ними
Займемся теперь таким важным как в самой математике, так и в ее многочисленных приложениях, понятием вектора.
Определение: Вектором, на плоскости или в пространстве называется отрезок прямой с заданным на нем направлением, т. е. одна из его граничных точек считается начальной, а вторая — конечной.
Обозначать векторы мы будем строчными латинскими буквами
Длина отрезка, изображающего вектор называется его длиной и обозначается через Вектор с совпадающими начальной и конечной точками называется нуль-вектором. Для него используется обозначение
По определению, два вектора считаются равными, если один из них можно преобразовать в другой с помощью параллельного переноса.
Учитывая приведенное определение, всюду в дальнейшем мы без специальных оговорок будем перемещать вектор параллельным переносом в любую удобную для нас точку.
Два вектора называются коллинеарными (обозначение ), если отрезки их изображающие параллельны.
Аналогично, векторы а и b называются ортогональными (обозначение ), если соответствующие отрезки перпендикулярны.
Три вектора называются компланарными, если после приведения их общему началу, они будут расположены в одной плоскости.
Углом между векторами приведенными к общему началу, называется меньший из двух углов между соответствующими отрезками. Обозначать угол мы будем строчными греческими буквами … или через
Два ненулевых вектора мы будем считать одинаково направленными, если и противоположно направленными, если
Введем теперь линейные операции над векторами.
а) Умножение числа на вектор.
Произведением действительного числа на векторназывается вектор длина которого равна а направление его совпадает с направлением вектора если и имеет противоположное с ним направление, если Если или
В частности, вектор обозначается через и называется вектором, противоположным вектору
Если то произведение мы будем иногда записывать в виде
Из приведенного определения сразу же следует, что коллинеарные векторы линейно связаны, т. е. существует константа такая,что В качестве такой константы следует
взять число Если то В частности, если то вектором единичной длины с направлением данного вектора является вектор
b) Сложение векторов.
Суммой двух векторов называется вектор который находится по правилу треугольника
или по равносильному ему правилу параллелограмма
Вектор называется разностью векторов
Свойства линейных операций над векторами аналогичны соответствующим свойствам действительных чисел.
Проекцией вектора на вектор называется число
Геометрически очевидны следующие свойства проекции:
Пример №1
Пусть Е и F — середины сторон AD и ВС соответственно выпуклого четырехугольника ABCD. Доказать, что
Доказательство. Из четырехугольников EDCF и EABF по правил}’ сложения векторов получим:
Сложив данные равенства и учитывая, что будем иметь:
что и требовалось.
Базис и декартова система координат
Определение: Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов. Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.
Обозначение: — базис на плоскости, — базис в пространстве. Всюду в дальнейшем, не оговаривая это особо, будем рассматривать только положительно ориентированные базисы, т. е. базисы, у которых кратчайший поворот от вектора к вектору совершается против часовой стрелки, если наблюдение ведется со стороны вектораСформулируем теперь фундаментальное свойство базиса.
Теорема. Любой вектор единственным образом разлагается по базису, т. е. представляется в виде где действительные числа — координаты вектора в базисе
Приведем геометрическое доказательство этого утверждения.
Вектор можно единственным образом представить как большую диагональ параллелепипеда, ребра которого, параллельны базисным векторам. Тогда по правилу сложения векторов В виду коллинеарности векторов соответствующим базисным векторам, мы можем записать, что — некоторые действительные числа. Отсюда и следует искомое разложение.
Если базис зафиксирован, то факт, что вектор а в этом базисе имеет координаты коротко записывается как
Из доказанной теоремы следует, что при выполнении линейных операций над векторами точно также преобразуются и их координаты, т. е. если если Отсюда, в частности, следует, что два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, т. е.
Рассмотрим теперь ортонормированный базис т.е. базис, в котором все векторы имеют единичную длин}’ и попарно ортогональны. Векторы этого базиса мы будем называть ортами. Пусть в этом базисе
Как видно из чертежа, координаты вектора в ортонормированном базисе представляют собой проекции этого вектора на соответствующие орты. т. е.
Величины т. е. косинусы углов, которые образует данный вектор с ортами к соответственно, называются направляющими косинусами вектора Единичный вектор имеет координаты
Очевидно также, что
Свяжем теперь с ортонормированным базисом декартову (прямоугольную) систему координат. Для этого поместим начала ортов в некоторую точку О, ось Ох (абсцисс) направим вдоль орта ось (ординат) — вдоль орта наконец, ось (аппликат) направим вдоль орта
В выбранной системе координат координаты радиуса-вектора мы будем называть координатами точки М и записывать
Если известны координаты начальной и конечной точек вектора, то из равенства слезет, что его координаты равны
и, значит, расстояние между точками вычисляется по формуле
Найдем теперь координаты точки М, делящей отрезок с концами в точках в данном
отношении Так как Отсюда, переходя к координатам получим:
Следовательно, координаты искомой точки вычисляются по формулам:
Найдем, в частности, координаты середины отрезка. Здесь А = 1, поэтому
Пример №2
Треугольник задан координатами своих вершин Найти координаты точки пересечения его медиан. Решение.
Пусть — середина отрезка — точка пересечения медиан. Тогда
По известному свойству точки пересечения медиан и потому
Подставив сюда найденные координаты точки ползучим:
Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника равны средним арифметическим соответствующих координат его вершин.
Замечание. Базисом n-мерного пространства называется упорядоченная совокупность n векторов
обладающая тем свойством, что любой вектор единственным образом представляется в виде линейной комбинации базисных векторов (1), т.е. существуют действительные числа (координаты векторав базисе (1)) такие, что
В качестве базиса в мы можем взять, например, векторы
так как, очевидно, любой вектор однозначно представляется в виде (2).
Скалярное произведение векторов
Определение: Скалярным произведением векторов называется число
Из этого определения сразу же следует, что
и таким образом, если один из векторов имеет единичную длину, то их скалярное произведение равно проекции второго вектора на единичный.
Отметим основные свойства скалярного произведения.
Первые два и последнее свойства немедленно следуют из определения скалярного произведения, а третье и четвертое — из сформулированных в §1 свойств проекции.
Найдем теперь представление скалярного произведения в координатах. Пусть в орто-нормированном базисе векторы имеют координаты Заметив, что по свойствам 1) и 5) скалярного произведения
перемножим векторыскалярно, используя свойства 2) — 4):
Таким образом, скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат векторов.
Пример №3
Разложить вектор на две ортогональные составляющие, одна из которых коллинеарна вектору
Решение.
Из чертежа следует, что — искомое разложение. Найдем векторы Составляющая коллинеарная вектору равна, очевидно, вектору проекции и, следовательно,
Тогда вторая ортогональная составляющая вектора равна
В заключение параграфа рассмотрим одно простое приложение скалярного произведения в механике. Пусть под действием постоянной силы материальная тотп<а переместилась по прямой из положения В в положение С.
Найдем работу этой силы. Для этого разложим вектор силы на две ортогональные составляющие. одна из которых коллинеарна вектору перемещения Тогда
Составляющая работы не совершает, следовательно, работа силы равна работе составляющей и, таким образом,
Окончательно, работа силы, под действием которой материальная точка перемещается по отрезку прямой из положения В в положение С, вычисляется по формуле:
Замечание. Скалярным произведением векторов n-мерного пространстваназывается число равное произведению первого вектора, записанного строкой, на второй вектор, записанный столбцом. Таким образом, если
то
Несложной проверкой мы можем убедиться в том, что таким образом определенное скалярное произведение в обладает свойствами 2) — 4) скалярного произведения векторов на плоскости или в пространстве.
Длиной вектора называется число
Векторы называются ортогональными, если Векторы
составляют ортонормированный базис пространства , так как каждый из этих векторов имеет единичную длину и все они попарно ортогональны.
Любой вектор мы можем рассматривать как точку
n-мерного пространства с координатами
Взяв еще одну точку соответствующую вектору мы под расстоянием между точками М и N будем понимать длину вектора т. е. число
Таким образом переопределенное пространство с расстоянием (2) между точками мы будем называть евклидовым пространством, сохранив для него то же обозначение.
Совокупность точки О(0.0,…, 0) и ортонормированного базиса (1) называется декартовой системой координат евклидова пространства R». Точка 0(0,0,… ,0) называется, естественно, началом координат.
Векторное произведение векторов
Определение: Векторным произведением некоялинеарных векторов называется вектор такой, что
Из этого определения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна длине векторного произведения , т. е.
Сформулируем основные свойства векторного произведения.
Первые два свойства очевидным образом следуют из определения векторного произведения. Доказательство третьего ввиду его громоздкости мы приводить не будем.
Найдем формулу для вычисления векторного произведения в координатах. Пусть векторы и в ортонормированном базисе имеют координаты Учитывая, tito по определению векторного произведения
раскроем скобки в векторном произведении принимая во внимание свойства 1) — 3):
Полученный вектор мы можем записать в виде следующего символического определителя.
вычислять который удобно разложением по первой строке.
Пример №4
Найти составляющую вектора , ортогональную плоскости векторов .
Решение.
Из чертежа видно, что искомая составляющая представляет собой вектор проекции данного вектора на векторное произведение и, следовательно.
Переходим к вычислениям:
Тогда
Среди многочисленных приложений векторного произведения отметим его применение в механике при вычислении момента силы.
Итак, пусть сила приложена к материальной точке В. Моментом этой силы относительно неподвижной точки С называется вектор
Смешанное произведение векторов
Определение: Смешанным произведением трех векторов называется число
Выясним геометрический смысл смешанного произведения для тройки некомпланарных векторов.
По определению смешанного произведения
Поскольку — площадь параллелограмма, построенного на векторах (§4)
-высота параллелепипеда построенного на векторах то
— объем параллелепипеда. Таким образом, абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе , т.е. то учитывая формулы для вычисления скалярного и векторного произведений (§3, §4), получим:
Следовательно (глава I. §2, пункт 3, свойство 7)), в координатах смешанное произведение вычисляется по формуле:
Докажем, пользуясь этой формулой, некоторые свойства смешанного произведения.
что следует из свойства 4) определителя (глава I. §2, пункт 3). Таким образом, в смешанном произведении можно менять местами знаки скалярного и векторного произведения, и поэтому для него используется более короткое обозначение . которым мы и будем пользоваться в дальнейшем.
Эти свойства смешанного произведения также являются прямыми следствиями соответствующих свойств определителя.
Докажем еще одно, геометрическое свойство смешанного произведения.
Теорема. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Доказательство. Докажем необходимость условия теоремы. Пусть векторы компланарны. Очевидно, что, если хотя бы один из них равен нулю, то и их смешанное произведение равно нулю. Если же все они ненулевые, то, ввиду их компланарности, векторное произведение ортогонально вектору с и, следовательно, . Аналогично проверяется достаточность условия теоремы.
Следствие. Три вектора образуют базис в том и только в том случае, когда их смешанное произведение отлично от нуля.
Заметим, кроме того, что, если , то угол между векторами -острый (тупой) и, следовательно, базис является положительно (отрицательно) ориентированным.
Пример №5
Доказать, что пять точек
расположены в одной плоскости.
Решение. Рассмотрим векторы Так как
то по доказанной выше теореме эти векторы компланарны и, стало быть. точки находятся в одной плоскости Аналогично покажем, что и точки также принадлежат одной плоскости . Действительно,
так как первая и третья строки в определителе пропорциональны. Плоскости имеют три общие точки , следовательно, они совпадают и, таким образом, все пять точек расположены в одной плоскости.
Векторы и линейные операции над ними
Определение: Вектором называется направленный отрезок (рис. 1).
А – начало, В – конец вектора
Рис. 1
Так как вектор определяется его началом и концом, то можно сформулировать эквивалентное данному определение.
Определение: Вектором называется упорядоченная пара точек.
Определение: Длина вектора – расстояние между его началом и концом.
Определение: Два вектора называются равными, если они имеют равные длины и одинаково направлены. При этом одинаково направленными называются векторы, лежащие на параллельных прямых и имеющие одинаковые направления.
Из этого определения следует, что точка приложения вектора значения не имеет, то есть вектор не изменяется, если его перемещать параллельно самому себе, сохраняя длину. Такие векторы называются свободными.
Если начало и конец вектора совпадают, он называется нулевым:
– нулевой вектор: его направление не определено, а длина .
Определение: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых:
Так как направление нулевого вектора не определено, то он коллинеарен любому другому.
Определение: Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Нулевой вектор компланарен любой системе компланарных векторов.
Линейные операции над векторами
Линейными называются операции сложения векторов и умножения на число.
Сложение
а) Правило параллелограмма (рис.2): начала совмещаются в одной точке, и – диагональ параллелограмма, построенного на .
б) Правило треугольника (рис. 3): начало совмещается с концом направлен от начала к концу .
в) Правило сложения нескольких векторов (рис. 4).
Вектор замыкает ломаную линию, построенную таким образом: конец предыдущего вектора совмещается с началом последующего и направлен от начала к концу .
Умножение на число
Определение: Произведением вектора на число называется вектор , aудовлетворяющий условиям:
а)
б)
в) , если ,a если , если .
Произведение называется вектором, противоположным вектору . Очевидно, .
Определение: Разностью называется сумма вектора и вектора, противоположного (рис. 5).
Начала совмещаются в одной точке, и направлен от конца к концу .
Свойства линейных операций
Определение: Результат конечного числа линейных операций над векторами называется их линейной комбинацией: – линейная комбинация векторов с коэффициентами
Пример №6
Пусть М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства. Представить как линейную комбинацию
(рис. 6).
. Так как точка пересечения медиан треугольника делит их в отношении 2:1, считая от вершины, то из правила параллелограмма следует, что
По правилу треугольника , то есть – линейная комбинация с коэффициентами
Теорема: Пусть – неколлинеарные векторы. Тогда любой компланарный с ними вектор c может быть представлен в виде
где коэффициенты (2.1) определяются единственным образом.
Представление вектора в виде (2.1) называется разложением его по двум неколлинеарным векторам.
Доказательство:
- Пусть среди есть два коллинеарных, например:
- Пусть среди коллинеарных нет, тогда совместим начала всех трех векторов в одной точке. Построим параллелограмм, диагональ которого совпадает с , а стороны параллельны прямым, на которых лежат (рис. 7).
Тогда c но Поэтому
Докажем единственность разложения. Предположим, что и Тогда, вычитая одно равенство из другого, получим:
Если , что противоречит условию. Теорема доказана.
Теорема: Пусть – некомпланарные векторы. Тогда любой вектор может быть представлен в виде
причем единственным образом.
Представление вектора в виде (2.2) называется разложением его по трем некомпланарным.
Доказать самостоятельно.
Проекция вектора на ось
Проекция вектора на ось — это скалярная величина (число), равная длине геометрической проекции вектора, если направление оси и геометрической проекции совпадают; или число, противоположное длине геометрической проекции вектора, если направления геометрической проекции и оси — противоположные.
Координаты вектора
Осью называется направленная прямая.
Определение: Ортом оси называется единичный вектор
направление которого совпадает с направлением оси.
Определение: Ортогональной проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из М на .
Определение: Ортогональной проекцией вектора на ось называется длина отрезка этой оси, заключенного между ортогональными проекциями его начала и конца, взятая со знаком «+», если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком «–», если эти направления противоположны (рис. 8).
Определение: Углом между вектором и осью называется угол, на который нужно повернуть в положительном направлении ось до совпадения ее направления с направлением вектора (положительным считается поворот против часовой стрелки).
Очевидно, проекцию вектора на ось можно найти по формуле
Можно показать, что проекция линейной комбинации векторов равна та-
кой же линейной комбинации их проекций:
В частности, проекция суммы векторов равна сумме их проекций:
Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат ХОY. Обозначим – орт оси ОХ, – орт оси OY. Выберем точку A , и пусть x, y – проекции ее на ОХ и OY,то есть координаты этой точки (рис. 9).
Аналогично в пространственной системе OXYZ – орты координатных осей) (рис. 10):
– разложение по ортам координатных осей (единственно по теореме 2).
Таким образом, если задана прямоугольная декартова система координат (пдск), то со всяким пространственным вектором можно связать три числа x,y,z (или два числа x, y, если вектор плоский), которые являются коэффициентами разложения этого вектора по ортам координатных осей, а также являются проекциями этого вектора на координатные оси.
Определение: Координатами вектора в любой пдск называются коэффициенты в разложении этого вектора по ортам координатных осей.
Таким образом, можно дать еще одно определение вектора.
Определение: Вектором называется упорядоченная тройка чисел (упорядоченная пара, если вектор плоский).
Пример №7
Если и наоборот, если
Так как, с одной стороны, вектор – объект, имеющий длину и направление, а с другой, – упорядоченная тройка чисел, то, зная длину и направление, можно определить его координаты и наоборот. Направление вектора в заданной системе координат характеризуется его направляющими косинусами (рис. 11):
Из этих формул очевидно следует основное свойство направляющих косинусов:
Если известны длина и направляющие косинусы вектора, то его координаты вычисляются по формулам:
Пусть AB – произвольный вектор в системе OXYZ, OA,OB – радиус-векторы его начала и конца,
Тогда
(см. свойства линейных операций над векторами). Таким образом,, то есть для определения координат вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала.
Определение: Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (рис. 13).
Если – базис, то – другой базис, так как изменился порядок следования векторов.
Определение: Базис называется прямоугольным декартовым, если базисные векторы взаимно перпендикулярны и длина каждого равна 1.
Такой базис принято обозначать
Из теоремы 2 следует, что всякий вектор может быть разложен по базису , то есть представлен в виде: . Числа x,y,z называются координатами в базисе .
Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.
Если – базис, то представление вектора в виде называется разложением по базису и x, y – координаты в этом базисе.
Определение: Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор этой прямой.
Деление отрезка в данном отношении
Рассмотрим задачу: дан отрезок AB . Найти точку D , которая делит AB в заданном отношении (рис. 14).
Введем прямоугольную декартову систему координат (пдск) OXYZ, тогда
Обозначим
Так как (лежат на одной прямой) и то
Переходя от этого векторного равенства к равенству соответствующих координат, получим:
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если D – середина отрезка AB , то k 1, поэтому
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если k < 0, , то точка D лежит за пределами AB : так как , то при
В этом случае
Скалярное произведение векторов
Определение: Скалярным произведением векторов называется скаляр (число), равный
Скалярное произведение обозначается так: или
Так как (рис. 16) или то
Свойства скалярного произведения
1. – очевидно из определения.
2.
Доказательство:
3.
Доказательство:
а) – очевидно.
б)
в) В этом случае
4.
Отсюда следует, что
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:
5.
Доказательство:
а) пусть
б) пусть
В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что . В третьем случае
Используя свойства 4 и 5, составим таблицу вычисления скалярного произведения базисных векторов
Пусть в некоторой пдск . Найдем скалярное произведение этих векторов:
Таким образом,
Пример №8
Найти, при каком значении x векторы перпендикулярны.
Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (свойство 5), поэтому найдем скалярное произведение по формуле (2.5):
Пример №9
Найти угол между биссектрисой AD и медианой если
Так как
то
Найдем координаты векторов . Точка M – середина BC , поэтому по формулам (2.4)
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника
Чтобы найти k , вычислим длины AC и AB :
Разделим отрезок CB в данном отношении по формулам (2.3):
отсюда
Заметим, что . Это замечание позволит нам не иметь дело с дробями, так как
Пример №10
Найти
Воспользуемся свойствами 1–4 скалярного произведения:
Отсюда
ЗАМЕЧАНИЕ. Так как работа силы по перемещению материальной точки вдоль вектора вычисляется по формуле
Определение векторного произведения векторов
Определение: Тройка некомпланарных векторов , имеющих общее начало, называется правой (левой), если конца третьего вектора c вращение первого вектора ко второму вектору по кратчайшему пути наблюдается против (по) часовой стрелки (рис. 17).
Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, удовлетворяющий условиям:
- ( перпендикулярен плоскости векторов и ).
- Направление таково, что тройка– правая.
Векторное произведение обозначается так:
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Геометрический смысл векторного произведения: длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Это следует из того, что площадь параллелограмма равна произведению длин смежных сторон на синус угла между ними.
Заметим, что
Таким образом, длину вектора векторного произведения можно вычислить с помощью скалярного произведения по формуле
Пример №11
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
По формуле (2.7):
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Направление вектора можно также (кроме п.2) определить по правилу винта: направление вектора совпадает с направлением поступательного движения винта в правой резьбой при вращении его в сторону поворота первого вектора ко второму вектору по кратчайшему пути (рис. 19).
Свойства векторного произведения
1.
Доказательство:
а)пусть или . В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор.
Его направление не определено, поэтому можно считать, что . Если
б)пусть
2.
Доказательство: По определению направления векторов и противоположны, а модули равны, значит, векторы отличаются лишь знаком.
3. – свойство линейности векторного произведения по первому сомножителю (без доказательства).
Векторное произведение также линейно и по второму сомножителю.
Используя определение и свойства 1 и 2, составим таблицу вычисления векторного произведения базисных векторов : векторы, стоящие в левом столбце, умножаются на соответствующие векторы верхней строки (рис. 20).
Пусть в некоторой пдск . Найдем векторное произведение этих векторов:
Заметим, что это выражение можно получить, вычислив символический определитель (сделать это можно по-разному, но лучше разложить по первой строке):
Таким образом,
Пример №12
Вычислить векторное произведение векторов
По формуле (2.8):
Заметим, что площадь треугольника, построенного на векторах , можно вычислить двумя способами: как половину длины найденного вектора или используя формулу (2.7). Заметим, что
или
Пример №13
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
Так как , то вычислим векторное произведение, используя его свойства:
Отсюда
Определение смешанного произведения векторов
Определение: Смешанным произведением векторов называется число – скалярное произведение a на векторное произведение
Смешанное произведение обозначается так:
Пусть в некоторой пдск
Обозначим
Тогда
по 7 свойству определителей.
Таким образом,
По определению скалярного произведения
Совместим начала всех трех векторов в одной точке. Тогда (рис. 21)
– площадь параллелограмма,
– высота параллелепипеда,
– объем параллелепипеда.
Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях, при этом – правая тройка, и – левая тройка.
Свойства смешанного произведения
1. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения: компланарны
Доказательство: а) компланарны
Если компланарны, то на них нельзя построить параллелепипед, а потому
б)компланарны.
Во всех трех случаях компланарны: в частности, если параллелен плоскости векторов , что означает их компланарность.
2. Круговая перестановка сомножителей в смешанном произведении не изменяет его величины. Перестановка соседних сомножителей изменяет его знак, не изменяя абсолютной величины:
Доказательство следует из формулы (2.9) и свойства 3 определителей, при этом круговая перестановка сомножителей соответствует двойной перемене строк в определителе, а потому оставляет его неизменным.
3. В смешанном произведении векторное и скалярное произведения можно менять местами:
Доказательство: из свойства 2 смешанного произведения и свойства 1 скалярного получим:
4. Смешанное произведение линейно по каждому из трех сомножителей.
– линейность по первому сомножителю.
Доказательство следует из формулы (2.9) и свойств определителей.
Пример №14
Найти объем тетраэдра, построенного на векторах
, и его высоту, перпендикулярную плоскости векторов .
Объем тетраэдра в 6 раз меньше объема параллелепипеда, построенного на этих векторах, поэтому
Отсюда (заметим, что – левая тройка, так как смешанное произведение отрицательно).
Чтобы найти высоту, воспользуемся формулой
По формуле (2.7)
Лекции по предметам:
- Математика
- Алгебра
- Линейная алгебра
- Геометрия
- Аналитическая геометрия
- Высшая математика
- Дискретная математика
- Математический анализ
- Теория вероятностей
- Математическая статистика
- Математическая логика
Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?
Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:
- Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
- Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.
Пример.
Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).
Найти уравнения медиан треугольника.
Решение:
Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A1, B1, C1.
1) По формулам координат середины отрезка
Уравнение медианы AA1 будем искать в виде y=kx+b.
Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A1(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:
Отсюда k= 4; b= -11.
Уравнение медианы AA1: y=4x-11.
2) Аналогично, координаты точки B1 — середины отрезка AC
Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B1(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB1 можно найти ещё быстрее: y= -3.
3) Координаты точки C1 — середины отрезка BC:
C(-3;-7), C(4,5;-1), y=kx+b:
Отсюда уравнение медианы CC1 : y=0,8x-4,6.
5. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
1. Векторы, базисы, координаты
№ |
Задание |
Ответ |
В треугольнике ABC разложите биссектрису CC по |
||
CB и b CA . |
||
базису векторов a |
||
РЕШЕНИЕ: |
||
Пусть a CB , b CA , |
||
C лежит на стороне AB . |
a
CC a b a ,
где a |
BC |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
BA |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника |
T |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
CB |
CA |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и тем, что BA BC C A. Отсюда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
BC |
CC |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следует, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
BC |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
a |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
BC |
CA |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C A |
1 |
C A |
1 |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
BC |
BC |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
CC 1 a |
a |
ab |
a |
b |
a |
a |
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Докажите, что точка пе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ресечения медиан тре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
угольника делит каждую |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
медиану в отношении |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 :1, считая от вершины. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
50
Пусть A – середина стороны BC , B |
– середина |
|||||||||||||
стороны AC . Отложим на медиане BB расстояние |
||||||||||||||
2 |
BB ‘ |
от вершины и поставим точку O . Тогда |
||||||||||||
3 |
||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||
AO AB |
BB AB |
BA AB |
||||||||||||
3 |
3 |
1 AB 1 AC .
3 3
Отложим от вершины A по медиане AA |
расстояние |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
AA‘ |
и поставим точку M . Найдем координаты |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
вектора AM в базисе векторов AB и AC . |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|||||||||||||||||||||||
AM |
AA |
AB |
AB |
BA AC |
|||||||||||||||||||||||
BC |
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||
AB |
AC |
||||||||||||||||||||||||||
, |
. |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
Но это координаты вектора AO . Таким образом, точка O и точка M совпадают, это точка пересечения медиан, и она делит медианы AA и BB в отношении 2 :1, считая от вершины.
В треугольнике ABC через O обозначена точка пе- |
|||||||||||||||||||||
ресечения медиан. Найдите сумму векторов |
|||||||||||||||||||||
OA OB OC . |
|||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|||||||||||||||||||||
Обозначим |
|||||||||||||||||||||
3 |
AB c , BC a , AC b, |
0 |
|||||||||||||||||||
b a c . |
|||||||||||||||||||||
Из рисунка по свойству медиан |
|||||||||||||||||||||
получаем, что |
2 |
A1 A B1B C1C |
|||||||||||||||||||
OA OB OC |
|||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||
b |
c |
a |
c |
1 |
|||||||||||||||||
c c |
a |
a |
b |
a c b 0. |
|||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||
Точки E и F – середины сторон AD и BC четырех- |
|||||||||||||||||||||
1 |
|||||||||||||||||||||
угольника ABCD . Докажите, что EF |
AB DC |
. |
|||||||||||||||||||
2 |
4Выведите теорему о средней линии трапеции. РЕШЕНИЕ:
EF EA AB BF , EF ED DC CF ,
51
1 |
|||||||||||||||||
BF CF , EA ED , EF |
AB DC |
. |
|||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
Если ABCD — трапеция, сторо- |
|||||||||||||||||
ны AB и CD параллельны, то- |
|||||||||||||||||
гда |
|||||||||||||||||
1 |
1 |
||||||||||||||||
EF |
AB DC |
AB |
|||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||
— свойство средней линии трапеции.
На стороне AB и диагонали AC параллелограмма
ABCD |
взяты соответственно точки E и F так, что |
||||||
1 |
1 |
||||||
AE |
AB и AF |
AC . |
|||||
n |
n 1 |
||||||
Докажите, что точки E , F и D лежат на одной прямой и определите отношение отрезков EF и FD .
5 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Пусть AB a , AD |
b .Тогда a b AC . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
EF AF AE |
(a b) |
a |
a |
b . |
||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n(n 1) |
n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||
FD AD AF b |
( a b ) |
a |
b . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 |
n 1 |
n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
EF || FD , то есть точки E , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда | EF |:| FD | |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
F , D лежат на одной прямой. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задан тетраэдр OABC . В базисе из ребер OA , OB и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
OC найдите координаты векто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ра OF , где F – точка пересече- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ния медиан основания ABC . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 Воспользуемся правилом треугольни- |
1 |
, |
1 |
, |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
3 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ка:OF OA AF OA |
AK . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
K – середина ребра CB ; точка F находится на рас- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
стоянии |
2 |
длины медианы от вершины A. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
AK AB |
BK |
AO |
OB |
BC |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
52
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
AO |
OB |
BO |
OC . |
|||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
Подставим AK в OF : |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
OF OA |
AO OB |
1 |
BO OC |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
OA |
OA |
OB |
OB |
OC |
||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
OA OB |
OC |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
, |
OF = |
, |
, |
. |
||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||
В пространстве заданы треугольники ABC и |
||||||||||||||||||||||||||||
A B C ; M и M |
– точки пересечения медиан |
|||||||||||||||||||||||||||
этих треугольников соответственно. Разложите |
||||||||||||||||||||||||||||
вектор MM |
по базису векторов AA , BB , CC . |
РЕШЕНИЕ:
Пусть N – середина стороны BC , N – середина стороны B C .
MM MA AA A M
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдем: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MA |
NA ; NA |
NB BA; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NB |
CB ; M A |
A M |
N A ; N A N B B A ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
2 |
3 |
, |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N B |
2 |
C B ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C B C C CB BB ; B A B B BA AA . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
После последовательных подстановок |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MM MA AA A M |
NA AA |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
N A |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
NB BA AA |
2 |
N |
B B A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 2 |
2 |
3 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
CB |
BA AA |
C C CB BB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B B BA |
AA |
1 |
AA BB CC |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
53
1 |
1 |
1 |
||||
то есть MM = |
, |
, |
. |
|||
3 |
3 |
3 |
2. Декартов прямоугольный базис. Направляющие косинусы и координаты
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC из- |
||||||||||
вестны векторы |
||||||||||
AB 2;2;5 , |
||||||||||
AC 3;6; 2 , |
||||||||||
AD 10;8; 14 . Найдите |
||||||||||
сумму координат вектора |
3 |
|||||||||
MN , где M и N — середины |
||||||||||
сторон AB и CD . |
||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
||||||||||
BC AC AB , MN |
AD BC |
AD AC AB |
15 |
, 6, |
21 |
. |
||||
2 |
2 |
|||||||||
2 |
2 |
|||||||||
3. |
||||||||||
Даны точки A(8, 7, 4) , B(1, 2, 3) , C( 1, 1, 7) . |
||||||||||
Найдите сумму координат точки D(x, y, z) , если |
||||||||||
AB 2BC 3AD 0. |
||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
||||||||||
AB 7,5,1 , BC 2,1, 4 , |
AD x 8, y 7, z 4 . |
— 6
AB 2BC 3AD 0
7,5,1 4, 2,8 3x 24,3y 21,3z 12 0
7 4 3x 24 0 |
|||||||
5 2 3y 21 0 (x, y, z) (9, 8, 7) . |
|||||||
1 8 3z 12 0 |
|||||||
Сумма координат равна (- 6). |
|||||||
2 и углы a 45 , |
|||||||
Дан модуль вектора |
a |
||||||
b 60 и g 120 , которые он составляет с коор- |
|||||||
2,1, 1 |
|||||||
динатными осями Ox , Oy и Oz соответственно. |
|||||||
Вычислите проекции вектора a на координатные |
|||||||
оси. |
54
РЕШЕНИЕ:
ax a cosa 2cos 45 2 ;
ay a cosb 2cos60 1;
az a cosg 2cos120 1.
a = 2,1, 1
Даны векторы a |
1, 1, |
. Вы- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2, 0, 1 и b |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2b . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
числите направляющие косинусы вектора a |
cosa |
0 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cosb |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 2b 2, 0, 1 2 1, 1, 0 |
0, 2, 1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 2b |
0 |
2 |
1 |
5 . |
cos g |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cosa |
0 |
; cosb |
2 |
; |
cos g |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
5 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Может ли вектор составлять с координатными осями |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следующие углы: a 45 , b 60 , g 120 ? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для направляющих косинусов выполняется равенство |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 a cos2 b cos 2g 1. Проверим его справедли- |
да |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вость. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos 45 cos |
60 cos |
120 |
1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равенство выполняется.
Даны точки A 3, 1, 5 , B 4, 2, 5 , C 4, 0, 3 .
Найдите длину медианы AA треугольника ABC .
РЕШЕНИЕ: |
7 |
||||||||||
Координаты точки A (середины |
AA ) A |
0,1, 1 |
, |
||||||||
AA |
3,2, 6 |
, |
AA |
3 2 22 6 2 7 . |
|||||||
Коллинеарны ли векторы c1 |
и c2 , построенные на |
нет |
|||||||||
векторах a и b , если a 9, 5, |
3 , |
||||||||||
55
b |
5b ? |
|||||||||||||||||||
b 7, 1, 2 , c1 |
2a |
, c2 |
3a |
|||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ 1: |
||||||||||||||||||||
1 |
2a b 2 |
|||||||||||||||||||
c |
9, 5, 3 |
7, 1, 2 |
25, 9, 8 |
|||||||||||||||||
2 |
3a 5b |
|||||||||||||||||||
c |
3 9, 5, |
3 5 |
7, 1, 2 |
8, 20, 1 |
||||||||||||||||
Пропорциональность компонент |
c |
c1y |
c |
|||||||||||||||||
1x |
1z |
|||||||||||||||||||
c2 y |
c2 z |
|||||||||||||||||||
c2 x |
не выполняется, векторы неколлинеарны.
РЕШЕНИЕ 2
Векторы : a и b неколлинеарны, т.е. образуют базис. Векторы c1 и c2 неколлинеарны, так как их координаты в этом базисе не пропорциональны:
21 .
35
3. Скалярное произведение векторов
Найдите а) |
a1 a2 |
и б) |
3a1 2a2 , a1 |
2a2 , если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2p |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
3, |
a |
4 |
, a , |
a |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a1 a2 |
a1 |
a2 |
, a1 |
a2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) 13 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a1 |
, a1 a1, |
a2 a2 |
a1 |
a2 , |
a2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) 61 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2p |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 16 |
2 a1, a2 |
25 2 |
3 4cos |
13. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) 3a1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2a2 , a1 2a2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3a1 6 a1 |
, a2 |
2 a2 , a1 4a2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 9 4 a1, |
a2 4 16 27 4 3 4 cos |
64 61 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдите |
2a1 a2 |
, если a1 4, 2, 4 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 6, 3, 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
105 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2a1 a2 8, 4, 8 6, 3, 2 2, 1, 10 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
105. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2a a |
1 |
10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
56
Найдите косинус угла между векторами AB и AC , |
|||||||||||||||||||||||||||
1, |
0, 1, |
3, |
|||||||||||||||||||||||||
если A |
2, 3 |
, B |
2 , |
C |
4, 5 . |
||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|||||||||||||||||||||||||||
AB |
0 |
1 |
, 1 2, |
1, 1, 1 , |
|||||||||||||||||||||||
2 3 |
— 1 |
||||||||||||||||||||||||||
AC |
2, 2, 2 |
, |
|||||||||||||||||||||||||
1 2 |
1 |
2 1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
cos AB , |
AC |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
12 1 |
12 2 |
22 2 |
|||||||||||||||||||||||||
1. |
Вычислите синус угла, образованного векторами a 2, 2,1 и b 6, 3, 2 .
РЕШЕНИЕ:
Найдем косинус нужного угла:
cosj 2 6 |
2 |
3 1 2 12 6 2 4 , |
||||||||||||
5 17 |
||||||||||||||
9 49 |
21 |
21 |
sinj |
|||||||||||
sin2 j 1 cos2 j 1 |
16 |
212 16 |
52 17 |
, |
21 |
|||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||
21 |
21 |
21 |
sinj 517 . 21
Так как угол между векторами 0 j p,
sinj 517 . 21
Покажите, что |
a |
B |
||||||||||||||||||||
сумма квадратов |
A |
C |
||||||||||||||||||||
медиан треуголь- |
||||||||||||||||||||||
ника относится к |
C |
c |
||||||||||||||||||||
сумме квадратов |
B |
b A |
||||||||||||||||||||
его сторон, как 3:4. |
||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
||||||||||||||||||||||
b . Нахо- |
||||||||||||||||||||||
Пусть CB a , CA b . Тогда |
AB a |
|||||||||||||||||||||
дим медианы треугольника: |
||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||
a b |
||||||||||||||||||||||
CC CB |
BC a |
a |
b , |
|||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
b |
b |
b |
||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||
BB BA AB |
a |
, |
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
a |
a |
|||||||||||||||||||||
AA |
AC |
CA b |
b . |
|||||||||||||||||||
2 |
2 |
Осталось найти требуемое отношение:
57
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
a |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
(a |
b) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
(ab) |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
4 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2a |
2b |
2(ab) |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Покажите, что четырехугольник ABCD |
ромб, если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(1,2,2) , B(3,5,8) , C( 3,2,6) , D( 5, 1,0). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдите угол при вершине А ромба. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
2, 3, |
; |
AB |
7 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AD |
6, |
3, |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AD |
7; |
p arccos |
33 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
BC 6; 3; 2 ; |
BC |
7 ; |
49 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
CD |
2; |
3; |
; |
CD |
7 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
AD |
BC |
CD |
и ABCD – ромб. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
6 3 |
3 6 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
33 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos AB, |
AD |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
49 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 9 36 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
3 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j p arccos |
33 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
49 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
a, b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Докажите, что вектор |
p b |
перпендикуля- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рен вектору a . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a, b |
a2 |
0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p, |
a |
b |
, a |
a2 |
b |
, a |
a, b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Докажите: а) теорему косинусов; б) теорему Пифа- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гора. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) Рассмотрим треугольник |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ABC , построенный на векто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рах |
AB и b |
AC . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть третья сторона |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
CB c . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
b |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c |
a |
58
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c |
c |
a |
b |
a |
b |
a, |
b |
b |
, a |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
cosg . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
b |
2 a, |
b |
a |
b |
a |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
б) При g 90 |
2 |
2 |
b |
2 |
, получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
c |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теорему Пифагора.
Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
РЕШЕНИЕ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть a AB и b AD – |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стороны ромба. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d1 AC a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d2 BD b |
— его диагона- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ли. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a b |
, b a |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos d1 , d2 |
b |
a |
0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d1 |
d2 |
d1 |
d2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
так как для ромба |
b |
, и диагонали ромба |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
взаимно перпендикулярны. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Векторное произведение векторов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдите а) |
a a |
и б) |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 3a |
2 |
3a a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2p |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если |
a |
1, |
a |
2 , a , |
a |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
a1 |
a2 |
1 2 sin |
3 ; |
а) 3 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) 10 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
3a |
2 |
3a |
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 a1 |
a1 a1 |
a2 9 a2 a1 3 a2 |
a2 |
10 a1 a2 10 3,
a1 a2 a2 a1 |
|||||||||||||||||||
так как a1 |
a1 |
a2 a2 0, |
|||||||||||||||||
Найдите |
b |
, если |
|||||||||||||||||
2a1 |
a2 |
, 2a1 |
a2 |
||||||||||||||||
1 |
2 |
||||||||||||||||||
a |
3, 1, 2 |
, a |
1, 2, 1 . |
||||||||||||||||
4 |
83 |
||||||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|||||||||||||||||||
, |
|||||||||||||||||||
b 4 a1, |
a1 |
a2, a2 |
2 a1, a2 |
2 a2 |
a1 |
4 a1, a2 |
59
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #